Wasserstoff Atom

Annahmen

zur vereinfachten Rechnung

• Masse Proton $\infty$
• Schwerpunkt im Proton

Potential

$V\left(r\right)=-\frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r}$

Eigenwertgleichung

$\frac{d^{2}u}{d\varrho^{2}}=\left(1-\frac{\varrho_{0}}{\varrho}+\frac{l\left(l+1\right)}{\varrho^{2}}\right)u\left(\varrho\right)$

• $E<0$
• $\kappa=\frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar}$
• $\varrho=\kappa r=\frac{r}{an}$
• $\varrho_{0}=\frac{me^{2}}{2\pi\varepsilon_{0}\hbar^{2}\kappa}$
• $u\left(\varrho\right)=\varrho^{l+1}e^{-\varrho}v\left(\varrho\right)$
  $v\left(\varrho\right)=\sum_{j=0}a_{j}\varrho^{j}$
  $a_{j+1}=\frac{2\left(l+j+1\right)-\varrho_{0}}{\left(j+1\right)\left(j+2l+2\right)}a_{j}$
  $a_{j_{max}+1}=0$
• $n=j_{max}+l+1$
• $E=-\left[\frac{m}{2\hbar^{2}}\left(\frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}}\right)^{2}\right]\frac{1}{n^{2}}$
  $E=\frac{E_{1}}{n^{2}}$
  $E_{1}=\frac{m}{2\hbar^{2}}\left(\frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}}\right)^{2}=-13,59 eV$
• $\kappa=\frac{1}{a\cdot n}$
  $a=\frac{4\pi\varepsilon_{0}\hbar^{2}}{me^{2}}=0,529\cdot10^{-10}m$ Bohr Radius
• $v\left(\varrho\right)=L_{n-l-1}^{2l+1}\left(\varrho\right)$
  $L_{q-p}^{p}\left(x\right)=\left(-1\right)^{p}\left(\frac{d}{dx}\right)^{p}L_{q}\left(x\right)$
  $L_{q}\left(x\right)=e^{x}\left(\frac{d}{dx}\right)^{q}\left(e^{-x}x^{q}\right)$ Laquerre Polynome
• $0\le l\le n-1$
• Die Parität (ob es eine gerade oder ungerade Funktion ist) der Funktionen ist $\left(-\right)^{l}$
• Die Entartung des Zustandes mit Energie $E=\frac{E_{1}}{n^{2}}$ ist $n^{2}$
• $E_{\gamma}=h\frac{c}{\lambda}=E_{i}-E_{f}=R\left(\frac{1}{n_{f}^{2}}-\frac{1}{n_{i}^{2}}\right)$
  $R=1,097\cdot10^{7}\frac{1}{m}$ Rydberg-Konstante