Randwertprobleme

• i.A. Lösungen mit Hilfe des Vektorpotentials $\vec{A}$

Eichtransformation

$\vec{A}'=\vec{A}+\vec{\nabla}\chi$

• $\chi$ irgendein Skalarfeld
• $\vec{B}'=\vec{\nabla}\times\vec{A}'=\vec{\nabla}\times\vec{A}=\vec{B}$

Coulomb-Eichung

$\vec{\nabla}\vec{A}=0$

$$\Delta\vec{A}=-\mu_{0}\mu_{r}\vec{j}$$

• jede Koordinate entspricht Poisson-Gleichung

Spezialfall

$\vec{j}=0\Rightarrow\vec{\nabla}\times\vec{H}=0$

• $\vec{H}=-\vec{\nabla}\varphi_{m}$ mit $\varphi_{m}$ skalares magn. Potential
• lineares isotropes Medium
  $$\vec{B}=-\mu_{0}\mu_{r}\vec{\nabla}\varphi_{m}$$

• zusammen mit $\vec{\nabla}\vec{B}=0$ $\rightarrow$ Laplace-Gleichung
  $$\Delta\varphi_{m}=0$$

• mit $\vec{M}\left(\vec{r}\right)\neq0$ in $V$
  

  $$\Delta\varphi_{m} = \vec{\nabla}\vec{M}$$

  $$= \varrho_{m}$$

  
  

• $\varrho_{m}=\vec{\nabla}\vec{M}$ effektive magnetische Ladungsdichte
• für $r>r'$ (Radius von $V=$Ausdehnung der Magnetisierung)
  $$\varphi_{m}\approx\frac{1}{4\pi}\frac{\vec{m}_{tot}\vec{r}}{r^{3}}$$
  • $\vec{m}_{tot}=\int d^{3}r \vec{M}\left(\vec{r}\right)$ magnetische Moment
  • Fernfeld = Dipolfeld