Wirkungs- und Winkelvariable

Poisson-Klammern

Zweck

Konstanten der Bewegung und Bewegungsgleichungen kompakt darstellen (formaler Übergang zur QM einfach)

Observable

ist $f\left(q,p,t\right)$ mit $\left(q,p\right)\in\Gamma$ (Phasenraumpunkt)

zeitliche Änderung

$\frac{df}{dt}=\sum_{i}\left(\frac{\partial f}{\partial q_{i}}\frac{\partial H}... ...al p_{i}}\frac{\partial H}{\partial q_{i}}\right)+\frac{\partial f}{\partial t}$

Poisson-Klammern

für $f\left(q,p,t\right)$ und $g\left(q,p,t\right)$

$$\left\{ f,g\right\} _{q,p}=\sum_{i}\left(\frac{\partial f}{\parti... ..._{i}}-\frac{\partial f}{\partial p_{i}}\frac{\partial g}{\partial q_{i}}\right)$$

• nach den angegebenen Indizes differenzieren
• $\left\{ g,f\right\} _{q,p}=-\left\{ f,g\right\} _{q,p}$
• $\left\{ f,f\right\} =0$

• $$\frac{df}{dt}=\left\{ f,H\right\} _{q,p}+\frac{\partial f}{\partial t}$$

• $\dot{q}_{i}=\left\{ q_{i},H\right\} _{q,p}$english
  $\dot{p}_{i}=\left\{ p,H\right\} _{q,p}$

fundamentale

Poisson-Klamern

• $\left\{ q_{i},q_{j}\right\} _{q,p}=0$
• $\left\{ p_{i},p_{j}\right\} _{q,p}=0$
• $\left\{ q_{i},p_{j}\right\} _{q,p}=\delta_{ij}$
• wenn diese Eigenschaften gelten sind die $q_{i},p_{i}$ ein satz unabhängiger Variablen

Koordinatenunabhängigkeit

falls $\left(q,p\right)$ und $\left(Q,P\right)$ beide genügen der Hamiltonischen Bewegungsgleichung, $\left(q,p\right)\rightarrow\left(Q,P\right)$ kanonisch

$$H\left(q,p\right) = \tilde{H}\left(Q,P\right)$$

$$q = q\left(Q,P\right)$$

$$p = p\left(Q,P\right)$$

dann gilt

$$\left\{ Q_{i},Q_{k}\right\} _{q,p} =$$ 0

$$\left\{ P_{i},P_{j}\right\} =$$ 0

$$\left\{ Q_{i},P_{j}\right\} _{q,p} = \delta_{ij}$$

Weiter ist

der Wert der poissonklammer unabhängig von der Wahl der Koordinaten im Phasenraum.

$$\left\{ F,G\right\} _{q,p}=\left\{ F,G\right\} _{Q,P}$$

• d.h. wir können die Koordinatenindizies weglassen!

Formale Eigenschaften

der Poissson-Klammern ( $c,c_{1},c_{2}$ sind Konstanten)

Antisymmetrie

$\left\{ f,g\right\} =-\left\{ g,f\right\}$

Bi-Linearität

$\left\{ c_{1}f_{1}+c_{2}f_{2},g\right\} =c_{1}\left\{ f_{1},g\right\} +c_{2}\left\{ f_{2},g\right\}$

• rechts ebenfalls linear

Nullelement

$\left\{ c,f\right\} =0$

Produktregel

$\left\{ f,g\cdot h\right\} =g\left\{ f,h\right\} +\left\{ f,g\right\} h$

Jakobi-Identität

$\left\{ f,\left\{ g,h\right\} \right\} +\left\{ g,\left\{ h,f\right\} \right\} +\left\{ h,\left\{ f,g\right\} \right\} =0$

Integrale der Bewegung

Integral der Bewegung

ist ein anderer Begriff für Erhaltungsgrößen. Eine Größe die entlang der Bahnkurve eines freien Teilchens erhalten ist.

Observable

$F\left(q,P,t\right)$ sei eine mech. Observable

• $\frac{dF}{dt}=\left\{ F,H\right\} +\frac{\partial F}{\partial t}=0\Leftrightarrow\left\{ H,F\right\} =\frac{\partial F}{\partial t}$
• $\frac{dF}{dt}=0\Rightarrow$$F$ Konstante der Bewegung
• $\frac{\partial F}{\partial t}=0\Rightarrow\frac{\partial F}{\partial t}=\left\{ H,F\right\}$

• $$\frac{dH}{dt}=\frac{\partial H}{\partial t}$$

Poissonscher Satz

Die Poisson-Klammer zweier Integrale der Bewegung ist wieder ein Integral der Beweung.

$$\frac{df}{dt}=0\wedge\frac{dg}{dt}=0\Rightarrow\frac{d}{dt}\left\{ f,g\right\} =0$$

Periodizität

periodisch

$q\left(t\right),$ $p\left(t\right)$

Libration

falls

$$q\left(t+\tau\right) = q\left(t\right)$$

$$p\left(t+\tau\right) = p\left(t\right)$$

Rotation

falls

$$q\left(t+\tau\right) = q\left(t\right)$$

$$p\left(t+\tau\right) = p\left(t\right)+q_{0}$$

• starrer Rotor $q=\varphi$ $q_{0}=2\pi$

• Es können in physikalischen Systemen beide Arten auftreten

System

ein System in $\Gamma\left(q,s\right)$ mit $2s$ Dimesionen ist periodisch, falls Projektion auf jede Ebene $\left(q_{i},p_{i}\right)$ periodisch ist. Die einzelnen Perioden seien $\tau_{i}$. Falls $\forall_{i,j}:\frac{\tau_{i}}{\tau_{j}}\in\mathbb{Q}\Rightarrow$ geschlossene Bahn im $2s$-dim. Phasenraum, andernfalls bedingt periodisch.

Wirkungs- und Winkelvariable

Ziel

Periodenfrequenzen des Systems bestimmen

Vorgehen

Zuerst normal Lösen über $W$ danach $E,W$ mit $J_{i}$ ausdrücken und Ableiten $\Rightarrow$ Frequenzen

• Es soll gelten:
  • $\frac{\partial H}{\partial t}=\frac{dH}{dt}=0$
  • $\Rightarrow W=W\left(q,P\right)$ reicht zur Transformation
  • $\Rightarrow P=\left(P_{1},\ldots,P_{s}\right)=\left(\alpha_{1},\ldots,\alpha_{s}\right)=const$
  • System vollständig seperabel
  • $\Rightarrow W=\sum_{i}W_{i}\left(q_{i},\alpha\right)$
  • $\Rightarrow P_{i}=\frac{\partial W}{\partial q_{i}}=\frac{dW_{i}}{dq_{i}}=p_{i}\left(q_{i},\alpha\right)$
• $\left(q,p\right)\rightarrow\left(Q,P\right)$
• $P_{i}=\alpha_{i}$
• $Q_{i}=\begin{cases} const & \Leftrightarrow S\left(q,P,t\right)\\ zyklisch & \Leftrightarrow W\left(q,P\right)\end{cases}$
  • im zyklischen Fall $\overline{H}=\overline{H}\left(P\right)$
• $P_{i}=\alpha_{i}$ $\rightarrow$ kann auch $P_{i}=P_{i}\left(\alpha_{1},\ldots,\alpha_{s}\right)$ sein!
  • Wirkungsvariable $J_{i}=\oint dq_{i}p_{i}$
  • minimale oder kleinste Wirkung
    $A=\sum_{i}\int_{q_{1}}^{q_{2}}dq_{i}p_{i}=S+\int_{t_{1}}^{t_{2}}dtH$
  • seperables System
    $p_{i}=\frac{dW_{i}}{dq_{i}}\Rightarrow J_{i}=\oint dq_{i}\frac{dW_{i}\left(q_{i},\alpha\right)}{dq_{i}}=J_{i}\left(\alpha\right)$
  • $J_{i}$ gibt zuwachs $W$ an, wenn $q_{i}$ einen ``Umlauf'' macht
  • $J_{i}\rightarrow P_{i}$ $\Rightarrow$
    • $\alpha_{i}=\alpha_{i}\left(J_{1},\ldots,J_{s}\right)$
    • $W=W\left(q_{1},\ldots,q_{s},J_{1},\ldots,J_{s}\right)$
    • $H=\overline{H}=\alpha_{1}\left(J\right)=\overline{H}\left(J\right)$

Spezialfall

$q_{i}$ zyklisch $p_{i}=const$

• $q_{i0}=2\pi$
• $J_{i}=2\pi p_{i}$ falls $q_{i}$ zyklisch

• $P=J\Leftrightarrow Q_{i}=\omega_{i}$ ``Winkelvariablen''
  • $Q_{i}=\frac{\partial W}{\partial P_{i}}\rightarrow\omega_{i}=\frac{\partial W}{\partial J_{i}}$
  • $\dot{Q}_{i}=\frac{\partial\overline{H}}{\partial P_{i}}\rightarrow\dot{\omega}... ...\frac{\partial}{\partial J_{i}}\overline{H}\left(J\right)=\nu_{i}\left(J\right)$
  • $\omega_{i}=\nu_{i}\left(J\right)\cdot t+\beta_{i}$
• Wie ändert sich $\omega_{j}$ wenn sich $q_{i}$ um einen Umlauf ändert
  $\Delta_{i}\omega_{j}=\oint_{i}d\omega_{j}=\delta_{ij}$
• $\tau_{i}$ Periode von $q_{i}$
  $\Delta_{i}\omega_{i}=\nu_{i}\tau_{i}\Rightarrow\nu_{i}\left(J\right)=\frac{1}{\tau_{i}}$
• $\nu_{i}$ $\hat{=}$ Frequenz
• falls $\tau_{i}$ bekannt $\rightarrow\omega_{i},J_{i}\Rightarrow q_{i}\left(t\right),q_{i}\left(t\right)$
• Frequenz des Gesamtsystems ist kleinste gemeinsame Vielfache von einzelnen Frequenzen

Entartung

Bewegung im $2s$-dim $\Gamma$ periodisch, falls jede der $s$-Projektionen auf eine $\left(q_{i},p_{i}\right)$-Ebene periodisch ist. Die Frequenz

$$\nu_{i}=\frac{1}{\tau_{i}}$$

ist im Prinzip für alle $i$ verschieden.

Phasenbahn

$\Gamma$ ist abgeschlossen (einfach Periodisch) falls $\frac{\nu_{i}}{\nu_{j}}$ rational ist für alle $i,j$

bedingt periodisch

wird sie im anderen Fall genannt. $\Rightarrow$ Phasenbahn nicht geschlossen

Frequenzverhältnis

läss sich im abgeschlossenen Fall angeben

$$\sum_{i=1}^{s}\nu_{i}n_{i}^{\left(l\right)}=0$$

• $l=1,\ldots,s-1$
• $n_{i}^{\left(l\right)}\in\mathbb{Z}$
• jeweils nicht alle $n_{i}^{\left(l\right)}=0$ für ein $l$
• o.B.d.A. (umsortieren der Unabhängigen nach hinten) $n_{i}^{\left(l\right)}=0$ für $i\in\left[m+1,s\right]$
• die Vektoren $n_{i}^{\left(l\right)}$ müssen zueinander linear unabhängig sein

m-Fache

Entartung haben wir, falls es nur $m<s-1$ solcher Zahlensätze $n_{i}^{\left(l\right)}$ gibt

• vollständige Entartung falls $m=s-1$
• Suche ein $F_{2}$ so, daß $\overline{H}$ nur noch von $s-m$ $J_{i}$ abhängt.
  $$F_{2}\left(\omega,\overline{J}\right)=\sum_{l=1}^{m}\sum_{i=1}^{s... ...(l\right)}\omega_{i}\overline{J}_{i}+\sum_{l=m+1}^{s}\omega_{l}\overline{J}_{l}$$

• $\overline{\omega}_{l}=\frac{\partial F_{2}}{\partial\overline{J}_{l}}=\begin{c... ... \mbox{ für }l=1,\ldots,m\\ \omega_{l} & \mbox{ für }l=m+1,\ldots,s\end{cases}$
• $\overline{\nu}_{l}=\dot{\overline{\omega}}_{l}=\begin{cases} \sum_{j=1}^{s}n_{... ...0 & \mbox{ für }l=1,\ldots,m\\ \nu_{l} & \mbox{ für }l=m+1,\ldots,s\end{cases}$
• $\overline{\nu}_{l}=\frac{\partial\overline{H}}{\partial\overline{J}_{l}}$ $s-m$ Stück