Multipolentwicklung

Problem

Berechnen des Potentials einer Komplizierten, aber räumlich begrenzten Ladungsverteilung (im unbegrenzten Raum)

• $\varrho\left(\vec{r}\right)\neq0$ für $\left\vert\vec{r}\right\vert<R$
  $\varrho\left(\vec{r}\right)=0$ für $\left\vert\vec{r}\right\vert\ge R$
• keine Randbedingungen
• Gesucht ist Potential $\phi\left(\vec{r}\right)$ für $\left\vert\vec{r}\right\vert\gg R$

ExpNabla

ist nur eine abkürzende Schreibweise. Sie wird für mehrdimensionales Taylern benötigt.

• Taylern mit Nabla
  $$f\left(\vec{x}+\vec{a}\right)=\exp\left(\vec{a}\vec{\nabla}\right)f\left(\vec{x}\right)$$

• Bsp
  $$\frac{1}{\left\vert\vec{r}-\vec{r}'\right\vert}=\exp\left(-\vec{r}'\vec{\nabla}_{r}\right)\frac{1}{r}$$

Multipolmomente

sind Koeffizienten aus der Tailorentwicklung von $\phi$

$$\phi\left(\vec{r}\right) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\frac{q}{r}+\frac{\vec{r}\cdot\vec{p}}{r^{3}}+\frac{1}{2r^{5}}\sum_{i,j=1}^{3}x_{i}x_{j}Q_{ij}+\ldots\right)$$

$$= \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\frac{q}{r}+\frac{\vec{r}\cdot\vec{p}}{r^{3}}+\frac{1}{2r^{5}}\vec{r}^{T}\underline{Q}\vec{r}+\ldots\right)$$

• Aus Entwicklung um 0 von
  $$\varphi\left(\vec{r}\right)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\int d^{... ...c{r}'\frac{\varrho\left(\vec{r}'\right)}{\left\vert\vec{r}-\vec{r}'\right\vert}$$

• Entwicklung des Potentials für Abstände groß genug gegenüber der Ausdehnung der Ladungsverteilung $\left(R\right)$ $\Rightarrow$ höhere Therme $\left(\frac{R}{\left\vert\vec{r}\right\vert}\right)^{n}$ unterdrückt
• höhere Terme sind nur wichtig nahe an der Ladungsverteilung.
• Für große Entfernung: erstes von Null verschiedenes Multipolmoment dominiert

Monopolmoment

$q=\int d^{3}r\varrho\left(\vec{r}\right)$

• $q$ ist genau die Gesamtlaung
• $q\neq0$ $\Rightarrow$ Momopol dominiert in der Fernzone
• $\phi\sim\frac{1}{r}$
• Potential einer Punktlagung
  $$\phi\left(\vec{r}\right)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q}{r}$$

Dipolmoment

$\vec{p}=\int d^{3}r\varrho\left(\vec{r}\right)\vec{r}$

• Falls Ladungsverteilung Punktsymetrisch ist, gilt $\vec{p}=0$
• $\phi\sim\frac{1}{r^{2}}$
• falls $q=0$ dominiert der Dipoltherm
  $$\phi\left(\vec{r}\right)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{\vec{r}\vec{p}}{r^{3}}$$

Quadrupolmoment

$$Q_{ij}=\int d^{3}r\left(3x_{i}x_{j}-r^{2}\delta_{ij}\right)\varrho\left(r\right)$$

• $\phi\sim\frac{1}{r^{3}}$
• Falls $q=0$ und $\vec{p}=0$, dann dominiert der Quadropol
  

  $$\phi\left(\vec{r}\right) = \frac{1}{8\pi\varepsilon_{0}r^{5}}\sum_{i,j=1}^{3}x_{i}x_{j}Q_{ij}$$

  $$= \frac{1}{8\pi\varepsilon_{0}r^{5}}\vec{r}^{T}\underline{Q}\vec{r}$$

  
  

• $Q_{ij}$ hat nur $5$ unabhängige Elemente
• $\sum_{i}Q_{ii}=0$
• $Q_{ij}=Q_{ji}$
  $\underline{Q}=\underline{Q}^{T}$
• $Q_{ij}=0$ falls $\varrho\left(\vec{x}\right)$ auf der $x_{i}$ oder $x_{j}$ Achse symmetrisch ist
• Falls die Laungsverteilung Rotationssymmetrisch / Kugelsymmetrisch ist, gilt $Q_{ij}=0$

Oktopol

wäre der nächste Term in der Taylorentwicklung