Erzwungene Schwingung

Kraft

$F=-kx-\beta\dot{x}+F_{0}\cos\left(\Omega t\right)$

DGL

$m\ddot{x}+\beta\dot{x}+kx=F_{0}\cos\left(\Omega t\right)$

DGL

$\ddot{z}+2\gamma\dot{z}+\omega_{0}^{2}z^{2}=f_{0}e^{i\Omega t}$

• $z\left(t\right)=x\left(t\right)+iy\left(t\right)$
• Bewegungsgleichung Lösen mit $z\left(t\right)=Ce^{i\Omega t}$
  • $C=-\frac{f_{0}}{\Omega^{2}-2i\gamma\Omega-\omega_{0}^{2}}$

Bewegungsgleichung

$$x\left(t\right)=\frac{f_{0}}{\sqrt{\left(\Omega^{2}-\omega_{0}^{2}\right)^{2}+4\gamma^{2}\Omega^{2}}}\cos\left(\Omega t+\delta\right)$$

• für $\gamma^{2}\ll\Omega^{2}$
  $$x\left(t\right)=\frac{f_{0}}{2\omega_{0}\sqrt{\left(\Omega-\omega_{0}\right)^{2}+\gamma^{2}}}\cos\left(\Omega t+\delta\right)$$
  • $\tan\delta=\frac{\gamma}{\Omega-\omega_{0}}$
  • $\gamma\rightarrow0\;\Rightarrow\;\left\vert C\right\vert\rightarrow\infty$ Resonanzkathastrophe