Variationsproblem

Ziel

mache das folgende Integral

$$I=\int_{x_{1}}^{x_{2}}dx f\left(x,y_{1},\ldots,y_{n},y_{1}',\ldots,y_{n}'\right)$$

extremal mit Hilfe eines optimalen Weges machen

$$\vec{y}\left(x\right)=\left(y_{1}\left(x\right),\ldots,y_{n}\left(x\right)\right)$$

Euler-Gleichung

Die Lösung der folgenden DGL's ist ein äquivalentes Ziel:

$$\forall i:\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial y_{i}'}\right)-\frac{\partial f}{\partial y_{i}}=0$$

• Spezialfall mit $n=1$, und $f$ ist nicht explizit von $x$ abhängig ( $\frac{\partial f}{\partial x}=0$), gilt:
  $$f-\frac{\partial f}{\partial y'}y'=const$$
  falls $y$ die Euler-Gleichung löst.
• Lagrange-Gleichungen können als Lösung eines Variationsproblems interpretiert werden.