Kurven-, Oberflächen- und Raumintegrale

Vektorielle Kurvenintegrale

$$\int_{C}d\vec{r} \phi\left(x,y,z\right) = \vec{e}_{x}\int_{C}dx \phi\left(x,y,z\right)+$$

$$\vec{e}_{y}\int_{C}dy \phi\left(x,y,z\right)+$$

$$\vec{e}_{z}\int_{C}dz \phi\left(x,y,z\right)$$

$$W_{C} = \int_{C}d\vec{r} \vec{V}\left(\vec{r}\right)$$

$$\int_{C}dx V_{x}+\int_{C}dy V_{y}+\int_{C}dz V_{z}$$

$$\int_{C}\left(d\vec{r}\times\vec{V}\left(\vec{r}\right)\right) = \vec{e}_{x}\int_{C}\left(dyV_{z}-dzV_{y}\right)+$$

$$\vec{e}_{y}\int_{C}\left(dzV_{x}-dxV_{z}\right)+$$

$$\vec{e}_{z}\int_{C}\left(dxV_{y}-dyV_{x}\right)$$

• Der Indize $C$ bedeutet, dass entlang der Kurve $C$ Integiert wird.
• Hierbei sind $x,y,z$ durch Funktionen aneinander gebunden, damit die Integrale vollständig definiert sind. Dies wird z.B. mit einer Parameterisierung erreicht.
• Die Integrale sind im Allgemeinen abhängig vom Integrationsweg
• $W_{C}$ ist die Arbeit die entlang des Weges $C$ verrichtet werden muss.
  • Ist wegunabhängig für $\vec{V}\left(\vec{r}\right)=-\vec{\nabla}\phi$.
    $W_{C}=\int_{C}d\vec{r} \vec{V}\left(\vec{r}\right)=-\int_{C}d\phi=\phi\left(\vec{r}_{1}\right)-\phi\left(\vec{r}_{2}\right)$

Parameterisierung der Bahnkurve

Menge aller Punkte zwischen $\alpha_{1}$ und $\alpha_{2}$ gibt die Bahnkurve $\vec{r}\left(\alpha\right)=\left(x\left(\alpha\right),y\left(\alpha\right),z\left(\alpha\right)\right)$. Hierbei ist $\alpha$ der Bahnparameter der die Bahnkurve parameterisiert.

Spezielle Bahnparameter sind $s$ die Bogenlänge, und $t$ die Zeit.

$$\int d\vec{r} \vec{V}\left(\vec{r}\right)=\int_{\alpha_{1}}^{\al... ...(V_{x}\frac{dx}{d\alpha}+V_{y}\frac{dy}{d\alpha}+V_{z}\frac{dz}{d\alpha}\right)$$

• Der Wert des Integrals hängt nich von der Parameterisierung ab, solange sie den gleichen Weg beschreiben

Weglänge einer Bahnkurve

Sei $\vec{r}\left(\alpha\right)$ eine Parameterisierung des zu messenden Weges. Die Weglänge ergibt sich dann für $\alpha_{1}<\alpha_{2}$

$$L=\int_{\alpha_{1}}^{\alpha_{2}}d\alpha\left\vert\frac{d\vec{r}}{d\alpha}\right\vert$$

Flächenintegrale

Hierzu benötigt man eine Funktion $s\left(x,y,z\right)=0$ die eine Fläche beschreibt. Wenn sich diese nach $z=z_{s}\left(x,y\right)$ umstellen lässt $z$, kann man das Flächenintegral über der Funktion $\phi\left(x,y,z\right)$ wie folgt schreiben

$$I_{S} = \int dy\int dx \phi\left(x,y,z_{S}\left(x,y\right)\right)$$

$$= \int_{S}dydx\frac{\vec{n}\vec{V}}{\vec{n}\vec{e}_{z}}$$

$$= \ldots$$

• Diese Integral Wird auch der Fluss von $\vec{V}$durch $s$ genannt
• Bei Integration in anderen Koordinatensystemen nach $ds_{u}$ integrieren
• Berechet die ``Summe'' aller Werte auf einer Fläche
• Der Wert des Integrals hängt ab von der Wahl der Fläche ab
• Das oben aufgeführte ist ein Spezialfall einer allgemeinen Parameterisierung: $\vec{r}=\vec{r}\left(\alpha,\beta\right)$
• Reduzierung auf Integral über z.B. $x,y$ mit:
  1. $S\left(x,y,z\right)=k$ Funktion die die Fläche / Ebene beschreibt.
  2. $S\left(x,y,z\right)=k$ auflösen nach $z\left(x,y\right)$ und $\vec{V}=\left(x,y,z\left(x,y\right)\right)$
  3. $\vec{n}=\frac{\vec{\nabla}S}{\left\vert\vec{\nabla}S\right\vert}=\ldots$
  4. $\vec{n}\vec{V}=\ldots$
  5. $\vec{n}\vec{e}_{z}=\ldots$
  6. Integral
     $I_{S}=\left.\int_{S}dydx\frac{\vec{n}\vec{V}}{\vec{n}\vec{e}_{z}}\right\vert _{z=z\left(x,y\right)}=\ldots$
     berechnen

Vektorelle Flächenintegrale

Hierzu benötigt man eine Konvention, die der orientierten Flächen: Der Vektor $d\vec{\sigma}=d\sigma\vec{n}$ steht senkrecht auf der Oberfläche und zeigt immer nach Außen. Je nachem ob wo mam sich auf der Koordinatenachse befindet gilt:

$$d\sigma_{x} = \pm dy dz$$

$$d\sigma_{y} = \pm dx dz$$

$$d\sigma_{z} = \pm dx dy$$

Sei $\varphi\left(\vec{r}\right)$ ein Skalar- und $\vec{V}\left(\vec{r}\right)=\vec{e}_{x}V_{x}+\vec{e}_{y}V_{y}+\vec{e}_{z}V_{z}$ ein Vektorfeld. Es lassen sich nun folgende Integrale definieren:

$$\int_{S}d\vec{\sigma}\phi\left(\vec{r}\right) = \vec{e}_{x}\int d\sigma_{x}\phi+\vec{e}_{y}\int d\sigma_{y}\phi$$

$$+\vec{e}_{z}\int d\sigma_{z}\phi$$

$$\int_{S}d\vec{\sigma}\vec{V}\left(\vec{r}\right) = \int_{S}d\sigma_{x}V_{x}+\int_{S}d\sigma_{y}V_{y}$$

$$+\int_{S}d\sigma_{z}V_{z}$$

$$\int_{S}\left(d\vec{\sigma}\times\vec{V}\left(\vec{r}\right)\right) = \vec{e}_{k}\int_{S}\left(\varepsilon_{ijk}d\sigma_{i}V_{j}\right)\vec{e}_{x}$$

$$= \int_{S}\left(d\sigma_{y}V_{z}-d\sigma_{z}V_{y}\right)+\ldots$$

• Es gilt $d\vec{\sigma}=\left\vert d\vec{\sigma}\right\vert\vec{e}_{n}$. Falls eine Komponente von $d\vec{\sigma}$ und auch $\vec{e}_{n}$ bekannt ist lässt sichhieraus der Betrag und damit das geamte $d\vec{\sigma}$ rekonstruieren. Z.B. $d\sigma_{z}=dx dy$ und $\vec{e}_{n}=\ldots$.

Oberflächenberechnung

Die Oberläche $F$ einer Funktion $S$ lässt sich mit Hilfe von vektoriellen Flächenintegralen sehr leicht bestimmen. Hierzu muss ein $d\vec{\sigma}_{F}$ gefunden werden, welches auf der gesamten Fläche rechtwiklig steht und dessen länge der größe der Flächenelemente entspricht. Dieses $d\vec{\sigma}_{F}$ lässt sich auf verschiedene Arten gewinnen. Entweder man nutzt ein bereits bekanntes Koordinatensystem, falls die gewünschte Fläche dort einer Koordinatenfläche (bzw. einem Teil davon) entspricht. Oder man definiert sich entsprechend ein neues. Die Fläche ist hiermit nun

$$A_{F}=\int_{S}\left\vert d\vec{\sigma}_{F}\right\vert$$

• Es lässt sich auch ein neues $d\vec{\sigma}_{F}$ wie folgt definieren. Die Fläche $F$ lasse sich in der Form
  $$F:u_{1},u_{2}\mapsto\vec{r}_{F}\left(u_{1},u_{2}\right)=\vec{r}\left(u_{1},u_{2},u_{3}=c_{3}\right)$$
  mit $c_{3}=$ konstant schreiben. Dann gilt:
  $$d\vec{\sigma}_{F}\pm\frac{\partial\vec{r}_{F}}{\partial u_{1}}\times\frac{\partial\vec{r}_{F}}{\partial u_{2}}du_{1}du_{2}$$
  Wobei das Vorzeichen so gewählt werden muss, das es auf geschlossenen Flächen nach außen zeigt.

Volumenintegrale

Hierbei wird ein Dreifachintegral über alle drei Raumkoordinaten bestimmt. Die Grenzen können dabei im allgemeinen voneinander abhängen.

$$\int_{V}dV \varrho = \iiint_{V}dxdydz \varrho\left(x,y,z\right)$$

$${\scriptstyle \int_{V}dv \vec{V}\left(\vec{r}\right)=\vec{e}_{x}\int_{V}dV V_{x}+\vec{e}_{y}\int_{V}dV V_{y}+\vec{e}_{z}\int_{V}dV V_{z}}$$

• Die abhängigen Grenzen können z.B. so behandelt werden:

$$\iiint_{V}\ldots=\int_{x=a}^{b}dx\int_{y=g_{1}\left(x\right)}^{g_{2}\left(x\right)}dy\int_{z=f_{1}\left(x,y\right)}^{f_{2}\left(x,y\right)}\ldots$$

• Für belibige Koordinatensysteme gilt außer den vorher genannten Beziehungen:
  
  $$dV=\left\vert\frac{\partial\vec{r}}{\partial u_{1}}\cdot\left(\fr... ...imes\frac{\partial\vec{r}}{\partial u_{3}}\right)\right\vert du_{1}du_{2}du_{3}$$

Integralsätze

• All diese Sätze gelten nur, wenn es auf beiden Seiten möglich ist, divergenten Punkten auszuweichen. Wenn z.B. eine Fläche immer durch einen Punkt läuft, der divergiert egal wie man sie legt, dann gelten all diese Sätze nicht.
• Die Keise um die Integrale bedeuten, dass über geschlossene Flächen / Linien integriert werden muss.
• Bei Kruvenumläufen wird gegen den Uhrzeigersinn positiv gezählt. Es gilt (Orientierung der Zirkulatuion):
  $\oint_{C}=-\oint_{-C}$

Gauß'scher Satz

$\oint_{\partial\mathcal{V}}d\vec{\sigma}\vec{j}=\int_{\mathcal{V}}dV\vec{\nabla}\vec{j}$

• Integral der Quelldichte ist gleich dem Fluss durch die Randflächen

Kontinuitätsgleichung

$\frac{\partial\varrho}{\partial t}+\vec{\nabla}\left(\varrho\vec{V}\right)=0$

• $\varrho$ ist die Dichte des Mediums
• $\vec{V}$ ist die Strömungsgeschdingkeit
• Gilt nur für quellenfreie Felder. Bedeutet, dass die Summe aus Abnahme von z.B. Masse in einer Region und der Fluss durch dessen Begrenzung 0 ergibt.

Green'scher Integralsatz

$\oint_{\partial\mathcal{V}}d\vec{\sigma}=\int_{\mathcal{V}}dv\vec{\nabla}$

• Dies sind Differentialoperatoren. Sie wirken auf die hinter ihnen stehende Gleichung genau gleich
• z.B. $\oint_{\partial\mathcal{V}}d\vec{\sigma}\times\vec{V}\left(\vec{r}\right)=\int_{\mathcal{V}}dv\vec{\nabla}\times\vec{V}\left(\vec{r}\right)$

Green'scher Satz

$\oint_{\partial\mathcal{V}}d\vec{\sigma}\left(u\vec{\nabla}v-v\vec{\nabla}u\right)=\int_{\mathcal{V}}dV\left(u\triangle v-v\triangle u\right)$

Satz von Stokes

$\oint_{\partial\mathcal{S}}d\vec{r}\vec{V}=\int_{\mathcal{S}}d\vec{\sigma}\left(\vec{\nabla}\times\vec{V}\right)$

• $\oint_{\partial\mathcal{S}}d\vec{r}\phi\left(\vec{r}\right)=\int_{\mathcal{S}}\left(d\vec{\sigma}\times\vec{\nabla}\right)\phi\left(\vec{r}\right)$
• $\oint_{\partial\mathcal{S}}d\vec{r}\times\vec{V}\left(\vec{r}\right)=\int_{\ma... ...}}\left(d\vec{\sigma}\times\vec{\nabla}\right)\times\vec{V}\left(\vec{r}\right)$

Potentialfeld

$\vec{\nabla}\times\vec{F}=0\Leftrightarrow\vec{F}=-\vec{\nabla}\phi$

• auch konservatives Feld genannt.

Oberfläche

$\mathcal{S}$ ist Symbol für geschlossene Fläche

Volumen

$\mathcal{V}$ ist Symbol für zusammenhängendes Volumen

Begrenzung

$\partial\mathcal{S}$ $\partial\mathcal{V}$ Begrenzungskurve / Fläche einer Oberfläche / Volumen