Hamiltonische Prinzipialfunktion

Definition

die Hamiltonische Prinzipialfunktion $S=F_{2}$ ist die Lösung der Hamilton Jakobi Gleichung

$$H\left(q_{1},\ldots,q_{s},\frac{\partial S}{\partial q_{1}},\ldot... ...rtial q_{s}},t\right)+\frac{\partial S}{\partial t}=0\left(=\overline{H}\right)$$

• $H=c$ ist aber auch ok
• nichtlineare Partielle DGL in $s+1$ Variablen
• es gibt also $s+1$ Integrationskonstanten
• Falls $S$ Lösung, ist auch $S+c$ Lösung $\Rightarrow$ also nur noch $s$ ``interessante'' Integrationskonstanten
  $$S\left(q_{1},\ldots,q_{s},t\vert\alpha_{1},\ldots,\alpha_{s}\right)$$

• Identifiziere jetzt $P_{i}=\alpha_{i}$
• $\frac{\partial S}{\partial q_{i}}=p_{i}$

Lösungsverfahren

 

1. Formuliere $H\left(q,p,t\right)$ mit $p_{i}=\frac{\partial S}{\partial q_{i}}$
   • Aufstellen der HJD:
     $$H\left(q_{1},\ldots,q_{s},\frac{\partial S}{\partial q_{1}},\ldots,\frac{\partial S}{\partial q_{s}},t\right)+\frac{\partial S}{\partial t}=0$$

2. Lösung der HJD, woraus man $S\left(q_{1},\ldots,q_{s},t\vert\alpha_{1},\ldots,\alpha_{s}\right)$ erhält
   • $P_{i}=\alpha_{i}$
   • evtl. über Separationsansatz
   • $S'=S+c$ ist ebenfalls eine Lösung. Dieses $c$ bei den Konstanten ignorieren!
3. Wir wissen $S\left(q_{1},\ldots,q_{s},t\vert\alpha_{1},\ldots,\alpha_{s}\right)=S\left(q,t\vert\alpha\right)$
   • Bestimmen von $\beta$ über:
     $Q_{i}=\frac{\partial S\left(q,t\vert\alpha\right)}{\partial\alpha_{i}}=\beta_{i}=const$
   • daraus wiederrum ist $q_{i}=q_{i}\left(t\vert\beta\alpha\right)$ bestimmbar
4. Bestimmung der $p_{i}$:
   • Auflösen von
     $$p_{i}=\frac{\partial S\left(q,t\vert\alpha\right)}{\partial q_{i}}=p_{i}\left(q,t\vert\alpha\right)=p_{i}\left(t\vert\beta\alpha\right)$$

5. Anfangsbedingungen:
   

   $$q_{i}^{\left(0\right)} = q_{i}\left(t=t_{0}\right)$$

   $$p_{i}^{\left(0\right)} = p_{i}\left(t=t_{0}\right)$$

   
   
   • Freistellen nach:
     $\alpha=\alpha\left(t_{0},q^{\left(0\right)},p^{\left(0\right)}\right)$
     $\beta=\beta\left(t_{0},q^{\left(0\right)},p^{\left(0\right)}\right)$
   • Problem gelöst!

Physikalische Bedeutung von  $S\left(q,P,t\right)$

 

• $\left(q,p\right){S\atop \rightarrow}\left(Q,P\right)=const$ entspricht Abbildung auf einen Pkt. im Phasenraum
• $\frac{\partial S}{\partial t}=-H$
• $\frac{dS}{dt}=L$
• $S=\int dtL+c$
  unbestimmtes Integral der Lagrange-Fkt. $\Rightarrow$ formale Integrationsform, in der Praxis jedoch nicht verwendbar! Dieses $S$ wird hier minimiert $\Leftrightarrow$ Grundlage der ganzen Hamilton-Theorie (da haben wir mal angfangen)