next up previous contents index
Next: Spärische Multipolmomente Up: Elektrostatik Previous: Randwertprobleme in der Elektrostatik   Contents   Index

Subsections


Orthogonale Funktionen

Betrachte im folgenden stetige Funktionen einer Variablen auf $ \left[a,b\right]\subseteq\mathbb{R}$.

quadratisch integrabel
heißt eine Funktion $ f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{C}$, falls das folgende Integral exisitiert

$\displaystyle \int_{a}^{b}dx\left\vert f\left(x\right)\right\vert^{2}$

Funktionensystem
ist eine Familie von Funktionen

$\displaystyle \left\{ U_{n}\left(x\right)\right\} :=\left\{ U_{n}\left(x\right)\right\} _{n\in\mathbb{N}}$

Orthonormal
heißt ein Funktionensystem $ \left\{ U_{n}\left(x\right)\right\} $ falls gilt

$\displaystyle \int_{a}^{b}dx  U_{n}^{*}\left(x\right)\cdot U_{m}\left(x\right)=\delta_{nm}=\begin{cases}
1 & m=n\\
0 & \textrm{sonst}\end{cases}$

Darstellung
einer Funktion $ f\left(x\right)$ mit orthonormalen Funktionen $ \left\{ U_{n}\left(x\right)\right\} $ als Basis (so gut es mit dieser Basis eben geht)
$\displaystyle \textrm{minimal}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{a}^{b}dx\left\vert f\left(x\right)-f_{N}\left(x\right)\right\vert^{2}$  
$\displaystyle f_{N}\left(x\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{n=1}^{N}c_{n}U_{n}\left(x\right)$  
$\displaystyle c_{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{a}^{b}dx  U_{n}^{*}\left(x\right)\cdot f\left(x\right)$  

Vollständig
heißt ein Funktionensystem $ \left\{ U_{n}\left(x\right)\right\} $ falls gilt
$\displaystyle f\left(x\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \lim_{N\rightarrow\infty}f_{N}\left(x\right)$  

Vollständigkeitsrelation
ist äquivalent dazu, das $ \left\{ U_{n}\left(x\right)\right\} $ vollständig ist

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}U_{n}^{*}\left(y\right)U_{n}\left(x\right)=\delta\left(x-y\right)$


Fourierreihe

ist ein spezielles Orthonormalsystem mit

$\displaystyle f(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}\cdot\cos(n\omega t)+b_{n}\cdot\sin(n\omega t))$  
$\displaystyle a_{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{2}{\left(b-a\right)}\int_{a}^{b}dt  f(t)\cdot\cos(n\omega t)$  
$\displaystyle b_{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{2}{\left(b-a\right)}\int_{a}^{b}dt  f(t)\cdot\sin(n\omega t)$  


Kugelflächenfunktionen

Legendre'sche DGL
 

$\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\left(\left(1-x^{2}\right)\frac{\partial P}{\partial x}\right)+\left(l\left(l+1\right)-\frac{m^{2}}{1-x^{2}}\right)P=0$

Legendre Polynome
mit berechnung nach Rodriges

$\displaystyle P_{l}\left(x\right)=\frac{1}{2^{l}l!}\frac{\partial^{l}}{\partial x^{l}}\left(x^{2}-1\right)^{l}$

Zugeorndnete Legendre Polynome
$ P_{l}^{m}\left(x\right)$ Lösung von Legendre DGL
$\displaystyle P_{l}^{m}\left(x\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\left(-1\right)^{m}}{2^{l}l!}\left(1-x^{2}\right)^{\frac{m}{2}}\frac{\partial^{l+m}}{\partial x^{l+m}}P_{l}\left(x\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(-1\right)^{m}\left(1-x^{2}\right)^{\frac{m}{2}}\frac{\partial^{m}}{\partial x^{m}}P_{l}\left(x\right)$  

Kugelflächenfunktion

$\displaystyle Y_{l}^{m}\left(\theta,\varphi\right)=\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}}\sqr...
...t(l-m\right)!}{\left(l+m\right)!}}P_{l}^{m}\left(\cos\theta\right)e^{im\varphi}$

Additionstheorem
für Kugelflächenfunktion

$\displaystyle P_{l}\left(\cos\alpha\right)=\sum_{m=-l}^{+l}\frac{4\pi}{2l+1}Y_{l}^{m*}\left(\theta',\varphi'\right)Y_{l}^{m}\left(\theta,\varphi\right)$


next up previous contents index
Next: Spärische Multipolmomente Up: Elektrostatik Previous: Randwertprobleme in der Elektrostatik   Contents   Index
Marco Möller 12:12:15 01.03.2006