Feldenergie

Die Energie einer auf einem endlichen Raumbereich begrenzten Ladungskonfiguration $\varrho\left(\vec{x}\right)$ entspricht genau der Arbeit, die nötig ist, um Ladungen aus dem unendlichen $\left(R\rightarrow\infty\right)$ zu dieser Konfiguration zusammenzuführen. Konvention $\phi\left(R\rightarrow\infty\right)\rightarrow0$

Punktladung

$$W=\frac{1}{8\pi\varepsilon_{0}}\sum_{{{i,j=1\atop i\neq j}}}^{N}\frac{q_{i}q_{j}}{\left\vert\vec{x}_{i}-\vec{x}_{j}\right\vert}$$

Kontinuum

$$W = \frac{1}{8\pi\varepsilon_{0}}\int d^{3}\vec{x}'\int d^{3}\vec{x}\... ...c{x}'\right)\varrho\left(\vec{x}\right)}{\left\vert\vec{x}'-\vec{x}\right\vert}$$

$$= \frac{1}{2}\int d^{3}\vec{x}\varrho\left(\vec{x}\right)\phi\left(\vec{x}\right)$$

$$= -\frac{\varepsilon_{0}}{2}\int d^{3}\vec{x}\phi\left(\vec{x}\right)\left(\triangle\phi\left(\vec{x}\right)\right)$$

$$= \frac{\varepsilon_{0}}{2}\int d^{3}\vec{x}\left\vert\vec{E}\left(\vec{x}\right)\right\vert^{2}$$

$$= \int d^{3}\vec{x} w\left(\vec{x}\right)$$

• gilt nur für stetige Ladungsverteilung
  • naja, aber Stufenfunktion & Punktladung geht trotzdem
• nur wenn Ladung nur auf endliches Gebiet verteilt ist
• $\vec{F}=-\vec{\nabla}W$

Energiedichte

$w\left(\vec{x}\right)=\frac{\varepsilon_{0}}{2}\left\vert\vec{E}\left(\vec{x}\right)\right\vert^{2}$