Die statistische Entropie von Quantenzuständen

Gegeben

q.m. dichteoperator $\hat{\varrho}\ge0$

• Normiert: $T_{r}\left(\hat{\varrho}\right)=1$

Von Neumann Entropie

$S\left(\hat{\varrho}\right)=-k_{B}T_{r}\left(\hat{\varrho}\ln\left(\hat{\varrho}\right)\right)=-k_{b}\sum_{m}p_{m}\ln\left(p_{m}\right)$

• mit $\left\vert m><m\right\vert$ Orthonormalbasis
• $S\left(\hat{\varrho}\right)$ invariant unter unitären Transformationen
• $\hat{X}\ge0$, $\hat{Y}\ge0$
  • $Tr\left(\hat{X}\ln\left(\hat{Y}\right)\right)-Tr\left(\hat{Y}\ln\left(\hat{X}\right)\right)\le Tr\left(\hat{Y}\right)-Tr\left(\hat{X}\right)$
  • $Tr\left(\hat{X}\ln\left(\hat{Y}\right)\right)-Tr\left(\hat{Y}\ln\left(\hat{X}\right)\right)=Tr\left(\hat{Y}\right)-Tr\left(\hat{X}\right)$
    $\Leftrightarrow\hat{X}=\hat{Y}$
• $S\left(\hat{\varrho}\right)$ maximal für $\hat{\varrho}=\frac{1}{D}1$ = unpolarisierter Zustand / Chaotischer Zustand
• $S\left(\hat{\varrho}\right)=0\Leftrightarrow\hat{\varrho}=\left\vert\Psi><\Psi\right\vert$ reiner Zustand
• Subadditivität
  $S\left(\hat{\varrho}_{A}\right)+S\left(\hat{\varrho}_{B}\right)\ge S\left(\hat{\varrho}\right)$
• $S\left(\hat{\varrho}\right)$ ist die einzige stetige Funktion, die invariant ist unter unitären Transformation und die Subadditivitätseigenschaft besitzt.
• $S\left(\sum_{i=1}^{N}p_{i}\hat{\varrho}_{i}\right)\ge\sum_{i=1}^{N}p_{i}S\left(\hat{\varrho}_{i}\right)$
• Von Neumann Entropie ist die größte untere Schranke aller möglichen Shannon-Entropien