Nicht-entarteter Fall

$$H=H^{0}+H'$$

mit

1. $H^{0}\varphi_{n}^{0}=E_{n}^{0}\varphi_{n}^{0}$ bekannt
2. $\left\langle \varphi_{n}^{0}\vert\varphi_{m}^{0}\right\rangle =\delta_{nm}$
3. $H'\ll H^{0}$ ``kleine'' Störung
   Energieskala von $H'$ ist klein gegenüber $\left(E_{n}^{0}-E_{m}^{0}\right)$

Entwickeln mit $\lambda\in\left[0,1\right]$ Entwicklungsparameter

$$H'\rightarrow\lambda H'$$

$$\left(H^{0}+\lambda H'\right)\varphi_{n} = E_{n}\varphi_{n}$$

$$\varphi_{n} = \varphi_{n}^{0}+\lambda\varphi_{n}^{1}+\lambda^{2}\varphi_{n}^{2}+\ldots$$

$$E_{n} = E_{n}^{0}+\lambda E_{n}^{1}+\lambda^{2}E_{n}^{2}+\ldots$$

Einsetzen in Schrödingergleichung und sortieren nach Koeffizienten ergibt folgendes Gleichungssystem

$$H^{0}\varphi_{n}^{0} = E_{n}^{0}\varphi_{n}^{0}$$

$$H^{0}\varphi_{n}^{1}+H'\varphi_{n}^{0} = E_{n}^{0}\varphi_{n}^{1}+E_{n}^{1}\varphi_{n}^{0}$$

$$H^{0}\varphi_{n}^{2}+H'\varphi_{n}^{1} = E_{n}^{0}\varphi_{n}^{2}+E_{n}^{1}\varphi_{n}^{1}+E_{n}^{2}\varphi_{n}^{0}$$

$$\vdots$$

Falls man nur an $E_{n}^{1}$ interessiert ist, und danach die Entwicklung abbricht erhält man

Störungstheorie 1.ter

Ordnung

$$E_{n}^{1}=\left\langle \varphi_{n}^{0}\vert H'\vert\varphi_{n}^{0}\right\rangle$$

• $E_{n}\approx E_{n}^{0}+E_{n}^{1}$
• $\varphi_{n}\approx\varphi_{n}^{0}$

Störungstheorie 2.ter

Ordnung

$$E_{n}^{2} = \left\langle \varphi_{n}^{0}\vert H'\vert\varphi_{n}^{1}\right\rangle$$

$$= \sum_{m\neq n}\frac{\left\vert\left\langle \varphi_{n}^{0}\vert H'\vert\varphi_{m}^{0}\right\rangle \right\vert^{2}}{E_{n}^{0}-E_{m}^{0}}$$

$$\varphi_{n}^{1} = \sum_{m\neq n}\frac{\left\langle \varphi_{m}^{0}\vert H'\vert\varphi_{n}^{0}\right\rangle }{E_{n}^{0}-E_{m}^{0}}\varphi_{m}^{0}$$

• $E_{n}\approx E_{n}^{0}+E_{n}^{1}+E_{n}^{2}$
• $\varphi_{n}\approx\varphi_{n}^{0}+\varphi_{n}^{1}$
• Allgemein:
  Für Störungstheorie $n$-ter Ordnung in der Energie benötigt man Störungstheorie $\left(n-1\right)$-ter Ordnung in den Eigenfunktionen