Lagrange 1. Art

$$m\ddot{\vec{x}}^{i}=\vec{F}^{i}+\sum_{j=1}^{k}\lambda_{j}\vec{\nabla}_{i}f_{j}$$

• $f_{i}\left(\vec{x}^{1},\ldots,\vec{x}^{N},t\right)=0$ mit $i=1,\ldots.k$ den Zwangsbedingungen
• so erhält man $3N+k$ Bestimmungsgleichungen und kann somit dies für die $3N+k$ Unbekannten lösen.
• $\lambda_{i}$ sind die zusätzlichen $k$ Unbekannten.
• $\vec{\nabla}_{i}$ Ableitungen nach den Koordinaten des $i$-ten Teilchens

Bewegungsgleichung

$m\ddot{\vec{x}}=\vec{F}+\vec{F}'=\vec{F}+\lambda\vec{\nabla}f$

• $\vec{F}'=\lambda\vec{\nabla}f$ ist die einschränkende Zwangskraft die aus der Zwangsbedingung $f$ folgt
• $\lambda$ ist der zugehörige Lagrange Multiplikator

skleronom

entspricht einer ruhenden Fläche

$$0=\frac{1}{m}\left(\vec{F}+\lambda\vec{\nabla}f\right)\vec{\nabla}f+\dot{\vec{x}}\vec{\nabla}\left(\vec{\nabla}f\cdot\dot{\vec{x}}\right)$$

Arbeit

wird von Zwangskräften nicht verrichtet

$$dW=F'd\vec{x}=0$$

• falls $\vec{F}$ konservativ gilt weiterhin der Energiesatz!

Virtuelle Arbeit

$\delta W=\vec{F}\cdot\delta\vec{x}$

Gleichgewicht

befindet sich ein Massenpunkt falls für alle $\delta\vec{x}$, die kompatipel mit Zwangsbedingungen sind, gilt

$$\delta W=0$$

• Im Gleichgewicht hat $V$ (Pot. Energie) ein Extremum

virtuelle Verrückung

$\delta\vec{x}$ ist instantane Verschiebung im Zeitraum $\delta t=0$

• nicht notwendigerweise mit Bewegungsablauf verbunden, aber unter Berücksichtigung der Zwangsbedingungen