Das Hamiltonische Prinzip

• Prinzip der kleinsten Wirkung

Wirkungsintegral

$$s=\int_{t_{1}}^{t_{2}}dt L\left(t,\vec{q},\dot{\vec{q}}\right)$$

• $L=T-V$ in abhängigkeit von den Verallgemeinerten Koordinaten $\vec{q}=\left\{ q_{1},\ldots,q_{n}\right\}$
• Wirkung $s$
• Die Bahn eines durch die Lagrangefunktion $L\left(t,\vec{q},\dot{\vec{q}}\right)$ beschriebenen Systems ist gegeben durch Extremum der Wirkung $s$
  

  $$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{i}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{i}} =$$ 0

  $$\Leftrightarrow$$

  $$\delta s = \delta\int_{t_{1}}^{t_{2}}dt L\left(t,\vec{q},\dot{\vec{q}}\right)=0$$

  
  

Eichfreiheit

$L$ nur bestimmt bis auf eine totale Zeitableitung einer Funktion $G\left(\vec{q},t\right)$.

$$\tilde{L}=L+\frac{d}{dt}G\left(\vec{q},t\right)$$

$L,\tilde{L}$ führen auf die gleichen Bewegungsgleichungen.

Vorteile

des Hamiltonischen Prinzips

• es ist kompakt + elegant
• es ist immer von gleicher Form, unabhängig von der Wahl eines Koordinatensystems
• läßt sich relativistisch verallgemeinern, anwendbar in Quantenmechanik
• anwendbar in Kontinuumsmechanik, Elektrodynamik (funktioniert auch für Felder!)

Invarianzen und Erhaltungssätze

Verallgemeinerte Koordinaten

werden Transformiert von $q_{i}\left(t\right)\mapsto q_{i}\left(t,\gamma\right)$ mit $\gamma\in\mathbb{R}$.

• Wir erhalten also eine Geradenschaar
• $q\left(t,\gamma\right)$ muss so beschaffen sein, das die Lagrangegleichung für alle $\gamma\in\mathbb{R}$ erfüllt ist

Invariant

unter der Transformation von $q_{i}\left(t\right)\mapsto q_{i}\left(t,\gamma\right)$ ist

$$\sum_{i=1}^{s}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{i}}\left.\frac{\partial q_{i}}{\partial\gamma}\right\vert _{\gamma=0}=const$$

• auch Noether Theorem genannt
• Hierraus folgt aus:

  Translationsinvarianz

  freie Ursprungswahl im Raum die Impulserhaltung

  Rotationsinvarianz

  isotropie des Raumes (Richtungsunabhängigkeit) die Drehimpulserhaltung

  Zeitverschiebung

  Energieerhaltung

  Gallileiinvarianz

  Schwerpunktsimpulserhaltung $\vec{R}\left(t\right)=\vec{R}_{0}+\frac{1}{M}\vec{P}t$

#	Erhaltungsgröße	Transformation
3	$\vec{P}=const$	$\vec{x}_{i}'=\vec{x}_{i}+\vec{a}$
3	$\vec{L}=const$	$\vec{x}_{i}'=\underline{D}\vec{x}_{i}$
1	$E=const$	$t'=t+\tau$
3	$M\vec{R}-\vec{P}t=const$	$\vec{x}_{i}'=\vec{x}_{i}+\vec{v}t$

allgemeines Noether Theorem

$$q\left(t\right) \rightarrow q\left(t,\gamma\right)$$

$$L\left(q\left(t,\gamma\right),\dot{q}\left(t,\gamma\right),t\right) = L\left(q\left(t\right),\dot{q}\left(t\right),t\right)$$

$$+\frac{d}{dt}G\left(q\left(t,\gamma\right),t\right)$$

• siehe des:Eichfreiheit (Eichfreiheit).
• Invariant ist damit
  $$\sum_{i=1}^{s}\left.\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{i}}\frac{\... ...t.\frac{\partial}{\partial\gamma}G\left(q,t\right)\right\vert _{\gamma=0}=const$$

Hamilton Funktion

$$H\left(q,p,t\right) = \sum_{i=1}^{s}\dot{q}_{i}p_{i}-L=\vec{\dot{q}}\vec{p}-L$$

• $p_{i}=\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{i}}$ verallgemeinerter Impuls
• $L=\vec{\dot{q}}\vec{p}-H$
• $H$ ist die negative Legendre Transformierte von $L$

Legendre Transformation

gegeben

$f\left(x,y\right)$

gesucht

$g\left(u,y\right)$ mit $u=\frac{\partial f}{\partial x}$ wobei $u,y$ unabhängig sind

$$g=f-ux$$

Rücktransformation

$f=g-u\frac{dg}{du}$

Hamiltonische Bewegungsgleichungen

$$\dot{p}_{i} = -\frac{\partial H}{\partial q_{i}}$$

$$\dot{q}_{i} = \frac{\partial H}{\partial p_{i}}$$

• die ersten beiden Gleichungen ergeben $2s$ DGL. 1.Ordnung. Dies sind doppelt so viele wie bei Lagrange 2, allerdings dafür nur von der ``halben'' Ordnung. Dies ist numerisch günstiger
• $\frac{dH}{dt}=\frac{\partial H}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t}$

Phasenraum

$\Gamma=\left(q,p\right)$ $2s$ Dimensional

Energie

$H\left(q,p,t\right)=E=$ Gesamtenergie

• Falls $E=const\Rightarrow\dot{H}=0$ ist die Lösung eine $2s-1$ dimensionale Hyperfläche in $\Gamma$

Poisson-Klammern

Man definiert für ein physikalisches System mit $s$ verallgemeinerten Koordinaten $q_{k}$ und $s$ verallgemeinerten Impulsen $p_{k}$, $k=1,\ldots,s$, für zwei Funktionen $f\left(\vec{q},\vec{p},t\right), g\left(\vec{q},\vec{p},t\right)$ die Poisson-Klammer

$$\left\{ f,g\right\} =\sum_{k=1}^{s}\left(\frac{\partial f}{\parti... ..._{k}}-\frac{\partial g}{\partial q_{k}}\frac{\partial f}{\partial p_{k}}\right)$$

• $\frac{df}{dt}=\left\{ f,H\right\} +\frac{\partial f}{\partial t}$
• $\dot{q}_{k}=\left\{ q_{k},H\right\}$ und $\dot{p}_{k}=\left\{ p_{k},H\right\}$
• $\left\{ q_{i},p_{j}\right\} =\delta_{ij}$
• $\left\{ a,b\right\} =-\left\{ b,a\right\}$
• $\left\{ a,\left\{ b,c\right\} \right\} +\left\{ b,\left\{ c,a\right\} \right\} +\left\{ c,\left\{ a,b\right\} \right\} =0$
• Gilt $\dot{A}=\dot{B}=0$, dann auch $\frac{d}{dt}\left\{ A,B\right\} =0$
• Gilt $\dot{F}=\dot{H}=0$, dann auch $\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial t}=0$