next up previous contents index
Next: Hamilton Jakobi Theorie Up: Schwingungen Previous: Anharmonische Schwingungen   Contents   Index

Subsections


Schwingende Systeme

generalisierte Koordinate
$ q=\left(q_{1},\ldots,q_{s}\right)$
Betrachtet
nur Konservative Kräfte $ \Rightarrow$ es gibt ein Potential $ V\left(q\right)$
Gleichgewichtspunkte
$ q_{0}:\;\dot{q}\left(t\right)=0,q\left(t\right)=q_{0}$

$\displaystyle \left.\frac{\partial V}{\partial q_{i}}\right\vert _{q=q_{0}}=0$

stabiles Gleichgewicht
lokales Minimum von $ V$
labiles Gleichgewicht
lokales Maximum von $ V$
neutrales Gleichgeqicht
$ V$ ist lokal konstant
Auslengung
$ q_{i}=q_{i}^{0}+\xi_{i}$
Potential
Tailor Entwickeln
$\displaystyle V\left(q\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \underbrace{V\left(q_{0}\right)}_{=0\mbox{ BbdA}}+\sum_{i=1}^{s}\...
...race{\left.\frac{\partial V}{\partial q_{i}}\right\vert _{q=q_{0}}}_{=0}\xi_{i}$  
    $\displaystyle +\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^{s}\underbrace{\left.\frac{\partial^{2}V...
...rtial q_{i}\partial q_{j}}\right\vert _{q=q_{0}}}_{k_{ij}}\xi_{i}\xi_{j}+\ldots$  

Lagrange Funktion

$\displaystyle L=\frac{1}{2}\left(\dot{\xi}^{T}\underline{M}\dot{\xi}-\xi^{T}\underline{k}\xi\right)$

DGL
auch Säkulargleichung genannt
$\displaystyle \forall i:\sum_{j=1}^{s}\left(M_{ij}\ddot{\xi}_{j}+k_{ij}\xi_{j}\right)$ $\displaystyle =$ 0  
$\displaystyle \underline{M}\ddot{\xi}+\underline{k}\xi$ $\displaystyle =$ 0  

zu
 lösen falls $ \det\left(\underline{k}-\omega^{2}\underline{M}\right)=0$
Normierung
$ \left(\xi_{0}^{\alpha}\right)^{T}\underline{M}\xi_{0}^{\beta}=\delta_{\alpha\beta}$
Lösung

$\displaystyle \xi\left(t\right)=\sum_{\alpha=1}^{s}\xi_{0}^{\alpha}\left(\under...
...mega_{a}t}+B_{\alpha}e^{-i\omega\alpha t}}_{\eta_{\alpha}\left(t\right)}\right)$

Normal Koordinaten
$ \eta_{\alpha}\left(t\right)=A_{\alpha}e^{i\omega_{a}t}+B_{\alpha}e^{-i\omega\a...
...pha}\cos\left(\omega_{a}t\right)+\tilde{B}_{\alpha}\sin\left(\omega_{a}t\right)$

Transformation
der DGL hierdurch in folgende entkoppelte Form

$\displaystyle \forall\alpha:\:\ddot{\eta}_{\alpha}+\omega_{\alpha}^{2}\eta=0$


lineare periodische Kette

Beseteht aus
unendlich vielen Teilchen der Masse $ m$
Masse
$ M_{ij}=\delta_{ij}m$
Kopplung

$\displaystyle \underline{k}=\left(\begin{array}{cccccc}
2 & -1 & 0 & \cdots & 0...
...\ddots & \ddots & \ddots & -1\\
-1 & 0 & \cdots & 0 & -1 & 2\end{array}\right)$

Ansatz
Jedes Atom vollführt harmonische Schwingung mit dem gleichen $ \omega$

$\displaystyle x_{l}=A_{l}e^{i\omega t}$

und Nachbaratome unterscheiden sich nur um konstante Phase

$\displaystyle x_{l}=x_{l-1}e^{i\chi}$

und Periodischen Randbedingungen

$\displaystyle A_{l}=A_{l+N}e^{iN\chi}$

Lösung
$ \omega_{n}=2\omega_{0}\left\vert\sin\frac{n\pi}{N}\right\vert$
Wellenlänge
$ \lambda_{n}=a\frac{N}{n}=\frac{L}{n}$
Dispersionsrelation
$ \omega\left(q\right)=2\omega_{0}\left\vert\sin\frac{qa}{2}\right\vert$
Phasengeschwindigkeit
$ c=\frac{\omega}{q}=\frac{2\omega}{q}\left\vert\sin\frac{qa}{2}\right\vert$
Gruppengeschwindigkeit
$ v_{g}=\frac{d\omega}{dq}$
Kontinuierlicher Grenzfall
$ x_{l}\left(t\right)=x\left(\xi,t\right)$ mit $ \xi=al$


next up previous contents index
Next: Hamilton Jakobi Theorie Up: Schwingungen Previous: Anharmonische Schwingungen   Contents   Index
Marco Möller 20:49:26 12.02.2007