%% LyX 1.4.3 created this file. 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Die folgende Formelsammlung steht zum kostenlosen Download zur Verfügung. Das Urheberrecht und sonstige Rechte an dem Text verbleiben beim Verfasser, der keine Gewähr für die Richtigkeit und Vollständigkeit der Inhalte übernehmen kann. \tableofcontents{} \section{\index{Schwingungen}Schwingungen} \subsection{\index{Harmonische Oszillator}Harmonische Oszillator} \begin{description} \item [{Ruhelage\index{Ruhelage}}] $q_{0}$ \item [{Kraft}] $F=-k\left(q-q_{0}\right)$ \begin{description} \item [{Ruhelage}] $q_{0}$ \item [{Koordinaten}] $x=q-q_{0}$ \end{description} \item [{DGL}] $m\ddot{x}+kx=0$ \end{description} \begin{itemize} \item Ellipsengleichung im Phasenraum\\ $\frac{2}{m}E=\dot{x}^{2}+\omega_{0}^{2}x^{2}=const$ \end{itemize} \begin{description} \item [{Bewegungsgleichung}] \begin{align*} x\left(t\right) & =Ae^{i\omega_{0}t}+Be^{-i\omega_{o}t}\\ & =C\cos\left(\omega_{0}t+\varphi\right)\\ & =a\cos\left(\omega_{0}t\right)+b\sin\left(\omega_{0}t\right)\end{align*} \end{description} \begin{itemize} \item $a,b$ bzw. $A,B$ bzw. $C,\varphi$ aus Anfangsbedingungen \end{itemize} \subsection{gedämpfter harmonischer Oszillator\index{gedämpfter harmonischer Oszillator}} \begin{description} \item [{Kraft}] $F=-kx-\beta\dot{x}$ \item [{DGL}] $m\ddot{x}+\beta\dot{x}+kx=0$ \end{description} \begin{itemize} \item Bahn im Phasenraum ist eine schrumpfende elliptische Sprirale\\ $\frac{d}{dt}\left(\frac{m}{2}\dot{x}^{2}+\frac{k}{2}x^{2}\right)=-\beta\dot{x}^{2}$ \end{itemize} \begin{description} \item [{DGL}] $\ddot{x}+2\gamma\dot{x}+\omega_{0}^{2}x^{2}=0$ \end{description} \begin{itemize} \item $\gamma=\frac{\beta}{2m}$\\ $\omega_{0}^{2}=\frac{k}{m}$ \end{itemize} \begin{description} \item [{Bewegungsgleichung}] Lösen mit $x\left(t\right)=Ce^{\lambda t}$ Ansatz \end{description} \begin{itemize} \item $\lambda_{1/2}=-\gamma\pm\sqrt{\gamma^{2}-\omega_{0}^{2}}$ \item $\omega=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}}$ \begin{description} \item [{schwache~Dämpfung\index{schwache Dämpfung}}] $\omega_{0}^{2}>\gamma^{2}$ \begin{align*} x\left(t\right) & =Ce^{-\gamma t}\cos\left(\omega t+\varphi\right)\end{align*} \end{description} \begin{itemize} \item $\tan\varphi=-\frac{\dot{x}\left(0\right)+\gamma x\left(0\right)}{\omega x\left(0\right)}$\\ $C=x\left(0\right)\sqrt{1+\tan^{2}\varphi}$ \end{itemize} \begin{description} \item [{\index{Kriechfall}Kriechfall}] $\omega_{0}^{2}<\gamma^{2}$\begin{eqnarray*} x\left(t\right) & = & e^{-\gamma t}\left({\scriptstyle x\left(0\right)\mbox{cosh}\left(\sqrt{\gamma^{2}-\omega_{0}^{2}}t\right)}\right.\\ & & \left.{\scriptstyle +\frac{\dot{x}\left(0\right)+\gamma x\left(0\right)}{\sqrt{\gamma^{2}-\omega_{0}^{2}}}\mbox{sinh}\left(\sqrt{\gamma^{2}-\omega_{0}^{2}}t\right)}\right)\end{eqnarray*} \item [{Aperiodischer~Grenzfall\index{Aperiodischer Grenzfall}}] $\omega_{0}^{2}=\gamma^{2}$\begin{align*} x\left(t\right) & =e^{-\gamma t}\left(x\left(0\right)+\left(\dot{x}\left(0\right)+\gamma x\left(0\right)\right)t\right)\end{align*} \end{description} \begin{itemize} \item Klingt am schnellsten ab von allen 3 Fällen \end{itemize} \end{itemize} \subsection{\index{Erzwungene Schwingung}Erzwungene Schwingung} \begin{description} \item [{Kraft}] $F=-kx-\beta\dot{x}+F_{0}\cos\left(\Omega t\right)$ \item [{DGL}] $m\ddot{x}+\beta\dot{x}+kx=F_{0}\cos\left(\Omega t\right)$ \item [{DGL}] $\ddot{z}+2\gamma\dot{z}+\omega_{0}^{2}z^{2}=f_{0}e^{i\Omega t}$ \end{description} \begin{itemize} \item $z\left(t\right)=x\left(t\right)+iy\left(t\right)$ \item Bewegungsgleichung Lösen mit $z\left(t\right)=Ce^{i\Omega t}$ \begin{itemize} \item $C=-\frac{f_{0}}{\Omega^{2}-2i\gamma\Omega-\omega_{0}^{2}}$ \end{itemize} \end{itemize} \begin{description} \item [{Bewegungsgleichung}] \[ x\left(t\right)=\frac{f_{0}}{\sqrt{\left(\Omega^{2}-\omega_{0}^{2}\right)^{2}+4\gamma^{2}\Omega^{2}}}\cos\left(\Omega t+\delta\right)\] \end{description} \begin{itemize} \item für $\gamma^{2}\ll\Omega^{2}$\[ x\left(t\right)=\frac{f_{0}}{2\omega_{0}\sqrt{\left(\Omega-\omega_{0}\right)^{2}+\gamma^{2}}}\cos\left(\Omega t+\delta\right)\] \begin{itemize} \item $\tan\delta=\frac{\gamma}{\Omega-\omega_{0}}$ \item $\gamma\rightarrow0\;\Rightarrow\;\left|C\right|\rightarrow\infty$ Resonanzkathastrophe \end{itemize} \end{itemize} \subsection{Anharmonische Schwingungen\index{Anharmonische Schwingungen}} \begin{description} \item [{Potential}] $V\left(x\right)=V\left(x_{0}\right)+\left.\frac{dV}{dx}\right|_{x_{0}}\left(x-x_{0}\right)+\frac{1}{2}\left.\frac{d^{2}V}{dx^{2}}\right|_{x_{0}}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\ldots$ \end{description} \begin{itemize} \item o.B.d.A.: $V\left(x_{0}\right)=0$, $x_{0}=0$ \item $V\left(x\right)=\frac{1}{2}m\omega_{0}^{2}x^{2}\underbrace{+\frac{1}{3!}m\alpha x^{3}+\frac{1}{4!}m\beta x^{4}+\ldots}_{\mbox{anharmonisch}}$ \item $\alpha,\beta$ konstanten \end{itemize} \begin{description} \item [{Allgemein}] $\ddot{x}+\omega_{0}^{2}x=-\alpha x^{2}-\beta x^{3}$ \end{description} \begin{itemize} \item exakt Lösbar, keine Lösungen in geschlossener Form (i.A.) \item periodische Lösungen mit $\omega=\omega_{0}+\omega_{1}+\omega_{2}+\ldots$ \item $\cos\left(\omega t\right)=\cos\left(\left(\omega_{0}+\omega_{1}\right)t\right)\nsim\cos\left(\omega_{0}t\right)$ für $t$ sehr groß \item Näherungsweise Lösung:\\ $x\left(t\right)=x^{\left(0\right)}\left(t\right)+x^{\left(1\right)}\left(t\right)+x^{\left(2\right)}\left(t\right)+\ldots$\\ \begin{eqnarray*} x^{\left(0\right)}\left(t\right) & = & A\cos\left(\omega t\right)\\ x^{\left(1\right)}\left(t\right) & = & -\frac{\alpha}{2}\frac{A^{2}}{\omega_{0}^{2}}+\frac{\alpha}{6}\frac{A^{2}}{\omega_{0}^{2}}\cos\left(2\omega t\right)\\ x^{\left(2\right)}\left(t\right) & = & \frac{1}{16}\frac{A^{3}}{\omega_{0}^{3}}\left(\frac{\alpha^{2}}{3\omega_{0}^{2}}-\frac{\beta}{2}\right)\cos\left(3\omega t\right)\end{eqnarray*} \end{itemize} \subsubsection{nichtlinear + äußere Periodische Kraft + Reibung} \begin{description} \item [{DGL}] $\ddot{x}+2\gamma\dot{x}+\omega_{0}^{2}x=f_{0}\cos\left(\Omega t\right)-\alpha x^{2}-\beta x^{3}$ \end{description} \begin{itemize} \item $\Omega\nsim\omega_{0}$: Kleine Amplitude $\Rightarrow$ harmonisch \item $\Omega\approx\omega_{0}$: $\Omega=\omega_{0}+\varepsilon$, $\varepsilon\ll1$, Amplitude $\left|c\right|$ \item $\left|c\right|^{2}\left(\left(\Omega-\omega\right)^{2}+\gamma^{2}\right)=\frac{f_{0}}{4\omega_{o}^{2}}$ \item $\left|c\right|^{2}\left(\left(\varepsilon-k\left|c\right|^{2}\right)^{2}+\gamma^{2}\right)=\frac{f_{0}}{4\omega_{o}^{2}}$\\ Hat im Allgemeinen 3 Lösungen \begin{description} \item [{$f_{0}$~klein}] $\Rightarrow\left|c\right|$ klein \[ \left|c\right|^{2}=\frac{f_{0}^{2}}{4\omega_{0}^{2}}\frac{1}{\varepsilon^{2}+\mu^{2}}\] \item [{$f_{0}$~größer}] Deformation in Richtung größere $\varepsilon$ $\left(k>0\right)$ \item [{$f_{0}>f_{k}$}] es gibt in einem Bereich eine Hysterese (3 Lösungen) \end{description} \begin{itemize} \item $c_{max}=\frac{f_{0}}{2\omega_{0}\gamma}$ \item $f_{k}^{2}=\frac{8\omega_{0}^{2}\gamma^{3}}{\left|k\right|}$ \end{itemize} \end{itemize} \subsection{\index{Schwingende Systeme}Schwingende Systeme} \begin{description} \item [{generalisierte~Koordinate}] $q=\left(q_{1},\ldots,q_{s}\right)$ \item [{Betrachtet}] nur Konservative Kräfte $\Rightarrow$ es gibt ein Potential $V\left(q\right)$ \item [{Gleichgewichtspunkte\index{Gleichgewichtspunkte}}] $q_{0}:\;\dot{q}\left(t\right)=0,q\left(t\right)=q_{0}$\[ \left.\frac{\partial V}{\partial q_{i}}\right|_{q=q_{0}}=0\] \begin{description} \item [{stabiles~\index{Gleichgewicht!stabiles}Gleichgewicht}] lokales Minimum von $V$ \item [{labiles~\index{Gleichgewicht!labiles}Gleichgewicht}] lokales Maximum von $V$ \item [{neutrales~\index{Gleichgeqicht!neutrales}Gleichgeqicht}] $V$ ist lokal konstant \end{description} \item [{Auslengung}] $q_{i}=q_{i}^{0}+\xi_{i}$ \end{description} \begin{itemize} \item $\xi_{i}$ kleine Auslenkung aus dem Gleichgewicht \end{itemize} \begin{description} \item [{Potential}] Tailor Entwickeln \begin{eqnarray*} V\left(q\right) & = & \underbrace{V\left(q_{0}\right)}_{=0\mbox{ BbdA}}+\sum_{i=1}^{s}\underbrace{\left.\frac{\partial V}{\partial q_{i}}\right|_{q=q_{0}}}_{=0}\xi_{i}\\ & & +\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^{s}\underbrace{\left.\frac{\partial^{2}V}{\partial q_{i}\partial q_{j}}\right|_{q=q_{0}}}_{k_{ij}}\xi_{i}\xi_{j}+\ldots\end{eqnarray*} \end{description} \begin{itemize} \item $V\left(q\right)=\frac{1}{2}\xi^{T}\underline{k}\xi$ \item $\underline{k}$ ist symmetrisch \item Stabiles Gleichgewicht $\Rightarrow\underline{k}$ ist positiv definit (alle Eigenwerte >0) \end{itemize} \begin{description} \item [{Lagrange~Funktion}] \[ L=\frac{1}{2}\left(\dot{\xi}^{T}\underline{M}\dot{\xi}-\xi^{T}\underline{k}\xi\right)\] \end{description} \begin{itemize} \item \index{Massentensor}\emph{Massentensor} $M_{ij}=\left.\frac{\partial^{2}T}{\partial\dot{q}_{i}\partial\dot{q}_{j}}\right|_{q=q_{0}}$ \begin{itemize} \item ist symmetrisch \item alle Eigenwerte $\ge$ 0 \end{itemize} \end{itemize} \begin{description} \item [{DGL}] auch \emph{Säkulargleichung}\index{Säkulargleichung} genannt \begin{eqnarray*} \forall i:\sum_{j=1}^{s}\left(M_{ij}\ddot{\xi}_{j}+k_{ij}\xi_{j}\right) & = & 0\\ \underline{M}\ddot{\xi}+\underline{k}\xi & = & 0\end{eqnarray*} \begin{description} \item [{zu}] ~lösen falls $\det\left(\underline{k}-\omega^{2}\underline{M}\right)=0$ \end{description} \begin{itemize} \item Polynom $s$-ten Gerades in $\omega^{2}$ \item $\omega_{\alpha}^{2}$ Nullstellen des Polynoms ($s$ Stück) \item $\omega_{a}^{2}\in\mathbb{R}_{\ge0}$ $\rightarrow$ $\omega_{a}\in\mathbb{R}$ \item Eigenschwingungen $\xi_{0}^{\alpha}$ sind zu $\omega_{\alpha}^{2}$ passende Lösungen \begin{itemize} \item sind alle reell und linear unabhängig \end{itemize} \end{itemize} \item [{Normierung}] $\left(\xi_{0}^{\alpha}\right)^{T}\underline{M}\xi_{0}^{\beta}=\delta_{\alpha\beta}$ \end{description} \begin{itemize} \item auch \emph{Verallgemeinerte Orthonormalität\index{Verallgemeinerte Orthonormalität}} genannt \end{itemize} \begin{description} \item [{Lösung}] \[ \xi\left(t\right)=\sum_{\alpha=1}^{s}\xi_{0}^{\alpha}\left(\underbrace{A_{\alpha}e^{i\omega_{a}t}+B_{\alpha}e^{-i\omega\alpha t}}_{\eta_{\alpha}\left(t\right)}\right)\] \item [{Normal~Koordinaten\index{Normal Koordinaten}}] $\eta_{\alpha}\left(t\right)=A_{\alpha}e^{i\omega_{a}t}+B_{\alpha}e^{-i\omega\alpha t}=\tilde{A}_{\alpha}\cos\left(\omega_{a}t\right)+\tilde{B}_{\alpha}\sin\left(\omega_{a}t\right)$ \begin{description} \item [{Transformation}] der DGL hierdurch in folgende entkoppelte Form\[ \forall\alpha:\:\ddot{\eta}_{\alpha}+\omega_{\alpha}^{2}\eta=0\] \end{description} \end{description} \subsubsection{\index{lineare periodische Kette}lineare periodische \index{Kette}Kette} \begin{description} \item [{Beseteht~aus}] unendlich vielen Teilchen der Masse $m$ \end{description} \begin{itemize} \item Abstand jeweils $a$ \item Federkonstanten dazwischen $k$ \item $1$-dim Angeordnet \item Abstraktion für $1$-dim Festkörper \end{itemize} \begin{description} \item [{Masse}] $M_{ij}=\delta_{ij}m$ \item [{Kopplung}] \[ \underline{k}=\left(\begin{array}{cccccc} 2 & -1 & 0 & \cdots & 0 & -1\\ -1 & 2 & -1 & 0 & & 0\\ 0 & -1 & 2 & -1 & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & 0\\ 0 & & \ddots & \ddots & \ddots & -1\\ -1 & 0 & \cdots & 0 & -1 & 2\end{array}\right)\] \item [{Ansatz}] Jedes Atom vollführt harmonische Schwingung mit dem gleichen $\omega$\[ x_{l}=A_{l}e^{i\omega t}\] und Nachbaratome unterscheiden sich nur um konstante Phase\[ x_{l}=x_{l-1}e^{i\chi}\] und \emph{Periodischen Randbedingungen}\[ A_{l}=A_{l+N}e^{iN\chi}\] \end{description} \begin{itemize} \item $\chi=\frac{2\pi}{N}n$ für $i=1,\ldots,N$ \end{itemize} \begin{description} \item [{Lösung}] $\omega_{n}=2\omega_{0}\left|\sin\frac{n\pi}{N}\right|$ \end{description} \begin{itemize} \item $\omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}$ \item $n=1,\ldots,N$ \item $\omega_{N}=0$ Translation {}``Nullmoden'' \end{itemize} \begin{description} \item [{Wellenlänge}] $\lambda_{n}=a\frac{N}{n}=\frac{L}{n}$ \item [{Dispersionsrelation}] $\omega\left(q\right)=2\omega_{0}\left|\sin\frac{qa}{2}\right|$ \end{description} \begin{itemize} \item $q$ Wellenzahl \item 1. Brioullin Zone von $q\in\left(0,\frac{2\pi}{a}\right)$ \end{itemize} \begin{description} \item [{Phasengeschwindigkeit}] $c=\frac{\omega}{q}=\frac{2\omega}{q}\left|\sin\frac{qa}{2}\right|$ \end{description} \begin{itemize} \item $q$ klein $\Rightarrow$ $c\approx\omega_{0}a$ Schallgeschwindigkeit einer longitudinalen Kompressionswelle \end{itemize} \begin{description} \item [{\index{Gruppengeschwindigkeit}Gruppengeschwindigkeit}] $v_{g}=\frac{d\omega}{dq}$ \item [{Kontinuierlicher~Grenzfall}] $x_{l}\left(t\right)=x\left(\xi,t\right)$ mit $\xi=al$ \end{description} \begin{itemize} \item $N\rightarrow\infty,\quad a\rightarrow0,\quad L=Na=const$ \item $\left(x_{l}+x_{l+1}-2x_{l}\right)\rightarrow a^{2}\frac{\partial^{2}}{\partial^{2}\xi}x\left(\xi,t\right)$ \item $\left(\frac{\partial^{2}}{\partial\xi^{2}}-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\right)x\left(\xi,t\right)=0$ \item Elastizitätsmodul $F=\eta\frac{\delta L}{L}$ \item Rückstellkraft $F_{r}=k\delta L$ \item $\eta=ka$ \item Phasengeschwindigkeit $c=\omega_{0}a=\sqrt{\frac{a^{2}k}{m}}=\sqrt{\frac{\eta}{\varrho}}$ \item Dichte $\varrho=\frac{m}{a}$ \end{itemize} \section{Hamilton Jakobi Theorie\index{Hamilton Jakobi Theorie}} \begin{description} \item [{Kanonische~\index{Koordinaten}Koordinaten\index{Kanonische Koordinaten}}] $q=\left(q_{1},\ldots,q_{s}\right)$ \item [{\index{Wirkung}Wirkung}] $S=\int_{t_{1}}^{t_{2}}L\left(q,\dot{q},t\right)dt$ wird minimiert \item [{Lagrange~Funktion\index{Lagrange Funktion}}] $L=T-V=p\cdot\dot{q}-H$ \end{description} \begin{itemize} \item negative Lagrange Transformierte der Hamilton Funktion \end{itemize} \begin{description} \item [{\index{Kanonischer Impuls}Kanonischer~Impuls}] $p_{k}=\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{k}}$ \item [{Phasenraum\index{Phasenraum}}] $\Gamma=\left(q,p\right)$ $2s$-dim \item [{DGL's}] , die die Bewegungsgleichungen liefern, sind: \begin{eqnarray*} \dot{q} & = & \frac{\partial H}{\partial p}\\ \dot{p} & = & -\frac{\partial H}{\partial q}\end{eqnarray*} bzw.\[ \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{j}}-\frac{\partial L}{\partial q_{j}}=0\] \item [{\index{Zyklische Koordinaten}Zyklische~Koordinaten}] $q_{k}$ so, dass $p_{k}=\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{k}}=const$ \end{description} \begin{itemize} \item $L$ hängt nicht von $q_{k}$ab \item $H$ hängt nicht von $q_{k}$ab \item $\dot{q}_{k}=\frac{\partial H}{\partial p_{k}}$\\ $q_{k}\left(t\right)=\int_{t_{1}}^{t_{2}}dt\frac{\partial H}{\partial p_{k}}$ \end{itemize} \subsection{Erzeugende Funktionen\index{Erzeugende Funktionen}} \begin{description} \item [{Ziel}] Suche \emph{alle} zyklischen Koordinaten. Wechsle dazu die Koordinaten, so das mehr zyklische Variablen entstehen. Dieser wechsel soll forminvariant geschehen. \item [{Forminvariant\index{Forminvariant}}] heißt eine Transformation $H\left(q,p\right)\rightarrow\overline{H}\left(Q,P\right)$ falls\begin{eqnarray*} \dot{q} & = & \frac{\partial H}{\partial p}\\ \dot{p} & = & -\frac{\partial H}{\partial q}\\ & \Rightarrow\\ \dot{Q} & = & \frac{\partial\overline{H}}{\partial P}\\ \dot{P} & = & -\frac{\partial\overline{H}}{\partial Q}\end{eqnarray*} \item [{\index{kanonische Transformation}kanonische~Transformation}] Eine Transformation $\left(q,p\right)\rightarrow\left(Q,P\right)$ und $H\rightarrow\overline{H}$ ist kanonisch falls $F\left(q\mbox{ bzw.}p,Q\mbox{ bzw.}P,t\right)$ (beliebig, diffbar) existiert mit\[ L=\sum_{j=1}^{s}p_{i}\dot{q}_{i}-H=\sum_{j=1}^{s}p_{i}\dot{Q}_{i}-\overline{H}+\frac{dF}{dt}\] \end{description} \begin{itemize} \item kanonische Transformationen sind forminvariant \item $F$ legt $\overline{H}$ vollständig fest\\ \[ \overline{H}=H+\frac{\partial F}{\partial t}\] \item aus DGL für $F$ lassen sich sich Transformationen für $\left(q,p\right)\rightarrow\left(Q,P\right)$ finden und umgekehrt \end{itemize} \begin{description} \item [{Typ~der~Transformation}] für $F$ lässt sich eine der folgenden Formen wählen \end{description} \begin{itemize} \item Transformation durch Freistellung der Ableitungen \item Diese $F_{i}$ sind untereinander durch Legendre Transformationen verknüpft! \item Dies sind die \emph{\index{erzeugenden Funktionen}erzeugenden Funktionen} \item $F_{1}=F_{1}\left(q,Q,t\right)$ \begin{itemize} \item $p_{i}=\frac{\partial F_{1}}{\partial q_{i}}$ \item $P_{i}=-\frac{\partial F_{1}}{\partial Q_{i}}$ \end{itemize} \item $F_{2}=F_{2}\left(q,P,t\right)$ \begin{itemize} \item $F_{2}=F_{1}+PQ$ \item $p_{i}=\frac{\partial F_{2}}{\partial q_{i}}$ \item $Q_{i}=\frac{\partial F_{2}}{\partial p_{i}}$ \end{itemize} \item $F_{3}=F_{3}\left(p,Q,t\right)$ \begin{itemize} \item $F_{3}=F_{1}-pq$ \item $q_{i}=-\frac{\partial F_{3}}{\partial p_{i}}$ \item $P_{i}=-\frac{\partial F_{3}}{\partial Q_{i}}$ \end{itemize} \item $F_{4}=F_{4}\left(p,P,t\right)$ \begin{itemize} \item Doppelte Legendre Transformation\\ $F_{4}=F_{1}+PQ-pq$ \item $q_{i}=-\frac{\partial F_{4}}{\partial p_{i}}$ \item $Q_{i}=\frac{\partial F_{4}}{\partial p_{i}}$ \end{itemize} \end{itemize} \subsubsection{\index{Austauschtransformation}Austauschtransformation} \begin{itemize} \item $F_{1}\left(q,Q,t\right)=-qQ$ bzw. $F_{4}=-pP$ \item $p_{i}=-Q_{i}$ \item $P_{i}=q_{i}$ \item $\left(q,p\right)\rightarrow\left(-p,q\right)=\left(Q,P\right)$ \item $\overline{H}=H$ \end{itemize} \subsubsection{Identische Transformation\index{Identische Transformation}} \begin{itemize} \item $F_{2}=qP$ bzw. $F_{3}=-pQ$ \item $P_{i}=p_{i}$ \item $Q_{i}=q_{i}$ \item $\left(q,p\right)\rightarrow\left(q,p\right)=\left(Q,P\right)$ \item $\overline{H}=H$ \end{itemize} \subsubsection{\index{Punkttransformation}Punkttransformation} \begin{itemize} \item $F_{2}\left(q,P,t\right)=\sum_{i}g_{i}\left(q_{1,},\ldots,q_{s},t\right)P_{i}$\\ $g$ hängt nur von Punkt im Phasenraum ab \item $Q_{i}=g_{i}\left(q_{1,},\ldots,q_{s},t\right)$ \item $P_{i}=\sum_{j}\frac{\partial q_{j}}{\partial q_{i}}P_{j}$ \item $\left(q,p\right)\rightarrow\left(Q,P\right)$ \item $\overline{H}=H+qP$ \item analog mit $F_{3}=-\sum_{i}g_{i}\left(Q_{1},\ldots,Q_{s},t\right)p_{i}$ \end{itemize} \subsubsection{Transformation auf ebene \index{Polarkoordinaten}Polarkoordinaten} \begin{itemize} \item $H\left(q,p\right)=\frac{1}{2m}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}\right)+V\left(x,y\right)$ \item $q=\left(x,y\right)$\\ $p=\left(p_{x},p_{y}\right)$ \item $Q=\left(r,\varphi\right)$\\ $P=\left(p_{r},p_{\varphi}\right)$ \item $F_{3}=-r\cos\left(\varphi\right)p_{x}-r\sin\left(\varphi\right)p_{y}$ \item $x=r\cos\left(\varphi\right)$\\ $y=r\sin\left(\varphi\right)$ \item $\varphi=\mbox{arctan}\left(\frac{y}{x}\right)$\\ $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ \item $p_{r}=\cos\left(\varphi\right)p_{x}+\sin\left(\varphi\right)p_{y}$\\ $p_{\varphi}=-r\sin\left(\varphi\right)p_{x}+r\cos\left(\varphi\right)p_{y}$ \item $p_{x}=\cos\left(\varphi\right)p_{r}-\frac{1}{r}\sin\left(\varphi\right)p_{\varphi}$\\ $p_{y}=\sin\left(\varphi\right)p_{r}+\frac{1}{r}\cos\left(\varphi\right)p_{\varphi}$ \item $\overline{H}\left(Q,P\right)=\frac{1}{2m}\left(p_{r}^{2}+\frac{1}{r^{2}}p_{\varphi}^{2}\right)+V\left(r\cos\varphi,r\sin\varphi\right)$ \end{itemize} \subsubsection{\index{Harmonische Oszillator}Harmonische Oszillator} \begin{itemize} \item 1.dim \item Ziel: so transformieren das zyklische Variable entsteht \item $H\left(q,p\right)=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{1}{2}m\omega_{0}^{2}q^{2}$\\ $\omega_{0}^{2}=\frac{k}{m}$ \item $F_{1}=\frac{1}{2}m\omega_{0}q^{2}\cot Q$ \item $p=m\omega_{0}q\cot Q$\\ $P=\frac{1}{2}m\omega_{0}q^{2}\frac{1}{\sin^{2}Q}$ \item $q=\sqrt{\frac{2P}{m\omega_{0}}}\sin Q$\\ $p=\sqrt{2Pm\omega_{0}}\cos Q$ \item $\overline{H}=\omega_{0}P$ \item $P\left(t\right)=P_{0}=const$\\ $\dot{Q}=\omega_{0}\Rightarrow Q\left(t\right)=\omega_{0}t+Q_{0}$ \item $q\left(t\right)=\sqrt{\frac{2P_{0}}{m\omega_{0}}}\sin\left(\omega_{0}t+Q_{0}\right)$\\ $p\left(t\right)=\sqrt{2P_{0}m\omega_{0}}\cos\left(\omega_{0}t+Q_{0}\right)$ \end{itemize} \subsection{Hamilton Jakobi-Theorie\index{Hamilton Jakobi-Theorie}} \subsubsection{Allgemein} Suche $F$, so dass Problem einfach wird. \begin{enumerate} \item Wähle Transformation so, das in $\left(Q,P\right)$ Problem bekannt ist $\overline{H}\left(Q,P\right)$ z.B. harmonischer Oszillator \item Wähle Transformation so, das alle Koordinaten zyklisch und $\frac{\partial H}{\partial t}=0$ \begin{enumerate} \item $P_{i}=\alpha_{i}=const$ für $i=1,\ldots,s$ \item $\overline{H}\left(\alpha_{1},\ldots,\alpha_{s}\right)$ \item $\dot{Q}_{i}=\frac{\partial\overline{H}}{\partial\alpha_{i}}=\omega_{i}=const\Rightarrow Q_{i}\left(t\right)=\omega_{i}t+\beta_{i}$ mit $\beta_{i}=const$ \end{enumerate} \item Wähle Transformation so, das $Q_{i}=\beta_{i}=const$ UND $P_{i}=\alpha_{i}=const$ für $i=1,\ldots,s$ \begin{enumerate} \item dies ist die allgemeinste Methode \item $\overline{H}=H+\frac{\partial F}{\partial t}=0$ \item $\dot{Q_{i}}=\frac{\partial\overline{H}}{\partial P_{i}}=0\Rightarrow Q_{i}=\beta_{i}=const$ \item $\dot{P}_{i}=-\frac{\partial\overline{H}}{\partial Q_{i}}=0\Rightarrow P_{i}=\alpha_{i}=const$ \item durch auflösen $q=\left(\beta,\alpha,t\right)$ und $q=\left(\beta,\alpha,t\right)$ bestimmen \item Wähle $F=F_{2}\left(q,P,t\right)$ \item zu Lösen ($F$ gesucht): \emph{\index{Hamilton Jakobi Gleichung}Hamilton Jakobi Gleichung}\[ H\left(q_{1},\ldots,q_{s},\frac{\partial F_{2}}{\partial q_{1}},\ldots,\frac{\partial F_{2}}{\partial q_{s}},t\right)+\frac{\partial F_{2}}{\partial t}=0\] nichtlineare Partielle DGL in $s+1$ Variablen \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{\index{Hamiltonische Prinzipialfunktion}Hamiltonische \index{Prinzipialfunktion}Prinzipialfunktion} \begin{description} \item [{Definition}] die Hamiltonische Prinzipialfunktion $S=F_{2}$ ist die Lösung der \emph{Hamilton Jakobi Gleichung}\[ H\left(q_{1},\ldots,q_{s},\frac{\partial S}{\partial q_{1}},\ldots,\frac{\partial S}{\partial q_{s}},t\right)+\frac{\partial S}{\partial t}=0\left(=\overline{H}\right)\] \end{description} \begin{itemize} \item $H=c$ ist aber auch ok \item nichtlineare Partielle DGL in $s+1$ Variablen \item es gibt also $s+1$ Integrationskonstanten \item Falls $S$ Lösung, ist auch $S+c$ Lösung $\Rightarrow$ also nur noch $s$ {}``interessante'' Integrationskonstanten\[ S\left(q_{1},\ldots,q_{s},t|\alpha_{1},\ldots,\alpha_{s}\right)\] \item Identifiziere jetzt $P_{i}=\alpha_{i}$ \item $\frac{\partial S}{\partial q_{i}}=p_{i}$ \end{itemize} \begin{description} \item [{Lösungsverfahren}]~ \end{description} \begin{enumerate} \item Formuliere $H\left(q,p,t\right)$ mit $p_{i}=\frac{\partial S}{\partial q_{i}}$ \begin{itemize} \item Aufstellen der HJD:\[ H\left(q_{1},\ldots,q_{s},\frac{\partial S}{\partial q_{1}},\ldots,\frac{\partial S}{\partial q_{s}},t\right)+\frac{\partial S}{\partial t}=0\] \end{itemize} \item Lösung der HJD, woraus man $S\left(q_{1},\ldots,q_{s},t|\alpha_{1},\ldots,\alpha_{s}\right)$ erhält \begin{itemize} \item $P_{i}=\alpha_{i}$ \item evtl. über Separationsansatz \item $S'=S+c$ ist ebenfalls eine Lösung. Dieses $c$ bei den Konstanten ignorieren! \end{itemize} \item Wir wissen $S\left(q_{1},\ldots,q_{s},t|\alpha_{1},\ldots,\alpha_{s}\right)=S\left(q,t|\alpha\right)$ \begin{itemize} \item Bestimmen von $\beta$ über:\\ $Q_{i}=\frac{\partial S\left(q,t|\alpha\right)}{\partial\alpha_{i}}=\beta_{i}=const$ \item daraus wiederrum ist $q_{i}=q_{i}\left(t|\beta\alpha\right)$ bestimmbar \end{itemize} \item Bestimmung der $p_{i}$: \begin{itemize} \item Auflösen von\[ p_{i}=\frac{\partial S\left(q,t|\alpha\right)}{\partial q_{i}}=p_{i}\left(q,t|\alpha\right)=p_{i}\left(t|\beta\alpha\right)\] \end{itemize} \item Anfangsbedingungen: \begin{eqnarray*} q_{i}^{\left(0\right)} & = & q_{i}\left(t=t_{0}\right)\\ p_{i}^{\left(0\right)} & = & p_{i}\left(t=t_{0}\right)\end{eqnarray*} \begin{itemize} \item Freistellen nach:\\ $\alpha=\alpha\left(t_{0},q^{\left(0\right)},p^{\left(0\right)}\right)$\\ $\beta=\beta\left(t_{0},q^{\left(0\right)},p^{\left(0\right)}\right)$ \item Problem gelöst! \end{itemize} \end{enumerate} \begin{description} \item [{Physikalische~Bedeutung~von~$S\left(q,P,t\right)$}]~ \end{description} \begin{itemize} \item $\left(q,p\right){S\atop \rightarrow}\left(Q,P\right)=const$ entspricht Abbildung auf einen Pkt. im Phasenraum \item $\frac{\partial S}{\partial t}=-H$ \item $\frac{dS}{dt}=L$ \item $S=\int dtL+c$\\ unbestimmtes Integral der Lagrange-Fkt. $\Rightarrow$ formale Integrationsform, in der Praxis jedoch nicht verwendbar! Dieses $S$ wird hier minimiert $\Leftrightarrow$ Grundlage der \emph{ganzen} Hamilton-Theorie (da haben wir mal angfangen) \end{itemize} \subsection{\index{Hamiltonische charakteristische Funktion}Hamiltonische charakteristische Funktion} \subsubsection{Lösungsverfahren} \begin{itemize} \item falls \[ \frac{\partial H}{\partial t}=0\Rightarrow\frac{dH}{dt}=0\] gilt $\Rightarrow$ $H=E$ Konstante der Bewegung \item Herleitung über Separationsansatz: \begin{itemize} \item $H\left(q_{1},\ldots,q_{s},\frac{\partial S}{\partial q_{1}},\ldots,\frac{\partial S}{\partial q_{s}}\right)+\frac{\partial S}{\partial t}=0$ \item $S\left(q,P,t\right)=W\left(q,P\right)-E\cdot t$ \item $W$ \emph{\index{Harmonische charakteristische Funktion}Harmonische charakteristische Funktion} \item $E=\alpha_{s+1}=const$ \item dies nur zur Herleitung, folgende def. davon abweichend!! \end{itemize} \end{itemize} \begin{enumerate} \item Auftellen der HJD\\ $H\left(q_{1},\ldots,q_{s},\frac{\partial W}{\partial q_{1}},\ldots,\frac{\partial W}{\partial q_{s}}\right)=E\left(\alpha\right)$\\ Lösen nach $W\left(q,\alpha\right)$ \begin{itemize} \item für zyklische Variablen wähle identische Transformation und Seperationsansatz\\ $W=W_{1}+q_{i}\alpha_{i}$ \end{itemize} \item $\alpha=\left(\alpha_{1},\ldots,\alpha_{s}\right)$ mit $p_{i}=\alpha_{i}$ nach Lösung von HJD $W\left(q,\alpha\right)$ \item $p_{i}=\frac{\partial W}{\partial q_{i}}\rightarrow p_{i}=p_{i}\left(q,\alpha\right)$ \item $E=E\left(\alpha\right)\Rightarrow\omega_{i}=\frac{\partial E}{\partial\alpha_{i}}$ \begin{itemize} \item Wähle $E\left(\alpha\right)$ so, dass man freies Problem bekommt. Z.B. durch: \begin{enumerate} \item $E\left(\alpha\right)=\sum_{i}\frac{\alpha_{i}^{2}}{2m}$ bzw. $\overline{H}=\sum_{i}\frac{p_{i}^{2}}{2m}$ (elimination aller Kräfte) \item $E\left(\alpha\right)=\alpha_{1}$\\ $\frac{\partial E}{\partial\alpha_{1}}=\omega_{1}=1\;\frac{\partial E}{\partial\alpha_{i}}=\omega_{i}=0\mbox{ für }i>1$\\ $\frac{\partial E}{\partial\alpha_{i}}=\omega_{i}=\delta_{i1}\rightarrow Q_{1}=t+\beta_{1}$, andere Koordinaten: $Q_{i}=\beta_{i}$ \end{enumerate} \item $Q_{i}$ sind bestimmt:\\ $Q_{i}=\omega_{i}\left(\alpha\right)\cdot t+\beta_{i}=\frac{\partial W\left(q,a\right)}{\partial\alpha_{i}}$ \item Auflösen nach:\\ $q_{i}=q_{i}\left(\alpha,\beta,t\right)$\\ $p_{i}=p_{i}\left(\alpha,\beta,t\right)$ \end{itemize} \item $q_{i}^{\left(0\right)}=q_{i}\left(t=t_{0}\right)$, $p_{i}^{\left(0\right)}=p_{i}\left(t=t_{0}\right)$ \begin{itemize} \item Auflösen nach:\\ $\alpha=\alpha\left(q_{i}^{\left(0\right)},p_{i}^{\left(0\right)}\right)$\\ $\beta=\beta\left(q_{i}^{\left(0\right)},p_{i}^{\left(0\right)}\right)$ \item Daraus dann:\\ $q_{i}\left(t\right)$\\ $p_{i}\left(t\right)$ \end{itemize} \end{enumerate} \begin{itemize} \item physikalische Interpreation von $W$\\ $W=\sum_{i}\int dq_{i}p_{i}$\\ $S=W-H$ \item $S=$Wirkung wird minimiert $\Rightarrow H=const$ $\Rightarrow W$ minimiert \end{itemize} \subsubsection{\index{Seperation der Variablen}Seperation der Variablen} \begin{itemize} \item Falls $q_{1}$ $f\left(q_{1},\frac{\partial Q}{\partial q_{1}}\right)$ nicht von weiteren $q_{i}$ und $\frac{\partial Q}{\partial q_{i}}$ abhängt und\[ H\left(q_{2},\ldots,q_{s},\frac{\partial W}{\partial q_{2}},\ldots,\frac{\partial W}{\partial q_{s}},f\left(q_{1},\frac{\partial W}{\partial q_{1}}\right)\right)=E\] \item $q_{1}$ absorbiert\\ $W\left(q,P\right)=\overline{W}\left(q_{2},\ldots,q_{s},P\right)+W_{1}\left(q_{1},P\right)$ \item $H\left(q_{2},\ldots,q_{s},\frac{\partial\overline{W}}{\partial q_{2}},\ldots,\frac{\partial\overline{W}}{\partial q_{s}},H_{1}\right)=E$\\ $H_{1}=f\left(q_{1},\frac{\partial W_{1}}{\partial q_{1}}\right)=c_{1}=const$ \item Wenn alle $q_{i}$ seperabel sind:\\ $W=\sum_{i}W_{i}\left(q_{i},P\right)$\\ Lösungen: $H_{i}=f\left(q_{i},\frac{dW_{i}}{dq_{1}},\alpha\right)=\alpha_{i}$\[ H=\left(H_{1},\ldots,H_{s},\alpha\right)=E\] \item $H$ ist z.B. seperabel für\\ $q_{1}$ nicht zyklisch\\ $q_{i}$ mit $i>1$ zyklisch \begin{itemize} \item $W=W_{1}\left(q_{1}\right)+\sum_{i}q_{i}P_{i}$ \item $q_{i}P_{i}$ ist die Identität auf für die $i$-ten Koordinaten \end{itemize} \end{itemize} \subsection{Wirkungs\index{Wirkungsvariable}- und \index{Winkelvariable}Winkelvariable} \subsubsection{\index{Poisson-Klammern}Poisson-Klammern} \begin{description} \item [{Zweck}] Konstanten der Bewegung und Bewegungsgleichungen kompakt darstellen (formaler Übergang zur QM einfach) \item [{\index{Observable}Observable}] ist $f\left(q,p,t\right)$ mit $\left(q,p\right)\in\Gamma$ (Phasenraumpunkt) \item [{zeitliche~Änderung}] $\frac{df}{dt}=\sum_{i}\left(\frac{\partial f}{\partial q_{i}}\frac{\partial H}{\partial p_{i}}-\frac{\partial f}{\partial p_{i}}\frac{\partial H}{\partial q_{i}}\right)+\frac{\partial f}{\partial t}$ \item [{Poisson-Klammern}] für $f\left(q,p,t\right)$ und $g\left(q,p,t\right)$\[ \left\{ f,g\right\} _{q,p}=\sum_{i}\left(\frac{\partial f}{\partial q_{i}}\frac{\partial g}{\partial p_{i}}-\frac{\partial f}{\partial p_{i}}\frac{\partial g}{\partial q_{i}}\right)\] \end{description} \begin{itemize} \item nach den angegebenen Indizes differenzieren \item $\left\{ g,f\right\} _{q,p}=-\left\{ f,g\right\} _{q,p}$ \item $\left\{ f,f\right\} =0$ \item \[ \frac{df}{dt}=\left\{ f,H\right\} _{q,p}+\frac{\partial f}{\partial t}\] \item $\dot{q}_{i}=\left\{ q_{i},H\right\} _{q,p}$\foreignlanguage{english}{}\\ $\dot{p}_{i}=\left\{ p,H\right\} _{q,p}$ \end{itemize} \begin{description} \item [{\index{fundamentale Poisson-Klamern}fundamentale}] Poisson-Klamern \end{description} \begin{itemize} \item $\left\{ q_{i},q_{j}\right\} _{q,p}=0$ \item $\left\{ p_{i},p_{j}\right\} _{q,p}=0$ \item $\left\{ q_{i},p_{j}\right\} _{q,p}=\delta_{ij}$ \item wenn diese Eigenschaften gelten sind die $q_{i},p_{i}$ ein satz unabhängiger Variablen \end{itemize} \begin{description} \item [{Koordinatenunabhängigkeit}] falls $\left(q,p\right)$ und $\left(Q,P\right)$ beide genügen der Hamiltonischen Bewegungsgleichung, $\left(q,p\right)\rightarrow\left(Q,P\right)$ kanonisch\begin{eqnarray*} H\left(q,p\right) & = & \tilde{H}\left(Q,P\right)\\ q & = & q\left(Q,P\right)\\ p & = & p\left(Q,P\right)\end{eqnarray*} dann gilt\begin{eqnarray*} \left\{ Q_{i},Q_{k}\right\} _{q,p} & = & 0\\ \left\{ P_{i},P_{j}\right\} & = & 0\\ \left\{ Q_{i},P_{j}\right\} _{q,p} & = & \delta_{ij}\end{eqnarray*} \item [{Weiter~ist}] der Wert der poissonklammer unabhängig von der Wahl der Koordinaten im Phasenraum.\[ \left\{ F,G\right\} _{q,p}=\left\{ F,G\right\} _{Q,P}\] \end{description} \begin{itemize} \item d.h. wir können die Koordinatenindizies weglassen! \end{itemize} \begin{description} \item [{Formale~Eigenschaften}] der Poissson-Klammern ($c,c_{1},c_{2}$ sind Konstanten) \begin{description} \item [{Antisymmetrie}] $\left\{ f,g\right\} =-\left\{ g,f\right\} $ \item [{Bi-Linearität}] $\left\{ c_{1}f_{1}+c_{2}f_{2},g\right\} =c_{1}\left\{ f_{1},g\right\} +c_{2}\left\{ f_{2},g\right\} $ \end{description} \begin{itemize} \item rechts ebenfalls linear \end{itemize} \begin{description} \item [{Nullelement}] $\left\{ c,f\right\} =0$ \item [{Produktregel}] $\left\{ f,g\cdot h\right\} =g\left\{ f,h\right\} +\left\{ f,g\right\} h$ \item [{Jakobi-Identität\index{Jakobi-Identität}}] $\left\{ f,\left\{ g,h\right\} \right\} +\left\{ g,\left\{ h,f\right\} \right\} +\left\{ h,\left\{ f,g\right\} \right\} =0$ \end{description} \end{description} \subsubsection{Integrale der Bewegung} \begin{description} \item [{Integral~der~Bewegung\index{Integral der Bewegung}}] ist ein anderer Begriff für Erhaltungsgrößen. Eine Größe die entlang der Bahnkurve eines freien Teilchens erhalten ist. \item [{Observable}] $F\left(q,P,t\right)$ sei eine mech. Observable \end{description} \begin{itemize} \item $\frac{dF}{dt}=\left\{ F,H\right\} +\frac{\partial F}{\partial t}=0\Leftrightarrow\left\{ H,F\right\} =\frac{\partial F}{\partial t}$ \item $\frac{dF}{dt}=0\Rightarrow$$F$ Konstante der Bewegung \item $\frac{\partial F}{\partial t}=0\Rightarrow\frac{\partial F}{\partial t}=\left\{ H,F\right\} $ \item \[ \frac{dH}{dt}=\frac{\partial H}{\partial t}\] \end{itemize} \begin{description} \item [{Poissonscher~Satz\index{Poissonscher Satz}}] Die Poisson-Klammer zweier Integrale der Bewegung ist wieder ein Integral der Beweung.\[ \frac{df}{dt}=0\wedge\frac{dg}{dt}=0\Rightarrow\frac{d}{dt}\left\{ f,g\right\} =0\] \end{description} \subsubsection{\index{Periodizität}Periodizität} \begin{description} \item [{\index{periodisch}periodisch}] $q\left(t\right),$ $p\left(t\right)$ \begin{description} \item [{Libration\index{Libration}}] falls \begin{eqnarray*} q\left(t+\tau\right) & = & q\left(t\right)\\ p\left(t+\tau\right) & = & p\left(t\right)\end{eqnarray*} \item [{Rotation\index{Rotation}}] falls \begin{eqnarray*} q\left(t+\tau\right) & = & q\left(t\right)\\ p\left(t+\tau\right) & = & p\left(t\right)+q_{0}\end{eqnarray*} \end{description} \begin{itemize} \item starrer Rotor $q=\varphi$ $q_{0}=2\pi$ \end{itemize} \end{description} \begin{itemize} \item Es können in physikalischen Systemen beide Arten auftreten \end{itemize} \begin{description} \item [{System}] ein System in $\Gamma\left(q,s\right)$ mit $2s$ Dimesionen ist periodisch, falls Projektion auf jede Ebene$\left(q_{i},p_{i}\right)$ periodisch ist. Die einzelnen Perioden seien $\tau_{i}$. Falls $\forall_{i,j}:\frac{\tau_{i}}{\tau_{j}}\in\mathbb{Q}\Rightarrow$ geschlossene Bahn im $2s$-dim. Phasenraum, andernfalls \emph{\index{bedingt periodisch}bedingt periodisch.} \end{description} \subsubsection{Wirkungs- und Winkelvariable} \begin{description} \item [{Ziel}] Periodenfrequenzen des Systems bestimmen \item [{Vorgehen}] Zuerst normal Lösen über $W$ danach $E,W$ mit $J_{i}$ ausdrücken und Ableiten $\Rightarrow$ Frequenzen \end{description} \begin{itemize} \item Es soll gelten: \begin{itemize} \item $\frac{\partial H}{\partial t}=\frac{dH}{dt}=0$ \item $\Rightarrow W=W\left(q,P\right)$ reicht zur Transformation \item $\Rightarrow P=\left(P_{1},\ldots,P_{s}\right)=\left(\alpha_{1},\ldots,\alpha_{s}\right)=const$ \item System vollständig seperabel \item $\Rightarrow W=\sum_{i}W_{i}\left(q_{i},\alpha\right)$ \item $\Rightarrow P_{i}=\frac{\partial W}{\partial q_{i}}=\frac{dW_{i}}{dq_{i}}=p_{i}\left(q_{i},\alpha\right)$ \end{itemize} \item $\left(q,p\right)\rightarrow\left(Q,P\right)$ \item $P_{i}=\alpha_{i}$ \item $Q_{i}=\begin{cases} const & \Leftrightarrow S\left(q,P,t\right)\\ zyklisch & \Leftrightarrow W\left(q,P\right)\end{cases}$ \begin{itemize} \item im zyklischen Fall $\overline{H}=\overline{H}\left(P\right)$ \end{itemize} \item $P_{i}=\alpha_{i}$ $\rightarrow$ kann auch $P_{i}=P_{i}\left(\alpha_{1},\ldots,\alpha_{s}\right)$ sein! \begin{itemize} \item Wirkungsvariable $J_{i}=\oint dq_{i}p_{i}$ \item minimale oder kleinste Wirkung\\ $A=\sum_{i}\int_{q_{1}}^{q_{2}}dq_{i}p_{i}=S+\int_{t_{1}}^{t_{2}}dtH$ \item seperables System\\ $p_{i}=\frac{dW_{i}}{dq_{i}}\Rightarrow J_{i}=\oint dq_{i}\frac{dW_{i}\left(q_{i},\alpha\right)}{dq_{i}}=J_{i}\left(\alpha\right)$ \item $J_{i}$ gibt zuwachs $W$ an, wenn $q_{i}$ einen {}``Umlauf'' macht \item $J_{i}\rightarrow P_{i}$ $\Rightarrow$ \begin{itemize} \item $\alpha_{i}=\alpha_{i}\left(J_{1},\ldots,J_{s}\right)$ \item $W=W\left(q_{1},\ldots,q_{s},J_{1},\ldots,J_{s}\right)$ \item $H=\overline{H}=\alpha_{1}\left(J\right)=\overline{H}\left(J\right)$ \end{itemize} \end{itemize} \end{itemize} \begin{description} \item [{Spezialfall}] $q_{i}$ zyklisch $p_{i}=const$ \begin{itemize} \item $q_{i0}=2\pi$ \item $J_{i}=2\pi p_{i}$ falls $q_{i}$ zyklisch \end{itemize} \end{description} \begin{itemize} \item $P=J\Leftrightarrow Q_{i}=\omega_{i}$ {}``Winkelvariablen'' \begin{itemize} \item $Q_{i}=\frac{\partial W}{\partial P_{i}}\rightarrow\omega_{i}=\frac{\partial W}{\partial J_{i}}$ \item $\dot{Q}_{i}=\frac{\partial\overline{H}}{\partial P_{i}}\rightarrow\dot{\omega}_{i}=\frac{\partial}{\partial J_{i}}\overline{H}\left(J\right)=\nu_{i}\left(J\right)$ \item $\omega_{i}=\nu_{i}\left(J\right)\cdot t+\beta_{i}$ \end{itemize} \item Wie ändert sich $\omega_{j}$ wenn sich $q_{i}$ um einen Umlauf ändert\\ $\Delta_{i}\omega_{j}=\oint_{i}d\omega_{j}=\delta_{ij}$ \item $\tau_{i}$ Periode von $q_{i}$\\ $\Delta_{i}\omega_{i}=\nu_{i}\tau_{i}\Rightarrow\nu_{i}\left(J\right)=\frac{1}{\tau_{i}}$ \item $\nu_{i}$ $\hat{=}$ \index{Frequenz}Frequenz \item falls $\tau_{i}$ bekannt $\rightarrow\omega_{i},J_{i}\Rightarrow q_{i}\left(t\right),q_{i}\left(t\right)$ \item Frequenz des Gesamtsystems ist \emph{kleinste gemeinsame Vielfache} von einzelnen Frequenzen \end{itemize} \begin{description} \item [{Entartung\index{Entartung}}] Bewegung im $2s$-dim $\Gamma$ periodisch, falls jede der $s$-Projektionen auf eine $\left(q_{i},p_{i}\right)$-Ebene periodisch ist. Die Frequenz \[ \nu_{i}=\frac{1}{\tau_{i}}\] ist im Prinzip für alle $i$ verschieden. \begin{description} \item [{Phasenbahn}] $\Gamma$ ist abgeschlossen (einfach Periodisch) falls $\frac{\nu_{i}}{\nu_{j}}$ rational ist für alle $i,j$ \item [{bedingt~periodisch\index{bedingt periodisch}}] wird sie im anderen Fall genannt. $\Rightarrow$ Phasenbahn nicht geschlossen \item [{Frequenzverhältnis}] läss sich im abgeschlossenen Fall angeben\[ \sum_{i=1}^{s}\nu_{i}n_{i}^{\left(l\right)}=0\] \end{description} \begin{itemize} \item $l=1,\ldots,s-1$ \item $n_{i}^{\left(l\right)}\in\mathbb{Z}$ \item jeweils nicht alle $n_{i}^{\left(l\right)}=0$ für ein $l$ \item o.B.d.A. (umsortieren der Unabhängigen nach hinten) $n_{i}^{\left(l\right)}=0$ für $i\in\left[m+1,s\right]$ \item die Vektoren $n_{i}^{\left(l\right)}$ müssen zueinander linear unabhängig sein \end{itemize} \begin{description} \item [{m-Fache}] Entartung haben wir, falls es nur $m0$, $\chi_{m}=\chi_{m}\left(T\right)$ \end{description} \begin{itemize} \item permanente magn. Dipole \item z.B. Atome mit nicht abgeschlossenen Schalen $\left(\vec{L}_{ges}\neq0\right)$ \item Sättigungsmagnetismus: ... bis alle Dipole ausgerichtet sind \item hohe Temperaturen: $\chi_{m}\left(T\right)=\frac{c}{T}$ {}``Curie-Gesetz'' \end{itemize} \begin{description} \item [{\index{Kollektiver Magnetismus}Kollektiver~Magnetismus}] $\chi_{m}=\chi_{m}\left(T,H\right)$ \emph{kein} linearer Zusammenhang $\vec{M}\neq\chi_{m}\vec{H}$ \end{description} \begin{itemize} \item permanente magn. Dipole $\rightarrow$ richten sich \emph{spontan} aus für $Tr'$ (Radius von $V=$Ausdehnung der Magnetisierung)\[ \varphi_{m}\approx\frac{1}{4\pi}\frac{\vec{m}_{tot}\vec{r}}{r^{3}}\] \begin{itemize} \item $\vec{m}_{tot}=\int d^{3}r\,\vec{M}\left(\vec{r}\right)$ magnetische Moment \item Fernfeld = Dipolfeld \end{itemize} \end{itemize} \subsection{Vollständige \index{Maxwell Gleichungen}Maxwell Gleichungen} \begin{description} \item [{Vollständige}] Maxwell Gleichungen\begin{eqnarray*} \vec{\nabla}\vec{D} & = & \varrho\\ \vec{\nabla}\times\vec{E}+\dot{\vec{D}} & = & 0\\ \vec{\nabla}\vec{B} & = & 0\\ \vec{\nabla}\times\vec{H} & = & \vec{j}+\dot{\vec{D}}\end{eqnarray*} \item [{\index{Kontinuitätsgleichung}Kontinuitätsgleichung}] \[ \frac{\partial\varrho}{\partial t}+\vec{\nabla}\vec{j}=0\] \item [{Felder~in~\index{Medien}Medien\index{Felder in Medien}}] empirische Näherung\begin{eqnarray*} \vec{D} & = & \underline{\varepsilon_{r}}\varepsilon_{0}\vec{E}\\ \vec{B} & = & \underline{\mu_{r}}\mu_{0}\vec{H}\\ \vec{j} & = & \underline{\sigma}\vec{E}\end{eqnarray*} \item [{Potentiale\index{Potentiale}}] diese lösen die beiden homogenen Maxwellgleichungen automatisch \begin{eqnarray*} \vec{B} & = & \vec{\nabla}\times\vec{A}\\ \vec{E} & = & -\vec{\nabla}\phi-\dot{\vec{A}}\end{eqnarray*} \item [{Potential-DGL's}] sind umgeformte inhomogene Maxwell Gleichungen\begin{eqnarray*} \Delta\phi+\frac{\partial}{\partial t}\vec{\nabla}\vec{A} & = & -\frac{\varrho_{0}}{\varepsilon_{0}}\\ \square\vec{A}-\vec{\nabla}\left(\left(\vec{\nabla}\vec{A}\right)+\frac{1}{c^{2}}\dot{\phi}\right) & = & -\mu_{0}\vec{j}\end{eqnarray*} \item [{\index{D'Alembert-Operator}D'Alembert-Operator}] ist definiert als\[ \square=\Delta-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\] \item [{Eichfreiheit\index{Eichfreiheit}}] bietet die Möglichkeit die Potentiale zu verändern, ohne das sich die Felder ändern (\emph{\index{Eichtransformation}Eichtransformation}): $\vec{B}=\vec{B'}$ und $\vec{E}=\vec{E}'$\begin{eqnarray*} \vec{A}' & = & \vec{A}+\vec{\nabla}\chi\\ \phi' & = & \phi-\dot{\chi}\end{eqnarray*} \end{description} \begin{itemize} \item $\chi$ ist beliebieges skalares Feld \item $\chi'=\chi+c$ ist äquivalent \end{itemize} \begin{description} \item [{\index{Helmholzt Satz}Helmholzt~Satz}] die Stromdichte $\vec{j}=\vec{j}_{L}+\vec{j}_{T}$ lässt sich in einen longitudinalen und einen tranversalen Anteil aufspalten\begin{eqnarray*} \vec{j}_{L} & = & -\frac{1}{4\pi}\vec{\nabla}_{r}\int_{V}d^{3}r'\frac{\vec{\nabla}_{r'}\vec{j}\left(\vec{r}',t\right)}{\left|\vec{r}-\vec{r}'\right|}\\ \vec{j}_{T} & = & \frac{1}{4\pi}\vec{\nabla}_{r}\times\int_{V}d^{3}r'\frac{\vec{\nabla}_{r'}\times\vec{j}\left(\vec{r}',t\right)}{\left|\vec{r}-\vec{r}'\right|}\end{eqnarray*} \item [{Coulomb-Eichung\index{Coulomb-Eichung}}] bzw. \emph{transversal Eichung}: wähle $\chi$ so, das\begin{eqnarray*} \vec{\nabla}\vec{A} & = & 0\end{eqnarray*} dadurch gilt direkt\begin{eqnarray*} \Delta\phi & = & -\frac{\varrho_{0}}{\varepsilon_{0}}\\ \phi & = & \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\int_{V}d^{3}r'\frac{\varrho\left(\vec{r},t\right)}{\left|\vec{r}-\vec{r}'\right|}\end{eqnarray*} es bleibt nur noch zu lösen\[ \square\vec{A}=-\mu_{0}\vec{j}_{T}\] \end{description} \begin{itemize} \item $\chi$ ist \emph{nicht} Lorenzinvariant! \item Wahl von $\chi$\begin{eqnarray*} a\left(\vec{r},t\right) & = & \vec{\nabla}\vec{A}\\ \Delta\chi & = & -a\left(\vec{r},t\right)\\ \chi & = & \frac{1}{4\pi}\int d^{3}r'\frac{a\left(\vec{r}',t\right)}{\left|\vec{r}-\vec{r}'\right|}\end{eqnarray*} \end{itemize} \begin{description} \item [{\index{Lorentzeichung}Lorentzeichung}] wähle $\chi$ so, das\[ \vec{\nabla}\vec{A}+\frac{1}{c^{2}}\dot{\phi}=0\] dadurch gilt direkt\begin{eqnarray*} \square\vec{A} & = & -\mu_{0}\vec{j}\\ \square\phi & = & -\frac{\varrho}{\varepsilon_{0}}\end{eqnarray*} \end{description} \begin{itemize} \item Wahl von $\chi$\begin{eqnarray*} a\left(\vec{r},t\right) & = & \vec{\nabla}\vec{A}+\frac{1}{c^{2}}\dot{\phi}\\ \square\chi & = & -a\left(\vec{r},t\right)\end{eqnarray*} \item vollständige Entkopplung von $\vec{A}$ und $\phi$ \item $\chi$ ist lorenztinvariant / in jedem Inertialsystem gleich. \item $\chi$ ist nicht eindeutig bestimmt:\begin{eqnarray*} \square\Lambda\left(\vec{r},t\right) & = & 0\\ \chi' & = & \chi+\Lambda\end{eqnarray*} \end{itemize} \subsection{Energie \& Impulssatz in der Elektrodynamik} \begin{description} \item [{Energiesatz\index{Energiesatz}}]~ \end{description} \begin{itemize} \item Gegeben sei $\vec{E}\left(\vec{r},t\right)$ und $\vec{B}\left(\vec{r},t\right)$ und ein Teilchem mit der Ladung $q$ in diesen Feldern mit $\vec{v}$ bewegt \item $\vec{F}=q\left(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}\right)$\[ \frac{dW_{mech}}{dt}=q\vec{E}\vec{v}\] \end{itemize} \begin{description} \item [{\index{Kraftdichte}Kraftdichte}] $\vec{f}\left(\vec{r},t\right)=\varrho\left(\vec{r},t\right)\left[\vec{E}\left(\vec{r},t\right)+\vec{v}\left(\vec{r},t\right)\times\vec{B}\left(\vec{r},t\right)\right]$ \end{description} \begin{itemize} \item $\vec{v}$ ist das Geschwindigkeitsfeld mit dem $\varrho$ strömt \item $\vec{f}\vec{v}=\vec{j}\vec{E}$\begin{eqnarray*} \frac{dW_{V}}{dt} & =_{mech} & \int_{V}d^{3}r\;\vec{j}\vec{E}\\ & =_{\qquad\ } & \int_{V}d^{3}r\left[-\vec{H}\dot{\vec{B}}-\vec{E}\dot{\vec{D}}-\vec{\nabla}\left(\vec{E}\times\vec{H}\right)\right]\\ & =_{elekt} & -\int_{V}\left(\frac{\partial w}{\partial t}+\vec{\nabla}\vec{S}\right)\end{eqnarray*} \end{itemize} \begin{description} \item [{Pointingvektor\index{Pointingvektor}}] $\vec{S}\left(\vec{r},t\right)=\vec{E}\left(\vec{r},t\right)\times\vec{H}\left(\vec{r},t\right)$ \end{description} \begin{itemize} \item $\frac{dW_{v}^{Strahlung}}{dt}=\int_{\partial V}d\vec{f}\vec{S}$ \item $\frac{dW_{v}^{Feld}}{dt}=\int_{V}d^{3}r\frac{\partial w}{\partial t}$ \item Achtung, i.A. ist das zeitliche Mittel verlangt $\rightarrow$ steht hier nicht direkt! \end{itemize} \begin{description} \item [{\index{Energiestromdichte}Energiestromdichte}] $\left|\vec{S}\right|$ \end{description} \begin{itemize} \item in Richtung $\frac{\vec{S}}{\left|\vec{S}\right|}$ \end{itemize} \begin{description} \item [{\index{Energiedichte}Energiedichte}] $w\left(\vec{r},t\right)=\frac{1}{2}\left[\vec{H}\vec{B}+\vec{E}\vec{D}\right]$ \end{description} \begin{itemize} \item Achtung, i.A. ist das zeitliche Mittel verlangt $\rightarrow$ steht hier nicht direkt! \end{itemize} \begin{description} \item [{Koninuitätsgleichung~Energie\index{Koninuitätsgleichung Energie}}] $\underbrace{\frac{\partial w}{\partial t}}_{Feld}+\underbrace{\vec{\nabla}\vec{S}}_{Strahlung}+\underbrace{\vec{j}\vec{E}}_{mechanisch}=0$ \end{description} \begin{itemize} \item Pointingsches Theorem \item entspricht Energieerhaltung \end{itemize} \begin{description} \item [{Feldimpuls\index{Feldimpuls}}] $\vec{p}^{Feld}=\int_{V}d^{3}r$$\vec{D}\times\vec{B}$ \end{description} \begin{itemize} \item $\vec{F}=\dot{\vec{p}}$ \end{itemize} \begin{description} \item [{\index{Maxwellscher Spannungstensor}Maxwellscher~\index{Spannungstensor}Spannungstensor}] $T$\[ {\scriptstyle T_{ij}=\varepsilon_{r}\varepsilon_{0}E_{i}E_{j}+\frac{1}{\mu_{r}\mu_{0}}B_{i}B_{j}-\frac{1}{2}\delta_{ij}\left(\varepsilon_{r}\varepsilon_{0}\left|\vec{E}\right|^{2}+\frac{1}{\mu_{r}\mu_{0}}\left|\vec{B}\right|^{2}\right)}\] \end{description} \begin{itemize} \item $\vec{T}_{i}=\left(T_{i1},T_{i2},T_{i3}\right)$\begin{eqnarray*} F_{i} & = & \frac{d}{dt}\left(\vec{p}_{V}^{mech}+\vec{p}_{V}^{Feld}\right)_{i}\\ & = & \int_{V}d^{3}r\,\vec{\nabla}\vec{T}_{i}\\ & = & \int_{\partial V}d\vec{f}\vec{T}_{i}\end{eqnarray*} \item \emph{\index{Impulsfluss}Impulsfluss} $d\vec{f}\vec{T}_{i}$ durch die Oberfläche $d\vec{f}_{i}$ \item $\vec{F}$ gesamte auf das System in $V$ wirkende Kraft \item $\vec{p}_{V}^{mech}$ ist der zusätzliche mechanische Impuls (hier im meistens $=0$) \end{itemize} \subsection{\index{Elektromagnetische Wellen}Elektromagnetische \index{Wellen}Wellen} \begin{description} \item [{homogenes~Medium}] sei gegeben, und damit\begin{eqnarray*} \vec{B} & = & \mu_{r}\mu_{0}\vec{H}\\ \vec{D} & = & \varepsilon_{r}\varepsilon_{0}\vec{E}\end{eqnarray*} \item [{Annahme}] $\varrho\left(\vec{r},t\right)=\vec{j}\left(\vec{r},t\right)=0$ \item [{Wellengleichung\index{Wellengleichung}}] folgen aus den mit den Annahmen modifizierten Maxwellgleichungen\begin{eqnarray*} \square\vec{E} & = & \vec{0}\\ \square\vec{B} & = & \vec{0}\end{eqnarray*} \item [{\index{Geschwindigkeit}Geschwindigkeit}] $u=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{r}\varepsilon_{0}\mu_{r}\mu_{0}}}=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon_{r}\mu_{r}}}=\frac{c}{n}$ \item [{Lichtgeschwindigkeit\index{Lichtgeschwindigkeit}}] $c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{0}\mu_{0}}}$ \item [{\index{Brechungsindex}Brechungsindex}] $n=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{r}\mu_{r}}}$ \item [{Lösungsweg}] $\Psi\left(\vec{r},t\right)$ sei eine der Komponenten von $\vec{E}$ oder $\vec{B}$ \end{description} \begin{itemize} \item DGL\\ $\square\Psi\left(\vec{r},t\right)=0$ \item Lösungsansatz\\ $\Psi\left(\vec{r},t\right)=f_{-}\left(\vec{k}\vec{r}-\omega t\right)+f_{+}\left(\vec{k}\vec{r}+\omega t\right)$ \item Phase:\\ $\varphi_{\pm}=\vec{k}\vec{r}\pm\omega t$\\ o.B.d.A. $\omega>0$ \item DGL mit Ansatz $f_{\pm}$:\\ $\Delta\Psi\left(\vec{r},t\right)=k^{2}\Psi''\quad\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\Psi\left(\vec{r},t\right)=\omega^{2}\Psi''$ \item Lösung mit beliebigen $f_{\pm}$ mit\\ $\omega=uk$ \item Physikalische Interpretation \begin{itemize} \item Betrachte Flächen mit gleichem $f_{+}$ bzw $f_{-}$ Wert $\Rightarrow$$\varphi=\varphi_{0}=const$ \item diese wandern mit $t$ senkrecht zu $\vec{k}$\[ r_{||}=\frac{\vec{r}\vec{k}}{k}=\frac{\varphi_{0}}{k}\mp\frac{\omega}{k}t\] \item $f_{-}$ bewegt sich in $\vec{k}$ Richtung\\ $f_{+}$ bewegt sich in $-\vec{k}$ Richtung \end{itemize} \end{itemize} \begin{description} \item [{Phasengeschwindigkeit\index{Phasengeschwindigkeit}}] $\frac{dr_{||}}{dt}=\frac{\omega}{k}=u$ \item [{\index{Wellenvektor}Wellenvektor}] $\vec{k}$ \end{description} \begin{itemize} \item auch Ausbreitungsvektor genannt \end{itemize} \begin{description} \item [{Allgemeine~Lösung}] ist eine Überlagerung (da Gleichungen linear) von \begin{eqnarray*} f_{-}\left(\vec{r},t\right) & = & Ae^{i\left(\vec{k}\vec{r}-\omega t\right)}\\ f_{+}\left(\vec{r},t\right) & = & Be^{i\left(\vec{k}\vec{r}+\omega t\right)}\end{eqnarray*} \end{description} \begin{itemize} \item bei festen $t$ sind Ebenen konstanter Phase äquidistant \end{itemize} \begin{description} \item [{Wellenlänge\index{Wellenlänge}}] $\lambda=\frac{2\pi}{k}$ \end{description} \begin{itemize} \item $\tau=\frac{2\pi}{\omega}$ \item $\nu=\frac{1}{\tau}$ \item $u=\frac{\omega}{k}=\frac{2\pi\nu}{k}=\lambda\nu=\frac{\lambda}{\tau}$ \end{itemize} \begin{description} \item [{Felder}] ergeben sich entsprechend zu\begin{eqnarray*} \vec{E}\left(\vec{r},t\right) & = & \vec{E}_{0}e^{i\left(\vec{k}\vec{r}-\omega t\right)}\\ \vec{B}\left(\vec{r},t\right) & = & \vec{B}_{0}e^{i\left(\vec{k}\vec{r}-\omega t\right)}\end{eqnarray*} \end{description} \begin{itemize} \item $f_{+}=0$ da nur Propabation in eine Richtung betrachtet wird. \item mit Überlagerungen von $\omega\in\left(-\infty,\infty\right)$ wird $f_{+}$ dadurch wieder aufgenommen (negative $\omega$). \item Diese Wellen werden auch als \emph{ebene Wellen}\index{ebene Wellen} bezeichnet, da Ihre Wellenfronten parallele Ebnen senkrecht zu $\vec{k}$ bilden. \item $\vec{k}\times\vec{E}_{0}=\omega\vec{B}_{0}$ \item $\vec{k}\times\vec{B}_{0}=-\frac{\omega}{u^{2}}\vec{E}_{0}$ \item $\vec{k}\vec{E}_{0}=0$ \item $\vec{k}\vec{B}_{0}=0$ \item $\left|\vec{B}_{0}\right|^{2}=\frac{1}{u^{2}}\left|\vec{E}_{0}\right|^{2}$ \item $\vec{E}_{0},\vec{B}_{0},\vec{k}$ bilden in dieser Reihenfolge ein Rechstsystem \item um Phasenverschiebungen zu realisiernen:\\ $\vec{E}_{0},\vec{B}_{0}\in\mathbb{C}^{3}$ \item Physikalische $\vec{B},\vec{E}$ Felder sind Realteile dieser Felder!! \end{itemize} \begin{description} \item [{\index{Polarisation}Polarisation}] O.b.d.A $\vec{k}=k\vec{e}_{z}$ damit gilt:\begin{eqnarray*} \vec{E}\left(\vec{r},t\right) & = & \left(E_{0x}\vec{e}_{x}+E_{0y}\vec{e}_{y}\right)e^{i\left(\vec{k}\vec{r}-\omega t\right)}\\ \vec{B}\left(\vec{r},t\right) & = & \frac{1}{u}\left(-E_{0y}\vec{e}_{x}+E_{0x}\vec{e}_{y}\right)e^{i\left(\vec{k}\vec{r}-\omega t\right)}\end{eqnarray*} \end{description} \begin{itemize} \item Betrachte nur $\vec{E}$ Feld, $\vec{B}$ analog \item Durch Realteilbildung und umschreiben\begin{eqnarray*} E_{x} & = & \left|E_{0x}\right|\cos\left(\vec{k}\vec{r}-\omega t+\varphi\right)\\ E_{y} & = & \left|E_{0y}\right|\cos\left(\vec{k}\vec{r}-\omega t+\varphi+\delta\right)\end{eqnarray*} \begin{description} \item [{linear\index{lineare Polarisation}}] $\delta=n\cdot\pi$ mit $n\in\mathbb{Z}$\[ \vec{E}=\vec{E}_{0}\cos\left(\vec{k}\vec{r}-\omega t+\varphi\right)\] \item [{\index{zirkulare Polarisation}zirkular}] $\delta=\pm\frac{\pi}{2}$ und $\left|E_{0x}\right|=\left|E_{oy}\right|=E$\[ \vec{E}=E\left(\begin{array}{c} \cos\left(\vec{k}\vec{r}-\omega t+\varphi\right)\\ \mp\sin\left(\vec{k}\vec{r}-\omega t+\varphi\right)\\ 0\end{array}\right)\] \end{description} \begin{itemize} \item $\delta=+\frac{\pi}{2}$ ist rechtszirkular (gegen den Uhrzeigersinn) \item $\delta=-\frac{\pi}{2}$ ist linkszirkular (mit dem Uhrzeigersinn) \end{itemize} \begin{description} \item [{Elliptisch\index{elliptische Polarisation}}] $\delta=\pm\frac{\pi}{2}$ und $\left|E_{0x}\right|\neq\left|E_{oy}\right|$\[ \vec{E}=\left(\begin{array}{c} \left|E_{0x}\right|\cos\left(\vec{k}\vec{r}-\omega t+\varphi\right)\\ \mp\left|E_{0y}\right|\sin\left(\vec{k}\vec{r}-\omega t+\varphi\right)\\ 0\end{array}\right)\] \end{description} \begin{itemize} \item $\left(\frac{E_{x}}{\left|E_{0x}\right|}\right)^{2}+\left(\frac{E_{y}}{\left|E_{0y}\right|}\right)^{2}=1$ \end{itemize} \begin{description} \item [{Allgemein}] handelt es sich um eine Ellipse, die in der $x,y$ Ebene um einen gewissen Winkel verkippt ist \end{description} \end{itemize} \begin{description} \item [{\index{Wellenpakete}Wellenpakete}] sind die allgemeinsten Lösungen, also eine Überlagerungen von den vorherigen Lösungen\[ F_{\pm}\left(z,t\right)=\int_{-\infty}^{\infty}dk\, a\left(k\right)f_{\pm}\left(kz\pm\omega t\right)\] \end{description} \begin{itemize} \item $a\left(k\right)$ ist die Gewichtungsfunktion \item ist Physikalisch relevant, da Welle meist mit über ein ganzes {}``Frequenzband'' verteilt ist \item Es gilt meist $\varepsilon_{r}=\varepsilon_{r}\left(\omega\right)$ \begin{description} \item [{\index{dispersives Medium}dispersives~Medium}] $\omega=uk\Rightarrow\omega=\omega\left(k\right)$ \item [{Gruppengeschwindigkeit\index{Gruppengeschwindigkeit}}] $v_{g}=\left.\frac{d\omega}{dk}\right|_{k=k_{0}}$ ist Teil der Taylorentwicklung von $\omega\left(k\right)$\[ \omega\left(k\right)=\omega_{0}+\left(k-k_{0}\right)\left.\frac{d\omega}{dk}\right|_{k=k_{0}}+\ldots\] \end{description} \begin{itemize} \item i.a. $u\neq v_{g}$ \end{itemize} \end{itemize} \begin{description} \item [{Wellenpaket}] ist Näherungslösung mit Abbruch der Entwicklung von $\omega\left(k\right)$ nach ersten Glied\begin{eqnarray*} H_{\pm}\left(z,t\right) & = & e^{\left(k_{0}z\pm\omega_{0}t\right)}\hat{H}_{\pm}\left(z\pm v_{g}t\right)\\ \hat{H}_{\pm}\left(z\pm v_{g}t\right) & = & \int_{-\infty}^{\infty}dq\, b\left(k_{0}+q\right)e^{iq\left(z\pm v_{g}t\right)}\end{eqnarray*} \end{description} \begin{itemize} \item $\hat{H}_{\pm}$ ist die Einhüllende des Wellenpaketes, das sich mit $v_{g}$ vorwärts bewegt \end{itemize} \begin{description} \item [{Kugelwellen\index{Kugelwellen}}] sind Lösungen in der Basis der Kugelkoordinaten \end{description} \begin{itemize} \item $\square$ lässt sich in den Kugelkoordinaten als Summe schreiben \item Lösung\\ $\Psi_{\pm}=\frac{A_{\pm}}{r}e^{i\left(kr\pm\omega t\right)}$ \item gleiche Wellenlänge wie ebene Wellen \item Es gibt mit $\pm$ wieder ein und auslaufende Wellen \end{itemize} \subsubsection{\label{sub:homogeneSquareLsg}Allgemeine Lösung der Wellengleichung} \begin{description} \item [{\index{Fourier-Transformation}Fourier-Transformation}] allgemein in einer Dimension\begin{eqnarray*} \tilde{f}\left(k\right) & = & \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}dx\, f\left(x\right)e^{-ikx}\\ f\left(x\right) & = & \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}dk\,\tilde{f}\left(k\right)e^{+ikx}\end{eqnarray*} \end{description} \begin{itemize} \item In $n$ Dimensionen muss diese Transformation für jede Komponente des Vektors durchgeführt werden \item $\delta\left(x\right)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}dke^{ikx}$ \end{itemize} \begin{description} \item [{dreidimensional}] für Wellen\begin{eqnarray*} \Psi\left(\vec{r},t\right) & = & {\scriptstyle \frac{1}{\left(2\pi\right)^{2}}\int d^{3}k\int_{-\infty}^{\infty}d\omega\,\tilde{\Psi}\left(\vec{k},\omega\right)e^{i\left(\vec{k}\vec{r}-\omega t\right)}}\\ \tilde{\Psi}\left(\vec{k},\omega\right) & = & {\scriptstyle \frac{1}{\left(2\pi\right)^{2}}\int d^{3}r\int_{-\infty}^{\infty}dt\,\Psi\left(\vec{r},t\right)e^{-i\left(\vec{k}\vec{r}-\omega t\right)}}\end{eqnarray*} \item [{Gegeben}] sind\begin{eqnarray*} \Psi\left(\vec{r}\right) & = & \Psi\left(\vec{r},t=0\right)\\ v_{0}\left(\vec{r}\right) & = & \dot{\Psi}\left(\vec{r},t=0\right)\end{eqnarray*} \end{description} \begin{itemize} \item bzw. entsprechend Vektor $\vec{E},\vec{B}$ \end{itemize} \begin{description} \item [{Ansatz}] mit Fourier-Transformation\begin{eqnarray*} \square\Psi\left(\vec{r},t\right) & = & 0\\ & \Leftrightarrow\\ \underbrace{\left(k^{2}-\frac{\omega^{2}}{u^{2}}\right)}_{=0}\tilde{\Psi}\left(\vec{k},\omega\right) & = & 0\end{eqnarray*} liefert den Ansatz\[ \tilde{\Psi}\left(\vec{k},\omega\right)=a_{+}\left(\vec{k}\right)\delta\left(\omega+uk\right)+a_{-}\left(\vec{k}\right)\delta\left(\omega-uk\right)\] \[ a_{\pm}\left(\vec{k}\right)=\frac{1}{4\pi}\int d^{3}re^{-\vec{k}\vec{r}}\left(\Psi_{0}\left(\vec{r}\right)\mp\frac{i}{ku}v_{0}\left(\vec{r}\right)\right)\] und damit durch Rücktransformation und einsetzen das resultierende Feld\begin{eqnarray*} {\scriptstyle \Psi\left(\vec{r},t\right)} & = & \frac{1}{2\left(2\pi\right)^{3}}\int d^{3}r\int d^{3}r'e^{i\vec{k}\left(\vec{r}-\vec{r}'\right)}\\ & & \cdot\left[e^{ikut}\left(\Psi_{0}\left(\vec{r}'\right)-\frac{i}{ku}v_{0}\left(\vec{r}'\right)\right)\right.\\ & & \left.+e^{-ikut}\left(\Psi_{0}\left(\vec{r}'\right)+\frac{i}{ku}v_{0}\left(\vec{r}'\right)\right)\right]\\ & = & {\scriptstyle \int d^{3}r'\left({\scriptstyle \dot{D}\left(\vec{r}-\vec{r}',t\right)\Psi_{0}\left(\vec{r}'\right)+D\left(\vec{r}-\vec{r}',t\right)v_{0}\left(\vec{r}'\right)}\right)}\end{eqnarray*} \end{description} \begin{itemize} \item Integraldarstellung von $\square\Psi\left(\vec{r},t\right)=0$ mit Randbedingungen von oben \end{itemize} \begin{description} \item [{Abkürzung}] \begin{eqnarray*} D\left(\vec{r},t\right) & = & {\scriptstyle -\frac{i}{2\left(2\pi\right)^{3}}\int d^{3}k\frac{1}{ku}e^{i\vec{k}\vec{r}}\left(e^{ikut}-e^{-ikut}\right)}\\ & = & {\scriptstyle \frac{-1}{2\left(2\pi\right)^{3}ur}\int_{-\infty}^{\infty}dk\left(e^{ik\left(r+ut\right)}-e^{ik\left(r-ut\right)}\right)}\\ & = & -\frac{1}{4\pi ur}\left[\delta\left(r+ut\right)-\delta\left(r-ut\right)\right]\\ & = & \frac{1}{4\pi ur}\begin{cases} \delta\left(r-ut\right) & t>0\\ -\delta\left(r+ut\right) & t<0\\ 0 & t=0\end{cases}\end{eqnarray*} \end{description} \subsubsection{\index{Energietransport in Wellen}Energietransport in Wellen} \begin{description} \item [{Rechenregeln}] zur Realteilmittelung von komplexen Funktionen \end{description} \begin{itemize} \item $\vec{a}\left(\vec{r},t\right)=a_{0}\left(\vec{r}\right)e^{-i\omega t}$ \item $\vec{b}\left(\vec{r},t\right)=b_{0}\left(\vec{r}\right)e^{-i\omega t}$ \item Mittelung\\ $\overline{A}\left(t\right)=\frac{1}{\tau}\int_{t}^{t+\tau}A\left(t\right)dt$ \item $\overline{\Re\left(\vec{a}\right)\cdot\Re\left(\vec{b}\right)}=\frac{1}{2}\Re\left(\vec{a}_{0}^{*}\cdot\vec{b}_{0}\right)=\frac{1}{2}\Re\left(\vec{a}_{0}\cdot\vec{b}_{0}^{*}\right)$ \item $\overline{\Re\left(\vec{a}\right)\times\Re\left(\vec{b}\right)}=\frac{1}{2}\Re\left(\vec{a}_{0}^{*}\times\vec{b}_{0}\right)=\frac{1}{2}\Re\left(\vec{a}_{0}\times\vec{b}_{0}^{*}\right)$ \end{itemize} \begin{description} \item [{Annahmen}] sind, dass $\vec{E},\vec{B}$ folgende Gestalt haben\begin{eqnarray*} \vec{E}\left(\vec{r},t\right) & = & \vec{E}_{0}e^{i\left(\vec{k}\vec{r}-\omega t\right)}\\ \vec{B}\left(\vec{r},t\right) & = & \vec{B}_{0}e^{i\left(\vec{k}\vec{r}-\omega t\right)}\end{eqnarray*} \item [{\index{Energiedichte}Energiedichte}] $\overline{w}\left(\vec{r},t\right)=\frac{1}{4}\Re\left(\underbrace{\vec{H}_{0}\vec{B}_{0}^{*}}_{magnetisch}+\underbrace{\vec{E}_{0}\vec{D}_{0}^{*}}_{elektrisch}\right)$ \item [{\index{Pointingvektor}Pointingvektor}] $\overline{\vec{S}}\left(\vec{r},t\right)=\frac{1}{2}\Re\left(\vec{E}_{0}\times\vec{H}_{0}^{*}\right)$ \item [{Spezialfall}] mit $\varepsilon_{r},\mu_{r}\in\mathbb{R}$ \begin{eqnarray*} \overline{\vec{w}}\left(\vec{r},t\right) & = & \frac{1}{2}\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}\left|E_{0}\right|^{2}\\ & = & \frac{1}{2\mu_{0}\mu_{r}}\left|B_{0}\right|^{2}\end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \overline{\vec{S}}\left(\vec{r},t\right) & = & \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\varepsilon_{r}\varepsilon_{0}}{\mu_{r}\mu_{0}}}\left|\vec{E}_{0}\right|^{2}\vec{e}_{k}\\ & = & u\overline{\vec{w}}\left(\vec{r},t\right)\vec{e}_{k}\end{eqnarray*} \end{description} \begin{itemize} \item $\vec{e}_{k}=\frac{\vec{k}}{k}$ \end{itemize} \subsubsection{Wellenausbreitung in elektrischen Leitern\index{Wellenausbreitung in elektrischen Leitern}} \begin{description} \item [{Leiterstrom}] ist zu berücksichtigen (Ohmsches Gesetz)\[ \vec{j}=\sigma\vec{E}\] \item [{Satz}] $\varrho\left(\vec{r},t=0\right)=0\Rightarrow\forall t:\varrho\left(\vec{r},t\right)=0$ \item [{Telegraphengleichung\index{Telegraphengleichung}}] ist resultierende aus Maxwellgleichungen \begin{eqnarray*} \left(\Delta-\frac{1}{u^{2}}\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}-\mu_{0}\mu_{r}\sigma\frac{\partial}{\partial t}\right)\vec{E}\left(\vec{r},t\right) & = & 0\\ \left(\Delta-\frac{1}{u^{2}}\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}-\mu_{0}\mu_{r}\sigma\frac{\partial}{\partial t}\right)\vec{B}\left(\vec{r},t\right) & = & 0\end{eqnarray*} \item [{\index{komplexe Dielektrizitätskonstante}komplexe~Dielektrizitätskonstante\index{Dielektrizitätskonstante}}] $\overline{\varepsilon}_{r}=\varepsilon_{r}+i\frac{\mu_{0}}{\varepsilon_{0}\omega}$ \item [{\index{komplexe Geschwindigkeit}komplexe~Geschwindigkeit}] $\overline{u}=\frac{1}{\sqrt{\mu_{r}\overline{\varepsilon}_{r}\mu_{0}\varepsilon_{0}}}=\frac{c}{\sqrt{\mu_{r}\overline{\varepsilon}_{r}}}$ \item [{Lösung}] der Telegraphengleichung\begin{eqnarray*} \vec{E}\left(\vec{r},t\right) & = & \vec{E}_{0}e^{i\left(\overline{\vec{k}}\vec{r}-\omega t\right)}\\ & = & \vec{E}_{0}e^{-\frac{\gamma\omega}{c}z}\exp\left(i\omega\underbrace{\left(\frac{\overline{n}}{c}z-t\right)}_{t_{ret}}\right)\end{eqnarray*} mit \[ \overline{\vec{k}}=\frac{\omega}{\overline{u}}\vec{e}_{k}\] \item [{Extinktionskoeffizient\index{Extinktionskoeffizient}}] $\gamma$ sorgt für \end{description} \begin{itemize} \item einen kontinuierlichen Abfall der Amplitude im Medium \item Phasenverschiebung zwischen $\vec{B}$ und $\vec{E}$ \end{itemize} \begin{description} \item [{\index{Brechungsindex}Brechungsindex}] $\sqrt{\overline{\varepsilon}_{r}\mu_{r}}=\overline{n}+i\gamma$ \end{description} \begin{itemize} \item mit $\overline{n},\gamma\in\mathbb{R}$ \item Wie gehabt\\ $n=\sqrt{\varepsilon_{r}\mu_{r}}\in\mathbb{R}$ \item $\overline{n}^{2}-\gamma^{2}=n^{2}$ \item $2\gamma\overline{n}=\frac{\sigma\mu_{r}}{\varepsilon_{0}\omega}$ \item $\overline{n}^{2}=\frac{n^{2}}{2}\left[1+\sqrt{1+\left(\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}\omega}\right)^{2}}\right]$\\ $\gamma^{2}=\frac{n^{2}}{2}\left[-1+\sqrt{1+\left(\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}\omega}\right)^{2}}\right]$ \item Im Grenzwert $\sigma\rightarrow0$ gilt:\\ $\overline{n}=n$\\ $\gamma=0$ \end{itemize} \begin{description} \item [{Eindringtiefe\index{Eindringtiefe}}] $\delta=\frac{c}{\gamma\omega}=\frac{\lambda_{0}}{2\pi\gamma}$ \end{description} \begin{itemize} \item Strecke, nach der die Amplitude auf $\frac{1}{e}$ abgesunken ist \item $\lambda_{0}$ Wellenlänge im Vakuum \end{itemize} \begin{description} \item [{\index{Wellenzahl}Wellenzahl}] $\overline{\vec{k}}$ ist komplex mit $\overline{k}=k_{0}+ik_{1}$ \end{description} \begin{itemize} \item $k_{0}=\frac{\omega}{c}\overline{n}$\\ $k_{1}=\frac{\omega}{c}\gamma$ \item $\vec{E}\left(\vec{r},t\right)=\vec{E}_{0}e^{-k_{1}z}e^{i\left(k_{0}z-\omega t\right)}$ \end{itemize} \begin{description} \item [{Phasengeschwindigkeit\index{Phasengeschwindigkeit}}] $u_{p}=\frac{\omega}{k_{0}}=\frac{c}{\overline{n}}<\frac{c}{n}$ \item [{\index{Wellenlänge}Wellenlänge}] $\overline{\lambda}=\frac{2\pi}{k_{0}}=\lambda\frac{n}{\overline{n}}<\lambda$ \end{description} \begin{itemize} \item $\lambda$ Wellenlänge im Isolator \end{itemize} \begin{description} \item [{Phasenlage\index{Phasenlage}}] von $\vec{B}$ und $\vec{E}$\begin{eqnarray*} \vec{B} & = & \frac{1}{c}\left(\overline{n}+i\gamma\right)\left(\vec{e}_{k}\times\vec{E}\right)\\ & = & \frac{1}{c}\sqrt{\overline{n}^{2}+\gamma^{2}}e^{i\varphi}\left(\vec{e}_{k}\times\vec{E}\right)\end{eqnarray*} \end{description} \begin{itemize} \item $\varphi=\mbox{arctan}\left(\frac{\gamma}{\overline{n}}\right)$ ist die Phasenverschiebung zwischen $\vec{B}$ und $\vec{E}$ \end{itemize} \begin{description} \item [{\index{Energiestromdichte}Energiestromdichte}] (zeitgemittelt)\begin{eqnarray*} \overline{S}\left(\vec{r}\right) & = & \frac{\left|E_{0}\right|^{2}}{2\mu_{0}\mu_{r}u_{p}}e^{-2\gamma\frac{\omega}{c}z}\vec{e}_{\vec{E}_{0}\times\vec{B}_{0}}\\ & = & u_{p}\overline{w}\left(\vec{r}\right)\vec{e}_{\vec{E}_{0}\times\vec{B}_{0}}\end{eqnarray*} \item [{zeitgemittelte~Energiedichte\index{Energiedichte}}] ist gegeben durch\[ \overline{w}\left(\vec{r}\right)=\frac{\left|E_{0}\right|^{2}}{2\mu_{0}\mu_{r}u_{p}^{2}}e^{-2\gamma\frac{\omega}{c}z}\] \end{description} \subsection{Reflexion\index{Reflexion} und Brechung\index{Brechung} elektromagnetischer Wellen am Isolator} \subsubsection{Feldverhalten an Grenzflächen} \begin{description} \item [{Normalkomponenten}] $\vec{n}=$Normeleneinheitsvektor\begin{eqnarray*} \vec{n}\left(\vec{D}_{2}-\vec{D}_{1}\right) & = & \sigma_{F}\\ \vec{n}\left(\vec{B}_{2}-\vec{B}_{1}\right) & = & 0\end{eqnarray*} \end{description} \begin{itemize} \item $\sigma_{F}$ ist die Flächenladungsdichte \end{itemize} \begin{description} \item [{Tangentialkomponenten}] \begin{eqnarray*} \vec{n}\times\left(\vec{H}_{2}-\vec{H}_{1}\right) & = & \vec{j}_{F}\\ \vec{n}\times\left(\vec{E}_{2}-\vec{B}_{1}\right) & = & 0\end{eqnarray*} \end{description} \begin{itemize} \item $\vec{j}_{F}$ ist die Flächenstromdichte \end{itemize} \subsubsection{Brechungs- und Reflexionsgesetz} \begin{description} \item [{Randbedingung}] sind \end{description} \begin{itemize} \item $\sigma_{F}=0$ \item $\vec{j}_{F}=\vec{0}$ \item es handelt sich um ebene Wellen \end{itemize} \begin{description} \item [{Einfallende}] Welle\begin{eqnarray*} \vec{E}_{1} & = & \vec{E}_{01}e^{i\left(\vec{k}_{1}\vec{r}-\omega_{1}t\right)}\\ \vec{B}_{1} & = & \frac{1}{\omega_{1}}\left(\vec{k}_{1}\times\vec{E}_{1}\right)\\ & = & \frac{1}{u_{1}}\left(\vec{e}_{k_{1}}\times\vec{E}_{1}\right)\end{eqnarray*} \end{description} \begin{itemize} \item $\vartheta_{1}=\measuredangle\left(\vec{k}_{1},\vec{n}\right)$ \end{itemize} \begin{description} \item [{Reflektiert}] wird\begin{eqnarray*} \vec{E}_{1r} & = & \vec{E}_{01r}e^{i\left(\vec{k}_{1r}\vec{r}-\omega_{1r}t\right)}\\ \vec{B}_{1} & = & \frac{1}{\omega_{1r}}\left(\vec{k}_{1r}\times\vec{E}_{1r}\right)\\ & = & \frac{1}{u_{1r}}\left(\vec{e}_{k_{1r}}\times\vec{E}_{1r}\right)\end{eqnarray*} \end{description} \begin{itemize} \item $\vec{k}_{1r}$ liegt in $\left(\vec{k}_{1},\vec{n}\right)$-Ebene \item $\vartheta_{1r}=\vartheta_{1}=\measuredangle\left(\vec{k}_{1r},\vec{n}\right)$ \item $k_{1r}=k_{1}=\frac{\omega}{c}\sqrt{\mu_{r}^{\left(1\right)}\varepsilon_{r}^{\left(1\right)}}$ \end{itemize} \begin{description} \item [{Transmittiert}] wird\begin{eqnarray*} \vec{E}_{2} & = & \vec{E}_{02}e^{i\left(\vec{k}_{21}\vec{r}-\omega_{2}t\right)}\\ \vec{B}_{2} & = & \frac{1}{\omega_{2}}\left(\vec{k}_{2}\times\vec{E}_{2}\right)\\ & = & \frac{1}{u_{2}}\left(\vec{e}_{k_{2}}\times\vec{E}_{2}\right)\end{eqnarray*} \end{description} \begin{itemize} \item $\vec{k}_{2}$ liegt in $\left(\vec{k}_{1},\vec{n}\right)$-Ebene \item $k_{2}=\frac{\omega}{c}\sqrt{\mu_{r}^{\left(2\right)}\varepsilon_{r}^{\left(2\right)}}$ \item $\vartheta_{2}=\measuredangle\left(\vec{k}_{2},\vec{n}\right)$ \begin{description} \item [{\index{Snellius'sches-Brechungsgesetz}Snellius'sches-Brechungsgesetz}] $\frac{\sin\vartheta_{1}}{\sin\vartheta_{2}}=\frac{k_{2}}{k_{1}}=\frac{n_{2}}{n_{1}}$ \end{description} \end{itemize} \subsubsection{Intensität bei Reflexion und Brechung} \begin{description} \item [{Fall~1}] $\vec{E}_{1}\perp$Einfallsebene polarisiert \end{description} \begin{itemize} \item $E_{02}=E_{01}+E_{01r}$ \item $\left(\frac{E_{02}}{E_{01}}\right)_{\perp}=\frac{2n_{1}\cos\vartheta_{1}}{n_{1}\cos\vartheta_{1}+\frac{\mu_{r}^{\left(1\right)}}{\mu_{r}^{\left(2\right)}}\sqrt{n_{2}^{2}-n_{1}^{2}\sin^{2}\vartheta_{1}}}$ \item $\left(\frac{E_{01r}}{E_{01}}\right)_{\perp}=\frac{n_{1}\cos\vartheta_{1}-\frac{\mu_{r}^{\left(1\right)}}{\mu_{r}^{\left(2\right)}}\sqrt{n_{2}^{2}-n_{1}^{2}\sin^{2}\vartheta_{1}}}{n_{1}\cos\vartheta_{1}+\frac{\mu_{r}^{\left(1\right)}}{\mu_{r}^{\left(2\right)}}\sqrt{n_{2}^{2}-n_{1}^{2}\sin^{2}\vartheta_{1}}}$ \end{itemize} \begin{description} \item [{Fall~2}] $\vec{E}_{1}||\ $Einfallsebene polarisiert \end{description} \begin{itemize} \item $E_{02}\cos\vartheta_{2}=\left(E_{01}-E_{01r}\right)\cos\vartheta_{1}$ \item $\left(\frac{E_{02}}{E_{01}}\right)_{||}=\frac{2n_{1}n_{2}\cos\vartheta_{1}}{\frac{\mu_{r}^{\left(1\right)}}{\mu_{r}^{\left(2\right)}}n_{2}^{2}\cos\vartheta_{1}+n_{1}\sqrt{n_{2}^{2}-n_{1}^{2}\sin^{2}\vartheta_{1}}}$ \item $\left(\frac{E_{01r}}{E_{01}}\right)_{||}=\frac{\frac{\mu_{r}^{\left(1\right)}}{\mu_{r}^{\left(2\right)}}n_{2}^{2}\cos\vartheta_{1}-n_{1}\sqrt{n_{2}^{2}-n_{1}^{2}\sin^{2}\vartheta_{1}}}{\frac{\mu_{r}^{\left(1\right)}}{\mu_{r}^{\left(2\right)}}n_{2}^{2}\cos\vartheta_{1}+n_{1}\sqrt{n_{2}^{2}-n_{1}^{2}\sin^{2}\vartheta_{1}}}$ \end{itemize} \subsubsection{Fresnel'sche Formeln\index{Fresnel'sche Formeln}} \begin{description} \item [{Bedingung}] ist \[ \mu_{r}^{\left(1\right)}=\mu_{r}^{\left(2\right)}\] was in guter Näherung für fast alle Materialien erfüllt ist. \end{description} \begin{itemize} \item $\left(\frac{E_{02}}{E_{01}}\right)_{\perp}=\frac{2\sin\vartheta_{2}\cos\vartheta_{1}}{\sin\left(\vartheta_{1}+\vartheta_{2}\right)}$ \item $\left(\frac{E_{01r}}{E_{01}}\right)_{\perp}=\frac{\sin\left(\vartheta_{2}-\vartheta_{1}\right)}{\sin\left(\vartheta_{1}+\vartheta_{2}\right)}$ \item $\left(\frac{E_{02}}{E_{01}}\right)_{||}=\frac{2\sin\vartheta_{2}\cos\vartheta_{1}}{\sin\left(\vartheta_{1}+\vartheta_{2}\right)\cos\left(\vartheta_{1}-\vartheta_{2}\right)}$ \item $\left(\frac{E_{01r}}{E_{01}}\right)_{||}=\frac{\tan\left(\vartheta_{2}-\vartheta_{1}\right)}{\tan\left(\vartheta_{1}+\vartheta_{2}\right)}$ \item Keine Brechung bei $\frac{\pi}{2}$ \item $\left(\frac{E_{01r}}{E_{01}}\right)_{\perp}<0\Rightarrow$ Phasensprung um $\pi$ \item $\left(\frac{E_{01r}}{E_{01}}\right)_{||}>0$ für $\vartheta_{1}+\vartheta_{2}\le\pi\Rightarrow$ Phasensprung um $\pi$ für $\vartheta_{1}+\vartheta_{2}>\frac{\pi}{2}$ \item \emph{\index{Brewster-Winkel}Brewster-Winkel}\\ $\tan\vartheta_{B}=\frac{n_{2}}{n_{1}}$\\ Reflektierte Welle ist linear ($\perp$) polarisiert!! \end{itemize} \subsubsection{Senkrechter Fall} \begin{itemize} \item Einfallsebene nicht definiert\\ $\vartheta_{1}=\vartheta_{2}=0$ \item $\left(\frac{E_{02}}{E_{01}}\right)_{\perp}=\left(\frac{E_{02}}{E_{01}}\right)_{||}=\frac{2n_{1}}{n_{1}+n_{2}}$ \item $\left(\frac{E_{01r}}{E_{01}}\right)_{\perp}=-\left(\frac{E_{01r}}{E_{02}}\right)_{||}=\frac{n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}$ \end{itemize} \subsubsection{Energietransport} \begin{description} \item [{\index{Reflexionskoeffizient}Reflexionskoeffizient}] $R=\left|\frac{\overline{\vec{S}_{1r}\vec{n}}}{\overline{\vec{S}_{1}\vec{n}}}\right|=\left|\frac{E_{01r}}{E_{01}}\right|^{2}$ \item [{Transmissionskoeffizient\index{Transmissionskoeffizient}}] $T=\left|\frac{\overline{\vec{S}_{2}\vec{n}}}{\overline{\vec{S}_{1}\vec{n}}}\right|=\sqrt{\frac{\varepsilon_{r}^{\left(2\right)}\mu_{r}^{\left(1\right)}}{\varepsilon_{r}^{\left(1\right)}\mu_{r}^{\left(2\right)}}}\frac{\cos\vartheta_{2}}{\cos\vartheta_{1}}\left|\frac{E_{02}}{E_{01}}\right|^{2}$ \end{description} \begin{itemize} \item $R+T=1$ \end{itemize} \subsubsection{\index{Totalreflexion}Totalreflexion} \begin{description} \item [{Bedingung}] $n_{1}>n_{2}$ \item [{\index{Grenzwinkel}Grenzwinkel}] $\sin\vartheta_{G}=\frac{n_{2}}{n_{1}}$ \end{description} \begin{itemize} \item $\left(\frac{E_{01r}}{E_{01}}\right)_{||}=e^{-i2\varphi}$\\ $\tan\varphi=\frac{1}{\sin^{2}\vartheta_{G}}\frac{\sqrt{\sin^{2}\vartheta_{1}-\sin^{2}\vartheta_{G}}}{\cos\vartheta_{1}}$ \item $\left(\frac{E_{01r}}{E_{01}}\right)_{\perp}=e^{-i2\Psi}$\\ $\tan\Psi=\frac{\sqrt{\sin^{2}\vartheta_{1}-\sin^{2}\vartheta_{G}}}{\cos\vartheta_{1}}$ \item Phasenverschiebung - i.A. $\varphi\neq\Psi$ \item im Medium 2 exponentielle Dämpfung\\ $\cos\vartheta_{2}=i\sqrt{\left(\frac{\sin\vartheta_{1}}{\sin\vartheta_{G}}\right)^{2}-1}$\\ $\overline{\vec{S}_{2}\vec{n}}=0$ \end{itemize} \subsection{Erzeugung elektromagnetischer Wellen} \subsubsection{Inhomogene Wellengleichung} \begin{description} \item [{Ziel}] ist für gegebene\[ \varrho\left(\vec{r},t\right)\] \[ \vec{j}\left(\vec{r},t\right)\] passende Potentiale \[ \phi\left(\vec{r},t\right)\] \[ \vec{A}\left(\vec{r},t\right)\] zu finden \item [{Lorentzeichung}] formt uns die zu Lösenden inhomogenen DGL um in\begin{eqnarray*} \square\phi\left(\vec{r},t\right) & = & -\frac{\varrho\left(\vec{r},t\right)}{\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}}\\ \square\vec{A}\left(\vec{r},t\right) & = & -\mu_{r}\mu_{0}\vec{j}\left(\vec{r},t\right)\end{eqnarray*} \item [{Problemstellung}] ist also 4mal eine Gleichung der Form\[ \square\Psi\left(\vec{r},t\right)=\sigma\left(\vec{r},t\right)\] zu lösen, wobei $\sigma$ hier als \emph{Quellfunktion}\index{Quellfunktion} bezeichnet wird. \item [{Greensche~Funktion\index{Greensche Funktion}}] ist die Lösung der Inhomogenen DGL\begin{eqnarray*} {\scriptstyle \square G\left(\vec{r}-\vec{r}',t-t'\right)} & = & -\delta\left(\vec{r}-\vec{r}'\right)\delta\left(t-t'\right)\\ \Psi\left(\vec{r},t\right) & = & {\scriptstyle \int d^{3}r'\int dt'\; G\left(\vec{r}-\vec{r}',t-t'\right)\sigma\left(\vec{r}',t'\right)}\end{eqnarray*} \end{description} \begin{itemize} \item $G\left(\vec{r}-\vec{r}',t-t'\right)$ beschreibt Ausbreitung einer Störung in $\left(\vec{r}',t'\right)$ zur Zeit $t$ am Ort $\vec{r}$. \item Kausalität fordert $t>t'$. Dies führt zur retadierten Lösung:\[ {\scriptstyle G_{0}^{ret}\left(\vec{r}-\vec{r}',t-t'\right)=\frac{1}{4\pi}\frac{1}{\left|\vec{r}-\vec{r}'\right|}\delta\left(t'-\underbrace{\left(t-\frac{\left|\vec{r}-\vec{r}'\right|}{u}\right)}_{t_{ret}}\right)}\] mit der reterdierten Zeit $t_{ret}=t-\frac{\left|\vec{r}-\vec{r}'\right|}{u}$ \item Theoretisch gibt es noch zusätzlich eine nichtkausale, die sogenannte avancierten Lösung:\[ {\scriptstyle G_{0}^{avan}\left(\vec{r}-\vec{r}',t-t'\right)=\frac{1}{4\pi}\frac{1}{\left|\vec{r}-\vec{r}'\right|}\delta\left(t'-\underbrace{\left(t+\frac{\left|\vec{r}-\vec{r}'\right|}{u}\right)}_{t_{avan}}\right)}\] mit der anancierten Zeit $t_{avan}=t+\frac{\left|\vec{r}-\vec{r}'\right|}{u}$ \item Allgemeine Lösung ist Greensche Funktion \emph{plus Lösung der homogenen DGL} wie in \vref{sub:homogeneSquareLsg} hergeleitet.\begin{eqnarray*} \varphi\left(\vec{r},t\right) & = & \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}}\int d^{3}r'\frac{\varrho\left(\vec{r}',t_{ret}\right)}{\left|\vec{r}-\vec{r}'\right|}+\mbox{hom. Lsg}\\ \vec{A}\left(\vec{r},t\right) & = & \frac{\mu_{0}\mu_{r}}{4\pi}\int d^{3}r'\frac{\vec{j}\left(\vec{r}',t_{ret}\right)}{\left|\vec{r}-\vec{r}'\right|}+\mbox{hom. Lsg}\end{eqnarray*} \item Forminvariant zur E-statik und M-statik aber mit $t_{ret}$! \item Lorentzeichung ist erfüllt! \end{itemize} \subsubsection{Zeitlich oszillierende Quellen} \begin{description} \item [{Einfachheitshalber}] können wir hier Dank der Linearität der Maxwellgleichungen anstatt\begin{eqnarray*} \varrho\left(\vec{r},t\right) & = & \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int d\omega\:\varrho_{\omega}\left(\vec{r}\right)e^{-i\omega t}\\ \vec{j}\left(\vec{r},t\right) & = & \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int d\omega\:\vec{j}_{\omega}\left(\vec{r}\right)e^{-i\omega t}\end{eqnarray*} nur \begin{eqnarray*} \varrho\left(\vec{r},t\right) & = & \varrho_{\omega}\left(\vec{r}\right)e^{-i\omega t}\\ \vec{j}\left(\vec{r},t\right) & = & \vec{j}_{\omega}\left(\vec{r}\right)e^{-i\omega t}\end{eqnarray*} betrachten und hinterher wieder aufintegrieren. \item [{Gegeben}] sei eine Stromverteilung der Form\[ \vec{j}\left(\vec{r},t_{ret}\right)=\vec{j}\left(\vec{r}\right)e^{-i\omega t}e^{i\frac{\omega}{u}\left|\vec{r}-\vec{r}'\right|}\] \end{description} \begin{itemize} \item $\vec{A}\left(\vec{r}\right)$ hängt nur über $k=\frac{\omega}{u}$ von $\omega$ ab \item $\vec{A}\left(\vec{r},t\right)$ oszilliert mit gleicher Frequenz wie Quelle \item $\vec{r}$ außerhalb Quellenbereich ($\left|r\right|\gg d$)\\ $\vec{E}=i\frac{u^{2}}{\omega}e^{-i\omega t}\nabla\times\nabla\times\vec{A}\left(\vec{r}\right)$ \item $\vec{E}$ bestimmt durch $\vec{A}$ $\rightarrow$ $\varphi$ nicht nötig! \item Lösung i.A. nicht analytisch integrierbar \item $d$ ist die Ausdehnung der Stromverteilung \end{itemize} \begin{description} \item [{kleine~Quellen}] $d\ll r,\lambda$\begin{eqnarray*} \vec{A}\left(\vec{r}\right) & \approx & {\scriptstyle \frac{\mu_{0}\mu_{r}}{4\pi}\frac{e^{ikr}}{r}\int d^{3}r'\vec{j}\left(\vec{r}'\right)+}\\ & & {\scriptstyle \frac{\mu_{0}\mu_{r}}{4\pi}\left(\frac{1}{r}-ik\right)\frac{e^{ikr}}{r}\int d^{3}r'\vec{j}\left(\vec{r},t\right)\left(\vec{e}_{r}-\vec{r}\right)}\end{eqnarray*} \begin{description} \item [{\index{Elektrische Dipolstrahlung}Elektrische~\index{Dipolstrahlung}Dipolstrahlung}] ist der erste Term\begin{eqnarray*} \vec{A}_{1}\left(\vec{r}\right) & = & \frac{\mu_{0}\mu_{r}}{4\pi}\frac{e^{ikr}}{r}\int d^{3}r'\,\vec{j}\left(\vec{r}'\right)\\ & = & -i\omega\frac{\mu_{0}\mu_{r}}{4\pi}\frac{e^{ikr}}{r}\vec{p}\end{eqnarray*} \end{description} \begin{itemize} \item $\vec{p}=\int d^{3}r\varrho\left(\vec{r},t\right)$ ist das Dipolmoment der Ladungsverteilung \item Die dazugehörigen Felder sind\begin{eqnarray*} \vec{B}_{1}\left(\vec{r}\right) & = & {\scriptstyle \frac{\mu_{0}\mu_{r}}{4\pi}uk^{2}\frac{e^{ikr}}{r}\left(1-\frac{1}{ikr}\right)\left(\vec{e}_{r}\times\vec{p}\right)}\\ \vec{E}_{1}\left(\vec{r}\right) & = & {\scriptstyle \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}}\frac{e^{ikr}}{r}\left[k^{2}\left(\vec{e}_{r}\times\vec{p}\right)\times\vec{e}_{r}\right.}\\ & & {\scriptstyle \left.+\frac{1}{r}\left(\frac{1}{r}-ik\right)\left(3\vec{e}_{r}\left(\vec{e}_{r}\vec{p}\right)-\vec{p}\right)\right]}\end{eqnarray*} \end{itemize} \end{description} \begin{itemize} \item 2.te Term $=\vec{A}_{2}$: Mag. Dipolstrahlun + el. Quadropolstrahlung\\ \[ \vec{A}_{2}\left(\vec{r}\right)=\vec{A}_{2}^{mD}\left(\vec{r}\right)+\vec{A}_{2}^{eQ}\left(\vec{r}\right)\] \begin{description} \item [{Magnetische~\index{Dipolstrahlung}Dipolstrahlung\index{Magnetische Dipolstrahlung}}] ist\[ \vec{A}_{2}^{mD}\left(\vec{r}\right)=ik\frac{\mu_{0}\mu_{r}}{4\pi}\left(1-\frac{1}{ikr}\right)\frac{e^{ikr}}{r}\left(\vec{e}_{r}\times\vec{m}\right)\] \end{description} \begin{itemize} \item Magnetisches Dipolmoment\\ $\vec{m}=\frac{1}{2}\int d^{3}r'\,\vec{r}'\times\vec{j}\left(\vec{r}'\right)$ \item Die dazugehörigen Felder sind\begin{eqnarray*} \vec{B}_{2}^{mD}\left(\vec{r}\right) & = & {\scriptstyle \frac{\mu_{0}\mu_{r}}{4\pi}\frac{e^{ikr}}{r}\left[k^{2}\left(\vec{e}_{r}\times\vec{m}\right)\times\vec{e}_{r}\right.}\\ & & {\scriptstyle \left.+\frac{1}{r}\left(\frac{1}{r}-ik\right)\left(3\vec{e}_{r}\left(\vec{e}_{r}\vec{m}\right)-\vec{m}\right)\right]}\\ \vec{E}_{2}^{mD}\left(\vec{r}\right) & = & {\scriptstyle -\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}}\frac{k^{2}}{u}\frac{e^{ikr}}{r}\left(1-\frac{1}{ikr}\right)\left(\vec{e}_{r}\times\vec{m}\right)}\end{eqnarray*} \item durch Vergleich mit el. Dipolstrahlung gewonnen \item Strahlungsleistung pro Raumwinkel\\ $\frac{dP_{s}^{\left(2\right)}}{d\Omega}=\frac{1}{32\pi\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}}\frac{k^{4}m^{2}}{u}\sin^{2}\vartheta$ \end{itemize} \begin{description} \item [{\index{Elektrische Quadrupolstrahlung}Elektrische~Quadrupolstrahlung\index{Quadrupolstrahlung}}] ist\begin{eqnarray*} \vec{A}_{2}^{eQ}\left(\vec{r}\right) & = & {\scriptstyle -\omega k\frac{\mu_{0}\mu_{r}}{4\pi}\left(1-\frac{1}{ikr}\right)\frac{e^{ikr}}{r}\vec{I}\left(\vartheta,\varphi\right)}\\ & = & {\scriptstyle -uk^{2}\frac{e^{ikr}}{r}\left(1-\frac{1}{ikr}\right)\frac{\mu_{0}\mu_{r}}{4\pi}}\\ & & {\scriptstyle \cdot\left(\vec{Q}\left(\vec{e}_{r}\right)+\vec{e}_{r}\int d^{3}r'\, r'^{2}\varrho\left(\vec{r}'\right)\right)}\end{eqnarray*} \end{description} \begin{itemize} \item Elektrischer Quadrupolterm\\ \begin{eqnarray*} {\scriptscriptstyle \vec{I}\left(\vartheta,\varphi\right)} & {\scriptscriptstyle =} & \frac{1}{2}\int d^{3}r'\,\vec{r}'\left(\vec{e}_{r}\vec{r}'\right)\varrho\left(\vec{r}'\right)\\ & {\scriptscriptstyle =} & {\scriptstyle \frac{1}{3}\left(\vec{Q}\left(\vec{e}_{r}\right)+\vec{e}_{r}\int d^{3}r'\, r'^{2}\varrho\left(\vec{r}'\right)\right)}\\ {\scriptscriptstyle I_{j}\left(\vartheta,\varphi\right)} & {\scriptscriptstyle =} & {\scriptscriptstyle \frac{1}{3}\sum_{i=1}^{3}\left(\vec{e}_{r}\right)_{i}\left(\int d^{3}r'Q_{ij}\left(\vec{r}'\right)+\int d^{3}r'\, r'^{2}\varrho\left(\vec{r}'\right)\right)}\end{eqnarray*} \item Quadropoltensor\index{Quadropoltensor}\\ $\underline{Q}=Q_{ij}\left(\vec{r}\right)=\varrho\left(\vec{r}\right)\left(3r_{i}r_{j}-r^{2}\delta_{ij}\right)$ \item $\vec{Q}\left(\vec{e}_{r}\right)=\underline{Q}\vec{e}_{r}$ \end{itemize} \end{itemize} \begin{description} \item [{Strahlungszone\index{Strahlungszone}}] $r\gg d$ oder auch \emph{Fernzone}\index{Fernzone} genannt\[ \vec{A}\left(\vec{r}\right)\approx\frac{e^{ikr}}{r}\frac{\mu_{0}\mu_{r}}{4\pi}\int d^{3}r'\,\vec{j}\left(\vec{r}'\right)e^{-ik\vec{e}_{r}\vec{r}'}\] mit zusätzlich $\lambda\gg d$ gilt $kr'\ll1$ und damit das endgültige Fernfeld\[ \vec{A}\left(\vec{r}\right)\approx\frac{e^{ikr}}{r}\frac{\mu_{0}\mu_{r}}{4\pi}\int d^{3}r'\,\vec{j}\left(\vec{r}'\right)\] \end{description} \begin{itemize} \item es handelt sich hierbei um eine Kugelwelle mit Winkelabhängigen Koeffizienten \item Die zugehörigen Felder sind\begin{eqnarray*} \vec{B}_{1}\left(\vec{r}\right) & = & \frac{\mu_{0}\mu_{r}}{4\pi}uk^{2}\frac{e^{ikr}}{r}\left(\vec{e}_{r}\times\vec{p}\right)\\ \vec{E}_{1}\left(\vec{r}\right) & = & u\left(\vec{B}_{1}\times\vec{e}_{r}\right)\end{eqnarray*} \item Energiedichte\[ \overline{w}_{1}\left(\vec{r}\right)=\frac{1}{32\pi^{2}\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}}\frac{k^{4}p^{2}}{r^{2}}\sin^{2}\vartheta\] mit $\vartheta=\measuredangle\left(\vec{e}_{r},\vec{p}\right)$\[ \overline{\vec{S}}_{1}\left(\vec{r}\right)=\vec{e}_{r}u\overline{w}_{1}\left(\vec{r}\right)\] \item abgestrahlte Leistung pro Raumwinkel\begin{eqnarray*} \frac{dP_{S}}{d\Omega} & = & r^{2}\overline{\vec{S}}_{1}\left(\vec{r}\right)\vec{e}_{r}\\ & = & \frac{u}{32\pi^{2}\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}}k^{4}p^{2}\sin^{2}\vartheta\end{eqnarray*} \item Gesamte Strahlungsleistung\[ P_{S}=\frac{u}{12\pi\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}}k^{4}p^{2}\] \item Quadropol Felder\begin{eqnarray*} \vec{B}^{eQ}\left(\vec{r}\right) & \approx & -i\frac{\mu_{0}\mu_{r}}{24\pi}uk^{3}\frac{e^{ikr}}{r}\left(\vec{e}_{r}\times\vec{Q}\right)\\ \vec{E}^{eQ}\left(\vec{r}\right) & \approx & -i\frac{k^{3}}{24\pi\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}}\frac{e^{ikr}}{r}\left(\left(\vec{e}_{r}\times\vec{W}\right)\times\vec{e}_{r}\right)\end{eqnarray*} \end{itemize} \begin{description} \item [{Nahzone\index{Nahzone}}] mit $k\left|\vec{r}-\vec{r}'\right|\ll1$\[ \vec{A}\left(\vec{r},t\right)=\frac{\mu_{0}\mu_{r}}{4\pi}\int d^{3}r'\frac{\vec{j}\left(\vec{r},t'\right)}{\left|\vec{r}-\vec{r}'\right|}\] was der Magnetostatik entspricht. \end{description} \begin{itemize} \item Die zugehörigen Felder sind\begin{eqnarray*} \vec{B}_{1}\left(\vec{r}\right) & = & \frac{\mu_{0}\mu_{r}}{4\pi}u\frac{ik}{r^{2}}\left(\vec{e}_{r}\times\vec{p}\right)\\ \vec{E}_{1}\left(\vec{r}\right) & = & \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}}\frac{3\vec{e}_{r}\left(\vec{e}_{r}\vec{p}\right)-\vec{p}}{r^{3}}\end{eqnarray*} \item $\vec{E}$ entspricht einem elektrostatischem Dipolfeld! \item dominant Elektrischer Charakter \item Zeitabhängigkeit über Dipolmoment $\vec{p}$. \end{itemize} \subsection{Kovariante\index{Kovariante Elektrodynamik} Formulierung der Elektrodynamik} \begin{description} \item [{Inertialsysteme\index{Inertialsysteme}}] Bezugssysteme mit konstanter Relativgeschwindikeit \item [{\index{Ortsvektor}Ortsvektor}] kovariant\[ x^{\mu}=\left(ct,x,y,z\right)\] \item [{Norm}] von Kovarianten Vektoren $a_{\mu}a^{\mu}$ ist erhalten bei Lorentztransformation \item [{\index{Summenkonvention}Summenkonvention}] für 4-er Vektoren ist, das immer über ein Paar von von Indizes summiert wird, wobei einer unten, und einer oben stehen muss. Beide Vektoren müssen dazu multipliziert geschrieben sein. Summiert wird von $0$ bis $3$. \item [{\index{Metrischer Tensor}Metrischer~Tensor}] bzw. der Indexverschiebungsoperator ist\[ g_{\mu\nu}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1\end{array}\right)\] \end{description} \begin{itemize} \item $g^{\mu\nu}=g_{\mu\nu}$ \item $g_{\nu\mu}=g_{\mu\nu}$ \item $g_{\mu\nu}x^{\nu}=x_{\mu}$ \item $g^{\mu\nu}x_{\nu}=x^{\mu}$ \end{itemize} \begin{description} \item [{\index{Einheitsmatrix}Einheitsmatrix}] für 4-er Vektoren\begin{eqnarray*} \delta_{\mu}^{\nu} & = & g_{\mu\alpha}g^{\alpha\nu}\\ & = & \left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)\end{eqnarray*} \item [{Vierergeschwindigkeit\index{Vierergeschwindigkeit}}] $u^{\mu}=\frac{dx^{\mu}}{d\tau}$ \item [{\index{Eigenzeit}Eigenzeit}] $\tau$ \item [{Minkowski-Kraft\index{Minkowski-Kraft}}] $K^{\mu}=m\frac{du^{\mu}}{d\tau}=m\frac{d^{2}x^{\mu}}{d\tau^{2}}=\gamma\left(\frac{\vec{F}\vec{v}}{c},F_{x},F_{y},F_{z}\right)$ \item [{\index{Lorenz-Gamma-Faktor}Lorenz-Gamma-Faktor}] $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}$ mit $\beta=\frac{v}{c}$ \item [{\index{Lorentztransformation}Lorentztransformation}] mit der Matrize (hier exemplarisch in $z$ Richtung mit $v$ bewegt)\[ L_{\alpha\beta}=\left(\begin{array}{cccc} \gamma & 0 & 0 & -\beta\gamma\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ -\beta\gamma & 0 & 0 & \gamma\end{array}\right)\] \item [{\index{Viererableitung}Viererableitung}] $\partial_{\mu}=\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}=\left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t},\vec{\nabla}\right)=\left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t},\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right)$ \item [{Stromdichte\index{Stromdichte}}] $j^{\mu}=\left(c\varrho,j_{x},j_{y},j_{z}\right)=\gamma\varrho_{0}\left(c,\vec{v}\right)=\varrho_{0}u^{\mu}$ \end{description} \begin{itemize} \item $\varrho_{0}$ ist die Ladungsdichte \item $\vec{j}=\vec{v}\varrho_{0}$ \end{itemize} \begin{description} \item [{\index{Kontinuitätsgleichung}Kontinuitätsgleichung}] $\partial_{\mu}j^{\mu}=0$ \item [{\index{Wellengleichung}Wellengleichung}] $\left(\partial^{\mu}\partial_{\mu}\right)A^{\mu}=\mu_{0}j^{\mu}$ \end{description} \begin{itemize} \item $\mu_{0}$ Permiabilitätskonstante \item $\partial^{\mu}\partial_{\mu}=\square$ \item Gilt nur in Lorentzeichung \end{itemize} \begin{description} \item [{Lorentzeichung\index{Lorentzeichung}}] $\partial_{\mu}A^{\mu}=0$ \item [{\index{Feldstärketensor}Feldstärketensor}] $F^{\mu\nu}=\partial^{\mu}A^{\nu}-\partial^{\nu}A^{\mu}$ \end{description} \begin{itemize} \item Antisymmetrisch\\ $F^{\mu\nu}=-F^{\nu\mu}$ \item Komponenten\[ F^{\mu\nu}=\left(\begin{array}{cccc} 0 & -\frac{1}{c}E_{x} & -\frac{1}{c}E_{y} & -\frac{1}{c}E_{z}\\ \frac{1}{c}E_{x} & 0 & -B_{z} & B_{y}\\ \frac{1}{c}E_{y} & B_{z} & 0 & -B_{x}\\ \frac{1}{c}E_{z} & -B_{y} & B_{x} & 0\end{array}\right)\] \item $F_{\mu\nu}F^{\mu n}=2\left(\vec{B}^{2}-\frac{1}{c^{2}}\vec{E}^{2}\right)$\\ ist eine Lorentzinvariante \end{itemize} \begin{description} \item [{imhomogene~\index{Maxwellgleichung}Maxwellgleichung\index{imhomogene Maxwellgleichung}}] $\partial_{\alpha}F^{\alpha\beta}=\mu_{0}j^{\beta}$ \item [{\index{Jakobi-Identität}Jakobi-Identität}] $\partial^{\alpha}F^{\beta\gamma}+\partial^{\beta}F^{\gamma\alpha}+\partial^{\gamma}F^{\alpha\beta}=0$ \item [{\index{4-dim Epsilontensor}4-dim~Epsilontensor\index{Epsilontensor}}] $\varepsilon^{\mu\nu\varrho\sigma}=\begin{cases} +1 & \mbox{gerade Permutation von }\left(0,1,2,3\right)\\ -1 & \mbox{ungerade Permutation von }\left(0,1,2,3\right)\\ 0 & \mbox{zwei Indizes gleich}\end{cases}$ \item [{Dualrer~\index{Feldstärketensor}Feldstärketensor\index{Dualrer Feldstärketensor}}] $\overline{F}^{\mu\nu}=\frac{1}{2}\varepsilon^{\mu\nu\varrho\sigma}F_{\varrho\sigma}$ \end{description} \begin{itemize} \item $\overline{F}^{\mu\nu}=-\overline{F}^{\nu\mu}$ \item Komponenten\[ \overline{F}^{\mu\nu}=\left(\begin{array}{cccc} 0 & -B_{x} & -B_{y} & -B_{z}\\ B_{x} & 0 & \frac{1}{c}E_{z} & -\frac{1}{c}E_{y}\\ B_{y} & -\frac{1}{c}E_{z} & 0 & \frac{1}{c}E_{x}\\ B_{z} & \frac{1}{c}E_{y} & -\frac{1}{c}E_{x} & 0\end{array}\right)\] \end{itemize} \begin{description} \item [{\index{homogene Maxwellgleichung}homogene~Maxwellgleichung\index{Maxwellgleichung}}] $\partial_{\alpha}\overline{F}^{\alpha\beta}=0$ \item [{Transformation~der~Felder}] erst für den Spezialfall $\vec{v}=v\vec{e}_{z}$\begin{eqnarray*} E_{x}' & = & \gamma\left(E_{x}-\beta cB_{y}\right)\\ E_{y}' & = & \gamma\left(E_{y}+\beta cB_{x}\right)\\ E_{z}' & = & E_{z}\end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} B_{x}' & = & \gamma\left(B_{x}+\frac{\beta}{c}E_{y}\right)\\ B_{y}' & = & \gamma\left(B_{y}+\frac{\beta}{c}E_{x}\right)\\ B_{z}' & = & B_{z}\end{eqnarray*} \end{description} \begin{itemize} \item $\vec{E}\vec{B}=\vec{E}'\vec{B}'$ ist Lorentzinvariante \item allgemeiner Fall mit $\vec{v}$ in beliebiger Richtung\begin{eqnarray*} \vec{E}' & = & \gamma\left[\vec{E}+c\left(\vec{\beta}\times\vec{B}\right)\right]-\frac{\gamma^{2}}{\gamma+1}\vec{\beta}\left(\vec{\beta}\vec{E}\right)\\ \vec{B}' & = & \gamma\left[\vec{B}-\frac{1}{c}\left(\vec{\beta}\times\vec{E}\right)\right]-\frac{\gamma^{2}}{\gamma+1}\vec{\beta}\left(\vec{\beta}\vec{B}\right)\end{eqnarray*} \end{itemize} \printindex{} \end{document}