Das ``freie'' Teilchen

Potential

$V\left(x\right)=0$

Lösung

mit $k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$

$$\Psi\left(x,t\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}dk \phi\left(k\right) e^{i\left(kx-\frac{\hbar k^{2}}{2m}t\right)}$$

• Bestimmung von $\phi\left(k\right)$ durch Fouriertransformation der Anfangsbedingung
  

  $$\Psi\left(x,0\right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}dk \phi\left(k\right) e^{ikx}$$

  $$\phi\left(k\right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}dx \Psi\left(x,0\right) e^{-ikx}$$

  
  

• Vorraussetzung ist, das die folgenden Integrale existieren
  

  $$\int_{-\infty}^{\infty}dx\left\vert\Psi\left(x,0\right)\right\vert^{2} < \infty$$

  $$\int_{-\infty}^{\infty}dk\left\vert\phi\left(x0\right)\right\vert^{2} < \infty$$

  
  

Geschwindigkeit

der Welle ist

Phasengeschwindigkeit

$v_{p}=\frac{\omega}{k}=\frac{\hbar k}{2m}$

Gruppengeschwindigkeit

$v_{g}=\left.\frac{d\omega}{dk}\right\vert _{k=K_{0}}=\frac{\hbar k}{m}$