Hamilton Jakobi Theorie

Kanonische Koordinaten

$q=\left(q_{1},\ldots,q_{s}\right)$

Wirkung

$S=\int_{t_{1}}^{t_{2}}L\left(q,\dot{q},t\right)dt$ wird minimiert

Lagrange Funktion

$L=T-V=p\cdot\dot{q}-H$

• negative Lagrange Transformierte der Hamilton Funktion

Kanonischer Impuls

$p_{k}=\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{k}}$

Phasenraum

$\Gamma=\left(q,p\right)$ $2s$-dim

DGL's

, die die Bewegungsgleichungen liefern, sind:

$$\dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p}$$

$$\dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial q}$$

bzw.

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{j}}-\frac{\partial L}{\partial q_{j}}=0$$

Zyklische Koordinaten

$q_{k}$ so, dass $p_{k}=\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{k}}=const$

• $L$ hängt nicht von $q_{k}$ab
• $H$ hängt nicht von $q_{k}$ab
• $\dot{q}_{k}=\frac{\partial H}{\partial p_{k}}$
  $q_{k}\left(t\right)=\int_{t_{1}}^{t_{2}}dt\frac{\partial H}{\partial p_{k}}$