Entartete Störungstheorie

gegeben

$$\varphi^{0}=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}\varphi_{\alpha_{i}}^{0}$$

ist Eigenfunktion für alle $\alpha_{i}$ zu Eigenwert $E^{0}$

$$H^{0}\varphi^{0}=E^{0}\varphi^{0}$$

• Es gelte das die $\varphi_{\alpha_{i}}$ orthonormal sind
  $$\left\langle \varphi_{\alpha_{i}}\vert\varphi_{\alpha_{\iota}}\right\rangle =\delta_{\alpha_{i}\alpha_{j}}$$

Löse

das Eigenwertproblem

$$\hat{W}\left(\alpha_{i}\right)=E^{1}\left(\alpha_{i}\right)$$

mit

$$\hat{W}=\left(\left\langle \varphi_{i}^{0}\vert H'\vert\varphi_{j}^{0}\right\rangle \right)_{i,j}$$

• Sei $\tilde{\alpha}=\left(\tilde{\alpha}_{i}\right)$ Eigenvektor zum Eigenwert $\tilde{E}^{1}$
  
  $$\varphi^{0}=\sum_{i=1}^{n}\tilde{\alpha}_{i}\varphi_{\alpha_{i}}^{0}$$
  ist Eigenfunktion von $H+H'$ zur Energie $E^{0}+\tilde{E}^{1}$