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\begin{document}

\title{Formelsammlung\\
Theorie klassischer Teilchen und Felder I}


\author{<Marco.Moeller@macrolab.de>}


\date{Stand: 25.02.2006 - Version: 1.0.0\\
\noun{Erhältlich unter \url{http://privat.macrolab.de}}}

\maketitle
Diese Formelsammlung basiert auf der Vorlesung {}``Theorie klassischer
Teilchen und Felder I'' von Prof. Dr. Jochen Wambach an der Technischen
Universität Darmstadt im Wintersemester 2005/06.

Die folgende Formelsammlung steht zum kostenlosen Download zur Verfügung.
Das Urheberrecht und sonstige Rechte an dem Text verbleiben beim Verfasser,
der keine Gewähr für die Richtigkeit und Vollständigkeit der Inhalte
übernehmen kann.

\tableofcontents{}


\section{Newtonsche Mechanik}


\subsection{Die Bogenlänge als Bahnparameter}

Charakterisierung der {}``Kurvenform''

\begin{description}
\item [Bogenlänge\index{Bogenlänge}]$s=s\left(t\right)=\int_{t_{0}}^{t}dt'\left|\vec{v}\left(t'\right)\right|$
\item [Geschwindigkeit\index{Geschwindigkeit}]$\vec{v}=\dot{s}\vec{e}_{t}$
\end{description}
\begin{itemize}
\item $\vec{e}_{t}=\frac{d\vec{x}}{ds}=\frac{\vec{v}}{\dot{s}}=\frac{\vec{v}}{\left|\vec{v}\right|}$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Beschleunigung\index{Beschleunigung}]$\vec{a}=\frac{d}{dt}\left(\dot{s}\vec{e}_{t}\right)=\ddot{s}\vec{e}_{t}+\frac{\dot{s}^{2}}{\varrho}\vec{e}_{n}$
\end{description}
\begin{itemize}
\item $\dot{\vec{e}}_{t}\perp\vec{e}_{t}$
\item $\left|\dot{\vec{e}}_{t}\right|=\left|\frac{d\vec{e}_{t}}{ds}\right|\dot{s}=\frac{1}{\varrho}\dot{s}$
\item $\dot{\vec{e}}_{t}=\frac{1}{\varrho}\dot{s}\vec{e}_{n}$
\item $\vec{e}_{n}=\frac{\dot{\vec{e}}_{t}}{\left|\dot{\vec{e}}_{t}\right|}$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Krümmungsradius\index{Krümmungsradius}]$\frac{1}{\varrho}=\frac{\left|\vec{a}\times\vec{v}\right|}{\left|\vec{v}\right|^{3}}$
\item [Krümmung\index{Krümmung}]$\chi=\frac{1}{\varrho}$
\item [Windung\index{Windung}]der Kurve $\frac{1}{\tau}=\frac{\vec{v}\left(\vec{a}\times\dot{\vec{a}}\right)}{\left(\vec{v}\times\vec{a}\right)^{2}}$
\end{description}
\begin{itemize}
\item auch: Torsion der Kurve
\end{itemize}
\begin{description}
\item [begleitendes~Dreibein\index{Dreibein}]$\left(\vec{e}_{t},\vec{e}_{n},\vec{e}_{m}\right)$
\end{description}
\begin{itemize}
\item $\vec{e}_{m}=\vec{e}_{t}\times\vec{e}_{n}$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Frenet-Matrix\index{Frenet-Matrix}]$\mathcal{F}$\begin{eqnarray*}
\frac{d}{ds}\left(\begin{array}{c}
\vec{e}_{t}\\
\vec{e}_{n}\\
\vec{e}_{m}\end{array}\right) & = & \mathcal{F}\left(\begin{array}{c}
\vec{e}_{t}\\
\vec{e}_{n}\\
\vec{e}_{m}\end{array}\right)\\
\mathcal{F} & = & \left(\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{\varrho} & 0\\
-\frac{1}{\varrho} & 0 & \frac{1}{\tau}\\
0 & -\frac{1}{\tau} & 0\end{array}\right)\\
\left(1+ds\mathcal{F}\right)\left(\begin{array}{c}
\vec{e}_{t}\\
\vec{e}_{n}\\
\vec{e}_{m}\end{array}\right) & = & \left(\begin{array}{c}
\vec{e}_{t}+d\vec{e}_{t}\\
\vec{e}_{n}+d\vec{e}_{n}\\
\vec{e}_{m}+d\vec{e}_{m}\end{array}\right)\end{eqnarray*}

\end{description}
\begin{itemize}
\item $\left(1+ds\mathcal{F}\right)$ beschreibt eine \emph{Rotation}\index{Rotation}.
\item $\left(1+ds\mathcal{F}\right)$ ist eine Orthogonale Matrix\\
$\left(1+ds\mathcal{F}\right)^{-1}=\left(1+ds\mathcal{F}\right)^{T}=\left(1-ds\mathcal{F}\right)$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Hauptsatz~der~Kurventheorie\index{Kurventheorie!Hauptsatz}]$\vec{x}\left(s\right)=\int_{0}^{s}ds'\frac{d\vec{x}}{ds'}=\int_{0}^{s}ds'\vec{e}_{t}\left(s'\right)$
\end{description}

\subsection{Kinematik, Newtonschon Gesetze, Mehrteilchensysteme}

Siehe mein Skript: {}``Einführung in die Theoretische Physik'' 

\begin{description}
\item [Bewegungsgleichung]im 1-dimensionalen \[
t-t_{0}=\pm\int_{x_{0}}^{x}dx\frac{1}{\sqrt{\frac{2}{m}\left(E-V\left(x\right)\right)}}\]

\end{description}
\begin{itemize}
\item Festlegung:\\
$+$ Teilchen bewegt sich vom Ursprung weg\\
$-$ Teilchen bewegt sich zum Ursprung hin
\item Bewegungsbereich ist der Bereich in dem die Wurzel reell bleibt.
\end{itemize}
\begin{description}
\item [zeitlicher~Mittelwert\index{Mittelwert}]einer Funktion $f\left(t\right)$
ist\[
\overline{f\left(t\right)}=\lim_{\tau\rightarrow\infty}\frac{1}{\tau}\int_{t_{0}}^{t_{0}+\tau}dxf\left(x\right)\]

\item [Virialsatz\index{Virialsatz}]$2\overline{T}=-\overline{\vec{F}\vec{x}}$
\end{description}
\begin{itemize}
\item $\overline{\vec{F}\vec{x}}$ ist ein \emph{Virial\index{Virial}}

\begin{description}
\item [Konservatives~Feld]$\overline{T}=\overline{\frac{1}{2}\frac{dV}{dr}r}$
\end{description}
\begin{itemize}
\item $\vec{F}=-\vec{\nabla}V$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Potenzgesetz]$\frac{dV}{dr}=\frac{n+1}{r}V$
\end{description}
\begin{itemize}
\item mit $\vec{F}=\alpha r^{n}\vec{e}_{r}$
\item mit $n=-2$ gilt $\overline{T}=-\frac{1}{2}\overline{V}$
\item mit $n=1$ gilt $\overline{T}=\overline{V}$
\item mit $n\neq-1$ gilt $\overline{T}=\frac{n+1}{2}\overline{V}$
\end{itemize}
\end{itemize}

\subsection{Zweiteilchensysteme\index{Zweiteilchensysteme}}

\begin{description}
\item [gebundene~Systeme\index{gebundene Systeme}]$E<0$ sind beschränkt
in der Bewegung
\item [offene~Systeme\index{offene Systeme}]$E\ge0$ sind unbeschränkt
in der Bewegung
\item [Kepler~Problem]$V\left(\vec{x}_{1},\vec{x}_{2}\right)=-G\frac{m_{1}m_{2}}{r_{12}}=V\left(r_{12}\right)$
\end{description}
\begin{itemize}
\item $r_{12}=\left|\vec{x}_{1}-\vec{x}_{2}\right|$
\item es gelten nur innere Kräfte
\item $m_{1}=\infty,\: m_{2}=m$
\item $\vec{v}=\dot{r}\vec{e}_{r}+r\dot{\varphi}\vec{e}_{\varphi}$
\item $\vec{F}_{12}=-G\frac{m_{1}m_{2}}{r_{12}^{2}}\vec{e}_{r}$
\item $T=\frac{1}{2}m\left(\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\varphi}^{2}\right)$
\item $t-t_{0}=\pm\int_{r\left(t_{0}\right)}^{r\left(t\right)}dr'\frac{1}{\sqrt{\frac{2}{m}\left(E-V_{eff}\left(r'\right)\right)}}$
\item $\Delta\varphi=2\frac{l_{0}}{\sqrt{2m}}\int_{r\left(t_{0}\right)}^{r\left(t\right)}dr'\frac{1}{\sqrt{\frac{2}{m}\left(E-V_{eff}\left(r'\right)\right)}}$

\begin{itemize}
\item geschlossene Bahn für $n\Delta\varphi=m2\pi$ mit $n,m\in\mathbb{N}$
\end{itemize}
\item $V_{eff}\left(r\right)=V\left(r\right)+\frac{l_{0}^{2}}{2mr^{2}}$

\begin{itemize}
\item $E$ kann nicht kleiner werden als $V_{eff}$. Für den Fall der Gleichheit
beschreibt die Bahn einen Kreis.
\end{itemize}
\item $\vec{l_{0}}=mr^{2}\dot{\varphi}\vec{e}_{z}=l_{o}\vec{e}_{z}$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Kepler\index{Kepler}]mit newtonscher Gravitation
\end{description}
\begin{itemize}
\item $V\left(r\right)=-\frac{Gm_{1}m_{2}}{r}=-\frac{\chi}{r}$
\item \begin{eqnarray*}
\cos\left(\varphi-\varphi_{0}\right) & = & \frac{\frac{1}{r}-\frac{m\chi}{l_{0}^{2}}}{\sqrt{\frac{m^{2}\chi^{2}}{l_{0}^{4}}+\frac{2mE}{l_{0}^{2}}}}\\
 & = & \frac{\frac{P}{r}-1}{\varepsilon}\end{eqnarray*}

\item $p=\frac{l_{0}^{2}}{m\chi}$
\item $\varepsilon=\sqrt{1+\frac{2l_{0}^{2}E}{m\chi^{2}}}$
\item $V_{eff}^{min}=-\frac{m\chi^{2}}{2l_{0}^{2}}$
\item Kegelschnittgleichung\index{Kegelschnittgleichung} $r=\frac{P}{1+\varepsilon\cdot\cos\left(\varphi-\varphi_{0}\right)}$

\begin{itemize}
\item $\varepsilon=0$ Kreis mit $E=V_{eff}$
\item $\varepsilon>1\; E>0$ Hyperbel\index{Hyperbel}
\item $\varepsilon=1\; E=0$ Parabel\index{Parabel}
\item $\varepsilon<1\; E<0$ Ellipse\index{Ellipse}

\begin{itemize}
\item Halbachsen\index{Halbachsen} $a,b$
\item $a=\frac{\chi}{\left|E\right|}$
\item $b=\frac{l_{0}^{2}}{2\left|E\right|m}$
\item drittes Kepplersches Gesetz\\
$T=2\pi a^{\frac{3}{2}}\sqrt{\frac{1}{GM}}$
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{itemize}

\subsection{Relativbewegungen\index{Relativbewegungen}}

\begin{description}
\item [Schwerpunkt]$\vec{R}=\frac{m_{1}\vec{x}_{1}+m_{2}\vec{x}_{2}}{m_{1}+m_{2}}$
\item [Gesamtmasse]$M=m_{1}+m_{2}$
\item [reduzierte~Masse\index{reduzierte Masse}]$\mu=\frac{1}{\frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}}}$
\item [geschlossenes~System]$\mu\ddot{\vec{r}}=\vec{F}_{21}$
\end{description}
\begin{itemize}
\item $\vec{r}$ Vektor von Teilchen 2 nach 1
\item $F_{ex}^{\left(i\right)}=0$
\item $\vec{P}=M\dot{\vec{R}}=$ const
\item $\vec{R}\left(t\right)=\vec{R}_{0}+\frac{\vec{P}}{M}t$
\item $T_{R}=\frac{1}{2}M\dot{\vec{R}}^{2}$
\item $T_{r}=\frac{1}{2}\mu\dot{\vec{r}}^{2}$
\end{itemize}

\subsection{Stoss\index{Stoss}}

\begin{description}
\item [Impulserhaltung]$\vec{p}_{1}=-\vec{p}_{2}$, $\vec{p}_{1}'=-\vec{p}_{2}'$
\end{description}
\begin{itemize}
\item gilt im Schwerpunktsystem
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Energieerhaltung]$\frac{\vec{p}_{1}}{2m_{1}}+\frac{\vec{p}_{2}}{2m_{2}}=\frac{\vec{p}_{1}'}{2m_{1}}+\frac{\vec{p}_{2}'}{2m_{2}}+Q$
\end{description}
\begin{itemize}
\item $Q$ ist die im Stossprozess {}``verlorene'' Energie
\item gilt sowohl im Schwerpunkt als auch im Laborsystem mit dem selben
$Q$
\item \begin{eqnarray*}
\frac{\vec{p}_{1}^{2}}{2\mu} & = & \frac{\vec{p'}_{1}^{2}}{2\mu}+Q\\
\frac{\vec{p}_{2}^{2}}{2\mu} & = & \frac{\vec{p'}_{2}^{2}}{2\mu}+Q\end{eqnarray*}

\end{itemize}
\begin{description}
\item [Elastisch\index{Elastisch}]$Q=0$
\item [Inelastisch\index{Inelastisch}]$Q>0$
\item [Umwandlung~von~Energie]$Q<0$
\item [Richtung]ist im Schwerpunktsystem nur soweit festgelegt, als das
sie sowol vor, als auch nach dem Stoss entgegengesetzt sind.
\end{description}

\subsubsection{Elastischer Stoss eines ruhenden Teilchens}

\begin{description}
\item [Begebenheiten]$\vec{p}_{1}=\vec{P}$, $\vec{p}_{2}=\vec{0}$, $Q=0$
\item [Streuwinkel\index{Streuwinkel}\label{StreuwinkelTransformation}]$\tan\theta=\frac{\sin\tilde{\theta}}{\cos\tilde{\theta}+\gamma}$
\end{description}
\begin{itemize}
\item $\gamma=\frac{m_{1}}{m_{2}}$
\item $\tilde{\theta}$ Winkel um den der Impulsvektor $\vec{p}_{1}$ im
Schwerpunktsystem verdreht wurde durch den Stoss
\item $\theta$ Winkel um den der Impulsvektor $\vec{p}_{1}$ im Laborsystem
verdreht wurde durch den Stoss
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Vorwärtsstreuung\index{Vorwärtsstreuung}]$m_{1}>m_{2}$, $\gamma>1$
\end{description}
\begin{itemize}
\item $\sin\left(\theta_{max}\right)=\frac{m_{2}}{m_{1}}=\frac{1}{\gamma}<1$
\item $\theta_{max}$ ist der maximale Winkel um den der Vektor $\vec{p}_{1}$
im Laborsystem verdreht werden kann
\item Streuung erfolgt in einem Kegel mit diesem Öffnungswinkel
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Beliebige~Streuung\index{Streuung}]$m_{2}>m_{1}$, $\gamma<1$
\end{description}
\begin{itemize}
\item alle Winkel sind möglich
\item z.B. auch Reflexion
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Identische~Massen]$m_{1}=m_{2}$, $\gamma=1$ 
\end{description}
\begin{itemize}
\item Winkel zwischen $\vec{p}_{1}'$ und $\vec{p}_{2}'$ ist nach dem Stoss
immer $90°$
\item Ausnahmen:

\begin{itemize}
\item Teilchen Tauschen die Rollen, d.h. Teilchen 1 bleibt liegen und Teilchen
2 fliegt in die gleiche Richtung mit der gleichen Geschwindigkeit
weiter
\item Teilchen 1 wechselwirkt einfach nicht und es fliegt ungestört weiter
/ kein stoss / kein Rollentausch
\end{itemize}
\item $\theta_{max}=\pm180°$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Energietransfer\index{Energietransfer}]$\eta=\frac{T_{2}'}{T_{1}}=4\frac{\mu}{M}=4\frac{m_{1}m_{2}}{\left(m_{1}+m_{2}\right)^{2}}$
\end{description}
\begin{itemize}
\item $T_{1}$ kinetische Energie von Teilchen 1 \emph{vor} dem Stoss
\item $T_{2}'$ kinetische Energie von Teilchen 2 \emph{nach} dem Stoss
\item $m_{1}=m_{2}\rightarrow\eta=1$
\end{itemize}

\subsubsection{Streuung durch Potential im Schwerpunktsystem}

\begin{description}
\item [Streuzentrum]ist Ausgangspunkt eines Potentialfeldes $V\left(\vec{r}\right)=V\left(r\right)$
das nur vom Abstand abhängt. Dieses verursacht die Ablenkung des annahenden
Teilchens
\item [Stossparameter]$b$
\end{description}
\begin{itemize}
\item gibt an, um welche Distanz das Teilchen bei unabgelenkter Bahn am
Streuzentrum vorbeifliegen würde
\item $db$ ist eine Infinitesimale Änderung von $b$

\begin{itemize}
\item dies bewirkt eine Änderung $d\Omega$ im Raumwinkel $\Omega$ der
vom Strahl durchflogen wird
\item es bewirkt eine Vergrößerung der Eintrefffläche um $d\sigma$ (=Kreis
mit dem Radius $b+db$ - Kreis mit dem Radius $b$)
\end{itemize}
\item $\frac{db}{d\theta}=\frac{1}{\sqrt{2\mu E}}\frac{dl}{d\theta}$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Strahl]von Teilchen
\end{description}
\begin{itemize}
\item Alle haben gleiche Masse $\mu$
\item Alle haben gleiche kinetische Energie $\Rightarrow$ $\vec{p}$ ist
gleich
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Strahlintensität]$n=\frac{\textrm{Zahl der einlaufenden Teilchen}}{\textrm{Flächenelement}\cdot\textrm{Zeit}}$
\item [Gestreute~Teilchen]$dN=\frac{\textrm{Zahl der gestreuten Teilchen in }d\Omega}{\textrm{Zeit}}$
\item [Wirkungsquerschnitt]$\frac{d\sigma}{d\Omega}\left(\theta\right)=-\frac{b}{\sin\theta}\frac{db}{d\theta}=\frac{l}{2\mu E}\left|\frac{dl}{d\theta}\right|>0$
\end{description}
\begin{itemize}
\item $d\sigma=\frac{dN}{n}=2\pi b\, db$
\item Hängt für $V\left(\vec{r}\right)=V\left(r\right)$ nur von $\theta$
ab! 
\item Raumwinkel $d\Omega=2\pi\sin\theta\, d\theta$
\item $\sigma_{total}=\int d\sigma=\int d\Omega\frac{d\sigma}{d\Omega}=2\pi\int_{0}^{\pi}d\theta\sin\theta\frac{d\sigma}{d\theta}\left(\theta\right)$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Ablenkwinkel]$\theta=\pi-2\int_{r_{min}}^{\infty}dr\frac{b}{r^{2}}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{b^{2}}{r^{2}}-\frac{V\left(r\right)}{E}}}=\pi-\frac{2l}{\sqrt{2\mu}}\int_{r_{min}}^{\infty}dr\frac{1}{r^{2}\sqrt{E-\frac{l^{2}}{2mr^{2}}-V\left(r\right)}}$ 
\end{description}
\begin{itemize}
\item Ablenkwinkel des Strahls von negativ zu positiv unendlich (in der
Zeit $t$) gemessen.
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Drehimpuls]$l=b\sqrt{2\mu E}$
\item [Energie]$E=\frac{\mu}{2}v_{\infty}^{2}$
\end{description}

\subsubsection{Steuung harte Kugeln}

\begin{description}
\item [Potential]$V\left(r\right)=\begin{cases}
0 & r>R\\
\infty & r\le R\end{cases}$
\item [isotrope~Streuung]$\frac{d\sigma}{d\Omega}\left(\theta\right)=\frac{R^{2}}{4}$
\end{description}
\begin{itemize}
\item isotrop $\Leftrightarrow$ hängt nicht mehr von $\theta$ ab
\item $\sigma_{total}=\pi R^{2}$
\end{itemize}

\subsubsection{Rutherford Streuung}

\begin{description}
\item [Potential]$V\left(r\right)=-\frac{\kappa}{r}$
\end{description}
\begin{itemize}
\item z.B. Gravitation oder Coulomb
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Stossparameter]$b\left(\theta\right)=\frac{\kappa}{2E}\cot\left(\frac{\theta}{2}\right)$
\item [Wirkungsquerschnitt]$\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{b}{\sin\theta}\left|\frac{db}{d\theta}\right|=\left(\frac{\kappa}{2E}\right)^{2}\frac{1}{\sin^{4}\left(\frac{\theta}{2}\right)}$
\end{description}
\begin{itemize}
\item gilt im Schwerpunktsystem
\item $\sigma_{total}=\infty$ ist ein Problem, tritt aber in der Realität
nicht auf, da Ladungen immer abgeschirmt sind\[
V\left(r\right)=\frac{\kappa e^{-\alpha r}}{r}\]

\item Im Laborsystem\[
\frac{d\sigma}{d\Omega_{L}}\left(\theta_{L}\right)=\frac{d\sigma}{d\Omega_{s}}\left(\theta_{s}\right)\frac{\sin\theta_{s}}{\sin\theta_{L}}\frac{d\theta_{s}}{d\theta_{L}}\]

\item Transformation der Winkel siehe \vref{StreuwinkelTransformation}.
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Spezialfall]$m_{1}<m_{2}$
\end{description}
\begin{itemize}
\item $\tan\theta_{L}\sim\tan\theta_{s}\Rightarrow\theta_{L}\approx\theta_{S}$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Spezialfall]$m_{1}=m_{2}$
\end{description}
\begin{itemize}
\item $\tan\theta_{L}=\frac{\sin\theta_{s}}{\cos\theta_{s}+1}=\tan\frac{\theta_{s}}{2}\Rightarrow\theta_{L}=\frac{1}{2}\theta_{S}$
\item $\frac{d\sigma}{d\Omega_{L}}\left(\theta_{L}\right)=4\cos\theta_{L}\frac{d\sigma}{d\Omega_{s}}\left(2\theta_{L}\right)$
\end{itemize}

\subsection{Tensorbegriff\index{Tensorbegriff}}

\begin{itemize}
\item Erweiterung des Vektorbegriffs $\vec{x}\in\mathbb{R}^{n}$
\item $\vec{x}=\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right)$ $n$-tupel von Zahlen
\item $n^{k}$: Tupel von Zahlen

\begin{itemize}
\item $n^{0}$: Skalar
\item $n^{1}$: Vektor\[
x_{i}'=\sum_{i}D_{ij}x_{j}\]


\begin{itemize}
\item Drehungen
\end{itemize}
\item $n^{2}$: Matrix\[
F_{ij}'=\sum_{l,m}D_{il}D_{jm}F_{lm}\]


\begin{itemize}
\item Basistransformation einer Matrix
\end{itemize}
\end{itemize}
\item $F_{i_{1},\ldots,i_{k}}$ mit $i_{j}=1,\ldots,n$
\item Dieser Satz von Zahlen ist ein \emph{Tensor} $k$-ter Stufe falls

\begin{itemize}
\item jeder der $k$-Indizes sich unter Drehung im $\mathbb{R}^{n}$ wie
ein Vektor verhält
\end{itemize}
\end{itemize}

\subsection{Mechanik des {}``starren Körpers''}

\begin{description}
\item [Freiheitsgerade]$6$
\end{description}
\begin{itemize}
\item 3 für Translation
\item 3 für Rotationen
\end{itemize}

\paragraph{Kreisel}

\begin{itemize}
\item 3 Rotationsfreiheitsgrade
\end{itemize}

\paragraph{Rotator}

\begin{itemize}
\item 1 Rotationsfreiheitsgrad
\item Achse ist fest
\item o.B.d.A um die $z$ Achse: $\vec{\omega}=\omega\vec{e}_{z}$

\begin{description}
\item [Rotationsenergie]$T=\sum_{i}\frac{m_{i}}{2}\dot{\vec{x}}_{i}^{2}=\frac{1}{2}\sum_{i}\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right)\omega^{2}=\frac{1}{2}J\omega^{2}$
\item [Trägheitsmoment]$J=\sum_{i}m_{i}\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right)$
\end{description}
\begin{itemize}
\item Kontinuierlich:\[
J=\int_{V}dx\, dy\, dz\,\varrho\left(x,y,z\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)\]

\end{itemize}
\begin{description}
\item [Drehimpuls]$L=J\omega$
\item [Lösung]$t-t_{0}=\int_{\varphi_{0}}^{\varphi}d\varphi\frac{1}{\sqrt{\frac{2}{J}\left(E-V\left(\varphi\right)\right)}}$
\end{description}
\end{itemize}

\subsubsection{Drehimpulssatz\index{Drehimpulssatz}}

\begin{description}
\item [Drehimpuls\index{Drehimpuls}]$L_{\omega}=\vec{L}\vec{e}_{\omega}=\sum_{i}m_{i}\left(\vec{e}_{\omega}\times\vec{x}_{i}\right)^{2}\omega=J\omega=J\dot{\varphi}$
\end{description}
\begin{itemize}
\item $\vec{L}$ ist i.a. nicht in Richtung von $\vec{\omega}$
\item $\vec{e}_{\omega}=\frac{\vec{\omega}}{\left|\vec{\omega}\right|}$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Trägheitsmoment\index{Trägheitsmoment}]$J=\sum_{i}m_{i}\left(\vec{e}_{\omega}\times\vec{x}_{i}\right)^{2}$
\end{description}
\begin{itemize}
\item Kontinuierlich\[
J=\int_{V}dx\, dy\, dz\,\varrho\left(\vec{x}\right)\left(\vec{e}_{\omega}\times\vec{x}\right)^{2}\]

\end{itemize}
\begin{description}
\item [Drehmoment\index{Drehmoment}]$\vec{N}=\frac{d\vec{L}}{dt}=\sum_{i}\vec{x}_{i}\times\vec{F}_{i}^{ext}$
\end{description}
\begin{itemize}
\item $\frac{dL_{\omega}}{dt}=J\ddot{\varphi}=N_{\omega}=\sum_{i}\left(\vec{x}_{i}\times\vec{F}_{i}^{ext}\right)\vec{e}_{\omega}$
\end{itemize}

\subsubsection{Physikalisches Pendel}


\paragraph{Aufbau}

\begin{itemize}
\item Körper mit Schwerpunkt $S$ 
\item Externe Kraft zeigt in $x$ Richtung\[
\vec{F}^{ext}=\left(\begin{array}{c}
m_{i}g\\
0\\
0\end{array}\right)\]
 
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Drehmoment]$N_{\omega}=J\ddot{\varphi}=-\sum_{i}m_{i}y_{i}g=-MgR_{y}$
\item [Schwerpunkt]$\vec{R}=\left(R_{x},R_{y},R_{z}\right)=\left(R\cos\varphi,R\sin\varphi,0\right)$
\item [Ansatz]$J\ddot{\varphi}+RMg\sin\varphi=0$
\end{description}
\begin{itemize}
\item Vergleich mit Mathematischem Pendel\[
\ddot{\varphi}+\frac{g}{l}\sin\varphi=0\]

\item $l=\frac{J}{MR}$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Energiesatz]$V=\sum_{i}V_{i}=-g\sum_{i}m_{i}x_{i}=-MgR\cos\varphi$
\end{description}
\begin{itemize}
\item mit $V_{i}=-mgx_{i}$
\item Summe über die potentiellen Energien
\item $E=\frac{1}{2}J\dot{\varphi}^{2}-MgR\cos\varphi=const$
\item Ableitung ergibt $J\ddot{\varphi}+MRg\sin\varphi=0$
\end{itemize}

\subsubsection{Analogie: Rotation \& Translation}

Siehe Tabelle \vref{cap:Analogie-Rotation-Translation}.

%
\begin{table*}

\caption{\label{cap:Analogie-Rotation-Translation}Analogie Rotation \& Translation}

\hfill{}\begin{tabular}{|c|c||c|c|}
\hline 
&
Teilchen&
Rotator&
\tabularnewline
\hline
\hline 
Ort&
$x$&
$\varphi$&
Winkel\tabularnewline
\hline 
Masse&
$m$&
$J$&
Trägheitsmoment\tabularnewline
\hline 
Geschwindigkeit&
$v=\dot{x}$&
$\omega=\dot{\varphi}$&
Winkelgeschwindigkeit\tabularnewline
\hline 
Impuls&
$m\dot{x}=mv$&
$L_{\omega}=J\omega=J\dot{\varphi}$&
Drehimpuls\tabularnewline
\hline 
Kraft&
$m\ddot{x}=F$&
$N_{\omega}^{ext}$&
Drehmoment\tabularnewline
\hline 
Kinetische Energie&
$T=\frac{1}{2}mv^{2}$&
$T=\frac{1}{2}m\omega^{2}$&
Kinetische Energie\tabularnewline
\hline
\end{tabular}\hfill{}
\end{table*}



\subsubsection{Kreisel\index{Kreisel}}

\begin{description}
\item [Eigenschaften]1 Punkt fest, 3 Freiheitsgerade
\end{description}

\paragraph{Koordinatensysteme}

\begin{itemize}
\item Ortsfestes System $K$

\begin{itemize}
\item $\vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\vec{e}_{3}$
\item $\vec{v}_{n}=\vec{\omega}\times\vec{x}_{n}'$
\item $\vec{a}_{n}=\dot{\vec{\omega}}\times\vec{x}_{n}'+\vec{\omega}\times\left(\vec{\omega}\times\vec{x}_{n}'\right)$
\end{itemize}
\item Im Schwerpunkt verankertes am Körper festes System $K'$ (\emph{Körperfest}\index{Körperfest})

\begin{itemize}
\item $\vec{e}'_{1},\vec{e}'_{2},\vec{e}'_{3}$
\item Versatz dieses Koordinatensystem $\vec{r}_{0}$ gegenüber $K$

\begin{itemize}
\item konstant, da dieser Punkt verankert
\end{itemize}
\item Rotation dieses Kooridinatensystem $\vec{\omega}$ gegenüber $K$
\item $\vec{v}_{n}'=0$
\item $\vec{a}_{n}'=0$
\end{itemize}
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Kinetische~Energie]\begin{eqnarray*}
T & = & \frac{1}{2}\sum m_{n}\left|\vec{v}_{n}\right|^{2}\\
 & = & \frac{1}{2}\sum_{n}m_{n}\left(\vec{\omega}\times\vec{x}_{n}'\right)^{2}\\
 & = & \frac{1}{2}\sum_{n}m_{n}\left(\left|\vec{\omega}\right|^{2}\left|\vec{x}_{n}'\right|^{2}-\left(\vec{\omega}\vec{x}_{n}'\right)^{2}\right)\\
 & = & {\scriptstyle \frac{1}{2}\sum_{\alpha,\beta=1}^{3}\left(\sum_{n=1}^{N}m_{n}\left(\left|x_{n}'\right|^{2}\delta_{\alpha\beta}-x_{n\alpha}'x_{n\beta}'\right)\omega_{\alpha}\omega_{\beta}\right)}\\
 & = & \frac{1}{2}\sum_{\alpha,\beta=1}^{3}J_{\alpha\beta}\omega_{\alpha}\omega_{\beta}\\
 & = & \frac{1}{2}\vec{\omega}^{T}\underline{J}\vec{\omega}\end{eqnarray*}

\end{description}
\begin{itemize}
\item $\left|\vec{\omega}\times\vec{x}_{n}'\right|^{2}=\left|\vec{\omega}\right|^{2}\left|\vec{x}_{n}'\right|^{2}-\left(\vec{\omega}\vec{x}_{n}'\right)^{2}$
\item $T_{rot}=\frac{1}{2}\vec{\omega}^{T}\underline{J}\vec{\omega}=const$
beschreibt einen Ellipsoiden, den \emph{Energieellipsoiden\index{Energieellipsoiden}}
\item $\vec{\nabla}_{\omega}\left(T_{rot}\right)=\underline{J}\vec{\omega}$
\end{itemize}

\paragraph{Trägheitstensor\index{Trägheitstensor} }

\begin{eqnarray*}
J & = & J^{T}\\
 & = & \sum_{n}m_{n}\left(\left|\vec{x}_{n}\right|\underline{1}-\vec{x}_{n}\vec{x}_{n}^{T}\right)\\
 & = & \sum_{n}m_{n}\left(\begin{array}{ccc}
y_{n}^{2}+z_{n}^{2} & -x_{n}y_{n} & -x_{n}z_{n}\\
-x_{n}y_{n} & x_{n}^{2}+z_{n}^{2} & -y_{n}z_{n}\\
-x_{n}z_{n} & -y_{n}z_{n} & x_{n}^{2}+y_{n}^{2}\end{array}\right)\end{eqnarray*}
\[
=\left(\begin{array}{ccc}
{\scriptscriptstyle \int_{V}dV\varrho\left(\vec{r}\right)\left(y^{2}+z^{2}\right)} & {\scriptstyle -\int_{V}dV\varrho\left(\vec{r}\right)xy} & {\scriptstyle -\int_{V}dV\varrho\left(\vec{r}\right)xz}\\
{\scriptstyle -\int_{V}dV\varrho\left(\vec{r}\right)xy} & {\scriptscriptstyle \int_{V}dV\varrho\left(\vec{r}\right)\left(x^{2}+z^{2}\right)} & {\scriptstyle -\int_{V}dV\varrho\left(\vec{r}\right)yz}\\
{\scriptstyle -\int_{V}dV\varrho\left(\vec{r}\right)xz} & {\scriptstyle -\int_{V}dV\varrho\left(\vec{r}\right)yz} & {\scriptscriptstyle \int_{V}dV\varrho\left(\vec{r}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)}\end{array}\right)\]


\begin{itemize}
\item $\underline{1}$ ist hier die Einheitsmatrix
\item $x,y,z$ sind Koordinaten bzgl. Drehpunkt!!
\item $J_{\alpha\beta}=\sum_{n=1}^{N}m_{n}\left(\left|x_{n}'\right|^{2}\delta_{\alpha\beta}-x_{n\alpha}'x_{n\beta}'\right)$
ist eine Matrix.
\item $J$ lässt sich Diagonalisieren:\[
\tilde{J}=\left(\begin{array}{ccc}
\tilde{J}_{11} & 0 & 0\\
0 & \tilde{J}_{22} & 0\\
0 & 0 & \tilde{J}_{33}\end{array}\right)\]


\begin{itemize}
\item die Einträge auf der Diagonalen sind die Eigenwerte von $J$.
\item die Eigenvektoren von $J$ bilden eine Basis. Die Eigenwerte sind
das jeweilige Trägheitsmoment um die Richtung der Eigenvektoren.
\item Die Eigenvektoren sind die \emph{Hauptträgheitsachen\index{Hauptträgheitsachen}}
\end{itemize}
\item $T_{rot}=\frac{1}{2}\left(\tilde{J}_{11}\omega_{a}^{2}+\tilde{J}_{22}\omega_{b}^{2}+\tilde{J}_{33}\omega_{c}^{2}\right)$
\item $1=\frac{1}{J_{e}}\vec{e}^{T}\underline{J}\vec{e}$ beschreibt den
\emph{Trägheitsellipsoiden}\index{Trägheitsellipsoiden}. Dies entspricht
einem normierten Energieellipsoiden. ($J_{e}$ ist Trägheitsmoment
in Richtung $J_{e}$ mit $\left|\vec{e}\right|=1$)
\item $J_{\alpha\beta}=0$ (mit $\alpha\neq\beta$) falls $\varrho$ Symmetrisch
bezüglich der $\alpha$ oder $\beta$ Achse
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Steinerscher-Satz\index{Scheinerscher-Satz}]$J_{ik}=M\left(R^{2}\delta_{ik}-R_{i}R_{k}\right)+J_{ik}^{*}$
\end{description}
\begin{itemize}
\item $J=M\left(\vec{R}^{2}\underline{1}-\vec{R}\vec{R}^{T}\right)+J^{*}$
\item $J_{ik}^{*}$ ist Trägheitstensor im Schwerpunkt
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Drehimpuls\index{Drehimpuls}]$\vec{L}=\underline{J}\vec{\omega}$
\end{description}
\begin{itemize}
\item i.a. $\vec{L}\nparallel\vec{\omega}$ 
\item Falls $\vec{\omega}'$ in Richtung der Hauptträgheitsachsen (Eigenvektoren
von $\underbar{J}$) zeigt ist $\vec{L}||\vec{\omega}'$.
\end{itemize}

\subsubsection{Dynamik des starren Körpers}

\begin{itemize}
\item Bewegung des Bezugspunktes.

\begin{itemize}
\item Ortsfest.
\item Im Ursprung des Koordinatensystems
\end{itemize}
\item Rotation um Bezugspunkt
\item Körperfestes Koordinatensystem $K'$
\item Koordinatenachsen in Richtung der Hauptträgheitsachsen
\item $L=\left(\begin{array}{ccc}
A & 0 & 0\\
0 & B & 0\\
0 & 0 & C\end{array}\right)$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Eulerschen~Kreiselgleichungen\index{Eulersche Kreiselgleichungen}]\begin{eqnarray*}
A\dot{\omega}_{1}+C\omega_{2}\omega_{3}-B\omega_{2}\omega_{3} & = & N_{1}'\\
B\dot{\omega}_{2}+A\omega_{1}\omega_{3}-C\omega_{1}\omega_{3} & = & N_{2}'\\
C\dot{\omega}_{3}+B\omega_{2}\omega_{1}-A\omega_{2}\omega_{1} & = & N_{3}'\end{eqnarray*}

\end{description}
\begin{itemize}
\item äquivalent zu \[
\frac{d\vec{L}'}{dt}+\vec{\omega}'\times\vec{L}'=\vec{N}'\]

\end{itemize}
\begin{description}
\item [Kräftefreier~Kreisel\index{Kreisel}]$\vec{N}=0$
\end{description}
\begin{itemize}
\item $2E=2T_{rot}=\vec{\omega}^{T}\underbar{J}\vec{\omega}=const$

\begin{itemize}
\item Energieellipsoid
\end{itemize}
\item $\vec{L}'\cdot\vec{L}'=\sum_{i=1}^{3}L_{i}^{'2}=const$

\begin{itemize}
\item Kugel mit Drehimpulserhaltung
\end{itemize}
\item Diese beiden Bedingungen müssen erhalten sein. D.h. die Lösung liegt
im Schnitt von Kugel mit Ellipsoid
\item Schnittlinien sind Kurven die die Hauptträgheitsachsen umschließen,
allerdings nur für Achsen mit größten und kleinsten Trägheitsmoment

\begin{itemize}
\item Rotation von $\vec{\omega}$ um diese Achsen ist Stabil (beschränkte
Reaktion) bei kleinen Störungen.
\end{itemize}
\item Rotation um Achse mit mittleren Trägheitsmoment: Bahn führt beliebig
weit weg
\end{itemize}
\begin{description}
\item [symmetrischer~Kreisel]$A=B\neq C$\begin{eqnarray*}
A\dot{\omega}_{1}+\left(C-A\right)\omega_{2}\omega_{3} & = & 0\\
A\dot{\omega}_{1}+\left(C-A\right)\omega_{1}\omega_{3} & = & 0\\
C\omega_{3} & = & 0\end{eqnarray*}

\end{description}
\begin{itemize}
\item $\omega_{3}=const$
\item die $\vec{e}_{z}'$ Ache um die dieser Körper symmetrisch ist, wird
Figurenachse genannt. analog für eine andere Achse.
\item $\omega_{\perp}=\sqrt{\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{1}}=const$
\item $\gamma=\frac{C-A}{A}\omega_{3}$
\item \begin{eqnarray*}
\omega_{1}\left(t\right) & = & a\cos\left(\gamma t\right)+b\sin\left(\gamma t\right)\\
\omega_{2}\left(t\right) & = & a\sin\left(\gamma t\right)-b\cos\left(\gamma t\right)\\
\omega_{3}\left(t\right) & = & c\end{eqnarray*}
mit $a,b,c\in\mathbb{R}$ konstant

\begin{itemize}
\item Dies beschreibt einen Kegel. Den \emph{Gangpolkegel\index{Gangpolkegel}}.
\end{itemize}
\item mit Anfangsbedingungen $t=0\Rightarrow\omega_{1}\neq0,\omega_{2}=0$\\
$a=\omega_{\perp}$, $b=0$\[
\vec{\omega}\left(t\right)=\left(\begin{array}{c}
\omega_{\perp}\cos\left(\gamma t\right)\\
\omega_{\perp}\sin\left(\gamma t\right)\\
\omega_{3}\end{array}\right)\]

\item \begin{eqnarray*}
\vec{L}' & = & \left(\begin{array}{c}
A\omega_{1}\\
B\omega_{3}\\
C\omega_{3}\end{array}\right)\\
 & = & \left(\begin{array}{c}
A\omega_{\perp}\cos\left(\gamma t\right)\\
B\omega_{\perp}\sin\left(\gamma t\right)\\
C\omega_{3}\end{array}\right)\\
 & = & A\vec{\omega}+\left(C-A\right)\omega_{3}\vec{e}_{z}\end{eqnarray*}


\begin{itemize}
\item $\vec{L}',\vec{\omega},\vec{e}_{3}$ liegen immer in einer Ebene!

\begin{itemize}
\item für $A>C$ liegt der Gangpolkegel innerhalb des $\vec{L}$ Kegels
\item für $A<C$ liegt der Gangpolkegel außerhalb des $\vec{L}$ Kegels
\end{itemize}
\item $\vec{L}'\neq0$ weil wir uns nicht in ortsfesten Koordinaten befinden.
In diesen würde $\vec{L}=0$ gelten
\end{itemize}
\item diese Beschreibungen gelten so nur im Körperfesten System mit den
Hauptträgheitsachsen als Korrdinatenachsen
\end{itemize}
\begin{description}
\item [in~Raumfesten~Koordinaten]sehen diese Gebilde anders aus. Hierzu
siehe \url{http://de.wikipedia.org/wiki/Präzession}.
\end{description}
\begin{itemize}
\item Der Gangpolkegel rollt auf einem sogenannten \emph{Rastpolkegel\index{Rastpolkegel}}
mit der Kreisfrequenz $-\gamma$ um die $\vec{L}$ Achse ab. Dabei
bewegt sich der $\vec{\omega}$ Vektor auf dem sogenannten \emph{Nutationskegel\index{Nutationskegel}}.
Für $A=B>C$ wird von aussen, für $A=B<C$ von innen abgerollt.
\item $\vec{\omega}_{3}\frac{C-A}{A}=\gamma$
\end{itemize}

\section{Lagrange Mechanik\index{Lagrange Mechanik}}


\subsection{Begriffsbildung}

\begin{itemize}
\item Neue Formulierung der Mechanik
\item besonders effizient für eingeschränkte Bewegung

\begin{itemize}
\item Fläche
\item Kurve
\end{itemize}
\item Im Allgemeinen muss man für $N$ Massenpunkte $3N$ gekoppelte DGL's
lösen
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Zwangsbedingungen\index{Zwangsbedingungen}]Bedingungen die die
Bewegung der Teilchen einschränken
\end{description}
\begin{itemize}
\item geometrische Betrachtungen
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Zwangskräfte\index{Zwangskräfte}]Sind Kräfte die die Zwangsbedingungen
bewirken
\end{description}
\begin{itemize}
\item z.B. Auflage Kraft, Faden Spannung, ...
\item auch \emph{verlorene Kräfte\index{verlorene Kräfte}} genannt
\end{itemize}
\begin{description}
\item [holonome~Zwangsbedingungen\index{holonome Zwangsbedingungen}]lassen
sich schreiben als Gleichung der Form\[
f\left(\vec{x},\ldots,\vec{x}_{N},t\right)=0\]

\end{description}
\begin{itemize}
\item man kann maximal $3N$ unabhängige $f_{i}$ haben

\begin{description}
\item [skleronom\index{skleronom}]nennt sich $f$ falls\[
\frac{\partial f}{\partial t}=0\]

\end{description}
\begin{itemize}
\item skleronom = hart
\end{itemize}
\begin{description}
\item [rheonom\index{rheonom}]anderenfalls, also\[
\frac{\partial f}{\partial t}\neq0\]

\end{description}
\end{itemize}
\begin{description}
\item [nicht-holonom\index{nicht-holonom}]nennen sich Zwangsbedingungen
die sich nicht als ein solches $f$ schreiben lassen
\end{description}
\begin{itemize}
\item z.B. Beschränkungen des Ortes mit $\le$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [generalisierte~Koordinaten\index{generalisierte Koordinaten}]$q_{i}$
\end{description}
\begin{itemize}
\item Anzahl = $s=3N-k$
\item $N$ anzahl der Teilchen
\item $k$ anzahl der Zwangsbedingungen
\item $s$ Anzahl der noch wirklich frei wählbaren Koordinaten, den generalisierten
Koordinaten
\end{itemize}

\subsection{Lagrange 1. Art\index{Lagrange 1. Art}}

\[
m\ddot{\vec{x}}^{i}=\vec{F}^{i}+\sum_{j=1}^{k}\lambda_{j}\vec{\nabla}_{i}f_{j}\]


\begin{itemize}
\item $f_{i}\left(\vec{x}^{1},\ldots,\vec{x}^{N},t\right)=0$ mit $i=1,\ldots.k$
den Zwangsbedingungen
\item so erhält man $3N+k$ Bestimmungsgleichungen und kann somit dies für
die $3N+k$ Unbekannten lösen.
\item $\lambda_{i}$ sind die zusätzlichen $k$ Unbekannten.
\item $\vec{\nabla}_{i}$ Ableitungen nach den Koordinaten des $i$-ten
Teilchens
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Bewegungsgleichung]$m\ddot{\vec{x}}=\vec{F}+\vec{F}'=\vec{F}+\lambda\vec{\nabla}f$
\end{description}
\begin{itemize}
\item $\vec{F}'=\lambda\vec{\nabla}f$ ist die einschränkende Zwangskraft
die aus der Zwangsbedingung $f$ folgt
\item $\lambda$ ist der zugehörige \emph{Lagrange Multiplikator\index{Lagrange Multiplikator}}
\end{itemize}
\begin{description}
\item [skleronom\index{skleronom}]entspricht einer ruhenden Fläche\[
0=\frac{1}{m}\left(\vec{F}+\lambda\vec{\nabla}f\right)\vec{\nabla}f+\dot{\vec{x}}\vec{\nabla}\left(\vec{\nabla}f\cdot\dot{\vec{x}}\right)\]

\item [Arbeit\index{Arbeit}]wird von Zwangskräften nicht verrichtet\[
dW=F'd\vec{x}=0\]

\end{description}
\begin{itemize}
\item falls $\vec{F}$ konservativ gilt weiterhin der Energiesatz!
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Virtuelle~Arbeit\index{virtuelle Arbeit}]$\delta W=\vec{F}\cdot\delta\vec{x}$
\item [Gleichgewicht\index{Gleichgewicht}]befindet sich ein Massenpunkt
falls für alle $\delta\vec{x}$, die kompatipel mit Zwangsbedingungen
sind, gilt \[
\delta W=0\]

\end{description}
\begin{itemize}
\item Im Gleichgewicht hat $V$ (Pot. Energie) ein Extremum
\end{itemize}
\begin{description}
\item [virtuelle~Verrückung\index{Verrückung}\index{virtuelle Verrückung}]$\delta\vec{x}$
ist instantane Verschiebung im Zeitraum $\delta t=0$
\end{description}
\begin{itemize}
\item nicht notwendigerweise mit Bewegungsablauf verbunden, aber unter Berücksichtigung
der Zwangsbedingungen
\end{itemize}

\subsection{d'Alembertsches Prinzp und Lagrange 2ter\index{Lagrange 2ter Art}
Art}


\paragraph{Identitäten}

\begin{itemize}
\item $\frac{\partial\dot{\vec{x}}_{i}}{\partial\dot{q}_{j}}=\frac{\partial\vec{x}_{i}}{\partial q_{j}}$
\item $\delta\vec{x}_{i}=\sum_{j=1}^{s}\frac{\partial\vec{x}_{i}}{\partial q_{j}}\delta q_{j}$
\item $\frac{d}{dt}\frac{\partial\vec{x}_{i}}{\partial q_{j}}=\frac{\partial\dot{\vec{x}}_{i}}{\partial q_{j}}$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Generalisierte~Kraft]$Q_{j}=\sum_{i=1}^{N}\vec{F}_{i}\frac{\partial\vec{x}_{i}}{\partial q_{j}}$\[
\delta W_{F}=\sum_{j=1}^{s}Q_{j}\delta q_{j}\]

\end{description}
\begin{itemize}
\item $Q$ hat nicht unbedingt die Dimension einer Kraft
\item Falls ein Potential $V$ existiert gilt:\[
Q_{j}=-\frac{\partial V}{\partial q_{j}}\]

\item \begin{eqnarray*}
\sum_{i=1}^{N}m_{i}\ddot{\vec{x}}_{i}\delta\vec{x}_{i} & = & {\scriptscriptstyle \sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{S}\frac{m_{i}}{2}\left(\frac{d}{dt}\frac{\partial}{\partial\dot{q}_{j}}\left|\dot{\vec{x}}_{i}\right|^{2}-\frac{\partial}{\partial q_{j}}\left|\dot{\vec{x}}_{i}\right|^{2}\right)\delta q_{j}}\\
 & = & \sum_{i=1}^{N}\left(\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial\dot{q}_{j}}-\frac{\partial T}{\partial q_{j}}\right)\delta q_{j}\end{eqnarray*}

\item Kinetische Energie $T=\sum_{i=1}^{N}\frac{m_{i}}{2}\left|\dot{\vec{x}}_{i}\right|^{2}$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Langrange~Funktion]$L=T-V$
\end{description}
\begin{itemize}
\item $T$ Kinetische Energie
\item $V$ Potentielle Energie
\end{itemize}
\begin{description}
\item [d'Alembertsches~Prinzip\index{d'Alembertsches Prinzip}]$\delta W=\vec{F}'\delta\vec{x}=m\ddot{\vec{x}}-\vec{F}=0$
\end{description}
\begin{itemize}
\item $\sum_{i=1}^{N}\left(m_{i}\ddot{\vec{x}}_{i}-\vec{F}_{i}\right)\delta\vec{x}_{i}=0$
für \emph{alle} möglichen $\delta\vec{x}_{i}$
\item Insgesamt\[
\sum_{i=1}^{N}\left(\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial\dot{q}_{j}}-\frac{\partial T}{\partial q_{j}}-Q_{j}\right)\delta q_{j}=0\]

\item da alle $\delta q_{j}$ voneinander unabhängig sind und diese Gleichung
für alle $\delta q_{j}$ (innerhalb der Bedingungen) gelten soll folgt
daraus, dass für alle $j=1,\ldots,s$ gilt:\[
\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial\dot{q}_{j}}-\frac{\partial T}{\partial q_{j}}=Q_{j}\]

\item \emph{Falls ein Potential $V$ existiert} reduziert sich dies auf\[
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{j}}-\frac{\partial L}{\partial q_{j}}=0\]
 mit $j=1,\ldots,s$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Vorgehen]im Allgemeinen
\end{description}
\begin{enumerate}
\item Bestimme die Anzahl der Freiheitsgerade $s=3N-k$ 
\item Wähle die $q_{i}$ 
\item Bestimme $T$ und $V$ in $q_{i}$ und $\dot{q}_{i}$ $\Rightarrow$
$L=T-V$ 
\item Bestimme Langrange Gleichung 2.ter Art und löse sie
\end{enumerate}
\begin{description}
\item [Verallgemeinerter~Impuls\index{Impuls}\index{Verallgemeinerter Impuls}]$p_{i}=\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{i}}$
\end{description}
\begin{itemize}
\item $\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=0\Rightarrow p_{i}=const$

\begin{itemize}
\item Die $q_{i}$ für die diese Gleichung gilt heißen \emph{zyklische Variablen\index{zyklische Variablen}}
\end{itemize}
\end{itemize}

\section{Hamiltonsche Formulierung der Mechanik}

\begin{itemize}
\item Mathematische Struktur
\item Grundlage der Quantenmechanik
\item Bewegungen sind 1. Ordnung (numerisch besser)
\item Benötigt: Variationsrechnung
\end{itemize}

\subsection{Variationsproblem\index{Variationsproblem}}

\begin{description}
\item [Ziel]mache das folgende Integral\[
I=\int_{x_{1}}^{x_{2}}dx\, f\left(x,y_{1},\ldots,y_{n},y_{1}',\ldots,y_{n}'\right)\]
 extremal mit Hilfe eines optimalen Weges machen \[
\vec{y}\left(x\right)=\left(y_{1}\left(x\right),\ldots,y_{n}\left(x\right)\right)\]

\item [Euler-Gleichung\index{Euler-Gleichung}]Die Lösung der folgenden
DGL's ist ein äquivalentes Ziel: \[
\forall i:\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial y_{i}'}\right)-\frac{\partial f}{\partial y_{i}}=0\]

\end{description}
\begin{itemize}
\item Spezialfall mit $n=1$, und $f$ ist nicht explizit von $x$ abhängig
($\frac{\partial f}{\partial x}=0$), gilt: \[
f-\frac{\partial f}{\partial y'}y'=const\]
 falls $y$ die Euler-Gleichung löst.
\item Lagrange-Gleichungen können als Lösung eines Variationsproblems interpretiert
werden.
\end{itemize}

\subsection{Das Hamiltonische\index{Hamiltonische Prinzip} Prinzip}

\begin{itemize}
\item Prinzip der kleinsten Wirkung
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Wirkungsintegral\index{Wirkungsintegral}]\[
s=\int_{t_{1}}^{t_{2}}dt\, L\left(t,\vec{q},\dot{\vec{q}}\right)\]

\end{description}
\begin{itemize}
\item $L=T-V$ in abhängigkeit von den Verallgemeinerten Koordinaten $\vec{q}=\left\{ q_{1},\ldots,q_{n}\right\} $
\item \emph{Wirkung\index{Wirkung}} $s$
\item Die Bahn eines durch die Lagrangefunktion $L\left(t,\vec{q},\dot{\vec{q}}\right)$
beschriebenen Systems ist gegeben durch Extremum der Wirkung $s$\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{i}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{i}} & = & 0\\
 & \Leftrightarrow\\
\delta s & = & \delta\int_{t_{1}}^{t_{2}}dt\, L\left(t,\vec{q},\dot{\vec{q}}\right)=0\end{eqnarray*}

\end{itemize}
\begin{description}
\item [Eichfreiheit\label{des:Eichfreiheit}\index{Eichfreiheit}]$L$
nur bestimmt bis auf eine totale Zeitableitung einer Funktion $G\left(\vec{q},t\right)$.\[
\tilde{L}=L+\frac{d}{dt}G\left(\vec{q},t\right)\]
$L,\tilde{L}$ führen auf die gleichen Bewegungsgleichungen.
\item [Vorteile]des Hamiltonischen Prinzips
\end{description}
\begin{itemize}
\item es ist kompakt + elegant
\item es ist immer von gleicher Form, unabhängig von der Wahl eines Koordinatensystems
\item läßt sich relativistisch verallgemeinern, anwendbar in Quantenmechanik
\item anwendbar in Kontinuumsmechanik, Elektrodynamik (funktioniert auch
für Felder!)
\end{itemize}

\subsubsection{Invarianzen und Erhaltungssätze}

\begin{description}
\item [Verallgemeinerte~Koordinaten]werden Transformiert von $q_{i}\left(t\right)\mapsto q_{i}\left(t,\gamma\right)$
mit $\gamma\in\mathbb{R}$.
\end{description}
\begin{itemize}
\item Wir erhalten also eine Geradenschaar
\item $q\left(t,\gamma\right)$ muss so beschaffen sein, das die Lagrangegleichung
für alle $\gamma\in\mathbb{R}$ erfüllt ist
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Invariant]unter der Transformation von $q_{i}\left(t\right)\mapsto q_{i}\left(t,\gamma\right)$
ist\[
\sum_{i=1}^{s}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{i}}\left.\frac{\partial q_{i}}{\partial\gamma}\right|_{\gamma=0}=const\]

\end{description}
\begin{itemize}
\item auch \emph{Noether Theorem\index{Noether Theorem}} genannt
\item Hierraus folgt aus:

\begin{description}
\item [Translationsinvarianz\index{Translationsinvarianz}]freie Ursprungswahl
im Raum die \emph{Impulserhaltung\index{Impulserhaltung}}
\item [Rotationsinvarianz\index{Rotationsinvarianz}]\emph{isotropie\index{isotropie}}
des Raumes (Richtungsunabhängigkeit) die \emph{Drehimpulserhaltung\index{Drehimpulserhaltung}}
\item [Zeitverschiebung\index{Zeitverschiebung}]Energieerhaltung
\item [Gallileiinvarianz\index{Gallileiinvarianz}]Schwerpunktsimpulserhaltung
$\vec{R}\left(t\right)=\vec{R}_{0}+\frac{1}{M}\vec{P}t$
\end{description}
\end{itemize}
\hfill{}\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline 
\#&
Erhaltungsgröße&
Transformation\tabularnewline
\hline
\hline 
3&
$\vec{P}=const$&
$\vec{x}_{i}'=\vec{x}_{i}+\vec{a}$\tabularnewline
\hline 
3&
$\vec{L}=const$&
$\vec{x}_{i}'=\underline{D}\vec{x}_{i}$\tabularnewline
\hline 
1&
$E=const$&
$t'=t+\tau$\tabularnewline
\hline 
3&
$M\vec{R}-\vec{P}t=const$&
$\vec{x}_{i}'=\vec{x}_{i}+\vec{v}t$\tabularnewline
\hline
\end{tabular}\hfill{}

\begin{description}
\item [allgemeines~Noether~Theorem]\begin{eqnarray*}
q\left(t\right) & \rightarrow & q\left(t,\gamma\right)\\
L\left(q\left(t,\gamma\right),\dot{q}\left(t,\gamma\right),t\right) & = & L\left(q\left(t\right),\dot{q}\left(t\right),t\right)\\
 &  & +\frac{d}{dt}G\left(q\left(t,\gamma\right),t\right)\end{eqnarray*}

\end{description}
\begin{itemize}
\item siehe \vref{des:Eichfreiheit} (\emph{Eichfreiheit}\index{Eichfreiheit}).
\item Invariant ist damit\[
\sum_{i=1}^{s}\left.\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{i}}\frac{\partial q_{i}}{\partial\gamma}\right|_{\gamma=0}-\left.\frac{\partial}{\partial\gamma}G\left(q,t\right)\right|_{\gamma=0}=const\]

\end{itemize}

\subsubsection{Hamilton Funktion}

\begin{eqnarray*}
H\left(q,p,t\right) & = & \sum_{i=1}^{s}\dot{q}_{i}p_{i}-L=\vec{\dot{q}}\vec{p}-L\end{eqnarray*}


\begin{itemize}
\item $p_{i}=\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{i}}$ verallgemeinerter
Impuls
\item $L=\vec{\dot{q}}\vec{p}-H$
\item $H$ ist die negative Legendre Transformierte von $L$
\end{itemize}

\subsubsection{Legendre Transformation\index{Legendre Transformation}}

\begin{description}
\item [gegeben]$f\left(x,y\right)$
\item [gesucht]$g\left(u,y\right)$ mit $u=\frac{\partial f}{\partial x}$
wobei $u,y$ unabhängig sind
\end{description}
\[
g=f-ux\]


\begin{description}
\item [Rücktransformation]$f=g-u\frac{dg}{du}$
\end{description}

\subsubsection{Hamiltonische Bewegungsgleichungen\index{Hamiltonsiche Bewegungsgleichungen}}

\begin{eqnarray*}
\dot{p}_{i} & = & -\frac{\partial H}{\partial q_{i}}\\
\dot{q}_{i} & = & \frac{\partial H}{\partial p_{i}}\end{eqnarray*}


\begin{itemize}
\item die ersten beiden Gleichungen ergeben $2s$ DGL. 1.Ordnung. Dies sind
doppelt so viele wie bei Lagrange 2, allerdings dafür nur von der
{}``halben'' Ordnung. Dies ist numerisch günstiger
\item $\frac{dH}{dt}=\frac{\partial H}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t}$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Phasenraum\index{Phasenraum}]$\Gamma=\left(q,p\right)$ $2s$ Dimensional
\item [Energie]$H\left(q,p,t\right)=E=$ Gesamtenergie
\end{description}
\begin{itemize}
\item Falls $E=const\Rightarrow\dot{H}=0$ ist die Lösung eine $2s-1$ dimensionale
Hyperfläche in $\Gamma$
\end{itemize}

\subsubsection{Poisson-Klammern}

Man definiert für ein physikalisches System mit $s$ verallgemeinerten
Koordinaten $q_{k}$ und $s$ verallgemeinerten Impulsen $p_{k}$,
$k=1,\ldots,s$, für zwei Funktionen $f\left(\vec{q},\vec{p},t\right),\, g\left(\vec{q},\vec{p},t\right)$
die \emph{Poisson-Klammer\index{Poisson-Klammern}}\[
\left\{ f,g\right\} =\sum_{k=1}^{s}\left(\frac{\partial f}{\partial q_{k}}\frac{\partial g}{\partial p_{k}}-\frac{\partial g}{\partial q_{k}}\frac{\partial f}{\partial p_{k}}\right)\]


\begin{itemize}
\item $\frac{df}{dt}=\left\{ f,H\right\} +\frac{\partial f}{\partial t}$
\item $\dot{q}_{k}=\left\{ q_{k},H\right\} $ und $\dot{p}_{k}=\left\{ p_{k},H\right\} $
\item $\left\{ q_{i},p_{j}\right\} =\delta_{ij}$
\item $\left\{ a,b\right\} =-\left\{ b,a\right\} $
\item $\left\{ a,\left\{ b,c\right\} \right\} +\left\{ b,\left\{ c,a\right\} \right\} +\left\{ c,\left\{ a,b\right\} \right\} =0$
\item Gilt $\dot{A}=\dot{B}=0$, dann auch $\frac{d}{dt}\left\{ A,B\right\} =0$
\item Gilt $\dot{F}=\dot{H}=0$, dann auch $\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial t}=0$
\end{itemize}

\section{Elektrostatik\index{Elektrostatik}}


\subsection{Diracsche $\delta$-Funktion}


\subsubsection{Eindimensional}

\begin{description}
\item [Lorentzfunktion]$L_{\eta}\left(x\right)=\frac{1}{\pi}\frac{\eta}{\eta^{2}+\left(x-a\right)^{2}}$
mit $\eta>0$
\end{description}
\begin{itemize}
\item Höhe des Maximums $\frac{1}{\pi\eta}$
\item Stelle des Maximums $a$
\item Breite (Halbwertsbreite) $2\eta$
\item $\forall x\neq0:\lim_{\eta\rightarrow o^{+}}L_{\eta}\left(x-a\right)=0$
\item $\lim_{\eta\rightarrow0^{+}}\int_{\alpha}^{\beta}dx\, L_{\eta}\left(x\right)=\begin{cases}
1 & a\in\left(\alpha,\beta\right)\\
0 & \textrm{sonst}\end{cases}$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Diracsche~$\delta$-Funktion\index{Diracsche $\delta$-Funktion}]\[
\delta\left(x-a\right)=\lim_{\eta\rightarrow o^{+}}\frac{1}{\pi}\frac{\eta}{\eta^{2}+\left(x-a\right)^{2}}\]

\end{description}
\begin{itemize}
\item $\int_{\alpha}^{\beta}dx\,\delta\left(x-a\right)=\begin{cases}
1 & a\in\left(\alpha,\beta\right)\\
0 & \textrm{sonst}\end{cases}$
\item Achtung! Reihenfolge des Grenzwertbildung beachten
\item ist eigentlich keine Funktion, da für $x=a$ nicht definiert, sondern
eine \emph{Distribution}
\item $f\left(x\right)$ sei stetige Funktion\\
$\int_{\alpha}^{\beta}dx\, f\left(x\right)\delta\left(x-a\right)=\begin{cases}
f\left(a\right) & a\in\left(\alpha,\beta\right)\\
0 & \textrm{sonst}\end{cases}$
\item $\delta\left[f\left(x\right)\right]=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\left|f'\left(x_{i}\right)\right|}\delta\left(x-x_{i}\right)$\\
mit $f\left(x_{i}\right)=0$ und $f'\left(x_{i}\right)\neq0$
\item $g\left(x\right)\delta\left(x-a\right)=g\left(a\right)\delta\left(x-a\right)$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Ableitung]$\int_{\alpha}^{\beta}dx\, f\left(x\right)\delta'\left(x-a\right)=\begin{cases}
-f'\left(a\right) & a\in\left(\alpha,\beta\right)\\
0 & \textrm{sonst}\end{cases}$ 
\end{description}
\begin{itemize}
\item $f\left(x\right)\delta'\left(x-a\right)=-f'\left(a\right)\delta\left(x-a\right)$
\item $\delta\left(x-a\right)=\frac{d}{dx}\Theta\left(x-a\right)$
\item Heavyside vs. Dirac\begin{eqnarray*}
\int_{\alpha}^{\beta}dx\frac{d}{dx}\Theta\left(x-a\right) & = & \int_{\alpha}^{\beta}dx\,\delta\left(x-a\right)\\
 & = & \left.\Theta\left(x-a\right)\right|_{\alpha}^{\beta}\\
 & = & \begin{cases}
1 & a\in\left(\alpha,\beta\right)\\
0 & \textrm{sonst}\end{cases}\end{eqnarray*}

\end{itemize}
\begin{description}
\item [Heavyside~Funktion\index{Heavyside Funktion}]\[
\Theta\left(x\right)=\int_{-\infty}^{x}dx'\,\delta\left(x'\right)=\begin{cases}
1 & x>0\\
0 & x\le0\end{cases}\]

\end{description}
\begin{itemize}
\item auch \emph{Stufenfunktion\index{Stufenfunktion}} genannt
\end{itemize}

\subsubsection{Mehrdimensional}

\begin{itemize}
\item $\delta\left(\vec{x}-\vec{x}_{0}\right)=0$ für $\vec{x}\neq\vec{x}_{0}$ 
\item $\int_{V}d^{3}\vec{x}\,\delta\left(\vec{x}-\vec{x}_{0}\right)=\begin{cases}
1 & \vec{x}_{0}\in V\\
0 & \textrm{sonst}\end{cases}$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Kartesisch]\[
\delta\left(\vec{x}-\vec{x}_{0}\right)=\delta\left(x-x_{0}\right)\cdot\delta\left(y-y_{0}\right)\cdot\delta\left(z-z_{0}\right)\]

\item [Orthogonal~Krummliniege~Koordinaten]$\delta\left(\vec{x}-\vec{x}_{0}\right)=\frac{\delta\left(x-x_{0}\right)\cdot\delta\left(y-y_{0}\right)\cdot\delta\left(z-z_{0}\right)}{h_{1}\left(\vec{x}_{0}\right)\cdot h_{2}\left(\vec{x}_{0}\right)\cdot h_{3}\left(\vec{x}_{0}\right)}$
\end{description}
\begin{itemize}
\item $h_{i}=\left|\frac{\partial\vec{x}}{\partial u_{i}}\right|$ Maßzahl
\item Kugelkoordinaten \[
\delta\left(\vec{x}-\vec{x}_{0}\right)=\frac{\delta\left(r-r_{0}\right)\cdot\delta\left(\varphi-\varphi_{0}\right)\cdot\delta\left(\theta-\theta_{0}\right)}{r_{0}^{2}\sin\theta_{0}}\]

\end{itemize}
\begin{description}
\item [Interessantes]indem $\delta$ vorkommt
\end{description}
\begin{itemize}
\item $\triangle_{x}\frac{1}{\left|\vec{x}-\vec{x}'\right|}=-4\pi\delta\left(x-\vec{x}'\right)$
\item $\vec{\nabla_{x}}\frac{\vec{x}-\vec{x}'}{\left|\vec{x}-\vec{x}'\right|^{3}}=4\pi\delta\left(\vec{x}-\vec{x}'\right)$
\end{itemize}

\subsection{Grundlagen}

\begin{description}
\item [Ladung\index{Ladung}]$Q=\sum_{i}q_{i}=n\cdot e=\int_{V}d^{3}\vec{x}\varrho\left(\vec{x}\right)$
\end{description}
\begin{itemize}
\item $n\in\mathbb{Z}$
\item $e=1,602\cdot10^{-19}C$

\begin{description}
\item [Elektron\index{Elektron}]$n=-1$
\item [Proton\index{Proton}]$n=+1$
\end{description}
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Ladungsdichte\index{Ladungsdichte}]von Punktladung $\varrho\left(\vec{x}\right)=q\delta\left(\vec{x}-\vec{x}_{0}\right)$
\item [Stromdichte\index{Stromdichte}]$\vec{j}=\frac{I}{A}\vec{e}_{j}$
\item [Coulombgesetz\index{Coulombgesetz}]$\vec{F}_{12}=kq_{1}q_{2}\frac{\vec{x}_{1}-\vec{x}_{2}}{\left|\vec{x}_{1}-\vec{x}_{2}\right|^{3}}$
\end{description}
\begin{itemize}
\item Kräfte unterliegen dem Superpositonsprinzip
\item im $SI$-System gilt 

\begin{itemize}
\item $1C=1As$
\item $1V=1\frac{Nm}{As}$
\item $k=10^{-7}c^{2}\frac{N}{A^{2}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}$
\end{itemize}
\end{itemize}
\begin{description}
\item [E-Feld\index{E-Feld}]$\vec{E}=\lim_{q\rightarrow0}\frac{\vec{F}}{q}$
\end{description}
\begin{itemize}
\item Kraft am Ort $\vec{x}$ auf die Probeladung $q$
\item $\vec{F}=q\vec{E}$
\item $\vec{E}\left(\vec{x}\right)=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\int_{V}d^{3}\vec{x}'\varrho\left(\vec{x}'\right)\frac{\vec{x}-\vec{x}'}{\left|\vec{x}-\vec{x}'\right|^{3}}$

\begin{itemize}
\item für Kontinueriliche Ladungsverteilung geht dies ebenfalls mit\\
$\varrho\left(\vec{x}\right)=\sum_{i=1}^{N}q_{i}\delta\left(\vec{x}-\vec{x}_{i}\right)$
\end{itemize}
\item $\vec{E}$ ist Wirbelfrei $\Leftrightarrow$ $\vec{\nabla}\times\vec{E}=0$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [el.~Potential\index{Potential!elektrisch}\index{el. Potential}]$\vec{E}\left(\vec{x}\right)=-\vec{\nabla}\phi\left(\vec{x}\right)$
\end{description}
\begin{itemize}
\item $\phi\left(\vec{x}\right)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\int_{V}d^{3}\vec{x}'\,\varrho\left(\vec{x}'\right)\frac{1}{\left|\vec{x}-\vec{x}'\right|}$
\item Pot. Energie $V\left(\vec{x}\right)=q\cdot\phi\left(\vec{x}\right)$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Polarisierbarkeit\index{Polarisierbarkeit}]$\alpha=\left.\frac{d\left|\vec{p}\right|}{dE_{0}}\right|_{E_{0}=0}$
\item [Spannung\index{Spannung}]\[
U\left(\vec{x},\vec{x}_{0}\right)=\int_{\vec{x}_{0}}^{\vec{x}}d\vec{x}'\,\vec{E}\left(\vec{x}'\right)=-\left(\phi\left(\vec{x}\right)-\phi\left(\vec{x}_{0}\right)\right)\]

\end{description}

\paragraph{Feldgleichungen der Elektrostatik / Maxwell\index{Maxwell} Gleichungen
der Elektrostatik}

Gelten wie im Folgenden im Vakuum

\begin{itemize}
\item Differenzielle Form\begin{eqnarray*}
\vec{\nabla}\cdot\vec{E}\left(\vec{x}\right) & = & \frac{1}{\varepsilon_{0}}\varrho\left(\vec{x}\right)\\
\vec{\nabla}\times\vec{E}\left(\vec{x}\right) & = & 0\end{eqnarray*}

\item Integralform\begin{eqnarray*}
\oint_{\partial V}d\vec{\sigma}\cdot\vec{E} & = & \frac{1}{\varepsilon_{0}}Q\\
\oint_{\partial S}d\vec{x}\cdot\vec{E} & = & 0\end{eqnarray*}

\end{itemize}
\begin{description}
\item [Poisson-Gleichung\index{Poisson-Gleichung}]fasst die Maxwellgleichungen
zusammen\[
\triangle\phi\left(\vec{x}\right)=-\frac{1}{\varepsilon_{0}}\varrho\left(\vec{x}\right)\]

\end{description}
\begin{itemize}
\item Singularitäten in $\varrho$ werden hiermit auf $0$ abgebildet! An
diesen stellen muss mittels Gausschem Satz die Ladungsverteilung seperat
ermittelt werden.
\item Inhomogene, lineare, partielle DGL 2. Ordnung
\item Probleme der Lösung: {}``Grundproblem der Elektrostatik''
\item allgemeine Lösung der Poisson-Gleichung ist eine Summe aus einer Speziellen
Lösung der Poisson-Gleichung plus allgemeine Lösung der Laplace-Gleichung
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Laplace-Gleichung\index{Laplace-Gleichung}]gilt wenn im Raum keine
Ladungen vorhanden sind\[
\triangle\phi\left(\vec{x}\right)=0\]

\end{description}

\subsection{Feldverhalten an Grenzflächen\index{Grenzfläche}}

\begin{description}
\item [Tangentialkomponente]des $\vec{E}$-Feldes ist stetig beim Durchgang
durch Grenzfläche, auch mit Ladung auf der Fläche.
\end{description}
\begin{itemize}
\item auf leitender Oberfläche hat das $\vec{E}$-Feld keine Normalkomponente.
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Normalkomponente]des $\vec{E}$-Feldes kann beim Durchgang durch
Grenzfläche (Normalenvektor $\vec{n}$) unstetig sein, Betrag ist
durch Flächenladungsdichte $\sigma$ gegeben.\[
\vec{n}\left(\vec{E}_{a}-\vec{E}_{i}\right)=\frac{1}{\varepsilon_{0}}\sigma\]

\end{description}
\begin{itemize}
\item ist also nicht stetig, falls Ladungen vorhanden
\end{itemize}

\subsection{Feldenergie\index{Feldenergie}}

Die Energie einer auf einem \emph{endlichen} Raumbereich begrenzten
Ladungskonfiguration $\varrho\left(\vec{x}\right)$ entspricht genau
der Arbeit, die nötig ist, um Ladungen aus dem unendlichen $\left(R\rightarrow\infty\right)$
zu dieser Konfiguration zusammenzuführen. Konvention $\phi\left(R\rightarrow\infty\right)\rightarrow0$

\begin{description}
\item [Punktladung\index{Punktladung}]\[
W=\frac{1}{8\pi\varepsilon_{0}}\sum_{{{i,j=1\atop i\neq j}}}^{N}\frac{q_{i}q_{j}}{\left|\vec{x}_{i}-\vec{x}_{j}\right|}\]

\item [Kontinuum]\begin{eqnarray*}
W & = & \frac{1}{8\pi\varepsilon_{0}}\int d^{3}\vec{x}'\int d^{3}\vec{x}\frac{\varrho\left(\vec{x}'\right)\varrho\left(\vec{x}\right)}{\left|\vec{x}'-\vec{x}\right|}\\
 & = & \frac{1}{2}\int d^{3}\vec{x}\varrho\left(\vec{x}\right)\phi\left(\vec{x}\right)\\
 & = & -\frac{\varepsilon_{0}}{2}\int d^{3}\vec{x}\phi\left(\vec{x}\right)\left(\triangle\phi\left(\vec{x}\right)\right)\\
 & = & \frac{\varepsilon_{0}}{2}\int d^{3}\vec{x}\left|\vec{E}\left(\vec{x}\right)\right|^{2}\\
 & = & \int d^{3}\vec{x}\, w\left(\vec{x}\right)\end{eqnarray*}

\end{description}
\begin{itemize}
\item gilt nur für stetige Ladungsverteilung

\begin{itemize}
\item naja, aber Stufenfunktion \& Punktladung geht trotzdem
\end{itemize}
\item nur wenn Ladung nur auf endliches Gebiet verteilt ist
\item $\vec{F}=-\vec{\nabla}W$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Energiedichte\index{Energiedichte}]$w\left(\vec{x}\right)=\frac{\varepsilon_{0}}{2}\left|\vec{E}\left(\vec{x}\right)\right|^{2}$
\end{description}

\subsection{Multipolentwicklung\index{Multipolentwicklung}}

\begin{description}
\item [Problem]Berechnen des Potentials einer Komplizierten, aber räumlich
begrenzten Ladungsverteilung (im unbegrenzten Raum)
\end{description}
\begin{itemize}
\item $\varrho\left(\vec{r}\right)\neq0$ für $\left|\vec{r}\right|<R$\\
$\varrho\left(\vec{r}\right)=0$ für $\left|\vec{r}\right|\ge R$
\item keine Randbedingungen
\item Gesucht ist Potential $\phi\left(\vec{r}\right)$ für $\left|\vec{r}\right|\gg R$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [ExpNabla\index{ExpNabla}]ist nur eine abkürzende Schreibweise.
Sie wird für mehrdimensionales Taylern benötigt. 
\end{description}
\begin{itemize}
\item Taylern mit Nabla\[
f\left(\vec{x}+\vec{a}\right)=\exp\left(\vec{a}\vec{\nabla}\right)f\left(\vec{x}\right)\]

\item Bsp\[
\frac{1}{\left|\vec{r}-\vec{r}'\right|}=\exp\left(-\vec{r}'\vec{\nabla}_{r}\right)\frac{1}{r}\]

\end{itemize}

\paragraph{Multipolmomente\index{Multipolmomente}}

sind Koeffizienten aus der Tailorentwicklung von $\phi$\begin{eqnarray*}
\phi\left(\vec{r}\right) & = & \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\frac{q}{r}+\frac{\vec{r}\cdot\vec{p}}{r^{3}}+\frac{1}{2r^{5}}\sum_{i,j=1}^{3}x_{i}x_{j}Q_{ij}+\ldots\right)\\
 & = & \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\frac{q}{r}+\frac{\vec{r}\cdot\vec{p}}{r^{3}}+\frac{1}{2r^{5}}\vec{r}^{T}\underline{Q}\vec{r}+\ldots\right)\end{eqnarray*}


\begin{itemize}
\item Aus Entwicklung um $0$ von \[
\varphi\left(\vec{r}\right)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\int d^{3}\vec{r}'\frac{\varrho\left(\vec{r}'\right)}{\left|\vec{r}-\vec{r}'\right|}\]

\item Entwicklung des Potentials für Abstände groß genug gegenüber der Ausdehnung
der Ladungsverteilung $\left(R\right)$ $\Rightarrow$ höhere Therme
$\left(\frac{R}{\left|\vec{r}\right|}\right)^{n}$ unterdrückt 
\item höhere Terme sind nur wichtig nahe an der Ladungsverteilung.
\item Für große Entfernung: erstes von Null verschiedenes Multipolmoment
dominiert
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Monopolmoment\index{Monopolmoment}]$q=\int d^{3}r\varrho\left(\vec{r}\right)$
\end{description}
\begin{itemize}
\item $q$ ist genau die Gesamtlaung
\item $q\neq0$ $\Rightarrow$ Momopol dominiert in der Fernzone
\item $\phi\sim\frac{1}{r}$
\item Potential einer Punktlagung\[
\phi\left(\vec{r}\right)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q}{r}\]

\end{itemize}
\begin{description}
\item [Dipolmoment\index{Dipolmoment}]$\vec{p}=\int d^{3}r\varrho\left(\vec{r}\right)\vec{r}$
\end{description}
\begin{itemize}
\item Falls Ladungsverteilung Punktsymetrisch ist, gilt $\vec{p}=0$
\item $\phi\sim\frac{1}{r^{2}}$
\item falls $q=0$ dominiert der Dipoltherm\[
\phi\left(\vec{r}\right)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{\vec{r}\vec{p}}{r^{3}}\]

\end{itemize}
\begin{description}
\item [Quadrupolmoment\index{Quadrupolmoment}]\[
Q_{ij}=\int d^{3}r\left(3x_{i}x_{j}-r^{2}\delta_{ij}\right)\varrho\left(r\right)\]

\end{description}
\begin{itemize}
\item $\phi\sim\frac{1}{r^{3}}$
\item Falls $q=0$ und $\vec{p}=0$, dann dominiert der Quadropol\begin{eqnarray*}
\phi\left(\vec{r}\right) & = & \frac{1}{8\pi\varepsilon_{0}r^{5}}\sum_{i,j=1}^{3}x_{i}x_{j}Q_{ij}\\
 & = & \frac{1}{8\pi\varepsilon_{0}r^{5}}\vec{r}^{T}\underline{Q}\vec{r}\end{eqnarray*}

\item $Q_{ij}$ hat nur $5$ unabhängige Elemente
\item $\sum_{i}Q_{ii}=0$
\item $Q_{ij}=Q_{ji}$\\
$\underline{Q}=\underline{Q}^{T}$
\item $Q_{ij}=0$ falls $\varrho\left(\vec{x}\right)$ auf der $x_{i}$
oder $x_{j}$ Achse symmetrisch ist
\item Falls die Laungsverteilung Rotationssymmetrisch / Kugelsymmetrisch
ist, gilt $Q_{ij}=0$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Oktopol\index{Oktopol}]wäre der nächste Term in der Taylorentwicklung
\end{description}

\subsection{Wechselwirkungsenergie im externen Potential}

\begin{description}
\item [Problem]Gesucht ist die Wechselwirkungsenergie einer räumlich beschränkten
Ladungsverteilung mit einem externen Potential
\item [Wechselwirkungsenergie\index{Wechselwirkungsenergie}]$W=q\phi_{ext}\left(\vec{r}_{0}\right)-\vec{p}\vec{E}_{ext}\left(\vec{r}_{0}\right)-\frac{1}{6}\sum_{i,j=1}^{3}Q_{ij}\left.\frac{\partial E_{i}}{\partial x_{j}}\right|_{\vec{r}=\vec{r}_{0}}+\ldots$
\end{description}
\begin{itemize}
\item $\vec{r}_{0}$ ist der Entwicklungspunkt / Ursprung, bzg. dem $q,\vec{p},Q_{ij}$
der Ladungsverteilung berechnet werden.
\item $\vec{F}=-\vec{\nabla}W$ ist die Kraft auf die Ladungsverteilung

\begin{itemize}
\item beim Dipol\\
$\vec{F}\left(\vec{r}\right)=\left(\vec{p}\vec{\nabla}\right)\vec{E}\left(\vec{r}\right)$
\end{itemize}
\end{itemize}

\subsection{Randwertprobleme\index{Randwertprobleme} in der Elektrostatik}

\[
{\scriptstyle \phi\left(\vec{x}\right)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\int_{V}d^{3}x'\frac{\varrho\left(\vec{x}\right)}{\left|\vec{x}-\vec{x}'\right|}+\frac{1}{4\pi}\int_{\partial V}df\left(\frac{1}{\left|\vec{x}-\vec{x}'\right|}\frac{\partial\phi}{\partial n'}-\phi\frac{\partial}{\partial n'}\left(\frac{1}{\left|\vec{x}-\vec{x}'\right|}\right)\right)}\]


\begin{itemize}
\item $df$ ist das infinitesimale Flächenelement
\item $\frac{\partial}{\partial n'}$ leitet nach dem Flächennormalenvektor
ab\\
$\frac{\partial\psi}{\partial n'}=\left(\vec{\nabla}\psi\right)\vec{e}_{n'}$
\item Lösung dieser DGL ließert das Potential in $V$
\item $\varrho$ in $V$ und $\phi$ bzw. $\frac{\partial\phi}{\partial n}$
auf $\partial V$ bestimmen $\phi$ vollständig $\Leftrightarrow$
Ladungen außerhalb $V$ tragen wenn überhaupt nur noch indirekt durch
die Randbedingungen zu $\phi$ bei.
\item Falls im Volumen $V$ keine Ladungen liegen\[
{\scriptstyle \phi\left(\vec{x}\right)=\frac{1}{4\pi}\int_{\partial V}df\left(\frac{1}{\left|\vec{x}-\vec{x}'\right|}\frac{\partial\phi}{\partial n'}-\phi\frac{\partial}{\partial n'}\left(\frac{1}{\left|\vec{x}-\vec{x}'\right|}\right)\right)}\]

\item Ist $V$ der Gesamtraum $\mathbb{R}^{3}$ dann hat man Randbedingungen
im Unendlichen und erhält das normale Poisson Integral
\item Die obere Gleichung ist überbestimmt. Es genügt entweder $\phi$ \emph{oder}
$\frac{\partial\phi}{\partial n}$ zu kennen. Dies nennt sich \emph{Cauchy\index{Cauchy-Randbedingungen}-Randbedingungen}.

\begin{description}
\item [Dirichlet\index{Dirichlet}]Randbedingungen: $\phi$ gegeben auf
$\partial V$
\end{description}
\begin{itemize}
\item Eindeutiges $\phi$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Neumann\index{Neumann}]Randbedungungen: $\frac{\partial\phi}{\partial n}$
gegeben auf $\partial V$
\end{description}
\begin{itemize}
\item Eindeutiges $\phi$ bis auf konstanten additiven Therm: $\phi_{1},\phi_{2}$
Lösungen $\Rightarrow$ $\phi_{1}-\phi_{2}=konst$
\end{itemize}
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Physikalische~Realisierung]geht mit Hilfe von

\begin{description}
\item [Nichtleiter](Isolatoren) Ladungsträger fest, gilt auch für zusätzliche
Ladungen 
\item [Leiter](Metalle) freie Ladungsträger
\end{description}
\item [Greensche~Funktion]\[
G\left(\vec{x},\vec{x}'\right)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}\left|\vec{x}-\vec{x}'\right|}+f\left(\vec{x},\vec{x}'\right)\]

\end{description}
\begin{itemize}
\item mit $f\left(\vec{a},\vec{b}\right)=f\left(\vec{b},\vec{a}\right)$
und $G\left(\vec{a},\vec{b}\right)=G\left(\vec{b},\vec{a}\right)$
\item falls $\triangle_{x}f\left(\vec{x},\vec{x}'\right)=0$ für alle $\vec{x},\vec{x}'\in V$
\item $\triangle_{x}G\left(\vec{x},\vec{x}'\right)=-\frac{1}{\varepsilon_{0}}\delta\left(\vec{x}-\vec{x}'\right)$

\begin{description}
\item [Neumann]$\frac{\partial G_{N}}{\partial n'}\left(\vec{x},\vec{x}'\right)=-\frac{1}{\epsilon_{0}\partial V}$
für alle $\vec{x}'\in\partial V$
\end{description}
\begin{itemize}
\item $\phi\left(\vec{x}'\right)-\phi_{0}=\int_{V}d^{3}x'G_{N}\left(\vec{x},\vec{x}'\right)\varrho\left(\vec{x}\right)+\varepsilon_{0}\int_{\partial V}df'G_{N}\left(\vec{x},\vec{x}'\right)\frac{\partial\phi}{\partial n'}$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Dirichlet]$G_{D}\left(\vec{x},\vec{x}'\right)=0$ für alle $\vec{x}'\in\partial V$
\end{description}
\begin{itemize}
\item $\phi\left(\vec{x}\right)=\int_{V}d^{3}\vec{x}'G_{D}\left(\vec{x},\vec{x}'\right)\varrho\left(\vec{x}'\right)-\varepsilon_{0}\oint_{\partial V}df'\phi\left(\vec{x}\right)\frac{\partial G_{D}}{\partial n'}$
\end{itemize}
\end{itemize}

\paragraph{Methode der Bildladung}

\begin{itemize}
\item Ist eine Geometrische Konstruktion
\item Es wir eine Ladungsanordnung (Bildladung\index{Bildladung}) außerhalb
vom Volumen gesucht die so beschaffen ist, das die Randbedingungen
erfüllt sind
\item Mit dieser Gesamtanordnung (Ladung im Volumen + Bildladung) kann man
nun die Randbedingungen fallen lassen und das Potentail ohne sie Berechnen
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Seperationsansatz\index{Seperationsansatz}]ist der Versuch $\phi\left(x,y,z\right)=f\left(x\right)\cdot g\left(y\right)\cdot h\left(z\right)$
als Ansatz zur Lösung der DGL zu wählen
\end{description}
\begin{itemize}
\item Hier zum Bsp. mit Fourier Funktionen
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Seperationsansatz]in Polarkoordinaten \[
\phi\left(r,\theta,\varphi\right)=\frac{U\left(r\right)}{r}P\left(\theta\right)Q\left(\varphi\right)\]

\end{description}
\begin{itemize}
\item mit $Q=const$ und $A_{l},B_{l}$ aus Randbedingungen\[
\phi\left(r,\theta\right)=\sum_{l=0}^{\infty}\left(A_{l}r^{l}+B_{l}r^{-\left(l+1\right)}\right)P_{l}\left(\cos\theta\right)\]

\item mit $A_{lm},B_{lm}$ aus Randbedingungen\[
{\scriptstyle \phi\left(r,\theta,\varphi\right)=\sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l}\left(A_{lm}r^{l}+B_{lm}r^{-\left(l+1\right)}\right)Y_{l}^{m}\left(\theta,\varphi\right)}\]

\end{itemize}

\subsection{Orthogonale\index{Orthogonale Funktionen} Funktionen}

Betrachte im folgenden stetige Funktionen einer Variablen auf $\left[a,b\right]\subseteq\mathbb{R}$.

\begin{description}
\item [quadratisch~integrabel\index{quadrarisch integrabel}]heißt eine
Funktion $f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{C}$, falls das folgende
Integral exisitiert\[
\int_{a}^{b}dx\left|f\left(x\right)\right|^{2}\]

\end{description}
\begin{itemize}
\item $\left|x\right|^{2}=x^{*}x$ mit $x^{*}$ das komplex Konjungierte
zu $x$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Funktionensystem\index{Funktionensystem}]ist eine Familie von Funktionen
\[
\left\{ U_{n}\left(x\right)\right\} :=\left\{ U_{n}\left(x\right)\right\} _{n\in\mathbb{N}}\]

\item [Orthonormal\index{Orthonormal}]heißt ein Funktionensystem $\left\{ U_{n}\left(x\right)\right\} $
falls gilt\[
\int_{a}^{b}dx\, U_{n}^{*}\left(x\right)\cdot U_{m}\left(x\right)=\delta_{nm}=\begin{cases}
1 & m=n\\
0 & \textrm{sonst}\end{cases}\]

\item [Darstellung]einer Funktion $f\left(x\right)$ mit orthonormalen
Funktionen $\left\{ U_{n}\left(x\right)\right\} $ als Basis (so gut
es mit dieser Basis eben geht)\begin{eqnarray*}
\textrm{minimal} & = & \int_{a}^{b}dx\left|f\left(x\right)-f_{N}\left(x\right)\right|^{2}\\
f_{N}\left(x\right) & = & \sum_{n=1}^{N}c_{n}U_{n}\left(x\right)\\
c_{n} & = & \int_{a}^{b}dx\, U_{n}^{*}\left(x\right)\cdot f\left(x\right)\end{eqnarray*}

\item [Vollständig\index{Vollständig}]heißt ein Funktionensystem $\left\{ U_{n}\left(x\right)\right\} $
falls gilt\begin{eqnarray*}
f\left(x\right) & = & \lim_{N\rightarrow\infty}f_{N}\left(x\right)\end{eqnarray*}

\item [Vollständigkeitsrelation\index{Vollständigkeitsrelation}]ist äquivalent
dazu, das $\left\{ U_{n}\left(x\right)\right\} $ vollständig ist\[
\sum_{n=1}^{\infty}U_{n}^{*}\left(y\right)U_{n}\left(x\right)=\delta\left(x-y\right)\]

\end{description}

\subsubsection{Fourierreihe\index{Fourierreihe}}

ist ein spezielles Orthonormalsystem mit\begin{eqnarray*}
f(t) & = & \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}\cdot\cos(n\omega t)+b_{n}\cdot\sin(n\omega t))\\
a_{n} & = & \frac{2}{\left(b-a\right)}\int_{a}^{b}dt\, f(t)\cdot\cos(n\omega t)\\
b_{n} & = & \frac{2}{\left(b-a\right)}\int_{a}^{b}dt\, f(t)\cdot\sin(n\omega t)\end{eqnarray*}



\subsubsection{Kugelflächenfunktionen\index{Kugelflächenfunktionen}}

\begin{description}
\item [Legendre'sche\index{Legendre'sche DGL}~DGL]~
\end{description}
\[
\frac{\partial}{\partial x}\left(\left(1-x^{2}\right)\frac{\partial P}{\partial x}\right)+\left(l\left(l+1\right)-\frac{m^{2}}{1-x^{2}}\right)P=0\]


\begin{itemize}
\item mit $l\in\mathbb{Z}$ und $m\in\mathbb{N}$
\item es gilt $-l\le m\le l$
\item $P\left(x\right)$ ist auf $\left[-1,+1\right]$ definiert
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Legendre~Polynome\index{Legendre Polynome}]mit berechnung nach
Rodriges\index{Rodriges}\[
P_{l}\left(x\right)=\frac{1}{2^{l}l!}\frac{\partial^{l}}{\partial x^{l}}\left(x^{2}-1\right)^{l}\]

\end{description}
\begin{itemize}
\item $P_{l}\left(x\right)$ Lösung von Legendre DGL mit $m=0$
\item $P_{0}\left(x\right)=1$\\
$P_{1}\left(x\right)=x$\\
$P_{2}\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(3x^{2}-1\right)$\\
$P_{3}\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(5x^{3}-3x\right)$
\item Dieser Bilden ein vollständiges Funktionensystem (aber nicht orthogonal)\begin{eqnarray*}
\int_{-1}^{1}dx\, P_{l'}\left(x\right)P_{l}\left(x\right) & = & \frac{2}{2l+1}\delta_{ll'}\\
f\left(x\right) & = & \sum_{l=0}^{\infty}A_{l}P_{l}\left(x\right)\\
A_{l} & = & \frac{2l+1}{l}\int_{-1}^{1}dx\, f\left(x\right)P_{l}\left(x\right)\end{eqnarray*}

\end{itemize}
\begin{description}
\item [Zugeorndnete\index{Zugeorndnete Legendre Polynome}~Legendre~Polynome]$P_{l}^{m}\left(x\right)$
Lösung von Legendre DGL\begin{eqnarray*}
P_{l}^{m}\left(x\right) & = & \frac{\left(-1\right)^{m}}{2^{l}l!}\left(1-x^{2}\right)^{\frac{m}{2}}\frac{\partial^{l+m}}{\partial x^{l+m}}P_{l}\left(x\right)\\
 & = & \left(-1\right)^{m}\left(1-x^{2}\right)^{\frac{m}{2}}\frac{\partial^{m}}{\partial x^{m}}P_{l}\left(x\right)\end{eqnarray*}

\end{description}
\begin{itemize}
\item dieses gilt für $m\ge0$
\item für $m$ beliebig gilt\[
P_{l}^{-\left|m\right|}=\left(-1\right)^{\left|m\right|}\frac{\left(l-\left|m\right|\right)!}{\left(l+\left|m\right|\right)!}P_{l}^{\left|m\right|}\]

\end{itemize}
\begin{description}
\item [Kugelflächenfunktion\index{Kugelflächenfunktion}]\[
Y_{l}^{m}\left(\theta,\varphi\right)=\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}}\sqrt{\frac{\left(l-m\right)!}{\left(l+m\right)!}}P_{l}^{m}\left(\cos\theta\right)e^{im\varphi}\]

\end{description}
\begin{itemize}
\item Orthogonalität\[
\int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{0}^{\pi}d\theta\,\sin\varphi Y_{l'}^{m'*}\left(\theta,\varphi\right)Y_{l}^{m}\left(\theta,\varphi\right)=\delta_{ll'}\delta_{mm'}\]

\item Vollständigkeitsrelation\begin{eqnarray*}
 & \sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l}Y_{l'}^{m'*}\left(\theta,\varphi\right)Y_{l}^{m}\left(\theta,\varphi\right)\\
 & =\delta\left(\cos\theta'-\cos\theta\right)\delta\left(\varphi'-\varphi\right)\end{eqnarray*}

\item Diese Funktionen bilden also ein Orthogonales und Vollständiges Funktionensystem
\item $Y_{0}^{0}\left(\theta,\varphi\right)=\frac{1}{\sqrt{4\pi}}$\\
$Y_{1}^{0}\left(\theta,\varphi\right)=\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\cos\theta$\\
$Y_{1}^{1}\left(\theta,\varphi\right)=-\sqrt{\frac{3}{8\pi}}\sin\theta e^{i\varphi}$\\
$Y_{2}^{0}\left(\theta,\varphi\right)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5}{4\pi}}\left(3\cos^{2}\theta-1\right)$\\
$Y_{2}^{1}\left(\theta,\varphi\right)=-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{15}{8\pi}}\sin\theta\cos\theta e^{i\varphi}$\\
$Y_{2}^{2}\left(\theta,\varphi\right)=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{15}{2\pi}}\sin^{2}\theta e^{2i\varphi}$
\item Koordinaten bzgl. Kugelflächenbasis\begin{eqnarray*}
f\left(\theta,\varphi\right) & = & \sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l}a_{lm}Y_{l}^{m}\left(\theta,\varphi\right)\\
A_{lm} & = & \int d\Omega\, Y_{l}^{m*}\left(\theta,\varphi\right)\cdot f\left(\theta,\varphi\right)\\
d\Omega & = & d\varphi\sin\theta d\theta\end{eqnarray*}

\item $Y_{l}^{m*}=\left(-1\right)^{m}Y_{l}^{-m}$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Additionstheorem\index{Additionstheorem}]für Kugelflächenfunktion\[
P_{l}\left(\cos\alpha\right)=\sum_{m=-l}^{+l}\frac{4\pi}{2l+1}Y_{l}^{m*}\left(\theta',\varphi'\right)Y_{l}^{m}\left(\theta,\varphi\right)\]

\end{description}
\begin{itemize}
\item mit $\alpha\measuredangle\left(\left(r,\theta,\varphi\right),\left(r',\theta',\varphi'\right)\right)$
\end{itemize}

\subsection{Spärische Multipolmomente\index{Multipolmoment}}

\begin{description}
\item [Entwickeln]von $\frac{1}{\left|\vec{x}-\vec{x}'\right|}$ mit $\alpha\measuredangle\left(\vec{x},\vec{x}'\right)$\[
\frac{1}{\left|\vec{x}-\vec{x}'\right|}=\frac{1}{r}\sum_{l=0}^{\infty}P_{l}\left(\cos\alpha\right)\left(\frac{r'}{r}\right)^{l}\]

\end{description}
\begin{itemize}
\item Für Näherungen wähle $r'<r$, als entwickele so, das kürzerer Vektor
auf dem Bruch steht
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Allgemein]mit $\vec{x}\rightarrow\left(r,\theta,\varphi\right)$
und $\vec{x'}\rightarrow\left(r',\theta',\varphi'\right)$\[
{\scriptstyle \frac{1}{\left|\vec{x}-\vec{x}'\right|}=\sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{+l}\frac{4\pi}{2l+1}\frac{1}{r_{>}}\left(\frac{r_{<}}{r_{>}}\right)^{l}Y_{l}^{m*}\left(\theta',\varphi'\right)Y_{l}^{m}\left(\theta,\varphi\right)}\]

\end{description}
\begin{itemize}
\item $r_{<}=\min\left(r,r'\right)$\\
$r_{>}=\max\left(r,r'\right)$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Sphärische~Multipolmomente]\[
q_{lm}=\int d^{3}x'\varrho\left(\vec{x}'\right)\left(r'\right)^{l}Y_{l}^{m*}\left(\theta',\varphi'\right)\]

\end{description}
\begin{itemize}
\item $q_{lm}^{*}=\left(-1\right)^{m}q_{l,-m}$
\item Hiermit gilt für das Potential\[
\phi\left(\vec{x}\right)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\sum_{l=0}^{\infty}\frac{4\pi}{2l+1}\frac{1}{r^{l+1}}\sum_{m=-l}^{l}Y_{l}^{m}\left(\theta,\varphi\right)\cdot q_{lm}\]

\end{itemize}

\section{Magnetostatik}

\begin{description}
\item [Stromdichte\index{Stromdichte}]$\vec{j}=\frac{\textrm{Strom}}{\textrm{Fläche}}=\varrho\left(\vec{x},t\right)\vec{v}\left(\vec{x},t\right)$
\end{description}
\begin{itemize}
\item $\varrho$ ist die \emph{Ladungsdichte\index{Ladungsdichte}}
\item $\vec{v}$ ist die Driftgeschwindigkeit der Elektronen
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Ladungserhaltung\index{Ladungserhaltung}]$\frac{\partial\varrho}{\partial t}+\vec{\nabla}\vec{j}=0$
\item [Magnetostatik\index{Magnetostatik}]$\frac{\partial\varrho}{\partial t}=0$
\end{description}
\begin{itemize}
\item $\vec{\nabla}\vec{j}=0$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Knotenregel\index{Knotenregel}]$0=\int_{V}d^{3}x\,\vec{\nabla}\vec{j}=\oint_{\partial V}d\vec{f}\cdot\vec{j}$
\item [Konstanten]$\varepsilon_{0}\mu_{0}c^{2}=1$
\item [Biot-Savart\index{Biot-Savart}]$d\vec{B}\left(\vec{x}\right)=\frac{\mu_{0}}{4\pi}Id\vec{x}'\times\frac{\vec{x}-\vec{x}'}{\left|\vec{x}-\vec{x}'\right|^{3}}$\[
\vec{B}\left(\vec{x}\right)=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\int_{V}d^{3}x'\,\vec{j}\left(\vec{x}'\right)\times\frac{\vec{x}-\vec{x}'}{\left|\vec{x}-\vec{x}'\right|^{3}}\]

\end{description}
\begin{itemize}
\item Unendlich langer Draht auf $z$-Achse\[
\vec{B}\left(\vec{x}\right)=\frac{\mu_{0}I}{2\pi\rho}\vec{e}_{\varphi}\]
mit $\rho$ Anstand von der $z$ Achse
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Verallgemeinerung]$I\, d\vec{x}=\vec{j}\left(\vec{x}\right)\, d^{3}x$
\item [Kraft\index{Kraft auf Strom}]auf Strom\begin{eqnarray*}
d\vec{F} & = & Id\vec{x}\times\vec{B}\left(\vec{x}\right)\\
\vec{F} & = & \int_{V}d^{3}x\,\vec{j}\left(\vec{x}\right)\times\vec{B}\left(\vec{x}\right)\end{eqnarray*}

\end{description}
\begin{itemize}
\item Kraft von einem Leiter auf einen anderen, wenn einer der Leiter geschlossen
ist.\[
\vec{F}_{12}=-\frac{\mu_{0}}{4\pi}I_{1}I_{2}\oint_{C_{1}}d\vec{x}_{1}\cdot\oint_{C_{2}}d\vec{x}_{2}\frac{\vec{x}_{1}-\vec{x}_{2}}{\left|\vec{x}_{1}-\vec{x}_{2}\right|^{3}}\]

\item mit $\vec{j}\left(\vec{x}\right)=q\vec{v}\delta\left(\vec{x}-\vec{x}_{0}\right)$
folgt die \emph{Lorentz-Kraft}\index{Lorentz-Kraft}\[
\vec{F}\left(\vec{x}\right)=q\vec{v}\times\vec{B}\left(\vec{x}\right)\]

\end{itemize}
\begin{description}
\item [Vektorpotential\index{Vektorpotential}]\[
\vec{A}\left(\vec{x}\right)=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\int d^{3}x'\frac{\vec{j}\left(\vec{x}'\right)}{\left|\vec{x}-\vec{x}'\right|}\]
 
\end{description}
\begin{itemize}
\item Hiermit lässt sich das $\vec{B}$-Feld auch schreiben als\[
\vec{B}\left(\vec{x}\right)=\vec{\nabla}\times\vec{A}\left(\vec{x}\right)\]

\item analog zum Potential in der Elektrostatik
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Grundgleichung\index{Grundgleichung der Magnetostatik}~der~Magnetostatik]\[
\triangle_{x}\vec{A}\left(\vec{x}\right)=-\mu_{0}\vec{j}\left(\vec{x}\right)\]

\end{description}
\begin{itemize}
\item gilt nur für Räumlich beschränkte Ladungsverteilung
\item dies sind 3 poisson DGL's, für jede Raumkoordinate eine
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Maxwell'sche]Gleichungen in Differentialform im Vakuum\begin{eqnarray*}
\vec{\nabla}\cdot\vec{E} & = & -\frac{\varrho}{\varepsilon_{0}}\\
\vec{\nabla}\times\vec{E} & = & 0\\
\vec{\nabla}\cdot\vec{B} & = & 0\\
\vec{\nabla}\times\vec{B} & = & \mu_{0}\vec{j}\end{eqnarray*}

\end{description}
\begin{itemize}
\item $\vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0$ bedeutet das es keine magnetischen Ladungen
gibt
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Eichung]$\vec{A}$ nicht Eindeutig durch $\vec{B}=\vec{\nabla}\times\vec{A}$
bestimmt\[
\vec{A}'=\vec{A}+\vec{\nabla}\psi\]
 ist ebenfalls eine Lösung. Diese Transformation nennt sich \emph{Eichtransformation\index{Eichtransformation}}.
\end{description}
\begin{itemize}
\item \emph{Coulomb-Eichung}\index{Coulomb-Eichung}: $\triangle\psi=0$

\begin{itemize}
\item insbesondere $\psi=0$
\end{itemize}
\end{itemize}
\begin{description}
\item [magnetisches~Moment\index{magnetisches Moment}\index{Moment}]$\vec{m}=\frac{1}{2}\int_{V}d^{3}x\,\vec{x}\times\vec{j}$\begin{eqnarray*}
\vec{A} & \approx & \frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{\vec{m}\times\vec{x}}{r^{3}}\\
\vec{B}\left(\vec{x}\right) & \approx & \frac{\mu_{0}}{4\pi}\left(\frac{3\left(\vec{m}\vec{x}\right)\vec{x}}{r^{5}}-\frac{\vec{m}}{r^{3}}\right)\end{eqnarray*}

\end{description}
\begin{itemize}
\item Näherung gilt für $\vec{x}$ mit $\left|\vec{x}\right|\gg R$ mit
der Ausdehnung der Stromverteilung $R$
\item $\vec{m}$ ist zweiter Koeffizient der Taylornäherung von $\vec{A}$
\item Gleichung gilt mit der Eichung $\psi=0$
\end{itemize}
\printindex{}
\end{document}
