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\begin{document}

\title{Formelsammlung\\
Theoretische Physik II: Quantenmechanik}


\author{<Marco.Moeller@macrolab.de>}


\date{Stand: 21.07.2006 - Version: 1.0.0\\
\noun{Erhältlich unter \url{http://privat.macrolab.de}}}

\maketitle
Diese Formelsammlung basiert auf der Vorlesung {}``Theoretische Physik
II: Quantenmechanik'' von Prof. Karlheinz Langanke an der Technischen
Universität Darmstadt im Sommersemester 2006.

Die folgende Formelsammlung steht zum kostenlosen Download zur Verfügung.
Das Urheberrecht und sonstige Rechte an dem Text verbleiben beim Verfasser,
der keine Gewähr für die Richtigkeit und Vollständigkeit der Inhalte
übernehmen kann.

\tableofcontents{}


\section{Wellenfunktion\index{Wellenfunktion}}


\subsection{Schrödinger\index{Schrödinger Gleichung} Gleichung}

\[
i\hbar\frac{\partial\psi\left(x,t\right)}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\psi\left(x,t\right)}{\partial x^{2}}+V\cdot\psi\left(x,t\right)\]


\begin{itemize}
\item $\hbar=\frac{h}{2\pi}=1,0545727\cdot10^{-34}Js=6582122\cdot10^{-22}MeV\, s$
\item \emph{de Broglie\index{Broglie, de}\index{de Broglie}} $p=\frac{2\pi\hbar}{\lambda}$
\item Ist linear in $\psi$. D.h. wenn $\psi_{1},\psi_{2}$ Lsg., dann auch
$c_{1}\psi_{1}+c_{2}\psi_{2}$ für feste $c_{1},c_{2}$.
\end{itemize}

\subsection{statistische Interpretation}

\[
\left|\psi\left(x,t\right)\right|^{2}dx=\left\{ {\textrm{Wahrscheinlichkeit ein Teilchen}\atop \textrm{im Intervall }\left[x,x+dx\right]\textrm{ zu finden}}\right.\]


\begin{itemize}
\item Durch Messung \emph{Kollabiert\index{Kollabiert}} die Wellenfunktion
zu einem Peak am gemessenen Wert 
\end{itemize}

\subsection{Wahrscheinlichkeit\index{Wahrscheinlichkeit}}


\subsubsection{Diskrete Verteilung\index{Verteilung}}

von Ereignissen $N\left(j\right)$ mit $0\le j\le\infty$ und $N\left(j\right)\ge0$
für alle $j$.

\begin{description}
\item [{totale~Anzahl}] von Ereignissen $N=\sum_{j=0}^{\infty}N\left(j\right)$
\item [{Wahrscheinlichkeitsverteilung\index{Wahrscheinlichkeitsverteilung}}] $P\left(j\right)=\frac{N\left(j\right)}{N}$
\end{description}
\begin{itemize}
\item $\sum_{j=0}^{\infty}P\left(j\right)=1$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [{Wahrscheinlichstes~Ereigniss}] $\max\left\{ P\left(j\right)\right\} $
\item [{mittleres~Ereigniss\index{Ereigniss}}] $\sum_{j=0}^{N_{med}}P\left(j\right)=\sum_{j=N_{med}}^{\infty}P\left(j\right)$
\item [{Mittelwert\index{Mittelwert}~/~Erwartungswert\index{Erwartungswert}}] $\left\langle f\left(j\right)\right\rangle =\sum_{j=0}^{\infty}f\left(j\right)\cdot P\left(j\right)$
\end{description}
\begin{itemize}
\item $\left\langle j\right\rangle =\overline{j}=\frac{1}{N}\sum_{j=0}^{\infty}j\cdot N\left(j\right)=\sum_{j=0}^{\infty}j\cdot P\left(j\right)$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [{Varianz\index{Varianz}}] $\sigma^{2}=\left\langle \left(j-\left\langle j\right\rangle \right)^{2}\right\rangle $
\end{description}
\begin{itemize}
\item $\Delta j=j-\left\langle j\right\rangle $
\item $\sigma^{2}=\left\langle j^{2}\right\rangle -\left\langle j\right\rangle ^{2}$
\item $\sigma^{2}\ge0\Rightarrow\left\langle j^{2}\right\rangle \ge\left\langle j\right\rangle ^{2}$
\item $\sigma=$Standardabweichung\index{Standardabweichung}
\end{itemize}

\subsubsection{Wahrscheinlichkeitsdichten\index{Wahrscheinlichkeitsdichten}}

$x$ kontinuierlich\index{kontinuierlich}

\begin{description}
\item [{Wahrscheinlichkeitsdichte\index{Wahrscheinlichkeitsdichte}}] $\varrho\left(x\right)$
\end{description}
\begin{itemize}
\item Wahrscheinlichkeit, daß ein Ereigniss zufällig zwischen $x$ und $x+dx$
liegt ist $\varrho\left(x\right)\cdot dx$.
\item Wahrscheinlichkeit für ein Ereigniss im Intervall $\left[a,b\right]$
\[
P_{ab}=\int_{a}^{b}\varrho\left(x\right)\, dx\]

\end{itemize}
\begin{description}
\item [{Wahrscheinlichkeitsverteilung\index{Wahrscheinlichkeitsverteilung}}] $\int_{-\infty}^{\infty}\varrho\left(x\right)\, dx=1$
\item [{Mittelwert\index{Mittelwert}}] $\left\langle f\left(x\right)\right\rangle =\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)\cdot\varrho\left(x\right)\, dx$
\end{description}
\begin{itemize}
\item $\left\langle x\right\rangle =\int_{-\infty}^{\infty}x\cdot\varrho\left(x\right)\, dx$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [{Varianz\index{Varianz}}] $\sigma^{2}=\left\langle x^{2}\right\rangle -\left\langle x\right\rangle ^{2}$
\end{description}

\subsection{Normierung\index{Normierung}}

\begin{description}
\item [{Normierungsbedingung\index{Normierungsbedingung}}] Falls sich
$\psi$ statistisch interpretieren lassen soll, muss gelten \[
\int_{-\infty}^{\infty}\left|\psi\left(x,t\right)\right|^{2}dx=1\]

\end{description}
Falls $\psi$ Lösung der Schwingungsgleichung, dann ist auch $A\psi$
Lösung ($A=$Konstante).

\begin{itemize}
\item Falls $\psi$ Lösung, aber $\int_{-\infty}^{\infty}\left|\psi\right|^{2}dx$
ist \emph{nicht} endlich, dann beschreibt $\psi$ keinen quantenmechanischen
Zustand.
\item Falls $\psi=0$ $\Rightarrow$ auch nicht normierbar / keine Beschreibung
eines qm Teilchens
\item Multiplikation von $\psi$ mit $A=e^{i\alpha}$ mit $\alpha\in\mathbb{R}$
ändert nichts an der Wahrscheinlichkeitsverteilung
\item $\frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{\infty}\left|\psi\left(x,t\right)\right|^{2}dx=0$
\item $\frac{\partial}{\partial t}\left|\psi\left(x,t\right)\right|^{2}=\frac{i\hbar}{2m}\frac{\partial}{\partial t}\left(\psi^{*}\frac{\partial\psi}{\partial x}-\frac{\partial\psi^{*}}{\partial x}\psi\right)$
\end{itemize}

\subsection{Impuls\index{Impuls}}

\[
\left\langle v\right\rangle _{t}\equiv\frac{d}{dt}\left\langle x\right\rangle _{t}=\int_{-\infty}^{\infty}\psi^{*}\left(\frac{\hbar}{im}\frac{\partial}{\partial x}\right)\psi\, dx\]
\[
\left\langle x\right\rangle _{t}=\int_{-\infty}^{\infty}\psi^{*}\left(x\right)\psi\, dx\]


\begin{description}
\item [{Impuls\index{Impuls}}] $p\equiv\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}$
\end{description}
\begin{itemize}
\item Messgröße klassisch $A\left(p,x\right)$ $\Rightarrow$ Messgröße
q.m. $A\left(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x},x\right)$
\item es kommt entscheident darauf an, an welcher stelle der Operator in
Ausdrücken steht
\item $m\frac{d}{dt}\left\langle x\right\rangle =\left\langle p\right\rangle $
\end{itemize}
\begin{description}
\item [{Kinetische\index{Kinetische Energie}~Energie}] $T=\frac{p_{x}^{2}}{2m}=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}$
\item [{Heisenbergsche~Unschärferelation\index{Unschärferelation}}] $\sigma_{x}\cdot\sigma_{p_{x}}\ge\frac{\hbar}{2}$
\end{description}

\section{Zeitunabhängige Schrödinger Gl.}


\subsection{Stationäre Zustände}

\begin{itemize}
\item Potential $V\left(x\right)$ ist Zeitunabhängig
\item Schrödinger Gleichung lässt sich schreiben als\[
i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi\left(x,t\right)=\left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}}+V\left(x\right)\right)\psi\left(x,t\right)\]

\item Seperationsansatz\[
\psi\left(x,t\right)=\varphi\left(x\right)\cdot f\left(t\right)\]

\item Löse für $E\in\mathbb{R}_{>0}$\begin{eqnarray*}
i\hbar\frac{d}{dt}f\left(t\right) & = & Ef\left(t\right)\\
\left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}}+V\left(x\right)\right)\varphi_{E}\left(x\right) & = & E\varphi_{E}\left(x\right)\end{eqnarray*}
die zweite Gleichung heißt \emph{Zeitunabhängige Schrödingergleichung\index{Zeitunabhängige Schrödingergleichung}}
\item Lösung\[
\psi\left(x,t\right)=\phi_{E}\left(x\right)\cdot e^{-\frac{i}{\hbar}Et}\]

\item Falls sich das System in einem stationären Zustand mit der Energie
$E$ befindet:\\
$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi\left(x,t\right)=E\psi\left(x,t\right)$
\end{itemize}

\subsubsection{Statistische Interpretation}

\begin{itemize}
\item $\psi$ Normierbar $\Leftrightarrow$ $\varphi_{E}$ Normierbar
\item Jeder Erwartungswert einer dynamischen Variable (Operator) $A\left(x,\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}\right)$hängt
nicht von $t$ ab. (\emph{in einem Eigenzustand})

\begin{itemize}
\item $\left\langle x\right\rangle =const$, $\frac{d}{dt}\left\langle x\right\rangle =0=\frac{1}{m}\left\langle p\right\rangle $
\end{itemize}
\end{itemize}

\subsubsection{Zustand definierter Energie $\left(E\right)$}

\begin{itemize}
\item Analog zur klassischen Hamilton Funktion q.m. Hamilton Operator\[
\hat{H}=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}}+V\left(x\right)\]

\item Zeitunabhängige Schrödinger Gleichung lässt sich schreiben als\[
\hat{H}\varphi\left(x\right)=E\varphi\left(x\right)\]
was einer Eigenwertgleichung entspricht
\item $\left\langle H\right\rangle =E$\\
$\left\langle H^{2}\right\rangle =E^{2}$\\
$\sigma=0$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [{Grundzustand\index{Grundzustand}}] $x_{0}$ ist der Zustand in
dem $\varphi\left(x\right)$ \emph{keine} Nullstellen (außer evtl.
am Rand) bestitzt
\end{description}
\begin{itemize}
\item dies ist auch der Zustand mit der geringsten Energie
\end{itemize}
\begin{description}
\item [{Angeregte~Zustände\index{Angeregte Zustände}}] haben $n=1,2,\ldots$
Knoten
\item [{gebundener~Zustand\index{gebundener Zustand}}] erhält man, falls
gilt $E<\lim_{x\rightarrow\pm\infty}V\left(x\right)$
\end{description}
\begin{itemize}
\item Dies bedeutet, dass das Teilchen nicht in die Unendlichkeit verschwinden
kann, sondern an eine Ortsumgebung gebunden ist
\end{itemize}

\subsubsection{Allgemeine Lösung}

Da die Schrödinger Gleichung linear ist, ergibt sich die allgemeine
Lösung als Superponierung über alle Eigenlösugnen \[
\psi\left(x,t\right)=\sum_{i}c_{i}\varphi_{E_{i}}\left(x\right)e^{-\frac{\hbar}{i}E_{i}t}\]



\subsubsection{Stetigkeit}

\begin{itemize}
\item $\varphi_{E}$ ist überall stetig
\item $\frac{d\varphi_{E}}{dx}$ ist überall stetig, wo das Potential \emph{nicht}
unendlich wird. Es gilt\[
\Delta\left(\frac{d\varphi_{E}}{dx}\right)=\frac{2m}{\hbar^{2}}\lim_{\epsilon\rightarrow0}\int_{x-\epsilon}^{x+\epsilon}V\left(x\right)\cdot\varphi_{E}\left(x\right)\, dx\]

\end{itemize}

\subsubsection{Besondere Eigenschaften}

\begin{description}
\item [{Symmetrie}] Ist $V\left(x\right)=V\left(-x\right)$ ist zu gegebenen
$\varphi\left(x\right)$ auch $\varphi\left(-x\right)$ eine Lösung
der zeitunabhängigen Schrödingergleichung zur gleichen Energie.
\end{description}
\begin{itemize}
\item Falls es je Energie nur eine Lösung gibt, muss dies Folglich eine
gerade oder eine ungerade Funktion sein.
\end{itemize}
\begin{description}
\item [{Merkregel}] für Bereich mit Konstanten Potential $V_{0}$gilt
\end{description}
\begin{itemize}
\item bei $E<V_{0}$ ist $\varphi\left(x\right)=Ae^{kx}+Be^{-kx}$\\
$\kappa=\frac{\sqrt{2m\left(V_{0}-E\right)}}{\hbar}$
\item bei $E>V_{0}$ ist $\varphi\left(x\right)=A\sin\left(\omega x\right)+B\cos\left(\omega x\right)$\\
$\omega=\frac{\sqrt{2m\left(E-V_{0}\right)}}{\hbar}$
\end{itemize}

\subsection{Kastenpotential\index{Kastenpotential} mit unendlich hohen Wänden}

\[
V\left(x\right)=\begin{cases}
0 & 0\le x\le a\\
\infty & \textrm{sonst}\end{cases}\]


\begin{itemize}
\item $\psi$ muss stetig in $x$ sein!
\item Lösung im Intervall $\left[0,a\right]$ ist\begin{eqnarray*}
E_{n} & = & \frac{\hbar^{2}\pi^{2}}{2ma^{2}}n^{2}\\
\varphi_{n}\left(x\right) & = & \sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(n\frac{\pi}{a}x\right)\end{eqnarray*}
außerhalb des Intervalls ist $\varphi_{n}\left(x\right)=0$. mit $n\ge1$
\item Die $\varphi_{i}$ bilden ein Orthonormalsystem\index{Orthonormalsystem},
und sogar eine Basis\[
\varphi_{i}^{*}\varphi_{j}=\delta_{ij}\]
die \emph{Fourier Basis\index{Fourier Basis}}

\begin{itemize}
\item Falls $f\left(x\right)=\sum_{i}c_{i}\varphi_{i}\left(x\right)$
\item gilt $c_{i}=\int_{-\infty}^{\infty}\varphi_{i}^{*}\left(x\right)\, f\left(x\right)\, dx$
\end{itemize}
\item Mittelwert von $x$ ist Genau in der Mitte des Potentials, im Symmetriepunkt\\
$\left\langle x\right\rangle =\frac{a}{2}$
\item $\psi\left(x,t\right)=\sum_{i}c_{i}\varphi_{i}\left(x\right)e^{-\frac{\hbar}{i}E_{i}t}$

\begin{itemize}
\item $\sum_{i}\left|c_{i}\right|^{2}=1$\\
falls die $\varphi_{i}$ eine Orthonormalbasis bilden
\end{itemize}
\item $\left\langle H\right\rangle =\sum_{i}\left|c_{i}\right|^{2}E_{i}$\\
d.h. die $\left|c_{i}\right|^{2}$ sind die Warscheinlichkeiten als
Energie $E_{i}$ zu messen
\end{itemize}

\subsection{Harmonische Oszillatoren}

\begin{itemize}
\item In der Umgebung eines lokalen Extremums lässt sich jede Funktion Näherungsweise
als Parabel auffassen.
\item Harmonische Oszillatoren in klassischer Mechanik\[
V\left(x\right)=\frac{1}{2}kx^{2}\]

\end{itemize}

\subsubsection{Potential}

\[
V\left(x\right)=\frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}\]


\begin{itemize}
\item hat Lösung\[
\Psi\left(x,t\right)=\varphi\left(x\right)e^{-\frac{i}{\hbar}Et}\]

\item Lösungsansatz\[
\frac{1}{2m}\left[\left(\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}\right)^{2}+\left(m\omega x\right)^{2}\right]\varphi\left(x\right)=E\varphi\left(x\right)\]

\end{itemize}

\subsubsection{Algebraische Lösung}

\begin{itemize}
\item Definiere\begin{eqnarray*}
a_{+} & := & \frac{1}{\sqrt{2m}}\left(\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}+im\omega x\right)\\
a_{-} & := & \frac{1}{\sqrt{2m}}\left(\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}-im\omega x\right)\end{eqnarray*}

\item Operatoridentitäten\begin{eqnarray*}
a_{-}a_{+} & = & -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}}+\frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}+\frac{1}{2}\hbar\omega\\
a_{+}a_{-} & = & -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}}+\frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}-\frac{1}{2}\hbar\omega\end{eqnarray*}

\item Hamilton Operator\[
\hat{H}=a_{-}a_{+}-\frac{1}{2}\hbar\omega\]

\item Impuls\[
p=\sqrt{\frac{m}{2}}\left(a_{+}+a_{-}\right)\]

\item Ort\[
x=i\sqrt{\frac{1}{2m\omega^{2}}}\left(a_{-}-a_{+}\right)\]

\end{itemize}
\begin{description}
\item [{Kommutator}] $\left[A,B\right]=AB-BA$
\end{description}
\begin{itemize}
\item $\left[AB,C\right]=A\left[B,C\right]+\left[A,C\right]B$
\item $\left[x,p\right]=i\hbar$
\item $\left[a_{-},a_{+}\right]=\hbar\omega$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [{Lösungen}] falls $\varphi$ Lösung der Schrödinger Gleichung für
Energie $E$, dann ist $\left(a_{+}\varphi\right)$ Lösung für die
Energie $E+\hbar\omega$ und $\left(a_{-}\varphi\right)$ Lösung für
die Energie $E-\hbar\omega$.
\item [{Normierung}] falls $\int_{-\infty}^{\infty}\left|\varphi\right|^{2}dx=1$
gilt\[
\int_{-\infty}^{\infty}\left|a_{-}\varphi\right|^{2}dx=E-\frac{1}{2}\hbar\omega\]

\item [{Lösungen}] \begin{eqnarray*}
\varphi_{n}\left(x\right) & = & A_{n}\left(a_{+}\right)^{n}e^{-\frac{m\omega}{2\hbar}x^{2}}\\
E_{n} & = & \left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega\end{eqnarray*}

\item [{Iterative}] Lösung \begin{eqnarray*}
a_{-}\varphi_{n} & = & -i\sqrt{n\hbar\omega}\varphi_{n-1}\\
a_{+}\varphi_{n} & = & i\sqrt{\left(n+1\right)\hbar\omega}\varphi_{n+1}\end{eqnarray*}

\end{description}
\begin{itemize}
\item die Phase von $\pm i$ ist eigentlich irrelevant, ist aber so in der
Konvention
\item $a_{+}a_{-}\varphi_{n}=n\hbar\omega\varphi_{n}$\\
$a_{-}a_{+}\varphi_{n}=\left(n+1\right)\hbar\omega\varphi_{n}$
\item $\left\langle n|x|m\right\rangle =\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\left(\sqrt{m}\delta_{n,m-1}+\sqrt{n}\delta_{m,n-1}\right)$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [{Viralsatz}] besagt (nur beim harmonischen Oszillator)\[
\frac{1}{2}\left\langle E\right\rangle =\left\langle T\right\rangle =\left\langle V\right\rangle \]

\end{description}

\subsubsection{Analytische Lösung}

\begin{description}
\item [{Lösung}] \begin{eqnarray*}
\varphi_{n}\left(\xi\right) & = & \left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{\frac{1}{4}}\frac{1}{\sqrt{2^{n}n!}}H_{n}\left(\xi\right)e^{-\frac{\xi^{2}}{2}}\\
\xi\left(x\right) & = & \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x\\
E_{n} & = & \left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega\end{eqnarray*}

\item [{Hermite\index{Hermite Polynome}~Polynome}] \begin{eqnarray*}
H_{0}\left(x\right) & = & 1\\
H_{1}\left(x\right) & = & 2x\\
H_{2}\left(x\right) & = & 4x^{2}-2\\
H_{n}\left(x\right) & = & \sum_{j=0}^{n}a_{j}x^{n}\\
 & = & \left(-1\right)^{n}e^{\frac{x^{2}}{2}}\frac{d^{n}}{dx^{n}}e^{-\frac{x^{2}}{2}}\\
 & = & xH_{n-1}\left(x\right)-nH_{n-2}\left(x\right)\end{eqnarray*}

\end{description}
\begin{itemize}
\item $a_{j+2}=\frac{2j+2n}{\left(j+1\right)\left(j+2\right)}a_{j}$
\item $a_{n}=2^{n}$
\item Es kommen je nachdem ob $n$ gerade oder ungerade ist nur gerade oder
ungerade Potenzen in $H_{n}\left(x\right)$ vor.
\item Bilden ein Orthogonalsystem\[
\int_{-\infty}^{\infty}H_{n}^{*}\left(x\right)H_{m}\left(x\right)e^{-\frac{x^{2}}{2}}dx=n!\sqrt{2\pi}\delta_{nm}\]

\item Lösen die DGL mit $n\in\mathbb{N}$\[
y''-2xy'+2ny=0\]

\end{itemize}

\subsection{Das {}``freie'' Teilchen\index{freie Teilchen}}

\begin{description}
\item [{Potential}] $V\left(x\right)=0$
\item [{Lösung}] mit $k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$\[
\Psi\left(x,t\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}dk\,\phi\left(k\right)\, e^{i\left(kx-\frac{\hbar k^{2}}{2m}t\right)}\]

\end{description}
\begin{itemize}
\item Bestimmung von $\phi\left(k\right)$ durch Fouriertransformation der
Anfangsbedingung\begin{eqnarray*}
\Psi\left(x,0\right) & = & \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}dk\,\phi\left(k\right)\, e^{ikx}\\
\phi\left(k\right) & = & \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}dx\,\Psi\left(x,0\right)\, e^{-ikx}\end{eqnarray*}

\item Vorraussetzung ist, das die folgenden Integrale existieren\begin{eqnarray*}
\int_{-\infty}^{\infty}dx\left|\Psi\left(x,0\right)\right|^{2} & < & \infty\\
\int_{-\infty}^{\infty}dk\left|\phi\left(x0\right)\right|^{2} & < & \infty\end{eqnarray*}

\end{itemize}
\begin{description}
\item [{Geschwindigkeit}] der Welle ist

\begin{description}
\item [{Phasengeschwindigkeit}] $v_{p}=\frac{\omega}{k}=\frac{\hbar k}{2m}$
\item [{Gruppengeschwindigkeit}] $v_{g}=\left.\frac{d\omega}{dk}\right|_{k=K_{0}}=\frac{\hbar k}{m}$
\end{description}
\end{description}

\subsection{Delta}

\begin{description}
\item [{Dirac~Delta}] $\delta\left(x\right)$ Definition siehe mein Skript
für die theoretische Physik 1
\item [{Potential}] $V\left(x\right)=-\alpha\delta\left(x\right)$
\end{description}
\begin{itemize}
\item Entspricht Einem unendlich hohen Spike im Potential am Punkt $x=0$
\end{itemize}

\subsubsection{Gebundene Zustände}

\begin{description}
\item [{Bedingung}] $E<0,\;\alpha>0$
\item [{Lösung}] \begin{eqnarray*}
\varphi\left(x\right) & = & \frac{\sqrt{m\alpha}}{\hbar}e^{-\frac{m\alpha}{\hbar^{2}}\left|x\right|}\\
E & = & -\frac{m\alpha^{2}}{2\hbar^{2}}\end{eqnarray*}

\end{description}

\subsubsection{freier Zustand}

\begin{description}
\item [{Beschreibung}] Es wird angenommen, das hier Teilchen von $-\infty$
in die Anordnung kommen und durch das Potential gestreut werden.
\end{description}
\begin{itemize}
\item Die Lösung in der Vorlesung hat einiges an Beweisen ausgespart, und
ist nur Oberflächlich korrekt. Es würde aber ein Korrekter Beweis
das gleiche Liefern
\end{itemize}
\begin{description}
\item [{Reflexionskoeffizient\index{Reflexionskoeffizient}}] $R=\frac{\beta^{2}}{1-\beta^{2}}=\frac{1}{1+\frac{2\hbar^{2}E}{m\alpha^{2}}}$
\end{description}
\begin{itemize}
\item $\beta=\frac{m\alpha}{\hbar^{2}k}$
\item $k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$
\item Wahrscheinlichkeit, das ein Teilchen reflektiert wird
\item man hat Reflexion, obwohl der Spike weit unter dem Potential liegt
\end{itemize}
\begin{description}
\item [{Transmissionskoeffizient\index{Transmissionskoeffizient}}] $T=\frac{1}{1+\beta^{2}}=\frac{1}{1+\frac{m\alpha^{2}}{2\hbar^{2}E}}$
\end{description}
\begin{itemize}
\item Wahrscheinlichkeit, das ein Teilchen passieren kann
\item $R+T=1$
\item Unabhängig vom Vorzeichen von $\alpha$ bzw. der Richtung des Potential-Spikes
($\pm$). Das heißt, das ein Teilchen durch eine Barriere Durchtunneln
kann
\end{itemize}

\subsection{Endlicher Potentialtopf\index{Potentialtopf}}

\begin{description}
\item [{Potential}] $V\left(x\right)=\begin{cases}
-V_{0} & -a\le x\le a\\
0 & \textrm{sonst}\end{cases}$
\end{description}
\begin{itemize}
\item $V_{0}>0$
\end{itemize}

\subsubsection{Gebundener Zustand}

\begin{itemize}
\item $\kappa=\frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar}$
\item $l=\frac{\sqrt{2m\left(V_{0}+E\right)}}{\hbar}\in\mathbb{R}$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [{gerade~Lösungen}] \[
\varphi\left(x\right)=\begin{cases}
Fe^{-\kappa x} & x>a\\
D\cos\left(lx\right) & 0\le x\le a\\
\varphi\left(-a\right) & sonst\end{cases}\]

\end{description}
\begin{itemize}
\item $Fe^{-\kappa a}=D\cos\left(la\right)$
\item $\kappa=l\tan\left(la\right)$
\item $\left(\kappa a\right)^{2}+\left(la\right)^{2}=\frac{2mV_{0}}{\hbar^{2}}a^{2}$
\item Es gibt immer mindestens eine gerade Lösung!
\item Anzahl der Lösungen ist größtes $n$ das die Gleichung\\
$\left(n-1\right)\pi\le\sqrt{mV_{0}}\frac{a}{\hbar}$\\
erfüllt
\item Im Grenzfall $mV_{0}a^{2}\rightarrow\infty$ ergibt sich\\
$la=\frac{\pi}{2},\frac{3}{2}\pi,\ldots,\left(n+\frac{1}{2}\right)\pi,\ldots$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [{ungerade~Lösungen}] \[
\varphi\left(x\right)=\begin{cases}
Fe^{-\kappa x} & x>a\\
D\sin\left(lx\right) & 0\le x\le a\\
-\varphi\left(-a\right) & sonst\end{cases}\]

\end{description}
\begin{itemize}
\item $Fe^{-\kappa a}=D\sin\left(la\right)$
\item $\kappa=-l\cot\left(la\right)$
\item $\left(\kappa a\right)^{2}+\left(la\right)^{2}=\frac{2mV_{0}}{\hbar^{2}}a^{2}$
\item Anzahl der Lösungen ist größtes $n$ das die Gleichung\\
$\left(n+\frac{1}{2}\right)\pi\le\sqrt{mV_{0}}\frac{a}{\hbar}$\\
erfüllt
\item Im Grenzfall $mV_{0}a^{2}\rightarrow\infty$ ergibt sich\\
$la=\pi,2\pi,\ldots,n\pi,\ldots$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [{Insgesamt}] haben wir im Grenzfall den Unendlichen Potentialtopf
um $V_{0}$ nach unten verschoben.
\end{description}

\subsubsection{Streulösung}

\begin{description}
\item [{Transmissionskoeffizient}] $T$ mit \[
T^{-1}=1+\sin^{2}\left(\frac{2a}{\hbar}\sqrt{2m\left(E+V_{0}\right)}\right)\frac{V_{0}^{2}}{4E\left(E+V_{0}\right)}\]

\end{description}
\begin{itemize}
\item Bei bestimmten Energieen \[
\frac{2a}{\hbar}\sqrt{2m\left(E+V_{0}\right)}=n\pi\]
erhält man vollständige Transmission
\end{itemize}
\begin{description}
\item [{Reflexionskoeffizient}] $R=1-T$
\end{description}

\section{Formalisierung der Quantenmechanik}


\subsection{Funktionenräume\index{Funktionenräume}}

\begin{description}
\item [{Vektoren}] $\left|\alpha\right\rangle $ entspricht einer Funktionen
$\alpha\left(x\right)$. Diese Funktionen bilden einen $\mathbb{C}$
Vektorraum.
\item [{Lineare~Abbildungen}] Sind lineare \emph{Operatoren}\index{Operatoren}
$\hat{X}$. Diese sind im endlichdimensionalen mit Matrizen vergleichbar
\end{description}
\begin{itemize}
\item Bsp: $\hat{\frac{d}{dx}}$ in Polynomen vom Grad $N$, $\hat{x}$
im formaten Potenzreihen
\end{itemize}
\begin{description}
\item [{Eigenfunktion\index{Eigenfunktion}}] $\hat{T}\left|\alpha\right\rangle =\lambda\left|\alpha\right\rangle $
$\alpha$ heißt Eigenfunktion zum Eigenwert $\lambda$ von $\hat{T}$
\item [{Skalarprodukt\index{Skalarprodukt}}] $\left\langle \alpha|\beta\right\rangle =\int\alpha^{*}\left(x\right)\beta\left(x\right)$dx
\end{description}
\begin{itemize}
\item Die Grenzen müssen Passend zu Problem definiert werden
\item Funktionen müssen Quadratintegrable sein $\Leftrightarrow\left\langle \alpha|\beta\right\rangle <\infty$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [{hermitesche\index{hermitesche Operatoren}~Operatoren}] $\left\langle \alpha|\hat{T}\beta\right\rangle =\left\langle \hat{T}\alpha|\beta\right\rangle $
für alle $\left|\alpha\right\rangle ,\left|\beta\right\rangle $
\end{description}
\begin{itemize}
\item $\hat{\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}}$ ist hermitesch, falls

\begin{itemize}
\item $\alpha\left(a\right)=\alpha\left(b\right)$ für alle $\left|\alpha\right\rangle $
($a,b$ sind Integrationsgrenzen) 
\item oder bei quadrat-integrable Funktionen in $\left[-\infty,\infty\right]$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [{Eigenschaften}] einer hermiteschen Operation $\hat{T}^{\dagger}=\hat{T}$
\end{description}
\begin{itemize}
\item Alle Eigenwerte sind reel
\item Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten sind orthogonal
\item Für \emph{endlich dimensionale} Vektorräume spannen die Eigenvektoren
den ganzen Raum auf
\item $\left\langle \hat{T}\right\rangle =\sum_{i}\left|c_{i}\right|^{2}\lambda_{i}$
Erwartungswert der Messung
\item Eigenwerte von $\hat{T}=$Mögliche Messwerte jeweils mit Wahrscheinlichkeit
$\left|\left\langle \textrm{Eigenvektor}_{i}|\psi\right\rangle \right|^{2}$
\end{itemize}
\end{itemize}

\subsubsection{Hilbertraum\index{Hilbertraum}}

In der QM sind wir an Fkt. interressiert, die quadrat-integrabel sind\[
\int_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}\left(x\right)\Psi\left(x\right)dx<\infty\]
Der Raum der von solchen Funktionen aufgespannt wird, wird mit \[
L_{2}\left(-\infty,\infty\right)\]
 bezeichnet.

Ein Vektorraum $H$ mit einem inneren Produckt, $\left\langle \cdot|\cdot\right\rangle $
heißt Hilbertraum, falls alle Konvergenten Reihen in $H$ gegen einen
Vektor in $H$ konvergieren (Vollständig).


\subsubsection{Verallgemeinerte statistische Interpretation}

\begin{enumerate}
\item Ein Teilchen wird repräsentiert durch eine Wellenfunktion $\Psi\left(x,t\right)$
\item $\left|\Psi\left(x,t\right)\right|^{2}dx$ ist die Warscheinlichkeit,
das Teilchen im Intervall $\left[x,x+dx\right]$ zur Zeit $t$ zu
finden
\item Die Normierung muss erfüllt sein: $\int_{-\infty}^{\infty}\left|\Psi\left(x,t\right)\right|^{2}dx$
\end{enumerate}
Dann haben wir $\Psi\left(x,t\right)\in L_{2}\left(-\infty,\infty\right)$
mit dem inneren Produkt $\left\langle \alpha|\beta\right\rangle =\int_{-\infty}^{\infty}\alpha^{*}\beta\: dx$

\begin{enumerate}
\item Wir Identifizieren ein Teilchen mit einem Vektor in $L_{2}$ und bezeichnen
es als $\left|\Psi\right\rangle $. Die Normierung fordert $\left\langle \Psi|\Psi\right\rangle =1$
\item Meßgrößen sind hermitesche Operatoren $\hat{Q}$. Der Erwartungswert
von $\hat{Q}$ ist \[
\left\langle \hat{Q}\right\rangle =\left\langle \Psi|\hat{Q}\Psi\right\rangle \]

\item Messungen von Observablen liefern die Eigenwerte (reellen) von $\hat{Q}$
und zwingen das System einen Eigenzustand anzunehmen
\item Die Varianz der Messung ist $\sigma_{\hat{Q}}^{2}=\left\langle \left(\hat{Q}-\left\langle \hat{Q}\right\rangle \right)^{2}\right\rangle =0$
genau dann , wenn sich das System in einem Eigenzustand von $\hat{Q}$
befindet.
\end{enumerate}

\subsubsection{Vorgehen}

\begin{enumerate}
\item $\hat{Q}\left|\psi_{\lambda}\right\rangle =\lambda\left|\psi_{\lambda}\right\rangle $
bestimmen des Eigenspektrum (Menge der Eigenwerte) mit den zugehörigen
Eigenvektoren
\item Bilden einer Orthonormalbasis aus den $\left|\psi_{\lambda}\right\rangle $
\item Ein belibiger Zustand ist aus aus Basis linear kombinierbar $\left|\psi\right\rangle =\sum_{\lambda}a_{\lambda}\left|\psi_{\lambda}\right\rangle $,
$\left|a_{\lambda}\right|^{2}$ ist die Wahrscheinlichkeit $\lambda$
bei einer Messung von $\hat{Q}$ in $\left|\psi\right\rangle $ zu
finden.
\end{enumerate}

\subsubsection{Projektor\index{Projektor} / Basiswechsel\index{Basiswechsel}}

\begin{description}
\item [{Einsoperator\index{Einsoperator}}] $1=\sum_{n}\left|e_{n}\right\rangle \left\langle e_{n}\right|$ 
\end{description}
\begin{itemize}
\item Falls $\left\{ \left|e_{n}\right\rangle \right\} $ eine Vollständige,
orthonormierte Basis bilden
\end{itemize}
\begin{description}
\item [{Projektor}] ist ein Operator, für den gilt $P\left|\beta\right\rangle =P^{2}\left|\beta\right\rangle $
\end{description}
\begin{itemize}
\item Eigenwerte $0,1$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [{Zerlegung}] $\hat{Q}=\sum_{n}\lambda_{n}\left|e_{n}\right\rangle \left\langle e_{n}\right|$
\end{description}
\begin{itemize}
\item Jeder hermitesche Operator lässt sich auf {}``Diagonalgestalt''
bringen
\end{itemize}

\subsubsection{diskretes\index{diskretes-Spektrum} Spektrum}

\begin{description}
\item [{Vollständigkeit}] $\left|\psi\right\rangle =\sum_{n}c_{n}\left|e_{n}\right\rangle $\[
\left\langle e_{k}|\psi\right\rangle =c_{k}\]

\item [{Wahrscheinlichkeit}] dass $\lambda_{n}$ Auftritt \[
\left|c_{n}\right|^{2}=\left|\left\langle e_{n}|\psi\right\rangle \right|^{2}\]

\end{description}

\subsubsection{kontinuierliches\index{kontinuierliches Spektrum} Spektrum}

\begin{description}
\item [{Eigenzustände}] $e_{x'}=\delta\left(x-x'\right)$\[
\left|\Psi\right\rangle =\int_{-\infty}^{\infty}dk\, c_{k}\,\left|e_{k}\right\rangle \]

\item [{Eigenwertgleichung}] $\hat{Q}\left|e_{n}\right\rangle =\lambda_{n}\left|e_{n}\right\rangle $
mit $n$ kontinuierlich und $-\infty\le\lambda_{n}\le\infty$
\item [{Othogonale~Basis}] $\left\langle e_{n}|e_{k}\right\rangle =\delta\left(n-k\right)$
\end{description}
\begin{itemize}
\item $\left\langle x|\psi\right\rangle =\psi\left(x\right)=\left\langle \psi|x\right\rangle ^{*}$
\item $\left\langle p|\psi\right\rangle =\psi\left(p\right)=\left\langle \psi|p\right\rangle ^{*}$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [{Vollständigkeit}] $1=\int_{-\infty}^{\infty}dk\left|e_{k}\right\rangle \left\langle e_{k}\right|$
\item [{Wahrscheinlichkeitsdichte}] $\left|c_{k}\right|^{2}dk=\left|\left\langle e_{k}|\psi\right\rangle \right|^{2}dk$
\item [{Fourier\index{Fourier-Transformation}~Transformation}] \begin{eqnarray*}
\Psi_{p}\left(x\right) & \equiv & \left\langle x|p\right\rangle =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{i}{\hbar}px}\\
\Psi_{x}\left(p\right) & \equiv & \left\langle p|x\right\rangle \\
 & = & \left\langle x|p\right\rangle ^{*}\\
 & = & \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{i}{\hbar}px}\end{eqnarray*}
damit gilt\begin{eqnarray*}
\Psi\left(x\right) & = & \int_{-\infty}^{\infty}dp\,\Psi_{p}\left(x\right)\Psi\left(p\right)\\
 & = & \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}dp\, e^{\frac{i}{\hbar}px}\Psi\left(p\right)\\
\Psi\left(p\right) & = & \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}dx\, e^{-\frac{i}{\hbar}px}\Psi\left(x\right)\end{eqnarray*}

\item [{Mittelwerte}] von Kontinuierlichen Spektren\[
\left\langle Q\left(x,p,t\right)\right\rangle =\begin{cases}
{\scriptstyle \int\Psi^{*}\hat{Q}\left(x,\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx},t\right)\Psi dx} & {\scriptscriptstyle \textrm{im Ortsraum}}\\
{\scriptstyle \int\Psi^{*}\hat{Q}\left(-\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dp},p,t\right)\Psi dp} & {\scriptscriptstyle \textrm{im Impulsraum}}\end{cases}\]

\end{description}

\subsubsection{Heisenberg's Unschärfe\index{Unschärfe}}

\[
\sigma_{\hat{A}}^{2}\sigma_{\hat{B}}^{2}\ge\left(\frac{1}{2i}\left\langle \left[\hat{A},\hat{B}\right]\right\rangle \right)^{2}\]


\begin{itemize}
\item Mit $\hat{A}=\hat{x}$ und $\hat{B}=\hat{p}$ folgt die Heisenbergsche
Unschärfe
\item Falls die beiden Observablen $\hat{A}$ und $\hat{B}$ vertauschen
($\left[\hat{A},\hat{B}\right]=0$) und Hermitesch sind, gibt es eine
Basis in der $\hat{A}$ und $\hat{B}$ gleichzeitig diagonal werden
(scharf gemessen werden können).
\item Wenn $\left[\hat{A},\hat{B}\right]\neq0$ dann existiert keine Basis
in der $\hat{A}$ und $\hat{B}$ gleichzeitig diagonal werden
\item Bei einer Transformation $S$ die $H$ invariant läßt\[
S^{-1}HS=H\]
(entspr. $\left[H,S\right]=0$). Ist $\left|n\right\rangle $ ist
Eigenzustand von $H$ mit Eigenwert $E_{n}$, dann ist auch $S\left|n\right\rangle $
Eigenzustand von $H$ mit gleichen Eigenwert $E_{n}$.

\begin{itemize}
\item entweder $\left|n\right\rangle $ und $S\left|n\right\rangle $ sind
die gleichen Zustände \emph{oder} das Spektrum von $H$ ist \emph{entartet}.
\end{itemize}
\end{itemize}

\subsubsection{Energie-Zeit Unschärfe}

\[
\Delta t\cdot\Delta E\ge\frac{\hbar}{2}\]


\begin{itemize}
\item nicht vom gleichen Typ wie $x,p$ Unschärfe, weil $t$ keine Observable
ist.
\end{itemize}

\subsubsection{Zeitverhalten von Observablen}

\[
\frac{d}{dt}\left\langle \hat{Q}\right\rangle =\frac{i}{\hbar}\left\langle \left[\hat{H},\hat{Q}\right]\right\rangle +\left\langle \frac{\partial\hat{Q}}{\partial t}\right\rangle \]



\section{QM in $3$ Dimensionen}


\subsection{Verallgemeinerungen}

\begin{description}
\item [{Kinetische~Energie}] $T=\frac{\vec{p}^{2}}{2m}=\frac{1}{2m}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}\right)$
\end{description}
\begin{itemize}
\item klassisch $\rightarrow$ qm: $q_{i}\rightarrow\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx_{i}}$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [{Schrödinger~Gleichung}] \[
i\hbar\frac{\partial\Psi\left(\vec{r}\right)}{\partial t}=H\Psi\left(\vec{r}\right)=\left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\bigtriangleup+V\left(\vec{r}\right)\right)\Psi\left(\vec{r}\right)\]

\item [{Statistische~Interpretation}] \[
\int\left|\Psi\left(\vec{r}\right)\right|^{2}d\vec{r}=1\]

\item [{Für~zeitunabhängige~Potentiale}] vereinfacht sich dies zu\[
\Psi\left(\vec{r}\right)=\varphi_{n}\left(\vec{r}\right)\cdot e^{-\frac{i}{\hbar}E_{n}t}\]
\[
\left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\bigtriangleup+V\left(\vec{r}\right)\right)\varphi_{n}\left(\vec{r}\right)=E_{n}\varphi_{n}\left(\vec{r}\right)\]
\[
\int\left|\varphi_{n}\left(\vec{r}\right)\right|^{2}d\vec{r}=1\]

\item [{Kommutatoren}] zwischen Ort und Impuls
\end{description}
\begin{itemize}
\item $\left[r_{i},p_{i}\right]=i\hbar\delta_{ij}$
\item $\left[r_{i},r_{j}\right]=\left[p_{i},p_{j}\right]=0$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [{Ehrenfest~Theorem\index{Ehrenfest Theorem}}] \begin{eqnarray*}
\frac{d}{dt}\left\langle \vec{r}\right\rangle  & = & \frac{1}{m}\left\langle \vec{p}\right\rangle \\
\frac{d}{dt}\left\langle \vec{p}\right\rangle  & = & \left\langle -\vec{\nabla}V\right\rangle \end{eqnarray*}

\end{description}

\subsubsection{Harmonische Oszillator in 3d}

\[
\varphi_{n}\left(\vec{r}\right)=\varphi_{nx}\left(x\right)\cdot\varphi_{ny}\left(y\right)\cdot\varphi_{nz}\left(z\right)\]


\begin{description}
\item [{Entartete~Zustände}] liegen vor, wenn es zu einem Energiewert
mehrere Eigenzustände existieren.
\end{description}

\subsection{Drehimpuls\index{Drehimpuls}}

\begin{description}
\item [{Transformation}] $\frac{\vec{p}^{2}}{2m}\rightarrow-\frac{\hbar^{2}}{2m}\bigtriangleup=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\left(\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2}\frac{\partial}{\partial r}\right)\right)+\frac{\vec{L}^{2}}{2mr^{2}}$
\end{description}
\begin{itemize}
\item in Kugelkoordinaten
\end{itemize}
\begin{description}
\item [{Kommutator}] $\left[L_{i},L_{j}\right]=i\hbar\varepsilon_{ijk}L_{k}$ 
\end{description}
\begin{itemize}
\item mit $i,j,k\in\left\{ x,y,z\right\} $
\item $\left[L_{i},r_{j}\right]=\varepsilon_{ijk}i\hbar r_{k}$\\
$\left[L_{i},p_{j}\right]=\varepsilon_{ijk}i\hbar p_{k}$
\item $\left[\hat{H},L_{i}\right]=0$\\
falls $V$ nur von $r$ abhängt
\item Bilden eine $SU\left(2\right)$ Algebra (Li Algebra)
\end{itemize}
\begin{description}
\item [{Betrag}] $L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}$
\end{description}
\begin{itemize}
\item $\left[L^{2},L_{i}\right]=0$
\item Dies ist der einzige Operator der mit $L_{i}$ vertauscht
\item gleichzeitig Diagonalisierbar sind also $L^{2}$ und eine Komponente
von $L$

\begin{itemize}
\item Konvention: dies sind $L^{2},L_{z}$ 
\end{itemize}
\end{itemize}
\begin{description}
\item [{$\pm$Operatoren}] \begin{eqnarray*}
L_{+} & = & L_{x}+iL_{y}\\
L_{-} & = & L_{x}-iL_{y}\end{eqnarray*}

\end{description}
\begin{itemize}
\item $\left(L_{+}\right)^{\dagger}=L_{-}$\\
$\left(L_{-}\right)^{\dagger}=L_{+}$
\item $L_{+},L_{-}$ sind \emph{nicht} hermitesch
\item $\left[L^{2},L_{\pm}\right]=0$
\item $\left[L_{z},L_{+}\right]=\hbar L_{+}$\\
$\left[L_{z},L_{-}\right]=-\hbar L_{-}$
\item $L^{2}\left|l,m\right\rangle =l\left(l+1\right)\hbar\left|l,m\right\rangle $\\
$L_{z}\left|l,m\right\rangle =m\hbar\left|l,m\right\rangle $
\item $L_{+}\left|l,m\right\rangle =\sqrt{l\left(l+1\right)-m\left(m+1\right)}\hbar\left|l,m+1\right\rangle $\\
$L_{-}\left|l,m\right\rangle =\sqrt{l\left(l+1\right)-m\left(m-1\right)}\hbar\left|l,m-1\right\rangle $
\item $L_{x}=\frac{1}{2}\left(L_{+}+L_{-}\right)$\\
$L_{y}=\frac{1}{2i}\left(L_{+}-L_{-}\right)$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [{Eigenwerte}] Falls $f$ Eigenfunktion von $L^{2}$ mit Eigenwert
$\lambda=l\left(l+1\right)\hbar$ und zu $L_{z}$ mit Eigenwert $\mu=m\hbar$
\end{description}
\begin{itemize}
\item dann ist auch $L_{\pm}f$ Eigenfunktion von $L^{2}$und $L_{z}$ zu
Eigenwerten $\lambda,\mu\pm\hbar$.
\item $\lambda\ge\mu^{2}$
\item für festes $\lambda$ gibt es Maximum und Minimum für $\mu$\begin{eqnarray*}
\lambda & = & \mu_{max}^{2}+\hbar\mu_{max}\\
 & = & \mu_{min}^{2}-\hbar\mu_{min}\end{eqnarray*}

\item $-l\le m\le l$ in ganzzahligen Schritten.
\item $2\cdot l\in\mathbb{N}$ (also $l$ halbzahlig)
\item zu jedem $l$ gibt es $2l+1$ verschiedene Werte von $m$
\end{itemize}

\subsubsection{Bahndrehimpuls\index{Bahndrehimpuls}}

\[
\tilde{L}=\frac{\hbar}{i}\left(\vec{r}\times\vec{\nabla}\right)\]


\begin{itemize}
\item entspricht $\vec{r}\times\vec{p}$
\item $L^{2}\left|l,m\right\rangle =l\left(l+1\right)\hbar\left|l,m\right\rangle $
\item $m$ muss ganzzahlig sein $\Rightarrow$ $l$ auch
\item $\left|l,m\right\rangle =Y_{l,m}\left(\vartheta,\varphi\right)$
\item $Y_{l,m}\left(\vartheta,\varphi\right)=\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\frac{\left(l-m\right)!}{\left(l+m\right)!}}P_{l}^{m}\left(\cos\vartheta\right)\cdot e^{i\cdot m\cdot\varphi}$
\item $P_{l}^{m}\left(x\right)=\frac{\left(-1\right)^{m}}{2^{l}l!}\left(1-x^{2}\right)^{\frac{m}{2}}\frac{\partial^{l+m}}{\partial x^{l+m}}P_{l}\left(x\right)$
\item $P_{l}\left(x\right)=\frac{1}{2^{l}l!}\frac{\partial^{l}}{\partial x^{l}}\left(x^{2}-1\right)^{l}$
\end{itemize}

\subsubsection{Spin\index{Spin}}

Ist ein innerer Freiheitsgerad von Elementarteilchen. Er entspricht
ebenfalls einem Drehimpuls.

\begin{itemize}
\item $\vec{S}$ entspricht dem $\vec{L}$ beim Bahndrehimpuls
\item $s$ entspricht dem $l$ beim Bahndrehimpuls
\item Alle vom Bahndrehimpuls bekannten Beziehungen gelten analog auch für
den Spin
\item $s$ ist für eine Teilchenart fest

\begin{itemize}
\item $s=\frac{1}{2}$ für: Elektronen, Proton, Neutron, $\ldots$ (\emph{Fermionen}\index{Fermionen},
da $s$ halbzahlig)
\item $s=$ganzzahlig für \emph{Bosonen}\index{Bosonen}
\end{itemize}
\end{itemize}

\subsubsection{Spin\index{Spin} beim Elektron}

\begin{description}
\item [{Elektron}] Spin $s=\frac{1}{2}$
\item [{Eigenzustände}] \begin{eqnarray*}
\chi_{+} & = & \left|sm\right\rangle _{1}=\left|\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right\rangle \\
\chi_{-} & = & \left|sm\right\rangle _{2}=\left|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right\rangle \end{eqnarray*}

\end{description}
\begin{itemize}
\item Spin up: $\chi_{+}$\\
Spin down: $\chi_{-}$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [{Operatoren}] in Basis aus Eigenzuständen\begin{eqnarray*}
\hat{S^{2}} & = & \frac{3}{4}\hbar^{2}\left(\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 1\end{array}\right)\\
\hat{S}_{i} & = & \frac{\hbar}{2}\sigma_{i}\\
\hat{S}_{+} & = & \hbar\left(\begin{array}{cc}
0 & 1\\
0 & 0\end{array}\right)\\
\hat{S}_{-} & = & \hbar\left(\begin{array}{cc}
0 & 0\\
1 & 0\end{array}\right)\end{eqnarray*}

\end{description}
\begin{itemize}
\item Eigenwerte von $\hat{S}_{i}=\pm\frac{\hbar}{2}$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [{Pauli~Matrizen\index{Pauli Matrizen}}] sind\begin{eqnarray*}
\sigma_{x} & = & \left(\begin{array}{cc}
0 & 1\\
1 & 0\end{array}\right)\\
\sigma_{y} & = & \left(\begin{array}{cc}
0 & -i\\
i & 0\end{array}\right)\\
\sigma_{z} & = & \left(\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & -1\end{array}\right)\end{eqnarray*}

\end{description}
\begin{itemize}
\item $\det\left(\sigma_{i}\right)=-1$
\item $\textrm{trace}\left(\sigma_{i}\right)=0$
\item $\lambda_{1/2}=\pm1$
\item Eigenvektoren für $\sigma_{x}$\\
$\chi_{+}^{\left(x\right)}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\chi_{+}^{\left(z\right)}+\chi_{-}^{\left(z\right)}\right)$\\
$\chi_{-}^{\left(x\right)}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\chi_{+}^{\left(z\right)}-\chi_{-}^{\left(z\right)}\right)$
\item $\sigma_{i}^{2}=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 1\end{array}\right)=E$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [{Zustand}] \begin{eqnarray*}
\chi & = & \left(\begin{array}{c}
a\\
b\end{array}\right)=a\chi_{+}^{\left(z\right)}+b\chi_{-}^{\left(z\right)}\\
 & = & \frac{a+b}{\sqrt{2}}\chi_{+}^{\left(x\right)}+\frac{a-b}{\sqrt{2}}\chi_{-}^{\left(x\right)}\end{eqnarray*}

\end{description}

\subsection{Radiale Schrödingergleichung}

\[
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}u_{l}\left(r\right)}{\partial r^{2}}+\left(V\left(r\right)+\frac{l\left(l+1\right)\hbar^{2}}{2mr^{2}}-E\right)u_{l}\left(r\right)=0\]


\begin{itemize}
\item $u_{l}\left(0\right)=0$\\
da $\Psi\left(\vec{r}\right)$ sonst in $0$ singulär wird
\end{itemize}
\begin{description}
\item [{totale~Lösung}] $\Psi\left(\vec{r}\right)=\frac{u_{l}\left(r\right)}{r}Y_{l,m}\left(\vartheta,\varphi\right)$
\end{description}
\begin{itemize}
\item für festes $m,l$ verschiedene Eigenwerte die mit $n$ durchnummeriert
sind
\end{itemize}
\begin{description}
\item [{Normierung}] $\int_{0}^{\infty}\left|u_{l}\left(r\right)\right|^{2}dr=1\quad\Rightarrow\quad\int\left|\Psi\left(\vec{r}\right)\right|^{2}d\vec{r}=1$
\end{description}

\subsubsection{$\infty$ kugelsymmetrisches Potential}

\[
V\left(r\right)=\begin{cases}
0 & r<a\\
\infty & r\ge a\end{cases}\]


\begin{itemize}
\item $\beta_{n,l}=ka=n\pi$
\item $E_{n,l}=\frac{\hbar^{2}}{2ma^{2}}\beta_{n,l}^{2}$
\item $u\left(r\right)=A\cdot r\cdot j_{l}\left(k\cdot r\right)$
\item sphärische Bessel Funktion\index{sphärische Bessel Funktion}\\
$j_{l}\left(x\right)=\left(-x\right)^{l}\left(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right)^{l}\frac{\sin\left(x\right)}{x}$
\item sphärische von Neumann Funktion\index{sphärische von Neumann Funktion}\\
$u_{l}\left(x\right)=-\left(-x\right)^{l}\left(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right)^{l}\frac{\cos\left(x\right)}{x}$
\end{itemize}

\subsection{Wasserstoff\index{Wasserstoff Atom} Atom}

\begin{description}
\item [{Annahmen}] zur vereinfachten Rechnung
\end{description}
\begin{itemize}
\item Masse Proton $\infty$
\item Schwerpunkt im Proton
\end{itemize}
\begin{description}
\item [{Potential}] $V\left(r\right)=-\frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r}$
\item [{Eigenwertgleichung}] $\frac{d^{2}u}{d\varrho^{2}}=\left(1-\frac{\varrho_{0}}{\varrho}+\frac{l\left(l+1\right)}{\varrho^{2}}\right)u\left(\varrho\right)$
\end{description}
\begin{itemize}
\item $E<0$
\item $\kappa=\frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar}$
\item $\varrho=\kappa r=\frac{r}{an}$
\item $\varrho_{0}=\frac{me^{2}}{2\pi\varepsilon_{0}\hbar^{2}\kappa}$
\item $u\left(\varrho\right)=\varrho^{l+1}e^{-\varrho}v\left(\varrho\right)$\\
$v\left(\varrho\right)=\sum_{j=0}a_{j}\varrho^{j}$\\
$a_{j+1}=\frac{2\left(l+j+1\right)-\varrho_{0}}{\left(j+1\right)\left(j+2l+2\right)}a_{j}$\\
$a_{j_{max}+1}=0$
\item $n=j_{max}+l+1$
\item $E=-\left[\frac{m}{2\hbar^{2}}\left(\frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}}\right)^{2}\right]\frac{1}{n^{2}}$\\
$E=\frac{E_{1}}{n^{2}}$\\
$E_{1}=\frac{m}{2\hbar^{2}}\left(\frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}}\right)^{2}=-13,59\, eV$
\item $\kappa=\frac{1}{a\cdot n}$\\
$a=\frac{4\pi\varepsilon_{0}\hbar^{2}}{me^{2}}=0,529\cdot10^{-10}m$
Bohr Radius
\item $v\left(\varrho\right)=L_{n-l-1}^{2l+1}\left(\varrho\right)$\\
$L_{q-p}^{p}\left(x\right)=\left(-1\right)^{p}\left(\frac{d}{dx}\right)^{p}L_{q}\left(x\right)$\\
$L_{q}\left(x\right)=e^{x}\left(\frac{d}{dx}\right)^{q}\left(e^{-x}x^{q}\right)$
Laquerre Polynome\index{Laquerre Polynome}
\item $0\le l\le n-1$
\item Die Parität (ob es eine gerade oder ungerade Funktion ist) der Funktionen
ist $\left(-\right)^{l}$
\item Die Entartung des Zustandes mit Energie $E=\frac{E_{1}}{n^{2}}$ ist
$n^{2}$
\item $E_{\gamma}=h\frac{c}{\lambda}=E_{i}-E_{f}=R\left(\frac{1}{n_{f}^{2}}-\frac{1}{n_{i}^{2}}\right)$\\
$R=1,097\cdot10^{7}\frac{1}{m}$ Rydberg-Konstante\index{Rydberg-Konstante}
\end{itemize}

\section{Identische\index{Identische Teilchen} Teilchen}

In der QM sind identische Teilchen ununterscheidbar

\begin{description}
\item [{Austauschoperator\index{Austauschoperator}}] \[
P\varphi\left(\vec{r}_{1},\vec{r}_{2}\right)=\varphi\left(\vec{r}_{2},\vec{r}_{1}\right)\]

\end{description}
\begin{itemize}
\item lässt sich auch Erweitern auf eine Wellenfunktion von mehr als $2$
Teilchen
\item Eigenwerte $\pm1$
\item Eigenfunktionen $\pm\varphi\left(\vec{r}_{1},\vec{r}_{2}\right)=\varphi\left(\vec{r}_{2},\vec{r}_{1}\right)$
\item $H$ und $P$ sind simultan diagonalisierbar
\end{itemize}
\begin{description}
\item [{Symmetrische\index{Symmetrische Wellenfunktion}}] Wellenfunktionen
\[
\varphi\left(\vec{r}_{1},\vec{r}_{2}\right)=\varphi\left(\vec{r}_{2},\vec{r}_{1}\right)\]

\end{description}
\begin{itemize}
\item ident. Teilchen, die gegen Vertauschung symmetrisch sind, heißen \emph{Bosonen\index{Bosonen}}
\item dies sind genau die Teilchen mit ganzzahligen Spin
\item Wechselwirkungsteilchen:\\
Photonenm, W,Z Boson, Gluonen
\end{itemize}
\begin{description}
\item [{Antisymmetrische\index{Antisymmetrische Wellenfunktion}}] Wellenfunktion\[
\varphi\left(\vec{r}_{1},\vec{r}_{2}\right)=-\varphi\left(\vec{r}_{2},\vec{r}_{1}\right)\]

\end{description}
\begin{itemize}
\item \emph{Fermionen}\index{Fermionen}
\item dies sind genau die Teilchen mit halbzahligen Spin
\item Bausteine der Natur\\
Neutrinos, Elektronen, Protonen, Neutronen, Quarks
\end{itemize}

\subsection{System unabhängiger Teilchen}

\begin{description}
\item [{Potential}] läss sich hier schreiben als\[
V\left(r_{1},\ldots,r_{n}\right)=\sum_{i=1}^{n}V_{i}\left(r_{i}\right)\]

\item [{Lösung}] der Schrödingergleichung über Trennung der Variablen

\begin{description}
\item [{unterscheidbare}] Teilchen \[
\varphi\left(r_{1},\ldots,r_{n}\right)=\prod_{i=1}^{n}\varphi_{i}\left(r_{i}\right)\]

\item [{ununterscheidbare~Fermionen}] \[
\varphi\left(r_{1},\ldots,r_{n}\right)=\frac{1}{\sqrt{n!}}\det\left\{ \varphi_{i}\left(r_{j}\right)\right\} {i=1,\ldots,n\atop j=1,\ldots,n}\]


\begin{description}
\item [{Pauli~Prinzip\index{Pauli Prinzip}}] da Determinante für zwei
gleiche Zustände mit $=0$ reagiert sind solche zustände nicht mehr
normierbar und damit Verboten
\end{description}
\end{description}
\begin{itemize}
\item dieses $\varphi$ ist antisymmetrisch
\end{itemize}
\begin{description}
\item [{unterscheidbare~Bosonen}] gleiche formel wie bei Fermionen, blos
das alle Terme der Determinante positiv abgeändert werden.
\end{description}
\begin{itemize}
\item dieses $\varphi$ ist symmetrisch
\end{itemize}
\end{description}
\begin{itemize}
\item Die Grundzustandsenergie eines Bosonen Systems ist immer kleinergleich
der eines Fermionensystems \[
E_{0}^{B}\le E_{0}^{F}\]

\end{itemize}
\begin{description}
\item [{System}] aus zwei Teilchen. gesucht ist $\left\langle \left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}\right\rangle $
bei einem System mit \[
\varphi\left(x_{1},x_{2}\right)=\varphi_{a}\left(x_{1}\right)\cdot\varphi_{b}\left(x_{2}\right)\]


\begin{description}
\item [{unterscheidbare}] Teilchen \[
\left\langle \left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}\right\rangle =\left\langle x^{2}\right\rangle _{a}+\left\langle x^{2}\right\rangle _{b}-2\left\langle x\right\rangle _{a}\left\langle x\right\rangle _{b}\]

\item [{identische~Bosonen}] \[
{\scriptstyle \left\langle \left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}\right\rangle =\left\langle x^{2}\right\rangle _{a}+\left\langle x^{2}\right\rangle _{b}-2\left\langle x\right\rangle _{a}\left\langle x\right\rangle _{b}-2\left|\left\langle x\right\rangle _{ab}\right|^{2}}\]

\end{description}
\begin{itemize}
\item $\left\langle x\right\rangle _{ab}=\int dx\,\varphi_{a}^{*}\left(x\right)\cdot x\cdot\varphi_{b}\left(x\right)$
\item Bosonen rücken durch Wechselwirkungstherm also näher zusammen$\rightarrow$
spielt nur bei sehr nahe Benachbarten Teilchen eine Rolle
\end{itemize}
\begin{description}
\item [{identische~Fermionen}] \[
{\scriptstyle \left\langle \left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}\right\rangle =\left\langle x^{2}\right\rangle _{a}+\left\langle x^{2}\right\rangle _{b}-2\left\langle x\right\rangle _{a}\left\langle x\right\rangle _{b}+2\left|\left\langle x\right\rangle _{ab}\right|^{2}}\]

\end{description}
\begin{itemize}
\item Fermionen entfernen sich also durch Wechselwirkungstherm $\rightarrow$
spielt nur bei sehr nahe Benachbarten Teilchen eine Rolle 
\end{itemize}
\end{description}

\section{Zeitunabhängige Störungstheorie\index{Störungstheorie}}


\subsection{Nicht-entarteter Fall}

\[
H=H^{0}+H'\]


mit

\begin{enumerate}
\item $H^{0}\varphi_{n}^{0}=E_{n}^{0}\varphi_{n}^{0}$ bekannt
\item $\left\langle \varphi_{n}^{0}|\varphi_{m}^{0}\right\rangle =\delta_{nm}$
\item $H'\ll H^{0}$ {}``kleine'' Störung\\
Energieskala von $H'$ ist klein gegenüber $\left(E_{n}^{0}-E_{m}^{0}\right)$
\end{enumerate}
Entwickeln mit $\lambda\in\left[0,1\right]$ Entwicklungsparameter\[
H'\rightarrow\lambda H'\]
\begin{eqnarray*}
\left(H^{0}+\lambda H'\right)\varphi_{n} & = & E_{n}\varphi_{n}\\
\varphi_{n} & = & \varphi_{n}^{0}+\lambda\varphi_{n}^{1}+\lambda^{2}\varphi_{n}^{2}+\ldots\\
E_{n} & = & E_{n}^{0}+\lambda E_{n}^{1}+\lambda^{2}E_{n}^{2}+\ldots\end{eqnarray*}


Einsetzen in Schrödingergleichung und sortieren nach Koeffizienten
ergibt folgendes Gleichungssystem\begin{eqnarray*}
H^{0}\varphi_{n}^{0} & = & E_{n}^{0}\varphi_{n}^{0}\\
H^{0}\varphi_{n}^{1}+H'\varphi_{n}^{0} & = & E_{n}^{0}\varphi_{n}^{1}+E_{n}^{1}\varphi_{n}^{0}\\
H^{0}\varphi_{n}^{2}+H'\varphi_{n}^{1} & = & E_{n}^{0}\varphi_{n}^{2}+E_{n}^{1}\varphi_{n}^{1}+E_{n}^{2}\varphi_{n}^{0}\\
 & \vdots\end{eqnarray*}


Falls man nur an $E_{n}^{1}$ interessiert ist, und danach die Entwicklung
abbricht erhält man

\begin{description}
\item [{Störungstheorie~1.ter}] Ordnung \[
E_{n}^{1}=\left\langle \varphi_{n}^{0}|H'|\varphi_{n}^{0}\right\rangle \]

\end{description}
\begin{itemize}
\item $E_{n}\approx E_{n}^{0}+E_{n}^{1}$
\item $\varphi_{n}\approx\varphi_{n}^{0}$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [{Störungstheorie~2.ter}] Ordnung\begin{eqnarray*}
E_{n}^{2} & = & \left\langle \varphi_{n}^{0}|H'|\varphi_{n}^{1}\right\rangle \\
 & = & \sum_{m\neq n}\frac{\left|\left\langle \varphi_{n}^{0}|H'|\varphi_{m}^{0}\right\rangle \right|^{2}}{E_{n}^{0}-E_{m}^{0}}\\
\varphi_{n}^{1} & = & \sum_{m\neq n}\frac{\left\langle \varphi_{m}^{0}|H'|\varphi_{n}^{0}\right\rangle }{E_{n}^{0}-E_{m}^{0}}\varphi_{m}^{0}\end{eqnarray*}

\end{description}
\begin{itemize}
\item $E_{n}\approx E_{n}^{0}+E_{n}^{1}+E_{n}^{2}$
\item $\varphi_{n}\approx\varphi_{n}^{0}+\varphi_{n}^{1}$
\item Allgemein:\\
Für Störungstheorie $n$-ter Ordnung in der Energie benötigt man Störungstheorie
$\left(n-1\right)$-ter Ordnung in den Eigenfunktionen
\end{itemize}

\subsection{Entartete Störungstheorie\index{Störungstheorie}}

\begin{description}
\item [{gegeben}] \[
\varphi^{0}=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}\varphi_{\alpha_{i}}^{0}\]
 ist Eigenfunktion für alle $\alpha_{i}$ zu Eigenwert $E^{0}$\[
H^{0}\varphi^{0}=E^{0}\varphi^{0}\]

\end{description}
\begin{itemize}
\item Es gelte das die $\varphi_{\alpha_{i}}$ orthonormal sind\[
\left\langle \varphi_{\alpha_{i}}|\varphi_{\alpha_{\iota}}\right\rangle =\delta_{\alpha_{i}\alpha_{j}}\]

\end{itemize}
\begin{description}
\item [{Löse}] das Eigenwertproblem\[
\hat{W}\left(\alpha_{i}\right)=E^{1}\left(\alpha_{i}\right)\]
mit\[
\hat{W}=\left(\left\langle \varphi_{i}^{0}|H'|\varphi_{j}^{0}\right\rangle \right)_{i,j}\]

\end{description}
\begin{itemize}
\item Sei $\tilde{\alpha}=\left(\tilde{\alpha}_{i}\right)$ Eigenvektor
zum Eigenwert $\tilde{E}^{1}$\\
\[
\varphi^{0}=\sum_{i=1}^{n}\tilde{\alpha}_{i}\varphi_{\alpha_{i}}^{0}\]
ist Eigenfunktion von $H+H'$ zur Energie $E^{0}+\tilde{E}^{1}$
\end{itemize}

\section{Variationsverfahren\index{Variationsverfahren}}


\subsection{Obere Schranke}

\begin{description}
\item [{Gegeben}] \[
H\varphi_{n}=E\varphi_{n}\]

\end{description}
\begin{itemize}
\item Nähern $\varphi_{n}$ durch normierte parameterisierte Wellenfunktion
$\phi\left[a_{i}\right]$ mit $a_{i}$ als Parameter
\item Entwickele $\phi$ in der $\varphi_{n}$ Basis \[
\phi\left[a_{i}\right]=\sum_{k}c_{k}\varphi_{k}\]

\end{itemize}
\begin{description}
\item [{Erwartungswert}] der Energie ist\begin{eqnarray*}
E\left[\phi\right] & = & \frac{\left\langle \phi|H|\phi\right\rangle }{\left\langle \phi|\phi\right\rangle }\end{eqnarray*}

\item [{Es~gilt}] \[
E\left[\phi\right]-E_{0}=\frac{\sum_{k}\left|c_{k}\right|^{2}\left(E_{k}-E_{0}\right)}{\sum_{k}\left|c_{k}\right|^{2}}\ge0\]

\end{description}
\begin{itemize}
\item dies ist genau dann $=0$, wenn $\phi=\varphi_{0}$ ist.
\item wir haben also eine obere Schranke für die Energie.
\end{itemize}

\subsection{Spin / Drehimpuls Kopplung\index{Spin Kopplung}}

Kopplung von 2 beliebigen Drehimpulsen $\left(j_{1},j_{2}\right)$
\[
\vec{J}=\vec{J}^{\left(1\right)}+\vec{J}^{\left(2\right)}\]
 ist wieder ein Drehimpuls. Es gilt\begin{eqnarray*}
J^{2}\left|jm\right\rangle  & = & j\left(j+1\right)\hbar^{2}\left|jm\right\rangle \\
J_{z}\left|jm\right\rangle  & = & m_{j}\hbar\left|jm\right\rangle \end{eqnarray*}
mit \[
j=j_{1}+j_{2},j_{1}+j_{2}-1,\ldots,\left|j_{1}-j_{2}\right|\]
 und wie gehabt\[
j\le m_{j}\le j\]


\begin{itemize}
\item Addition von $n$ Spins in gleicher Richtung\\
$\Rightarrow$ immer symmetrisch gegen index Vertauschung
\item Addition von 2 gleichen entgegengesetzten Spins\\
$\Rightarrow$ antisymmetrisch gegen index Vertauschung
\end{itemize}

\section{Zeitabhängige Störungstheorie}


\paragraph{wir betrachten }

ein betrachten ein 2 Zustandssystem mit\begin{eqnarray*}
H_{0}\psi_{a} & = & E_{a}\psi_{a}\\
H_{0}\psi_{b} & = & E_{b}\psi_{b}\end{eqnarray*}
mit othonormalen zeitunabhängigen $\psi_{a},\psi_{b}$. Ein beliebiger
Zustand ist also gegeben durch\[
\Psi\left(t\right)=c_{a}\psi_{a}e^{-\frac{i}{\hbar}E_{a}t}+c_{b}\psi_{b}e^{-\frac{i}{\hbar}E_{b}t}\]
mit zeitunabhängigen $c_{a},c_{b}$ für die gilt $\left|c_{a}\right|^{2}+\left|c_{b}\right|^{2}=1$


\paragraph{Schalten zeiabhängige Störung ein}

\[
H=H_{0}+H'\left(t\right)\]



\paragraph{Annahme}

\[
\psi_{a},\psi_{b}\]
 spannen den Hilbert-Raum von $H$ auf. Das bedeutet das die Wirkung
von $H'$ $c_{a},c_{b}$ zeitabhängig macht.


\paragraph{Lösen}

des Gleichungssystems\begin{eqnarray*}
\dot{c_{a}} & = & -\frac{i}{\hbar}\left(c_{a}\left(t\right)H'_{aa}\left(t\right)+c_{b}\left(t\right)H'_{ab}\left(t\right)e^{-i\omega_{0}t}\right)\\
\dot{c_{b}} & = & -\frac{i}{\hbar}\left(c_{b}\left(t\right)H'_{bb}\left(t\right)+c_{a}\left(t\right)H'_{ba}\left(t\right)e^{+i\omega_{0}t}\right)\end{eqnarray*}
mit der Bohrfrequenz \[
\omega_{0}=\frac{E_{b}-E_{a}}{\hbar}\]
 und\[
\left\langle \psi_{i}|H'\left(t\right)|\psi_{j}\right\rangle =H'_{ij}\left(t\right)\]


Es gilt $H'_{ij}=\left(H'_{ji}\right)^{*}$


\paragraph{Lösen durch Iteration (Picard Lindelöf) liefert }

kann bei der Randbedingung \[
H'_{aa}=H'_{bb}=0\]


bei Annahme \begin{eqnarray*}
c_{a}^{\left(0\right)}\left(t\right) & = & 1\\
c_{b}^{\left(0\right)}\left(t\right) & = & 0\end{eqnarray*}
zu den folgenden ersten Iterationsgliedern 

\begin{eqnarray*}
c_{a}^{\left(1\right)}\left(t\right) & = & 1\\
c_{b}^{\left(1\right)}\left(t\right) & = & -\frac{i}{\hbar}\int_{0}^{t}H'_{ba}\left(t\right)e^{i\omega_{0}t'}dt'\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
c_{a}^{\left(2\right)}\left(t\right) & = & 1-\frac{1}{\hbar}\int_{0}^{t}H'_{ab}\left(t'\right)e^{-i\omega_{0}t'}\int_{0}^{t'}H'_{ba}\left(t''\right)e^{i\omega_{0}t''}dt''dt'\\
c_{b}^{\left(2\right)}\left(t\right) & = & -\frac{i}{\hbar}\int_{0}^{t}H'_{ba}\left(t\right)e^{i\omega_{0}t'}dt'\end{eqnarray*}


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\end{document}