Elektrodynamik der Dielektrika

Ziel

$\rho\left(\vec{r}\right)\Rightarrow\vec{E}\left(\vec{r}\right)$

Anforderungen

an Materie

1. Gesamtladung der Materie $=0$
2. es fließt kein Strom
3. anders als bei Metallen $\rightarrow$ $\vec{E}$-Feld $\neq0$ innerhalb
4. Materie ist ``polarisierbar''

Polarisationsladungsdichte

$\varrho_{p}=-\vec{\nabla}\vec{P}\left(\vec{r}\right)$

• Gesamtladungsdichte $\varrho_{g}=\varrho+\varrho_{P}$
• $\vec{P}\left(\vec{r}\right)$ lokales Dipolmoment / Polarisation
• $\oint_{\partial V}d\vec{F}\vec{P}\left(\vec{r}\right)=-Q_{P}=0$

Flächenladungsdichte

$\sigma_{p}=\vec{n}\vec{P}$

• $\vec{n}$ Normalenvektor auf dem Volumen

Dielektrische Verschiebung

$\vec{D}\left(\vec{r}\right)=\varepsilon_{0}\vec{E}\left(\vec{r}\right)+\vec{P}\left(\vec{r}\right)$

• $\vec{D}$ wird von den überschussladungen $\varrho$ erzeugt und ist damit unabhängig vom Material, während $\vec{E}=\frac{1}{\varepsilon_{0}}\left(\vec{D}-\vec{P}\right)$ über $\vec{P}$ vom Material abhängt.
• $\vec{D}$ ist nur Hilfsgröße, $\vec{E}$ ist die eigentliche physikalische Größe

Maxwell Gleichung

der Elektrostatik mit Dielektrikum

$$\vec{\nabla}\vec{D}\left(\vec{r}\right) = \varrho\left(\vec{r}\right)$$

$$\vec{\nabla}\times\vec{E}\left(\vec{r}\right) =$$ 0

Klassifikation von verschiedenen Polarisationsformen

Deformationspolarisation

es gibt keine elementaren Dipole im Material ohne äußeres Feld. Das Dipolmoment wird beim Anlegen des äußeren Feldes durch Verschieben der im Atom oder Molekühl gebundenen Ladungen erzeugt (Deformation der Ladungsverteilung).

Paraelektrika

Es gibt molekulare Dipole (``Elementardipole'') wie zB. Wasser. Diese richten sich durch das externe Feld bis zu einem gewissen Grad aus. Die braunsche Molekularbewegung wirkt gegen die Orientierung. D.h. die Polarisierung ist temperaturabhängig. Ohne Externes Feld ist die Polarisation 0

Ferroelektrika

Stoffe mit molekularen Dipolen, die sich unterhalb einer kritischen Temperatur $T_{c}$ (Curie-Temperatur) spontan, d.h. ohne äußeres Feld ausrichten.

• Im Allgemeinen sind die äußeren Felder klein gegen die molekularen bzw. atomaren Felder.

linear Response

für nicht zu starke Felder

$$\vec{P}=\alpha\vec{E}$$

• $\alpha$ ist eine Matrix für anisotropes Dielektrikum
• $\alpha$ ist ein Skalar für isotropes Dielektrikum

elektrische Suszeptibilität

$\vec{P}=\underline{\vec{\chi}}\varepsilon_{0}\vec{E}$

• $\vec{D}=\varepsilon_{0}\vec{E}+\vec{P}=\varepsilon\varepsilon_{0}\vec{E}$

Dielektrizitätstensor

$\underline{\varepsilon}=\underline{1}+\underline{\chi_{E}}$

• isotrope Dielektrika gibt es auchenglish
  $\varepsilon=1+\chi_{E}$

Konvention im Folgenden

Es wird soweit nicht anders angegeben von einem isotropen linearen Medium ausgeganden.

Plattenkondensator

Kapazität

$C=\frac{Q}{U}$

Plattenkondensator

$C=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}\frac{F}{d}=\varepsilon_{r}C_{0}$

Kondensatoroberfläche

$F$

$$\sigma=\frac{Q}{F}=D$$

• $D$ betrag der dielektrischen Verschiebung

Randwertprobleme

• Maxwellgleichungen haben selbe Struktur $\Rightarrow$ selbe Lösungsansätze (Poisson-Gl.)
  $$\Delta\varphi=-\frac{\varrho}{\varepsilon_{r}\varepsilon_{0}}$$

Grenzschichten

haben folgendes Stetigkeitsverhalten

$$\sigma = \vec{n}\left(\vec{D}_{2}-\vec{D}_{1}\right)$$

$$\left(\vec{t}\times\vec{n}\right)\left(\vec{E}_{2}-\vec{E}_{1}\right) =$$ 0

• $\sigma$ Ladungsdichte auf der Grenzschicht
• Stetigkeit in Komponenten
  

  $$E_{1t} = E_{2t}$$

  $$\frac{D_{1t}}{\varepsilon_{r}^{\left(1\right)}} = \frac{D_{2t}}{\varepsilon_{r}^{\left(2\right)}}$$

  
  

• bei ungeladene Grenzschicht $\sigma=0$ zusätzlich:
  

  $$D_{1n} = D_{2n}$$

  $$\varepsilon_{r}^{\left(1\right)}E_{1n} = \varepsilon_{r}^{\left(2\right)}E_{2n}$$

  
  

• Durch Einbringen von Spiegelladungen lassen sich Felddeformationen durch Grenzschichten berücksichtigen. Deren Ort ist gespiegel, allerdings haben sie einen zur Stetigkeitsbedingung passenden Wert.

Elektrostatische Energie

Punktladungen im Vakuum

an den Orten $\left(\vec{r}_{1},\ldots,\vec{r}_{N}\right)$ mit Ladungen $\left(q_{1},\ldots,q_{N}\right)$

$$W_{ges}=\sum_{{i,j=1\atop i\neq j}}^{N}\frac{q_{i}q_{j}}{8\pi\varepsilon_{0}\left\vert\vec{r}_{i}-\vec{r}_{j}\right\vert}$$

Kontinuierliche

Ladungsverteilung $\varrho\left(\vec{r}\right)$

$$W = \frac{1}{8\pi\varepsilon_{0}}\int_{V}\int d^{3}r d^{3}r'\frac{\... ...c{r}\right)\varrho\left(\vec{r}'\right)}{\left\vert\vec{r}-\vec{r}'\right\vert}$$

$$= \frac{1}{2}\int_{V}d^{3}r\varphi\left(\vec{r}\right)\varrho\left(\vec{r}\right)$$

$$= \frac{\varepsilon_{0}}{2}\int_{V}d^{3}r\left(\nabla\varphi\left(\vec{r}\right)\right)^{2}$$

$$= \frac{\varepsilon_{0}}{2}\int_{V}d^{3}r\left\vert\vec{E}\right\vert^{2}$$

Energiedichte

$w=\frac{\varepsilon_{0}}{2}\left\vert\vec{E}\right\vert^{2}$

• $W=\int_{V}d^{3}\vec{r}\: w\left(\vec{r}\right)$
• Beim Überprüfen mit einer diskreten Verteilung gibt es

  Sebstenergiedichte

  diese ist divergent für homogen geladene Kugel mit $R\rightarrow0$. Problem für Elektron. Gelöst in Qantenfeldtheorie

  Wechselwirkungsanteil

  entspricht der Diskreten energieformel

Feldenergie im Dielektrikum

$$W=\frac{1}{2}\int d^{3}r\;\vec{E}\vec{D}$$

• $w=\frac{1}{2}\vec{E}\vec{D}$