Randwertprobleme in der Elektrostatik

$${\scriptstyle \phi\left(\vec{x}\right)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{... ...partial n'}\left(\frac{1}{\left\vert\vec{x}-\vec{x}'\right\vert}\right)\right)}$$

• $df$ ist das infinitesimale Flächenelement
• $\frac{\partial}{\partial n'}$ leitet nach dem Flächennormalenvektor ab
  $\frac{\partial\psi}{\partial n'}=\left(\vec{\nabla}\psi\right)\vec{e}_{n'}$
• Lösung dieser DGL ließert das Potential in $V$
• $\varrho$ in $V$ und $\phi$ bzw. $\frac{\partial\phi}{\partial n}$ auf $\partial V$ bestimmen $\phi$ vollständig $\Leftrightarrow$ Ladungen außerhalb $V$ tragen wenn überhaupt nur noch indirekt durch die Randbedingungen zu $\phi$ bei.
• Falls im Volumen $V$ keine Ladungen liegen
  $${\scriptstyle \phi\left(\vec{x}\right)=\frac{1}{4\pi}\int_{\parti... ...partial n'}\left(\frac{1}{\left\vert\vec{x}-\vec{x}'\right\vert}\right)\right)}$$

• Ist $V$ der Gesamtraum $\mathbb{R}^{3}$ dann hat man Randbedingungen im Unendlichen und erhält das normale Poisson Integral
• Die obere Gleichung ist überbestimmt. Es genügt entweder $\phi$ oder $\frac{\partial\phi}{\partial n}$ zu kennen. Dies nennt sich Cauchy-Randbedingungen.

  Dirichlet

  Randbedingungen: $\phi$ gegeben auf $\partial V$

  • Eindeutiges $\phi$

  Neumann

  Randbedungungen: $\frac{\partial\phi}{\partial n}$ gegeben auf $\partial V$

  • Eindeutiges $\phi$ bis auf konstanten additiven Therm: $\phi_{1},\phi_{2}$ Lösungen $\Rightarrow$ $\phi_{1}-\phi_{2}=konst$

Physikalische Realisierung

geht mit Hilfe von

Nichtleiter

(Isolatoren) Ladungsträger fest, gilt auch für zusätzliche Ladungen

Leiter

(Metalle) freie Ladungsträger

Greensche Funktion

$$G\left(\vec{x},\vec{x}'\right)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}\left\vert\vec{x}-\vec{x}'\right\vert}+f\left(\vec{x},\vec{x}'\right)$$

• mit $f\left(\vec{a},\vec{b}\right)=f\left(\vec{b},\vec{a}\right)$ und $G\left(\vec{a},\vec{b}\right)=G\left(\vec{b},\vec{a}\right)$
• falls $\triangle_{x}f\left(\vec{x},\vec{x}'\right)=0$ für alle $\vec{x},\vec{x}'\in V$
• $\triangle_{x}G\left(\vec{x},\vec{x}'\right)=-\frac{1}{\varepsilon_{0}}\delta\left(\vec{x}-\vec{x}'\right)$

  Neumann

  $\frac{\partial G_{N}}{\partial n'}\left(\vec{x},\vec{x}'\right)=-\frac{1}{\epsilon_{0}\partial V}$ für alle $\vec{x}'\in\partial V$

  • $\phi\left(\vec{x}'\right)-\phi_{0}=\int_{V}d^{3}x'G_{N}\left(\vec{x},\vec{x}'\... ...partial V}df'G_{N}\left(\vec{x},\vec{x}'\right)\frac{\partial\phi}{\partial n'}$

  Dirichlet

  $G_{D}\left(\vec{x},\vec{x}'\right)=0$ für alle $\vec{x}'\in\partial V$

  • $\phi\left(\vec{x}\right)=\int_{V}d^{3}\vec{x}'G_{D}\left(\vec{x},\vec{x}'\righ... ...\oint_{\partial V}df'\phi\left(\vec{x}\right)\frac{\partial G_{D}}{\partial n'}$

Methode der Bildladung

• Ist eine Geometrische Konstruktion
• Es wir eine Ladungsanordnung (Bildladung) außerhalb vom Volumen gesucht die so beschaffen ist, das die Randbedingungen erfüllt sind
• Mit dieser Gesamtanordnung (Ladung im Volumen + Bildladung) kann man nun die Randbedingungen fallen lassen und das Potentail ohne sie Berechnen

Seperationsansatz

ist der Versuch $\phi\left(x,y,z\right)=f\left(x\right)\cdot g\left(y\right)\cdot h\left(z\right)$ als Ansatz zur Lösung der DGL zu wählen

• Hier zum Bsp. mit Fourier Funktionen

Seperationsansatz

in Polarkoordinaten

$$\phi\left(r,\theta,\varphi\right)=\frac{U\left(r\right)}{r}P\left(\theta\right)Q\left(\varphi\right)$$

• mit $Q=const$ und $A_{l},B_{l}$ aus Randbedingungen
  $$\phi\left(r,\theta\right)=\sum_{l=0}^{\infty}\left(A_{l}r^{l}+B_{l}r^{-\left(l+1\right)}\right)P_{l}\left(\cos\theta\right)$$

• mit $A_{lm},B_{lm}$ aus Randbedingungen
  $${\scriptstyle \phi\left(r,\theta,\varphi\right)=\sum_{l=0}^{\inft... ...m}r^{l}+B_{lm}r^{-\left(l+1\right)}\right)Y_{l}^{m}\left(\theta,\varphi\right)}$$