Grundlagen

Ladung

$Q=\sum_{i}q_{i}=n\cdot e=\int_{V}d^{3}\vec{x}\varrho\left(\vec{x}\right)$

• $n\in\mathbb{Z}$
• $e=1,602\cdot10^{-19}C$

  Elektron

  $n=-1$

  Proton

  $n=+1$

Ladungsdichte

von Punktladung $\varrho\left(\vec{x}\right)=q\delta\left(\vec{x}-\vec{x}_{0}\right)$

Stromdichte

$\vec{j}=\frac{I}{A}\vec{e}_{j}$

Coulombgesetz

$\vec{F}_{12}=kq_{1}q_{2}\frac{\vec{x}_{1}-\vec{x}_{2}}{\left\vert\vec{x}_{1}-\vec{x}_{2}\right\vert^{3}}$

• Kräfte unterliegen dem Superpositonsprinzip
• im $SI$-System gilt
  • $1C=1As$
  • $1V=1\frac{Nm}{As}$
  • $k=10^{-7}c^{2}\frac{N}{A^{2}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}$

E-Feld

$\vec{E}=\lim_{q\rightarrow0}\frac{\vec{F}}{q}$

• Kraft am Ort $\vec{x}$ auf die Probeladung $q$
• $\vec{F}=q\vec{E}$
• $\vec{E}\left(\vec{x}\right)=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\int_{V}d^{3}\vec{x}'\va... ...ec{x}'\right)\frac{\vec{x}-\vec{x}'}{\left\vert\vec{x}-\vec{x}'\right\vert^{3}}$
  • für Kontinueriliche Ladungsverteilung geht dies ebenfalls mit
    $\varrho\left(\vec{x}\right)=\sum_{i=1}^{N}q_{i}\delta\left(\vec{x}-\vec{x}_{i}\right)$
• $\vec{E}$ ist Wirbelfrei $\Leftrightarrow$ $\vec{\nabla}\times\vec{E}=0$

el. Potential

$\vec{E}\left(\vec{x}\right)=-\vec{\nabla}\phi\left(\vec{x}\right)$

• $\phi\left(\vec{x}\right)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\int_{V}d^{3}\vec{x}' \varrho\left(\vec{x}'\right)\frac{1}{\left\vert\vec{x}-\vec{x}'\right\vert}$
• Pot. Energie $V\left(\vec{x}\right)=q\cdot\phi\left(\vec{x}\right)$

Polarisierbarkeit

$\alpha=\left.\frac{d\left\vert\vec{p}\right\vert}{dE_{0}}\right\vert _{E_{0}=0}$

Spannung

$$U\left(\vec{x},\vec{x}_{0}\right)=\int_{\vec{x}_{0}}^{\vec{x}}d\v... ...{x}'\right)=-\left(\phi\left(\vec{x}\right)-\phi\left(\vec{x}_{0}\right)\right)$$

Feldgleichungen der Elektrostatik / Maxwell Gleichungen der Elektrostatik

Gelten wie im Folgenden im Vakuum

• Differenzielle Form
  

  $$\vec{\nabla}\cdot\vec{E}\left(\vec{x}\right) = \frac{1}{\varepsilon_{0}}\varrho\left(\vec{x}\right)$$

  $$\vec{\nabla}\times\vec{E}\left(\vec{x}\right) =$$ 0

  
  

• Integralform
  

  $$\oint_{\partial V}d\vec{\sigma}\cdot\vec{E} = \frac{1}{\varepsilon_{0}}Q$$

  $$\oint_{\partial S}d\vec{x}\cdot\vec{E} =$$ 0

  
  

Poisson-Gleichung

fasst die Maxwellgleichungen zusammen

$$\triangle\phi\left(\vec{x}\right)=-\frac{1}{\varepsilon_{0}}\varrho\left(\vec{x}\right)$$

• Singularitäten in $\varrho$ werden hiermit auf 0 abgebildet! An diesen stellen muss mittels Gausschem Satz die Ladungsverteilung seperat ermittelt werden.
• Inhomogene, lineare, partielle DGL 2. Ordnung
• Probleme der Lösung: ``Grundproblem der Elektrostatik''
• allgemeine Lösung der Poisson-Gleichung ist eine Summe aus einer Speziellen Lösung der Poisson-Gleichung plus allgemeine Lösung der Laplace-Gleichung

Laplace-Gleichung

gilt wenn im Raum keine Ladungen vorhanden sind

$$\triangle\phi\left(\vec{x}\right)=0$$