Endlicher Potentialtopf

Potential

$V\left(x\right)=\begin{cases} -V_{0} & -a\le x\le a\\ 0 & \textrm{sonst}\end{cases}$

• $V_{0}>0$

Gebundener Zustand

• $\kappa=\frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar}$
• $l=\frac{\sqrt{2m\left(V_{0}+E\right)}}{\hbar}\in\mathbb{R}$

gerade Lösungen

$$\varphi\left(x\right)=\begin{cases} Fe^{-\kappa x} & x>a\\ D\cos\left(lx\right) & 0\le x\le a\\ \varphi\left(-a\right) & sonst\end{cases}$$

• $Fe^{-\kappa a}=D\cos\left(la\right)$
• $\kappa=l\tan\left(la\right)$
• $\left(\kappa a\right)^{2}+\left(la\right)^{2}=\frac{2mV_{0}}{\hbar^{2}}a^{2}$
• Es gibt immer mindestens eine gerade Lösung!
• Anzahl der Lösungen ist größtes $n$ das die Gleichung
  $\left(n-1\right)\pi\le\sqrt{mV_{0}}\frac{a}{\hbar}$
  erfüllt
• Im Grenzfall $mV_{0}a^{2}\rightarrow\infty$ ergibt sich
  $la=\frac{\pi}{2},\frac{3}{2}\pi,\ldots,\left(n+\frac{1}{2}\right)\pi,\ldots$

ungerade Lösungen

$$\varphi\left(x\right)=\begin{cases} Fe^{-\kappa x} & x>a\\ D\sin\left(lx\right) & 0\le x\le a\\ -\varphi\left(-a\right) & sonst\end{cases}$$

• $Fe^{-\kappa a}=D\sin\left(la\right)$
• $\kappa=-l\cot\left(la\right)$
• $\left(\kappa a\right)^{2}+\left(la\right)^{2}=\frac{2mV_{0}}{\hbar^{2}}a^{2}$
• Anzahl der Lösungen ist größtes $n$ das die Gleichung
  $\left(n+\frac{1}{2}\right)\pi\le\sqrt{mV_{0}}\frac{a}{\hbar}$
  erfüllt
• Im Grenzfall $mV_{0}a^{2}\rightarrow\infty$ ergibt sich
  $la=\pi,2\pi,\ldots,n\pi,\ldots$

Insgesamt

haben wir im Grenzfall den Unendlichen Potentialtopf um $V_{0}$ nach unten verschoben.

Streulösung

Transmissionskoeffizient

$T$ mit

$$T^{-1}=1+\sin^{2}\left(\frac{2a}{\hbar}\sqrt{2m\left(E+V_{0}\right)}\right)\frac{V_{0}^{2}}{4E\left(E+V_{0}\right)}$$

• Bei bestimmten Energieen
  $$\frac{2a}{\hbar}\sqrt{2m\left(E+V_{0}\right)}=n\pi$$
  erhält man vollständige Transmission

Reflexionskoeffizient

$R=1-T$