Zeitabhängige Störungstheorie

wir betrachten

ein betrachten ein 2 Zustandssystem mit

$$H_{0}\psi_{a} = E_{a}\psi_{a}$$

$$H_{0}\psi_{b} = E_{b}\psi_{b}$$

mit othonormalen zeitunabhängigen $\psi_{a},\psi_{b}$. Ein beliebiger Zustand ist also gegeben durch

$$\Psi\left(t\right)=c_{a}\psi_{a}e^{-\frac{i}{\hbar}E_{a}t}+c_{b}\psi_{b}e^{-\frac{i}{\hbar}E_{b}t}$$

mit zeitunabhängigen $c_{a},c_{b}$ für die gilt $\left\vert c_{a}\right\vert^{2}+\left\vert c_{b}\right\vert^{2}=1$

Schalten zeiabhängige Störung ein

$$H=H_{0}+H'\left(t\right)$$

Annahme

$$\psi_{a},\psi_{b}$$

spannen den Hilbert-Raum von $H$ auf. Das bedeutet das die Wirkung von $H'$ $c_{a},c_{b}$ zeitabhängig macht.

Lösen

des Gleichungssystems

$$\dot{c_{a}} = -\frac{i}{\hbar}\left(c_{a}\left(t\right)H'_{aa}\left(t\right)+c_{b}\left(t\right)H'_{ab}\left(t\right)e^{-i\omega_{0}t}\right)$$

$$\dot{c_{b}} = -\frac{i}{\hbar}\left(c_{b}\left(t\right)H'_{bb}\left(t\right)+c_{a}\left(t\right)H'_{ba}\left(t\right)e^{+i\omega_{0}t}\right)$$

mit der Bohrfrequenz

$$\omega_{0}=\frac{E_{b}-E_{a}}{\hbar}$$

und

$$\left\langle \psi_{i}\vert H'\left(t\right)\vert\psi_{j}\right\rangle =H'_{ij}\left(t\right)$$

Es gilt $H'_{ij}=\left(H'_{ji}\right)^{*}$

Lösen durch Iteration (Picard Lindelöf) liefert

kann bei der Randbedingung

$$H'_{aa}=H'_{bb}=0$$

bei Annahme

$$c_{a}^{\left(0\right)}\left(t\right) = 1$$

$$c_{b}^{\left(0\right)}\left(t\right) =$$ 0

zu den folgenden ersten Iterationsgliedern

$$c_{a}^{\left(1\right)}\left(t\right) = 1$$

$$c_{b}^{\left(1\right)}\left(t\right) = -\frac{i}{\hbar}\int_{0}^{t}H'_{ba}\left(t\right)e^{i\omega_{0}t'}dt'$$

$$c_{a}^{\left(2\right)}\left(t\right) = 1-\frac{1}{\hbar}\int_{0}^{t}H'_{ab}\left(t'\right)e^{-i\omega_{0}t'}\int_{0}^{t'}H'_{ba}\left(t''\right)e^{i\omega_{0}t''}dt''dt'$$

$$c_{b}^{\left(2\right)}\left(t\right) = -\frac{i}{\hbar}\int_{0}^{t}H'_{ba}\left(t\right)e^{i\omega_{0}t'}dt'$$