Legendre-Transformation thermodyn. Potentiale

Motivation

$S\left(U,V,N\right)$ oder auch $U\left(S,V,N\right)$ enthält alle Information über System. Gewünscht: Beziehungen, die von den intensiven Variablen abhängen und dieselben Informationen enthalten $\Rightarrow$ Übergang zu Funktionen die von Ableitungen (z.B. $\frac{\partial U}{\partial S}=T$) abhängen.

Allgemeine

Beschreibung der Legendre-Transformation: $Y\left(X\right)\rightarrow$ Suche Funktion die von $\frac{dY}{dx}=P$ abhängt und die selbe Information enthält.

Notwendige Vorraussetzung

zu jedem $\frac{dY\left(x\right)}{dx}=P_{0}$ nur ein $x$ (invertierbar auf Definitionsbereich)

• entspricht: $\frac{dY^{2}}{dx^{2}}\neq0$ auf Definitionsbereich

eindimenstional

$\Psi\left(P\right)=Y\left(X\left(P\right)\right)-X\left(P\right)\cdot P$

Umkehrung

durch nochmalige Anwendung der Legendre Transformation

mehrdimensional

$Y\left(X^{\left(1\right)},\ldots,X^{\left(n\right)}\right)$

• $P^{\left(i\right)}=\frac{\partial Y}{\partial X^{\left(i\right)}}\Rightarrow X... ...ft(i\right)}=X^{\left(i\right)}\left(\left\{ P^{\left(j\right)}\right\} \right)$
• $\Psi=Y\left(X^{\left(i\right)}\left(\left\{ P^{\left(j\right)}\right\} \right)... ...eft(i\right)}\left(\left\{ P^{\left(j\right)}\right\} \right)P^{\left(i\right)}$

Helmholtz-Potential

Transformation

$S\rightarrow T$

Freie Energie

$F\left(T,V,N\right)=U\left(S\left(T,V,N\right),V,N\right)-TS\left(T,V,N\right)$

• $\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_{V,N}=-S$
• $\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_{T,N}=-p$
• $\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_{T,V}=\mu$
• $dF=-SdT-pdV+\mu dN$

Enthalpie

Transformation

$V\rightarrow p$

Enthalpie

$H\left(S,p,N\right)=U\left(S,V\left(S,p,N\right),N\right)+pV\left(S,p,N\right)$

• $\left(\frac{\partial H}{\partial S}\right)_{p,N}=T$
• $\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_{S,N}=V$
• $\left(\frac{\partial H}{\partial N}\right)_{S,p}=\mu$
• $dF=TdS+Vdp+\mu dN$

Gibbs-Potential

Transformation

$S\rightarrow T,V\rightarrow p$

Gibbs-Potential

$G\left(T,p,N\right)=U\left(S\left(T,p,N\right),V\left(T,p,N\right),N\right)-TS\left(T,p,N\right)+pV\left(T,p,N\right)$

• $\left(\frac{\partial G}{\partial T}\right)_{p,N}=-S$
• $dG=-SdT+Vdp+\mu dN$

Großkanonisches Potential

Transformation

$S\rightarrow T,N\rightarrow\mu$

Großkanonisches Potential

$U\left(T,\mu\right)=U-TS-\mu N$

• $dU\left(T,\mu\right)=-SdT-pdV-Nd\mu$