Hamiltonische charakteristische Funktion

Lösungsverfahren

• falls
  $$\frac{\partial H}{\partial t}=0\Rightarrow\frac{dH}{dt}=0$$
  gilt $\Rightarrow$ $H=E$ Konstante der Bewegung
• Herleitung über Separationsansatz:
  • $H\left(q_{1},\ldots,q_{s},\frac{\partial S}{\partial q_{1}},\ldots,\frac{\partial S}{\partial q_{s}}\right)+\frac{\partial S}{\partial t}=0$
  • $S\left(q,P,t\right)=W\left(q,P\right)-E\cdot t$
  • $W$ Harmonische charakteristische Funktion
  • $E=\alpha_{s+1}=const$
  • dies nur zur Herleitung, folgende def. davon abweichend!!

1. Auftellen der HJD
   $H\left(q_{1},\ldots,q_{s},\frac{\partial W}{\partial q_{1}},\ldots,\frac{\partial W}{\partial q_{s}}\right)=E\left(\alpha\right)$
   Lösen nach $W\left(q,\alpha\right)$
   • für zyklische Variablen wähle identische Transformation und Seperationsansatz
     $W=W_{1}+q_{i}\alpha_{i}$
2. $\alpha=\left(\alpha_{1},\ldots,\alpha_{s}\right)$ mit $p_{i}=\alpha_{i}$ nach Lösung von HJD $W\left(q,\alpha\right)$
3. $p_{i}=\frac{\partial W}{\partial q_{i}}\rightarrow p_{i}=p_{i}\left(q,\alpha\right)$
4. $E=E\left(\alpha\right)\Rightarrow\omega_{i}=\frac{\partial E}{\partial\alpha_{i}}$
   • Wähle $E\left(\alpha\right)$ so, dass man freies Problem bekommt. Z.B. durch:
     1. $E\left(\alpha\right)=\sum_{i}\frac{\alpha_{i}^{2}}{2m}$ bzw. $\overline{H}=\sum_{i}\frac{p_{i}^{2}}{2m}$ (elimination aller Kräfte)
     2. $E\left(\alpha\right)=\alpha_{1}$
        $\frac{\partial E}{\partial\alpha_{1}}=\omega_{1}=1\;\frac{\partial E}{\partial\alpha_{i}}=\omega_{i}=0$ für $i>1$
        $\frac{\partial E}{\partial\alpha_{i}}=\omega_{i}=\delta_{i1}\rightarrow Q_{1}=t+\beta_{1}$, andere Koordinaten: $Q_{i}=\beta_{i}$
   • $Q_{i}$ sind bestimmt:
     $Q_{i}=\omega_{i}\left(\alpha\right)\cdot t+\beta_{i}=\frac{\partial W\left(q,a\right)}{\partial\alpha_{i}}$
   • Auflösen nach:
     $q_{i}=q_{i}\left(\alpha,\beta,t\right)$
     $p_{i}=p_{i}\left(\alpha,\beta,t\right)$
5. $q_{i}^{\left(0\right)}=q_{i}\left(t=t_{0}\right)$, $p_{i}^{\left(0\right)}=p_{i}\left(t=t_{0}\right)$
   • Auflösen nach:
     $\alpha=\alpha\left(q_{i}^{\left(0\right)},p_{i}^{\left(0\right)}\right)$
     $\beta=\beta\left(q_{i}^{\left(0\right)},p_{i}^{\left(0\right)}\right)$
   • Daraus dann:
     $q_{i}\left(t\right)$
     $p_{i}\left(t\right)$

• physikalische Interpreation von $W$
  $W=\sum_{i}\int dq_{i}p_{i}$
  $S=W-H$
• $S=$Wirkung wird minimiert $\Rightarrow H=const$ $\Rightarrow W$ minimiert

Seperation der Variablen

• Falls $q_{1}$ $f\left(q_{1},\frac{\partial Q}{\partial q_{1}}\right)$ nicht von weiteren $q_{i}$ und $\frac{\partial Q}{\partial q_{i}}$ abhängt und
  $$H\left(q_{2},\ldots,q_{s},\frac{\partial W}{\partial q_{2}},\ldot... ...{\partial q_{s}},f\left(q_{1},\frac{\partial W}{\partial q_{1}}\right)\right)=E$$

• $q_{1}$ absorbiert
  $W\left(q,P\right)=\overline{W}\left(q_{2},\ldots,q_{s},P\right)+W_{1}\left(q_{1},P\right)$
• $H\left(q_{2},\ldots,q_{s},\frac{\partial\overline{W}}{\partial q_{2}},\ldots,\frac{\partial\overline{W}}{\partial q_{s}},H_{1}\right)=E$
  $H_{1}=f\left(q_{1},\frac{\partial W_{1}}{\partial q_{1}}\right)=c_{1}=const$
• Wenn alle $q_{i}$ seperabel sind:
  $W=\sum_{i}W_{i}\left(q_{i},P\right)$
  Lösungen: $H_{i}=f\left(q_{i},\frac{dW_{i}}{dq_{1}},\alpha\right)=\alpha_{i}$
  $$H=\left(H_{1},\ldots,H_{s},\alpha\right)=E$$

• $H$ ist z.B. seperabel für
  $q_{1}$ nicht zyklisch
  $q_{i}$ mit $i>1$ zyklisch
  • $W=W_{1}\left(q_{1}\right)+\sum_{i}q_{i}P_{i}$
  • $q_{i}P_{i}$ ist die Identität auf für die $i$-ten Koordinaten