Reflexion und Brechung elektromagnetischer Wellen am Isolator

Feldverhalten an Grenzflächen

Normalkomponenten

$\vec{n}=$Normeleneinheitsvektor

$$\vec{n}\left(\vec{D}_{2}-\vec{D}_{1}\right) = \sigma_{F}$$

$$\vec{n}\left(\vec{B}_{2}-\vec{B}_{1}\right) =$$ 0

• $\sigma_{F}$ ist die Flächenladungsdichte

Tangentialkomponenten

$$\vec{n}\times\left(\vec{H}_{2}-\vec{H}_{1}\right) = \vec{j}_{F}$$

$$\vec{n}\times\left(\vec{E}_{2}-\vec{B}_{1}\right) =$$ 0

• $\vec{j}_{F}$ ist die Flächenstromdichte

Brechungs- und Reflexionsgesetz

Randbedingung

sind

• $\sigma_{F}=0$
• $\vec{j}_{F}=\vec{0}$
• es handelt sich um ebene Wellen

Einfallende

Welle

$$\vec{E}_{1} = \vec{E}_{01}e^{i\left(\vec{k}_{1}\vec{r}-\omega_{1}t\right)}$$

$$\vec{B}_{1} = \frac{1}{\omega_{1}}\left(\vec{k}_{1}\times\vec{E}_{1}\right)$$

$$= \frac{1}{u_{1}}\left(\vec{e}_{k_{1}}\times\vec{E}_{1}\right)$$

• $\vartheta_{1}=\measuredangle\left(\vec{k}_{1},\vec{n}\right)$

Reflektiert

wird

$$\vec{E}_{1r} = \vec{E}_{01r}e^{i\left(\vec{k}_{1r}\vec{r}-\omega_{1r}t\right)}$$

$$\vec{B}_{1} = \frac{1}{\omega_{1r}}\left(\vec{k}_{1r}\times\vec{E}_{1r}\right)$$

$$= \frac{1}{u_{1r}}\left(\vec{e}_{k_{1r}}\times\vec{E}_{1r}\right)$$

• $\vec{k}_{1r}$ liegt in $\left(\vec{k}_{1},\vec{n}\right)$-Ebene
• $\vartheta_{1r}=\vartheta_{1}=\measuredangle\left(\vec{k}_{1r},\vec{n}\right)$
• $k_{1r}=k_{1}=\frac{\omega}{c}\sqrt{\mu_{r}^{\left(1\right)}\varepsilon_{r}^{\left(1\right)}}$

Transmittiert

wird

$$\vec{E}_{2} = \vec{E}_{02}e^{i\left(\vec{k}_{21}\vec{r}-\omega_{2}t\right)}$$

$$\vec{B}_{2} = \frac{1}{\omega_{2}}\left(\vec{k}_{2}\times\vec{E}_{2}\right)$$

$$= \frac{1}{u_{2}}\left(\vec{e}_{k_{2}}\times\vec{E}_{2}\right)$$

• $\vec{k}_{2}$ liegt in $\left(\vec{k}_{1},\vec{n}\right)$-Ebene
• $k_{2}=\frac{\omega}{c}\sqrt{\mu_{r}^{\left(2\right)}\varepsilon_{r}^{\left(2\right)}}$
• $\vartheta_{2}=\measuredangle\left(\vec{k}_{2},\vec{n}\right)$

  Snellius'sches-Brechungsgesetz

  $\frac{\sin\vartheta_{1}}{\sin\vartheta_{2}}=\frac{k_{2}}{k_{1}}=\frac{n_{2}}{n_{1}}$

Intensität bei Reflexion und Brechung

Fall 1

$\vec{E}_{1}\perp$Einfallsebene polarisiert

• $E_{02}=E_{01}+E_{01r}$
• $\left(\frac{E_{02}}{E_{01}}\right)_{\perp}=\frac{2n_{1}\cos\vartheta_{1}}{n_{1... ...ht)}}{\mu_{r}^{\left(2\right)}}\sqrt{n_{2}^{2}-n_{1}^{2}\sin^{2}\vartheta_{1}}}$
• $\left(\frac{E_{01r}}{E_{01}}\right)_{\perp}=\frac{n_{1}\cos\vartheta_{1}-\frac... ...ht)}}{\mu_{r}^{\left(2\right)}}\sqrt{n_{2}^{2}-n_{1}^{2}\sin^{2}\vartheta_{1}}}$

Fall 2

$\vec{E}_{1}\vert\vert$Einfallsebene polarisiert

• $E_{02}\cos\vartheta_{2}=\left(E_{01}-E_{01r}\right)\cos\vartheta_{1}$
• $\left(\frac{E_{02}}{E_{01}}\right)_{\vert\vert}=\frac{2n_{1}n_{2}\cos\vartheta... ..._{2}^{2}\cos\vartheta_{1}+n_{1}\sqrt{n_{2}^{2}-n_{1}^{2}\sin^{2}\vartheta_{1}}}$
• $\left(\frac{E_{01r}}{E_{01}}\right)_{\vert\vert}=\frac{\frac{\mu_{r}^{\left(1\... ..._{2}^{2}\cos\vartheta_{1}+n_{1}\sqrt{n_{2}^{2}-n_{1}^{2}\sin^{2}\vartheta_{1}}}$

Fresnel'sche Formeln

Bedingung

ist

$$\mu_{r}^{\left(1\right)}=\mu_{r}^{\left(2\right)}$$

was in guter Näherung für fast alle Materialien erfüllt ist.

• $\left(\frac{E_{02}}{E_{01}}\right)_{\perp}=\frac{2\sin\vartheta_{2}\cos\vartheta_{1}}{\sin\left(\vartheta_{1}+\vartheta_{2}\right)}$
• $\left(\frac{E_{01r}}{E_{01}}\right)_{\perp}=\frac{\sin\left(\vartheta_{2}-\vartheta_{1}\right)}{\sin\left(\vartheta_{1}+\vartheta_{2}\right)}$
• $\left(\frac{E_{02}}{E_{01}}\right)_{\vert\vert}=\frac{2\sin\vartheta_{2}\cos\v... ...\vartheta_{1}+\vartheta_{2}\right)\cos\left(\vartheta_{1}-\vartheta_{2}\right)}$
• $\left(\frac{E_{01r}}{E_{01}}\right)_{\vert\vert}=\frac{\tan\left(\vartheta_{2}-\vartheta_{1}\right)}{\tan\left(\vartheta_{1}+\vartheta_{2}\right)}$
• Keine Brechung bei $\frac{\pi}{2}$
• $\left(\frac{E_{01r}}{E_{01}}\right)_{\perp}<0\Rightarrow$ Phasensprung um $\pi$
• $\left(\frac{E_{01r}}{E_{01}}\right)_{\vert\vert}>0$ für $\vartheta_{1}+\vartheta_{2}\le\pi\Rightarrow$ Phasensprung um $\pi$ für $\vartheta_{1}+\vartheta_{2}>\frac{\pi}{2}$
• Brewster-Winkel
  $\tan\vartheta_{B}=\frac{n_{2}}{n_{1}}$
  Reflektierte Welle ist linear ($\perp$) polarisiert!!

Senkrechter Fall

• Einfallsebene nicht definiert
  $\vartheta_{1}=\vartheta_{2}=0$
• $\left(\frac{E_{02}}{E_{01}}\right)_{\perp}=\left(\frac{E_{02}}{E_{01}}\right)_{\vert\vert}=\frac{2n_{1}}{n_{1}+n_{2}}$
• $\left(\frac{E_{01r}}{E_{01}}\right)_{\perp}=-\left(\frac{E_{01r}}{E_{02}}\right)_{\vert\vert}=\frac{n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}$

Energietransport

Reflexionskoeffizient

$R=\left\vert\frac{\overline{\vec{S}_{1r}\vec{n}}}{\overline{\vec{S}_{1}\vec{n}}}\right\vert=\left\vert\frac{E_{01r}}{E_{01}}\right\vert^{2}$

Transmissionskoeffizient

$T=\left\vert\frac{\overline{\vec{S}_{2}\vec{n}}}{\overline{\vec{S}_{1}\vec{n}}... ...\vartheta_{2}}{\cos\vartheta_{1}}\left\vert\frac{E_{02}}{E_{01}}\right\vert^{2}$

• $R+T=1$

Totalreflexion

Bedingung

$n_{1}>n_{2}$

Grenzwinkel

$\sin\vartheta_{G}=\frac{n_{2}}{n_{1}}$

• $\left(\frac{E_{01r}}{E_{01}}\right)_{\vert\vert}=e^{-i2\varphi}$
  $\tan\varphi=\frac{1}{\sin^{2}\vartheta_{G}}\frac{\sqrt{\sin^{2}\vartheta_{1}-\sin^{2}\vartheta_{G}}}{\cos\vartheta_{1}}$
• $\left(\frac{E_{01r}}{E_{01}}\right)_{\perp}=e^{-i2\Psi}$
  $\tan\Psi=\frac{\sqrt{\sin^{2}\vartheta_{1}-\sin^{2}\vartheta_{G}}}{\cos\vartheta_{1}}$
• Phasenverschiebung - i.A. $\varphi\neq\Psi$
• im Medium 2 exponentielle Dämpfung
  $\cos\vartheta_{2}=i\sqrt{\left(\frac{\sin\vartheta_{1}}{\sin\vartheta_{G}}\right)^{2}-1}$
  $\overline{\vec{S}_{2}\vec{n}}=0$