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Subsections

Mechanik des ``starren Körpers''

Freiheitsgerade
$ 6$

Kreisel

Rotator


Drehimpulssatz

Drehimpuls
$ L_{\omega}=\vec{L}\vec{e}_{\omega}=\sum_{i}m_{i}\left(\vec{e}_{\omega}\times\vec{x}_{i}\right)^{2}\omega=J\omega=J\dot{\varphi}$
Trägheitsmoment
$ J=\sum_{i}m_{i}\left(\vec{e}_{\omega}\times\vec{x}_{i}\right)^{2}$
Drehmoment
$ \vec{N}=\frac{d\vec{L}}{dt}=\sum_{i}\vec{x}_{i}\times\vec{F}_{i}^{ext}$

Physikalisches Pendel

Aufbau

Drehmoment
$ N_{\omega}=J\ddot{\varphi}=-\sum_{i}m_{i}y_{i}g=-MgR_{y}$
Schwerpunkt
$ \vec{R}=\left(R_{x},R_{y},R_{z}\right)=\left(R\cos\varphi,R\sin\varphi,0\right)$
Ansatz
$ J\ddot{\varphi}+RMg\sin\varphi=0$
Energiesatz
$ V=\sum_{i}V_{i}=-g\sum_{i}m_{i}x_{i}=-MgR\cos\varphi$

Analogie: Rotation & Translation

Siehe Tabelle cap:Analogie-Rotation-Translation.


Table 1: Analogie Rotation & Translation
  Teilchen Rotator  
Ort $ x$ $ \varphi$ Winkel
Masse $ m$ $ J$ Trägheitsmoment
Geschwindigkeit $ v=\dot{x}$ $ \omega=\dot{\varphi}$ Winkelgeschwindigkeit
Impuls $ m\dot{x}=mv$ $ L_{\omega}=J\omega=J\dot{\varphi}$ Drehimpuls
Kraft $ m\ddot{x}=F$ $ N_{\omega}^{ext}$ Drehmoment
Kinetische Energie $ T=\frac{1}{2}mv^{2}$ $ T=\frac{1}{2}m\omega^{2}$ Kinetische Energie



Kreisel

Eigenschaften
1 Punkt fest, 3 Freiheitsgerade

Koordinatensysteme

Kinetische Energie

$\displaystyle T$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\sum m_{n}\left\vert\vec{v}_{n}\right\vert^{2}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\sum_{n}m_{n}\left(\vec{\omega}\times\vec{x}_{n}'\right)^{2}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\sum_{n}m_{n}\left(\left\vert\vec{\omega}\right\vert^{...
...ert\vec{x}_{n}'\right\vert^{2}-\left(\vec{\omega}\vec{x}_{n}'\right)^{2}\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle {\scriptstyle \frac{1}{2}\sum_{\alpha,\beta=1}^{3}\left(\sum_{n=1...
...alpha\beta}-x_{n\alpha}'x_{n\beta}'\right)\omega_{\alpha}\omega_{\beta}\right)}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\sum_{\alpha,\beta=1}^{3}J_{\alpha\beta}\omega_{\alpha}\omega_{\beta}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\vec{\omega}^{T}\underline{J}\vec{\omega}$  


Trägheitstensor


$\displaystyle J$ $\displaystyle =$ $\displaystyle J^{T}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{n}m_{n}\left(\left\vert\vec{x}_{n}\right\vert\underline{1}-\vec{x}_{n}\vec{x}_{n}^{T}\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{n}m_{n}\left(\begin{array}{ccc}
y_{n}^{2}+z_{n}^{2} & -x_{n...
...y_{n}z_{n}\\
-x_{n}z_{n} & -y_{n}z_{n} & x_{n}^{2}+y_{n}^{2}\end{array}\right)$  

$\displaystyle =\left(\begin{array}{ccc}
{\scriptscriptstyle \int_{V}dV\varrho\l...
...int_{V}dV\varrho\left(\vec{r}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)}\end{array}\right)$

Steinerscher-Satz
$ J_{ik}=M\left(R^{2}\delta_{ik}-R_{i}R_{k}\right)+J_{ik}^{*}$
Drehimpuls
$ \vec{L}=\underline{J}\vec{\omega}$

Dynamik des starren Körpers

Eulerschen Kreiselgleichungen

$\displaystyle A\dot{\omega}_{1}+C\omega_{2}\omega_{3}-B\omega_{2}\omega_{3}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle N_{1}'$  
$\displaystyle B\dot{\omega}_{2}+A\omega_{1}\omega_{3}-C\omega_{1}\omega_{3}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle N_{2}'$  
$\displaystyle C\dot{\omega}_{3}+B\omega_{2}\omega_{1}-A\omega_{2}\omega_{1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle N_{3}'$  

Kräftefreier Kreisel
$ \vec{N}=0$
symmetrischer Kreisel
$ A=B\neq C$
$\displaystyle A\dot{\omega}_{1}+\left(C-A\right)\omega_{2}\omega_{3}$ $\displaystyle =$ 0  
$\displaystyle A\dot{\omega}_{1}+\left(C-A\right)\omega_{1}\omega_{3}$ $\displaystyle =$ 0  
$\displaystyle C\omega_{3}$ $\displaystyle =$ 0  

in Raumfesten Koordinaten
sehen diese Gebilde anders aus. Hierzu siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Präzession.


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Marco Möller 12:12:15 01.03.2006