Diracsche $\delta$-Funktion

Eindimensional

Lorentzfunktion

$L_{\eta}\left(x\right)=\frac{1}{\pi}\frac{\eta}{\eta^{2}+\left(x-a\right)^{2}}$ mit $\eta>0$

• Höhe des Maximums $\frac{1}{\pi\eta}$
• Stelle des Maximums $a$
• Breite (Halbwertsbreite) $2\eta$
• $\forall x\neq0:\lim_{\eta\rightarrow o^{+}}L_{\eta}\left(x-a\right)=0$
• $\lim_{\eta\rightarrow0^{+}}\int_{\alpha}^{\beta}dx L_{\eta}\left(x\right)=\begin{cases} 1 & a\in\left(\alpha,\beta\right)\\ 0 & \textrm{sonst}\end{cases}$

Diracsche $\delta$-Funktion

$$\delta\left(x-a\right)=\lim_{\eta\rightarrow o^{+}}\frac{1}{\pi}\frac{\eta}{\eta^{2}+\left(x-a\right)^{2}}$$

• $\int_{\alpha}^{\beta}dx \delta\left(x-a\right)=\begin{cases} 1 & a\in\left(\alpha,\beta\right)\\ 0 & \textrm{sonst}\end{cases}$
• Achtung! Reihenfolge des Grenzwertbildung beachten
• ist eigentlich keine Funktion, da für $x=a$ nicht definiert, sondern eine Distribution
• $f\left(x\right)$ sei stetige Funktion
  $\int_{\alpha}^{\beta}dx f\left(x\right)\delta\left(x-a\right)=\begin{cases} f\left(a\right) & a\in\left(\alpha,\beta\right)\\ 0 & \textrm{sonst}\end{cases}$
• $\delta\left[f\left(x\right)\right]=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\left\vert f'\left(x_{i}\right)\right\vert}\delta\left(x-x_{i}\right)$
  mit $f\left(x_{i}\right)=0$ und $f'\left(x_{i}\right)\neq0$
• $g\left(x\right)\delta\left(x-a\right)=g\left(a\right)\delta\left(x-a\right)$

Ableitung

$\int_{\alpha}^{\beta}dx f\left(x\right)\delta'\left(x-a\right)=\begin{cases}... ...\left(a\right) & a\in\left(\alpha,\beta\right)\\ 0 & \textrm{sonst}\end{cases}$

• $f\left(x\right)\delta'\left(x-a\right)=-f'\left(a\right)\delta\left(x-a\right)$
• $\delta\left(x-a\right)=\frac{d}{dx}\Theta\left(x-a\right)$
• Heavyside vs. Dirac
  

  $$\int_{\alpha}^{\beta}dx\frac{d}{dx}\Theta\left(x-a\right) = \int_{\alpha}^{\beta}dx \delta\left(x-a\right)$$

  $$= \left.\Theta\left(x-a\right)\right\vert _{\alpha}^{\beta}$$

  $$= \begin{cases} 1 & a\in\left(\alpha,\beta\right)\\ 0 & \textrm{sonst}\end{cases}$$

  
  

Heavyside Funktion

$$\Theta\left(x\right)=\int_{-\infty}^{x}dx' \delta\left(x'\right)=\begin{cases} 1 & x>0\\ 0 & x\le0\end{cases}$$

• auch Stufenfunktion genannt

Mehrdimensional

• $\delta\left(\vec{x}-\vec{x}_{0}\right)=0$ für $\vec{x}\neq\vec{x}_{0}$
• $\int_{V}d^{3}\vec{x} \delta\left(\vec{x}-\vec{x}_{0}\right)=\begin{cases} 1 & \vec{x}_{0}\in V\\ 0 & \textrm{sonst}\end{cases}$

Kartesisch

$$\delta\left(\vec{x}-\vec{x}_{0}\right)=\delta\left(x-x_{0}\right)\cdot\delta\left(y-y_{0}\right)\cdot\delta\left(z-z_{0}\right)$$

Orthogonal Krummliniege Koordinaten

$\delta\left(\vec{x}-\vec{x}_{0}\right)=\frac{\delta\left(x-x_{0}\right)\cdot\d... ...}\right)\cdot h_{2}\left(\vec{x}_{0}\right)\cdot h_{3}\left(\vec{x}_{0}\right)}$

• $h_{i}=\left\vert\frac{\partial\vec{x}}{\partial u_{i}}\right\vert$ Maßzahl
• Kugelkoordinaten
  $$\delta\left(\vec{x}-\vec{x}_{0}\right)=\frac{\delta\left(r-r_{0}\... ...i_{0}\right)\cdot\delta\left(\theta-\theta_{0}\right)}{r_{0}^{2}\sin\theta_{0}}$$

Interessantes

indem $\delta$ vorkommt

• $\triangle_{x}\frac{1}{\left\vert\vec{x}-\vec{x}'\right\vert}=-4\pi\delta\left(x-\vec{x}'\right)$
• $\vec{\nabla_{x}}\frac{\vec{x}-\vec{x}'}{\left\vert\vec{x}-\vec{x}'\right\vert^{3}}=4\pi\delta\left(\vec{x}-\vec{x}'\right)$