System unabhängiger Teilchen

Potential

läss sich hier schreiben als

$$V\left(r_{1},\ldots,r_{n}\right)=\sum_{i=1}^{n}V_{i}\left(r_{i}\right)$$

Lösung

der Schrödingergleichung über Trennung der Variablen

unterscheidbare

Teilchen

$$\varphi\left(r_{1},\ldots,r_{n}\right)=\prod_{i=1}^{n}\varphi_{i}\left(r_{i}\right)$$

ununterscheidbare Fermionen

$$\varphi\left(r_{1},\ldots,r_{n}\right)=\frac{1}{\sqrt{n!}}\det\left\{ \varphi_{i}\left(r_{j}\right)\right\} {i=1,\ldots,n\atop j=1,\ldots,n}$$

Pauli Prinzip

da Determinante für zwei gleiche Zustände mit $=0$ reagiert sind solche zustände nicht mehr normierbar und damit Verboten

• dieses $\varphi$ ist antisymmetrisch

unterscheidbare Bosonen

gleiche formel wie bei Fermionen, blos das alle Terme der Determinante positiv abgeändert werden.

• dieses $\varphi$ ist symmetrisch

• Die Grundzustandsenergie eines Bosonen Systems ist immer kleinergleich der eines Fermionensystems
  $$E_{0}^{B}\le E_{0}^{F}$$

System

aus zwei Teilchen. gesucht ist $\left\langle \left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}\right\rangle$ bei einem System mit

$$\varphi\left(x_{1},x_{2}\right)=\varphi_{a}\left(x_{1}\right)\cdot\varphi_{b}\left(x_{2}\right)$$

unterscheidbare

Teilchen

$$\left\langle \left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}\right\rangle =\left\lan... ...t\rangle _{b}-2\left\langle x\right\rangle _{a}\left\langle x\right\rangle _{b}$$

identische Bosonen

$${\scriptstyle \left\langle \left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}\right\ran... ...\right\rangle _{b}-2\left\vert\left\langle x\right\rangle _{ab}\right\vert^{2}}$$

• $\left\langle x\right\rangle _{ab}=\int dx \varphi_{a}^{*}\left(x\right)\cdot x\cdot\varphi_{b}\left(x\right)$
• Bosonen rücken durch Wechselwirkungstherm also näher zusammen $\rightarrow$ spielt nur bei sehr nahe Benachbarten Teilchen eine Rolle

identische Fermionen

$${\scriptstyle \left\langle \left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}\right\ran... ...\right\rangle _{b}+2\left\vert\left\langle x\right\rangle _{ab}\right\vert^{2}}$$

• Fermionen entfernen sich also durch Wechselwirkungstherm $\rightarrow$ spielt nur bei sehr nahe Benachbarten Teilchen eine Rolle