Delta

Dirac Delta

$\delta\left(x\right)$ Definition siehe mein Skript für die theoretische Physik 1

Potential

$V\left(x\right)=-\alpha\delta\left(x\right)$

• Entspricht Einem unendlich hohen Spike im Potential am Punkt $x=0$

Gebundene Zustände

Bedingung

$E<0,\;\alpha>0$

Lösung

$$\varphi\left(x\right) = \frac{\sqrt{m\alpha}}{\hbar}e^{-\frac{m\alpha}{\hbar^{2}}\left\vert x\right\vert}$$

$$E = -\frac{m\alpha^{2}}{2\hbar^{2}}$$

freier Zustand

Beschreibung

Es wird angenommen, das hier Teilchen von $-\infty$ in die Anordnung kommen und durch das Potential gestreut werden.

• Die Lösung in der Vorlesung hat einiges an Beweisen ausgespart, und ist nur Oberflächlich korrekt. Es würde aber ein Korrekter Beweis das gleiche Liefern

Reflexionskoeffizient

$R=\frac{\beta^{2}}{1-\beta^{2}}=\frac{1}{1+\frac{2\hbar^{2}E}{m\alpha^{2}}}$

• $\beta=\frac{m\alpha}{\hbar^{2}k}$
• $k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$
• Wahrscheinlichkeit, das ein Teilchen reflektiert wird
• man hat Reflexion, obwohl der Spike weit unter dem Potential liegt

Transmissionskoeffizient

$T=\frac{1}{1+\beta^{2}}=\frac{1}{1+\frac{m\alpha^{2}}{2\hbar^{2}E}}$

• Wahrscheinlichkeit, das ein Teilchen passieren kann
• $R+T=1$
• Unabhängig vom Vorzeichen von $\alpha$ bzw. der Richtung des Potential-Spikes ($\pm$). Das heißt, das ein Teilchen durch eine Barriere Durchtunneln kann