Die Bogenlänge als Bahnparameter

Charakterisierung der ``Kurvenform''

Bogenlänge

$s=s\left(t\right)=\int_{t_{0}}^{t}dt'\left\vert\vec{v}\left(t'\right)\right\vert$

Geschwindigkeit

$\vec{v}=\dot{s}\vec{e}_{t}$

• $\vec{e}_{t}=\frac{d\vec{x}}{ds}=\frac{\vec{v}}{\dot{s}}=\frac{\vec{v}}{\left\vert\vec{v}\right\vert}$

Beschleunigung

$\vec{a}=\frac{d}{dt}\left(\dot{s}\vec{e}_{t}\right)=\ddot{s}\vec{e}_{t}+\frac{\dot{s}^{2}}{\varrho}\vec{e}_{n}$

• $\dot{\vec{e}}_{t}\perp\vec{e}_{t}$
• $\left\vert\dot{\vec{e}}_{t}\right\vert=\left\vert\frac{d\vec{e}_{t}}{ds}\right\vert\dot{s}=\frac{1}{\varrho}\dot{s}$
• $\dot{\vec{e}}_{t}=\frac{1}{\varrho}\dot{s}\vec{e}_{n}$
• $\vec{e}_{n}=\frac{\dot{\vec{e}}_{t}}{\left\vert\dot{\vec{e}}_{t}\right\vert}$

Krümmungsradius

$\frac{1}{\varrho}=\frac{\left\vert\vec{a}\times\vec{v}\right\vert}{\left\vert\vec{v}\right\vert^{3}}$

Krümmung

$\chi=\frac{1}{\varrho}$

Windung

der Kurve $\frac{1}{\tau}=\frac{\vec{v}\left(\vec{a}\times\dot{\vec{a}}\right)}{\left(\vec{v}\times\vec{a}\right)^{2}}$

• auch: Torsion der Kurve

begleitendes Dreibein

$\left(\vec{e}_{t},\vec{e}_{n},\vec{e}_{m}\right)$

• $\vec{e}_{m}=\vec{e}_{t}\times\vec{e}_{n}$

Frenet-Matrix

$\mathcal{F}$

$$\frac{d}{ds}\left(\begin{array}{c} \vec{e}_{t}\\ \vec{e}_{n}\\ \vec{e}_{m}\end{array}\right) = \mathcal{F}\left(\begin{array}{c} \vec{e}_{t}\\ \vec{e}_{n}\\ \vec{e}_{m}\end{array}\right)$$

$$\mathcal{F} = \left(\begin{array}{ccc} 0 & \frac{1}{\varrho} & 0\\ -\frac{1}{\varrho} & 0 & \frac{1}{\tau}\\ 0 & -\frac{1}{\tau} & 0\end{array}\right)$$

$$\left(1+ds\mathcal{F}\right)\left(\begin{array}{c} \vec{e}_{t}\\ \vec{e}_{n}\\ \vec{e}_{m}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} \vec{e}_{t}+d\vec{e}_{t}\\ \vec{e}_{n}+d\vec{e}_{n}\\ \vec{e}_{m}+d\vec{e}_{m}\end{array}\right)$$

• $\left(1+ds\mathcal{F}\right)$ beschreibt eine Rotation.
• $\left(1+ds\mathcal{F}\right)$ ist eine Orthogonale Matrix
  $\left(1+ds\mathcal{F}\right)^{-1}=\left(1+ds\mathcal{F}\right)^{T}=\left(1-ds\mathcal{F}\right)$

Hauptsatz der Kurventheorie

$\vec{x}\left(s\right)=\int_{0}^{s}ds'\frac{d\vec{x}}{ds'}=\int_{0}^{s}ds'\vec{e}_{t}\left(s'\right)$