%% LyX 1.5.0beta3 created this file. 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Die folgende Formelsammlung steht zum kostenlosen Download zur Verfügung. Das Urheberrecht und sonstige Rechte an dem Text verbleiben beim Verfasser, der keine Gewähr für die Richtigkeit und Vollständigkeit der Inhalte übernehmen kann. \tableofcontents{} \section{Begriffe der Statistik} \subsection{Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten} \begin{description} \item [{Elementarereignis\index{Elementarereignis}}] nennt man ein \emph{Ereignis\index{Ereignis}} das nicht weiter zerlegt werden kann (definiert man sich entsprechend). \end{description} \begin{itemize} \item \emph{Mikrozustände}\index{Mikrozustände}, vollständig charakterisierte physikalische Zustände werden in der Physik als Elementarereignisse aufgefasst. In der Klassischen Mechanik ist die bei $N$ Teilchen ein $6N$ dimensionaler Vektor, also ein Punkt im Phasenraum. \end{itemize} \begin{description} \item [{Wahrscheinlichkeit\index{Wahrscheinlichkeit}}] $P\left(A\right)\in\left[0,1\right]$ wird einem Ereigniss zugeordnet \end{description} \begin{itemize} \item $P\left(E\right)=1$ mit $E$ der Menge aller Ereignisse \item $P\left(\emptyset\right)=0$ \end{itemize} \begin{description} \item [{Vereinigung\index{Vereinigung}}] $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$ \end{description} \begin{itemize} \item Wahrscheinlichkeit, das $A$ oder $B$ eintritt (oder beide) \end{itemize} \begin{description} \item [{Unvereinbar\index{Unvereinbar}}] oder disjunkt\index{disjunkt} sind zwei Ereignisse falls \[ A\cap B=\emptyset\] und es gilt\[ P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)\] \end{description} \begin{itemize} \item \emph{Makrozustände}\index{Makrozustände} sind unvereinbare Teilmengen aus Mikrozuständen \end{itemize} \begin{description} \item [{bedingte~Wahrscheinlichkeit\index{bedingte Wahrscheinlichkeit}}] für das Auftreten von $A$ falls sich $B$ bereits ereignet hat\[ P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}\] \item [{unabhängig\index{unabhängig}}] werden $A$ und $B$ bezeichnet wenn gilt \[ P\left(A|B\right)=P\left(A\right)\] in diesem falls gilt\[ P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)P\left(B\right)\] \end{description} \subsection{Diskrete Gesamtheit} \begin{description} \item [{diskrete~Gesamtheit\index{diskrete Gesamtheit}}] wird ein System genannt wenn die gesamte Menge von Zuständen diskret und endlich ist. \end{description} \begin{itemize} \item Die Zustände seien $z_{1},\ldots,z_{N}$ \item deren W-keiten seien $p_{i}\ge0$ \item \emph{Normierung\index{Normierung}} mit \[ \sum_{i}p_{i}=1\] \end{itemize} \begin{description} \item [{reiner~Zustand\index{reiner Zustand}}] liegt vor, wenn für genau ein $i$ $p_{i}=1$ und damit alle anderen $p_{j}=0$ sind \item [{Observable\index{Observable}}] ist eine Zahl $A_{i}$ die jedem Zustand zugeorndet werden kann \item [{Mittelwert\index{Mittelwert}}] oder \emph{Erwartungswert\index{Erwartungswert}} einer Observablen ist definiert als\[ \left\langle A\right\rangle =\sum_{i}p_{i}A_{i}\] \end{description} \begin{itemize} \item $\left\langle aA+b\right\rangle =a\left\langle A\right\rangle +b$ mit $a,b=const$ \end{itemize} \begin{description} \item [{Varianz\index{Varianz}}] (\emph{Schwankung}\index{Schwankung}) ist definiert als\[ \Delta A=\sqrt{\left\langle A^{2}\right\rangle -\left\langle A\right\rangle ^{2}}\] \end{description} \begin{itemize} \item $\Delta\left(aA+b\right)=a\left\langle A\right\rangle $ mit $a,b=const$ \item $\Delta A=0$ $\Leftrightarrow$ reiner Zustand \end{itemize} \begin{description} \item [{Kommutieren\index{Kommutieren}}] wird bezeichnet, wenn zwei Observablen $A,B$ gleichzeitig messbar sind \item [{Korrelation\index{Korrelation}}] $\left\langle AB\right\rangle _{c}=C_{AB}=\left\langle AB\right\rangle -\left\langle A\right\rangle \left\langle B\right\rangle $ \end{description} \begin{itemize} \item $\left\langle AB\right\rangle =\sum_{i}p_{i}A_{i}B_{i}$ \item im Fall $A=B$ ist dies die Varianz \end{itemize} \begin{description} \item [{Binomialverteilung\index{Binomialverteilung}}] $P_{N}\left(n_{1}\right)=\left({N\atop n_{1}}\right)p^{n_{1}}q^{N-n_{1}}$ \end{description} \begin{itemize} \item $p+q=1$ \item $\left\langle n_{1}\right\rangle =pN$ \item $\Delta n_{1}=\sqrt{Npq}$ \item im Grenzwert eine Normalverteilung\index{Normalverteilung} \end{itemize} \begin{description} \item [{Binomialkoeffizient\index{Binomialkoeffizient}}] $\left({a\atop b}\right)=\frac{a!}{b!\left(a-b\right)!}$ \end{description} \begin{itemize} \item entspicht der Anzahl der Möglichkeiten $b$ (unterscheidbare) Elemente aus einer Menge mit $a$ (unterscheidbaren) Elemtenten auszuwählen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge und ohne Zurücklegen. \item \index{Binomialentwicklung}\emph{Binomialentwicklung}\[ \left(p+q\right)^{N}=\sum_{n_{1}=0}^{N}\left({N\atop n_{1}}\right)p^{n_{1}}q^{N-n_{1}}\] \end{itemize} \subsection{Kontinuierliche Gesamtheit} \begin{description} \item [{kontinuierliche~Gesamtheit\index{kontinuierliche Gesamtheit}}] liegt vor wenn die Menge der Zusände $V$ des Systems überabzählbar ist, z.B. in $\mathbb{R}^{n}$ liegt. \item [{Wahrscheinlichkeitsdichte\index{Wahrscheinlichkeitsdichte}}] wird eine Funktion $p$ genannt wenn\begin{align*} p\left(x\right) & \ge0\\ \int_{V}dx\, p\left(x\right) & =1\end{align*} \end{description} \begin{itemize} \item Die W-keit das man sich in einem Zustand aus $K\subseteq V$ befindet ist $\int_{K}dx\, p\left(x\right)\in\left[0,1\right]$ \end{itemize} \begin{description} \item [{Mittelwert}] einer Observablen $A$\[ \left\langle A\right\rangle =\int_{V}dx\, p\left(x\right)\, A\left(x\right)\] \item [{Transformation}] Häufig möchte man Wahrscheinlichkeitsdichten nicht als Funktion von $x$ sondern einer gegebenen Funktion $H\left(x\right)$ angeben. Diese ist definiert als\[ \tilde{p}\left(y\right)=\int dx\,\delta\left(y-H\left(x\right)\right)\cdot p\left(x\right)\] wobei $\delta\left(y-H\left(x\right)\right)$ die Dirac'sche Delta-Funktion ist. \end{description} \begin{itemize} \item Normierung bleibt unabhängig von $H$ erhalten. \item Als Merkregel kann man auch nutzen\[ \tilde{p}\left(y\right)dy=p\left(x\right)dx\] wobei man bei der Transformation das Maß mit transformieren muss! \end{itemize} \begin{description} \item [{n-te~Moment\index{Moment}}] charakterisiert eine Wahrscheinlichkeitsverteilung\[ \left\langle x^{n}\right\rangle =\int dx\, p\left(x\right)\, x^{n}\] \end{description} \begin{itemize} \item wenn alle Momente bekannte sind lässt sich daraus $p\left(x\right)$ eindeutig rekonstruieren\begin{align*} \phi\left(k\right) & =\left\langle e^{ikx}\right\rangle \\ & =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(ik\right)^{n}}{n!}\left\langle x^{n}\right\rangle \\ p\left(x\right) & =\int\frac{dk}{2\pi}e^{-ikx}\phi\left(k\right)\end{align*} \item Mit den ersten beiden Momente ergibt sich eine Normalverteilung \item 0.te Moment immer 1 wegen Normierung \end{itemize} \begin{description} \item [{Erzeugende~Funktion}] ist die Fourie Transformierte der Warscheinlichkeitsverteilung\[ G\left(y\right)=\int_{-\infty}^{\infty}dx\, e^{-ixy}P\left(x\right)\] \item [{Kumulanten}] werden die Koeffizienten der Taylorentwicklung von $g\left(y\right)$ genannt\begin{align*} g\left(y\right) & =\ln G\left(y\right)\\ & =-iC_{y}y-\frac{1}{2}C_{2}y^{2}+\frac{i}{3!}C_{3}y^{3}+\ldots\end{align*} \end{description} \begin{itemize} \item $C_{0}=0$ \end{itemize} \begin{description} \item [{Normalverteilung\index{Normalverteilung}}] $p\left(x\right)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^{2}}$ \end{description} \begin{itemize} \item $\mu=\left\langle x\right\rangle $ Mittelwert \item $\sigma^{2}=\left(\Delta x\right)^{2}=\left\langle x^{2}\right\rangle -\left\langle x\right\rangle ^{2}$ Varianz \item auch \emph{\index{Gaußverteilung}Gaußverteilung} genannt \end{itemize} \begin{description} \item [{Verteilung~von~$N$~unabhängigen~Variablen}] ist gegeben durch\[ P_{N}\left(X_{N}\right)=\int dx\, P_{1}\left(x\right)P_{N-1}\left(X_{n}-x\right)\] \end{description} \begin{itemize} \item $x_{1},\ldots,x_{N}$ sind unabhängige Variablen mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung $P_{1}\left(x\right)$ \item $X_{N}=\sum_{n=1}^{N}x_{n}$ \item Varianz von $X_{n}$ ist proportional zu $\frac{1}{\sqrt{N}}$ \end{itemize} \begin{description} \item [{Verteilung~minimaler~Information}] für gegebene Momente $M_{l}$ mit $0\le l\le n$ ist gegeben durch\[ P\left(x\right)=\exp\left(\sum_{l=0}^{n}a_{l}x^{l}\right)\] \end{description} \begin{itemize} \item $a_{i}$ bestimmen durch DGL-System\[ M_{i}=\frac{\partial}{\partial a_{i}}\int P\left(\left\{ a_{i}\right\} ,x\right)\, dx\] \end{itemize} \subsection{Information} \begin{description} \item [{Information}] $I=-\lambda\sum_{i}p_{i}\ln p_{i}=\left\langle -\lambda\ln p_{i}\right\rangle \ge0$ \end{description} \begin{itemize} \item $\lambda>0$ \item $I=0$ $\Leftrightarrow$ $p_{i}=\delta_{i,i_{0}}$(reiner Zustand) \item Additivität bei Abwesenheit von Korrelationen:\\ Betrachte Verteilung zweier Variabler, $i=1,\ldots,N;j=1,\ldots,M$\[ p_{ij}=p_{i}^{1}p_{j}^{2}\] so dass\[ \left\langle AB\right\rangle =\left\langle A\right\rangle \left\langle B\right\rangle \] und somit:\[ I=I_{1}+I_{2}\] \item Kontinuierlich\[ I=-\lambda\int dx\, p\left(x\right)\,\ln p\left(x\right)\] \item Wird maximal bei \emph{Gleichverteilung}\index{Gleichverteilung} ($\Omega$ Anz. der möglichen Zustände)\[ I=max\Leftrightarrow p_{i}=p=\frac{1}{\Omega}\] \end{itemize} \section{Statistische Beschreibung physikalischer Systeme} \subsection{Klassische Mechanik} Betrachte klassisches $N$-Teilchen-System mit Hamilton-Funktion $H\left(q,p\right)$, $3N$ Ortskoordinaten $q_{i}$ und die dazu kanonisch konjugierten $3N$ Impulskoordinaten $p_{i}$, $i=1,\ldots,3N$. Der Phasenraum $\Gamma$ wird durch diese $6N$ Koordinaten aufgespannt. Ein Mikrozustand ist durch einen Punkt $\left(q,p\right)$ in $\Gamma$ beschrieben - kennt man $\left(q,p\right)$ zu einer Zeit $t_{0}$, so kann man durch Lösen der Bewegungsgleichungen $\left(q,p\right)$ zu jeder Zeit bestimmen. \begin{description} \item [{Poisson-Klammer}] $\left\{ A,B\right\} =\sum_{i}\left(\frac{\partial A}{\partial q_{i}}\frac{\partial B}{\partial p_{i}}-\frac{\partial A}{\partial p_{i}}\frac{\partial B}{\partial q_{i}}\right)$ \end{description} \begin{itemize} \item $\left\{ q_{i},p_{k}\right\} =\delta_{ik}$ \item $\left\{ q_{i},q_{k}\right\} =\left\{ p_{i},p_{k}\right\} =0$ \end{itemize} \begin{description} \item [{Gesamtheit\index{Gesamtheit}~/~Ensemble\index{Ensemble}}] Anstelle eines realen Systems, betrachte eine sehr große Anzahl $G$ identischer Systeme (Gesamtheit / Ensemble)\begin{align*} G & =\int_{\Gamma}g\left(q,p,t\right)d\Gamma\\ W\left(q,p,t\right) & =\frac{g\left(q,p,t\right)}{G}\end{align*} \end{description} \begin{itemize} \item $\int_{\Gamma}W\left(q,p,t\right)d\Gamma=1$ \item $W$ gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass ein beliebig herausgegriffenes System Koordinaten und Impulse um $\left(q,p\right)$ besitzt. \item $g\left(q,p,t\right)$ Anzahl der Systeme mit Koordinaten und Impuls $\left(q,p\right)$ (Dichte) \item Die Mitglieder eines Ensembles wechselwirken nicht untereinander. \item Anzahl der Systeme in einem Raumbereich kann sich nur dadurch ändern das diese durch die Oberfläche hinein oder herusgelangen (Erhaltungssatz)\begin{align*} \frac{\partial g}{\partial t}+\mbox{div}\vec{j} & =0\\ \vec{j} & =g\vec{v}\end{align*} \[ \vec{v}=\left(\frac{\partial q_{i}}{\partial t},\frac{\partial p_{i}}{\partial t}\right)=\left(\dot{q}_{i},\dot{p}_{i}\right)\] \end{itemize} \begin{description} \item [{\index{Liouville-Gleichung}Liouville-Gleichung}] $\frac{\partial W}{\partial t}=\left\{ H,W\right\} $ \end{description} \begin{itemize} \item $\frac{dW}{dt}=0$ \end{itemize} \begin{description} \item [{Mittelwert}] \begin{align*} \left\langle A\right\rangle & =\int A\left(q,p,t\right)W\left(q,p,t\right)d\Gamma\\ & =\mbox{tr}\left(AW\right)\end{align*} \[ \mbox{tr}\left(W\right)=1\] \end{description} \begin{itemize} \item Spur ist unter kanonischen Transformationen invariant \end{itemize} \subsection{\index{Quantenmechanik}Quantenmechanik} \begin{description} \item [{Observable}] $A$ \item [{Eigenwertgleichung}] $A\left|\varphi_{l}\right\rangle =a_{l}\left|\varphi_{l}\right\rangle $ \end{description} \begin{itemize} \item gemessen $a$ \item Mess W-keit $\left|\left\langle \varphi_{l}|\psi\right\rangle \right|^{2}$ im Zustand $\psi$ \end{itemize} \begin{description} \item [{Mittelwert}] im reinen Zustand\[ \left\langle A\right\rangle =\left\langle \psi|A|\psi\right\rangle =\sum_{l}\left|\left\langle \varphi_{l}|\psi\right\rangle \right|^{2}a_{l}\] \item [{Gesamtheit}] von mehreren Zuständen $\left|\psi_{k}\right\rangle $ mit je W-keit $p_{k}$ \end{description} \begin{itemize} \item $\sum_{k}p_{k}=1$ \end{itemize} \begin{description} \item [{Mittelwert}] einer Gesamtheit\begin{align*} \left\langle A\right\rangle & =\sum_{k}p_{k}\left\langle \psi_{k}|A|\psi_{k}\right\rangle \\ & =\sum_{n,m}\sum_{k}p_{k}\left\langle \psi_{k}|n\right\rangle \left\langle n|A|m\right\rangle \left\langle m|\psi_{k}\right\rangle \\ & =\sum_{n,m}\left\langle m|\varrho|n\right\rangle \left\langle n|A|m\right\rangle \end{align*} \item [{Statistischer~Operator\index{Statistischer Operator}}] bzw. \index{Dichteoperator}\emph{Dichteoperator}\[ \varrho=\sum_{k}\left|\psi_{k}\right\rangle p_{k}\left\langle \psi_{k}\right|\] \end{description} \begin{itemize} \item Matrixelemente \begin{align*} \varrho_{mn} & =\left\langle m|\varrho|n\right\rangle =\sum_{k}\left\langle m|\psi_{k}\right\rangle p_{k}\left\langle \psi_{k}|n\right\rangle \\ A_{nm} & =\left\langle n|A|m\right\rangle \end{align*} \item Mittelwert\begin{align*} \left\langle A\right\rangle & =\sum_{m,n}\varrho_{mn}A_{nm}=\sum_{m}\left\langle m|\varrho A|m\right\rangle \\ & \equiv\mbox{Tr}\left(\varrho A\right)\end{align*} \item Normiertheit\[ \mbox{Tr}\left(\varrho\right)=\sum_{k}p_{k}=1\] \end{itemize} \begin{description} \item [{von~Neumann-Gleichung\index{von Neumann-Gleichung}}] zeitliche Entwicklung des statistischen Operators\[ \frac{\partial\varrho}{\partial t}=-\frac{i}{\hbar}\left[H,\varrho\right]\] \item [{Korrespondenzprizip\index{Korrespondenzprizip}}] beschreibt Übergang zwischen klassischen und quantenmechanischen Gleichungen \begin{align*} W & \leftrightarrow\varrho\\ \left\{ \:,\:\right\} & \leftrightarrow-\frac{i}{\hbar}\left[\:,\:\right]\end{align*} \end{description} \subsection{Thermodynamischer Grenzfall} \begin{description} \item [{Thermodynamischer~Grenzfall\index{Thermodynamischer Grenzfall}}] $N\rightarrow\infty\quad V\rightarrow\infty$ \end{description} \begin{itemize} \item wobei die Dichte $n=\frac{N}{V}$ konstant gehalten wird \end{itemize} \begin{description} \item [{\index{extensive Größe}extensive~Größe}] Mittelwert von $A$ divergiert so im Limes $V\rightarrow\infty$, dass $\frac{\left\langle A\right\rangle }{V}$ endlich bleibt \end{description} \begin{itemize} \item Bsp.: Teilchenzahl, Energie, magnetisches Moment \item die relativen Schwankungen $\frac{\Delta A}{\left\langle A\right\rangle }$ einer extensiven Variablen verschwinden im thermodynamischen Grenzfall \end{itemize} \begin{description} \item [{intensive~Größe\index{intensive Größe}}] bleibt auch im thermodynamischen Grenzfall endlich \end{description} \begin{itemize} \item Bsp.: Erwartungswert von Dichten, Themperatur, Druck \end{itemize} \section{\index{Makrozustände}Makrozustände} \subsection{Repräsentatives Ensemble\index{Repräsentatives Ensemble}} \begin{description} \item [{Genaue~Festlegung}] aller Anfangsbedingungen nicht praktikabel. Stattdessen nur einige makroskopische Variablen Festgelegt. \item [{statistisches~Ensemble}] wird anhand der folgenden Kriterien ausgewält: \end{description} \begin{enumerate} \item Kompatibilität mit der vorhandenen Kenntnis \item keine Vorurteile, d.h. maximale fehlende Information (Boltzmann, Brillouin, Jaynes) \end{enumerate} \begin{itemize} \item Gleichverteilung $p_{i}=\frac{1}{N}$ maximiert Information\\ \[ I=-\lambda\sum_{i=1}^{N}p_{i}\ln p_{i}=\lambda\ln N\] \end{itemize} \begin{description} \item [{statistischer~Operator}] für den Fall, das Kenntnis über die Mittelwerte der Observablen $A_{i}$ besteht und die Observablen $B_{j}$ exakt die Werte $b_{j}$ annehmen. Im thermodynamischen Limes sollen die $B_{j},A_{i}$ alle miteinander vertauschen.\[ \rho=\prod_{j}\delta\left(B_{j}-b_{j}\right)f\left(\left\{ A_{i}\right\} ,\left\{ C_{k}\right\} \right)\] \end{description} \begin{itemize} \item $C_{k}$ sind Observablen über deren Erwartungswert keine Kenntnis forliegt \item Information ist dann\[ I=-\lambda\mbox{Tr}\left(\rho\ln f\right)\] ist äqivalent zu $I=-\lambda\mbox{Tr}\left(\rho\ln\rho\right)$ aber schon teilweise berechnet \item Mit Lagrange Multiplikatoren $\alpha_{0},\alpha_{i}$ (Zusatzbedingung $\mbox{Tr}\left(\rho\right)=1$) \[ f=e^{-1-\alpha_{0}-\sum_{i}\alpha_{i}A_{i}}\] \[ \rho=\frac{1}{Z}\prod_{j}\delta\left(B_{j}-b_{j}\right)e^{-\sum_{i}\alpha_{i}A_{i}}\] \begin{align*} Z & =e^{1+\alpha_{0}}\\ & =\mbox{Tr}\left(\prod_{j}\delta\left(B_{j}-b_{j}\right)e^{-\sum_{i}\alpha_{i}A_{i}}\right)\end{align*} \item Erwartungswerte\begin{align*} \left\langle A_{i}\right\rangle & =\mbox{Tr}\left(\rho A_{i}\right)\\ & =-\frac{\partial}{\partial\alpha_{i}}\ln Z\end{align*} \item Lagrange Multiplikatoren\index{Lagrange Multiplikatoren} erhalten in der Thermodynamik des Gleichgewichts eine Bedeutung \end{itemize} \subsection{\index{Gleichgewichtsverteilungen}Gleichgewichtsverteilungen} Im Folgenden sind $W_{eq}$ und $\rho_{eq}$ einheitlich mit $\rho$ bezeichnet und nur in relevanten Fällen wird explizit unterschieden. \begin{description} \item [{Zeitentwicklung}] von Erwartungswerten sind nach einiger Zeit konstant\[ \lim_{t\rightarrow\infty}\left\langle A\right\rangle \left(t\right)=\lim_{t\rightarrow\infty}\mbox{Tr}\left(\rho A\right)=const\] \end{description} \begin{itemize} \item Es gibt also stationäre statistische Operatoren $\rho_{eq}$\[ \left.\frac{\partial\rho}{\partial t}\right|_{\rho=\rho_{eq}}=-\frac{i}{\hbar}\left[H,\rho_{eq}\right]=0\] \item $H$ darf nicht von der Zeit abhängen und hat die Bedeutung einer Energie \item Falls $\rho$ nur von Erhaltungsgrößen $A$\[ \left[H,A\right]=0\] abhängt ist die Stationaritätsbedingung erfüllt. \item Es gibt allerdings noch andere (kompliziertere) Möglichkeiten die Stationaritätsbedingung zu erfüllen \item typische Erhaltungsgrößen: Energie $E$, Teilchenzahl $N$, evtl. Volumen $V$ \item Klassische Systeme analog behandeln mit $-\frac{i}{\hbar}\left[\cdot,\cdot\right]\rightarrow\left\{ \cdot,\cdot\right\} $ \end{itemize} \begin{description} \item [{Kronneker~Delta\index{KronnekerDelta}}] mit endlicher Breite ist definiert als\[ \delta_{\Delta}\left(x\right)=\begin{cases} \frac{1}{\Delta} & \left|x\right|<\frac{1}{2}\Delta\\ 0 & \mbox{sonst}\end{cases}\] \item [{Phasenraumvolumen\index{Phasenraumvolumen}}] das von der \emph{Energiefläche\index{Energiefläche}} $\omega\left(E,N,V\right)$ engeschlossen wird ist gegeben durch\[ \Gamma\left(E_{0},N_{0},V\right)=\int_{09$ ist die folgende Formel Näherungsformel genauer als $1\%$ und ist im Limes relativ exakt! \[ N!\approx\sqrt{2\pi N}\left(\frac{N}{e}\right)^{N}=\left(2\pi\right)^{\frac{1}{2}}N^{N+\frac{1}{2}}e^{-N}\] \end{description} \begin{itemize} \item $\ln N!\approx N\left(\ln N-1\right)$ \end{itemize} \subsubsection{\index{MikrokanonischeGesamtheit}Mikrokanonische~Gesamtheit} \begin{itemize} \item Energie $E=E_{0}$ und Teilchenzahl $N=N_{0}$ fest vorgegeben\[ \rho_{mik}=\frac{1}{\omega\left(E_{0},N_{0},V\right)}\delta\left(E-E_{0}\right)\delta\left(N-N_{0}\right)\] \begin{align*} \omega\left(E_{0},N_{0},V\right) & =\mbox{Tr}_{V}\left(\delta\left(E-E_{0}\right)\delta\left(N-N_{0}\right)\right)\\ & =\int_{N_{0},V}d\Gamma\,\delta\left(H\left(q,p\right)-E\right)\\ & =\lim_{\Delta\rightarrow0}\mbox{Tr}_{N_{0},V}\delta_{\Delta}\left(H-E_{0}\right)\\ & =\frac{\partial\Gamma\left(E_{0},N_{0},V\right)}{\partial E_{0}}\end{align*} \item isoliertes System \item $\Gamma\left(E_{0},N_{0},V\right)=\int_{0}^{E_{0}}dE\,\omega\left(E,N_{0},V\right)$ \item Zustandssumme\begin{align*} \Omega_{\Delta}\left(E_{0},N_{0},V\right) & =\int_{E_{0}-\frac{\Delta}{2}\frac{1}{T}\delta Q\] \end{itemize} \begin{description} \item [{\index{ErsteHauptsatz der Thermodynaik}Erste~Hauptsatz}] der Thermodynaik \[ dE=\delta W+\delta Q+\delta E_{c}\] \end{description} \begin{itemize} \item Mechanische Arbeit: (Arbeit die am System geleistet wird, wird positiv gezählt)\[ \delta W=-pdV\] \item Wärme:\[ \delta Q=TdS\] \item Energie aus Chemischen Potential:\[ \partial E_{c}=\mu dN\] \end{itemize} \subsubsection{Spezielle Relationen} \begin{description} \item [{Duhem-Gipps-Realtion\index{Duhem-Gipps-Realtion}}] $-SdT-Nd\mu+Vdp=0$ \item [{\index{Maxwell-Realtionen}Maxwell-Realtionen}] lassen sich durch das vertauschen der zweiten Ableitungen Thermodynamischer Potentiale erhalten \begin{align*} \left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{S} & =-\left(\frac{\partial p}{\partial S}\right)_{V}\\ \left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_{S} & =\left(\frac{\partial V}{\partial S}\right)_{p}\\ \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{T} & =\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_{V}\\ \left(\frac{\partial S}{\partial p}\right)_{T} & =-\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p}\\ \left(\frac{\partial T}{\partial N}\right)_{S,V} & =\left(\frac{\partial\mu}{\partial S}\right)_{V,N}\\ \left(\frac{\partial p}{\partial N}\right)_{V,S} & =-\left(\frac{\partial\mu}{\partial V}\right)_{S,N}\end{align*} \end{description} \subsection{Thermodynamische Potenziale} \subsubsection{Legendre-Transformation\index{Legendre-Transformation} thermodyn. Potentiale} \begin{description} \item [{Motivation}] $S\left(U,V,N\right)$ oder auch $U\left(S,V,N\right)$ enthält alle Information über System. Gewünscht: Beziehungen, die von den intensiven Variablen abhängen und dieselben Informationen enthalten $\Rightarrow$ Übergang zu Funktionen die von Ableitungen (z.B. $\frac{\partial U}{\partial S}=T$) abhängen. \item [{Allgemeine}] Beschreibung der Legendre-Transformation: $Y\left(X\right)\rightarrow$ Suche Funktion die von $\frac{dY}{dx}=P$ abhängt und die selbe Information enthält. \item [{Notwendige~Vorraussetzung}] zu jedem $\frac{dY\left(x\right)}{dx}=P_{0}$ nur \emph{ein} $x$ (invertierbar auf Definitionsbereich) \end{description} \begin{itemize} \item entspricht: $\frac{dY^{2}}{dx^{2}}\neq0$ auf Definitionsbereich \end{itemize} \begin{description} \item [{eindimenstional}] $\Psi\left(P\right)=Y\left(X\left(P\right)\right)-X\left(P\right)\cdot P$ \item [{Umkehrung}] durch nochmalige Anwendung der Legendre Transformation \item [{mehrdimensional}] $Y\left(X^{\left(1\right)},\ldots,X^{\left(n\right)}\right)$ \end{description} \begin{itemize} \item $P^{\left(i\right)}=\frac{\partial Y}{\partial X^{\left(i\right)}}\Rightarrow X^{\left(i\right)}=X^{\left(i\right)}\left(\left\{ P^{\left(j\right)}\right\} \right)$ \item $\Psi=Y\left(X^{\left(i\right)}\left(\left\{ P^{\left(j\right)}\right\} \right)\right)-\sum_{i}X^{\left(i\right)}\left(\left\{ P^{\left(j\right)}\right\} \right)P^{\left(i\right)}$ \end{itemize} \subsubsection{\index{Potenziale}Potenziale} \begin{description} \item [{\index{Entropie}Entropie}] $S\left(E,N,V\right)$ \end{description} \begin{itemize} \item entspricht mikrokanonischer Gesamtheit, da diese gerade durch $E,N,V$ spezifiziert wird.\[ F\left(T,N,V\right)=k_{B}\ln\Omega\left(E,N,V\right)\] \end{itemize} \begin{description} \item [{Energie\index{Energie}}] $E\left(S,N,V\right)$ erhält man per Freistellen aus $S\left(E,N,V\right)$ \item [{Freie~Energie\index{FreieEnergie}}] $F\left(T,N,V\right)=E-TS$ \end{description} \begin{itemize} \item $dF\left(T,N,V\right)=-SdT-pdV+\mu dN$ \item entspricht kanonischer Gesamtheit, da diese gerade durch $T,N,V$ spezifiziert wird.\[ F\left(T,N,V\right)=-k_{B}T\ln Z_{kan}\left(\beta,N,V\right)\] \end{itemize} \begin{description} \item [{Gibbsches~Potetial\index{GibbschesPotetial}}] $J\left(T,\mu,V\right)=E-TS-\mu N=F-\mu N=-pV$ \end{description} \begin{itemize} \item $dJ\left(T,\mu,V\right)=-SdT-pdV-Nd\mu$ \item entspricht großkanonischer Gesamtheit, da diese gerade durch $T,N,V$ spezifiziert wird.\[ J\left(T,\mu,V\right)=-k_{B}T\ln Z_{grk}\left(\beta,\mu,V\right)\] \end{itemize} \begin{description} \item [{\index{Enthalpie}Enthalpie}] $H\left(S,N,p\right)=E+pV$ \end{description} \begin{itemize} \item $dH\left(S,N,p\right)=TdS+\mu dN+Vdp$ \end{itemize} \begin{description} \item [{\index{freieEnthalpie}freie~Enthalpie}] $G\left(T,N,p\right)=F+pV=H-TS=E-TS+pV=\mu N$ \end{description} \subsection{Materialkonstanten\index{Materialkonstanten}} sind allgemein die zweiten Ableitungen der Thermodynamischen Potentiale. \begin{itemize} \item sind im Allgemeinen bei Fester Teilchenzahl $N$ zu betrachten \end{itemize} \begin{description} \item [{\index{spezifischeWärme}spezifische~Wärme}] gibt an, mit welcher Temperaturänderung $dT$ ein System auf Wärmezufuhr $\delta Q$ reagiert\[ C_{x}=\left(\frac{\delta Q}{dT}\right)_{x}\] wobei $x$ eine oder mehrere Zustandsgrößen angibt, die bei der Wärmezufuhr konstant gehalten werden. \end{description} \begin{itemize} \item Bei konstantem Volumen (und Teilchenzahl)\begin{align*} C_{V} & =\left(\frac{\delta Q}{dT}\right)_{V}\\ & =T\left(\frac{dS}{dT}\right)_{V}\\ & =-T\frac{\partial^{2}F\left(T,N,V\right)}{\partial T^{2}}\\ & =\frac{1}{k_{B}T}\left(\left\langle H^{2}\right\rangle -\left\langle H\right\rangle ^{2}\right)\\ & >0\end{align*} \item Bei konstantem Druck (und Teilchenzahl)\begin{align*} C_{p} & =T\left(\frac{dS}{dT}\right)_{p}\\ & =-T\frac{\partial^{2}G\left(T,N,p\right)}{\partial T^{2}}\end{align*} \end{itemize} \begin{description} \item [{Kompressibilität\index{Kompressibilität}}] gibt welche Druckänderung $dp$ notwendig ist, um eine Volumenänderung $dV$ hervorzurufen \begin{description} \item [{\index{IsothermeKompressibelität}Isotherme~Kompressibelität}] Bei konstanter Themperatur (und Teilchenzahl)\begin{align*} \kappa_{T} & =-\frac{1}{V}\left(\frac{dV}{dp}\right)_{T}\\ & =-\frac{1}{V}\frac{\partial^{2}G\left(T,N,p\right)}{\partial p^{2}}\end{align*} \begin{align*} \frac{1}{\kappa_{T}} & =-V\left(\frac{dp}{dV}\right)_{T}\\ & =V\frac{\partial^{2}F\left(T,N,V\right)}{\partial V^{2}}\end{align*} \item [{adiabatische~Kompressibelität\index{adiabatischeKompressibelität}}] Bei konstanter Entropie (und Teilchenzahl)\begin{align*} \kappa_{S} & =-\frac{1}{V}\left(\frac{dV}{dp}\right)_{S}\\ & =-\frac{1}{V}\frac{\partial^{2}H\left(S,N,p\right)}{\partial p^{2}}\end{align*} \begin{align*} \frac{1}{\kappa_{S}} & =-V\left(\frac{dp}{dV}\right)_{S}\\ & =V\frac{\partial^{2}E\left(S,N,V\right)}{\partial V^{2}}\end{align*} \end{description} \item [{thermischer~\index{Ausdehungskoeffizient}Ausdehungskoeffizient\index{thermischerAusdehungskoeffizient}}] bei vorgegeben Druck (und Teilchenzahl)\begin{align*} \alpha & =\frac{1}{V}\left(\frac{dV}{dT}\right)_{p}\\ & =\frac{1}{V}\frac{\partial^{2}G\left(T,N,p\right)}{\partial T\partial p}\\ & =-\frac{1}{V}\left(\frac{dS}{dp}\right)_{T}\end{align*} \item [{Zusammenhang}] zwischen den Materialkonstanten\[ C_{V}=C_{p}-TV\frac{\alpha^{2}}{\kappa_{T}}\] \end{description} \begin{itemize} \item Ideales Gaß\[ C_{p}-C_{V}=nR>0\] \item Die Maximalanzahl unabhängiger Materialkonstanten ist durch die Maximalanzahl unabhängiger zweiter Ableitungen eines Thermodynamischen Potentials beschränkt, was bei $l$ unabhängigen Extensiven größen genau\[ \frac{l\cdot\left(l+1\right)}{2}\] sind \end{itemize} \begin{description} \item [{Stabilität\index{Stabilität}~eines~Gleichgewichtes}] erfordert, da $S$ ein Maximum ($dS=0$, $d^{2}S<0$) hat. Sei das System in zwei Teilysteme zerteilt, die in Kontakt stehen und beschreiben ihr Gleichgewicht bei dem sich die intensiven Variablen $T,p,\mu$ ausgeglichen haben! \[ d^{2}S=\frac{1}{2T}\sum_{i=1,2}\left(-dT_{i}dS_{i}-d\mu_{i}dN_{i}+dp_{i}dV_{i}\right)\] bei fester Teilchenzahl kann man den folgenden Ausdruck gewinnen \[ d^{2}S=-\frac{1}{2T}\sum_{i=1,2}\left(\frac{C_{V}}{T}\left(dT_{i}\right)^{2}+\frac{1}{V\kappa_{T}}\left(dV_{i}\right)^{2}\right)\] Das bedeutet, das für $d^{2}S<0$ die Materialkonstanten positiv sein müssen\begin{align*} C_{V} & >0\\ \kappa_{T} & >0\end{align*} \end{description} \begin{itemize} \item Die Stabilitätsbedingungen sind echte Kriterien, die nicht automatisch erfüllt sind. Wenn sie auf Grund äußerer Einflüsse einmal nichtmehr gelten sollten, zerfällt das System in mehrere Phasen \item Diese Aussagen sind spezialfälle des: \end{itemize} \begin{description} \item [{Prinzip~von~Chatelier\index{PrinzipvonChatelier}}] Jedes System reagiert auf Veränderungen in einer Weise, die den Ursachen der Änderung entgegengesetzt ist. \end{description} \subsubsection{Jakobideterminanten} Jakobideterminanten sind eine Kompakte Schreibweise für partielle Ableitungen und ein Menge von Rechenregeln auf diesen. Im Folgenden für Funktioenn von 2 veränderlichen. Analog geht die Behandlung für weitere. \begin{description} \item [{Betrachte}] $f=f\left(x,y\right)$ und $g=g\left(x,y\right)$ \item [{\index{Jakobideterminante}Jakobideterminante}] \[ \frac{\partial\left(f,g\right)}{\partial\left(x,y\right)}\equiv\det\left(\begin{array}{cc} \frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y}\\ \frac{\partial g}{\partial x} & \frac{\partial g}{\partial y}\end{array}\right)\] \end{description} \begin{itemize} \item $\frac{\partial\left(f,g\right)}{\partial\left(x,y\right)}=-\frac{\partial\left(g,f\right)}{\partial\left(x,y\right)}=-\frac{\partial\left(f,g\right)}{\partial\left(y,x\right)}$ \end{itemize} \begin{description} \item [{Kettenregel}] es sei $u=u\left(x,y\right)$ und $v=v\left(x,y\right)$, dann gilt\[ \frac{\partial\left(f,g\right)}{\partial\left(x,y\right)}=\frac{\partial\left(f,g\right)}{\partial\left(u,v\right)}\frac{\partial\left(u,v\right)}{\partial\left(x,y\right)}\] falls $f$ und $g$ als Funktionen von $u$ und $v$ angesehen werden. Speziell gilt\[ \frac{\partial\left(u,v\right)}{\partial\left(u,v\right)}=1=\frac{\partial\left(u,v\right)}{\partial\left(x,y\right)}\frac{\partial\left(x,y\right)}{\partial\left(u,v\right)}\] wobei zuerst $x$ und $y$, dann $u$ und $v$ als unabhängig angesehen werden \item [{Anwendung}] \[ C_{V}=T\left(\frac{dS}{dT}\right)_{V}=T\frac{\partial\left(S,V\right)}{\partial\left(T,V\right)}\] \end{description} \subsection{\index{Phasengleichgewichte}Phasengleichgewichte} \begin{description} \item [{Extremalprinzipien\index{Extremalprinzipien}}] zusammengesetzter Systeme \begin{description} \item [{Entropie}] $\Delta S\ge0$ Maximal \item [{Energie}] $\Delta E\le0$ Minimal \item [{Enthalpie}] $\Delta H\le0$ Minimal bei vorgegebenen $S,N,p$ \item [{freie~Enthalpie}] $\Delta G\le0$ Minimal bei vorgegebenen $T,N,p$ \item [{Gibbschen~Potential}] $\Delta J\le0$ Minimal bei vorgegebenen $T,\mu,V$ \end{description} \item [{Latente~Wärme\index{LatenteWärme}}] $Q_{l}\equiv-TN\left(\frac{d\mu_{1}}{dT}-\frac{d\mu_{2}}{dT}\right)=T\cdot\Delta S$ \end{description} \begin{itemize} \item Bei Teilchenzahlerhaltung gewonnen für den Fall das zwei Systeme mit $\mu_{1}\left(T,p\left(T\right)\right)=\mu_{2}\left(T,p\left(T\right)\right)$ in Kontakt stehen \item Latente Wärme $Q_{l}$ ist Erforderlich, um die Phase 1 in die Phase 2 zu überführen. Sie führt nicht zu einer Temperaturerhöhung! \end{itemize} \begin{description} \item [{\index{Clausius-Clapeyron-Gleichung}Clausius-Clapeyron-Gleichung}] beschreibt den Zusammenhang zwischen latenter Wärme, Volumenänderung und Steigung der Phasengrenze im $p,T$ Diagramm \[ \frac{dp}{dT}=-\frac{\left(\frac{d\mu_{1}}{dT}-\frac{d\mu_{2}}{dT}\right)_{p}}{\left(\frac{d\mu_{1}}{dp}-\frac{d\mu_{2}}{dp}\right)_{T}}=\frac{Q_{l}}{T\cdot\Delta V}\] \item [{Phasendiagramm\index{Phasendiagramm}}] ist eine Darstellung des Raumes der intensiven Variablen (typischerweise $T,p$) in dem die unterschiedlichen Phasen und die Übergänge dazwischen eingezeichnet sind \end{description} \subsection{Reversible und irreversible Prozesse} \begin{description} \item [{\index{quasistatischeProzesse}quasistatische~Prozesse}] sind Prozesse die so langsam ablaufen, das die Systeme zu jedem Zeitpunkt hinreichend gut durch Gleichgewichtssysteme beschrieben werden können \item [{irreversible~Prozesse\index{irreversibleProzesse}}] haben zwischen ihrem Anfangs und Enzustand\[ \Delta S>0\] \item [{reversible~Prozesse\index{reversibleProzesse}}] haben zwischen ihrem Anfangs und Enzustand\[ \Delta S=0\] \end{description} \begin{itemize} \item besitzen keine natürliche Richtung des Ablaufs \item haben maximale Arbeitsausbeute beim Transformieren von Wärme in Arbeit \end{itemize} \subsection{Kreisprozesse, Wirkungsgrad, Temperaturskala} \begin{description} \item [{\index{Maschine}Maschine}] ist eine Vorrichtung, die der Umwandlung einer Energieform in eine andere dient, ohne sich dabei selbst zu verändern. \item [{Kreisprozess\index{Kreisprozess}}] ist ein Prozess der nach einer Reihe von Zustandsänderungen wieder bei seinem Anfangszustand zurückkehrt. \end{description} \begin{itemize} \item Is für Maschinen erforderlich \end{itemize} \begin{description} \item [{\index{Wärmekraftmaschine}Wärmekraftmaschine}] $\Sigma$ Umsetzung von Wärme in Arbeit \begin{description} \item [{\index{Wirkungsgrad}Wirkungsgrad}] ist vom System geleistete Arbeit pro dem System zugeführten Wärme\[ \eta=\frac{-\Delta W_{\Sigma}}{\Delta Q_{\Sigma}}\] \end{description} \end{description} \begin{itemize} \item Ist mit zwei Wärmebädern der Temperatur $T_{1}$und $T_{2}$ verbunden ($T_{2}T_{tr}\end{cases}\] \end{description} \begin{itemize} \item Absolute Temperaturskala\[ T\left[^{\circ}C\right]=T\left[K\right]-273,15\] \end{itemize} \begin{description} \item [{\index{Wärmepumpe}Wärmepumpe}] Transport von Wärme aus einem kälteren Reservoir in ein wärmeres. \end{description} \subsection{Hauptsätze der Thermodynamik\index{Hauptsätze der Thermodynamik}} Die klassische Thermodynamik lässt sich auch axiomatisch einführen, durch ein vollständiges Systen von Basissätzen (Hauptsätze der Thermodynamik) und Ableitung der Konsequezen daraus. \begin{description} \item [{Nullter~Hauptsatz}] Sind zwei Systeme im thermischen Gleichgewicht mit einem dritten System, so sind sie auch untereinander im Gleichgewicht (Transitivität des Gleichgewichts) \end{description} \begin{itemize} \item Grundlage für Temperaturmessung \end{itemize} \begin{description} \item [{Erster~Hauptsatz}] Ein System kann durch seine Energie $E$ charakterisiert werden, die für ein isoliertes System konstant ist. Für Zustandsänderungen ändert sich die Energie gemäß\[ dE=\delta W+\delta Q+\delta E_{c}\] \item [{Zweiter~Hauptsatz}] Eine Wärmekraftmaschine hat maximal den Wirkungsgrad $\eta=1-\frac{T^{-}}{T^{+}}$ \item [{Dritter~Hauptsatz}] Wenn die absolute Temperatur gegen Null geht, erreicht die Entropie ihren kleinstmöglichen Wert $S_{0}$, der unabhängig von den Zustandsgrößen des speziellen Systems ist. $S_{0}$ ist nur durch den Entartungsgrad des Zustandes niedrigster Energie bestimmt. \end{description} \begin{itemize} \item Konsequenzen daraus für die \index{Wärmekapazität}Wärmekapazität\begin{align*} \lim_{T\rightarrow0}C_{V} & =0\\ \lim_{T\rightarrow0}C_{p} & =0\end{align*} \end{itemize} \section{\index{Ideale Quantengase}Ideale Quantengase\index{Quantengase}} \subsection{Besetzungszahldarstellung} \begin{description} \item [{\index{Besetzungszahldarstellung}Besetzungszahldarstellung}] $\Psi_{\left\{ n_{\nu}\right\} }$\[ \left\{ n_{\nu}\right\} =\left\{ n_{1},n_{2},\ldots\right\} \] \end{description} \begin{itemize} \item $n_{i}$ Anzahl der Teilchen im Zustand $i$ \item Es ist bei ununterscheidbaren Teilchen für Wellenfunktion und alles andere nicht erforderlich zu wissen welches Teilchen in welchem Zustand ist. \end{itemize} \begin{description} \item [{\index{Fermionen}Fermionen}] können nicht im gleichen Zustand sein\[ n_{\nu}\in\left\{ 0,1\right\} \] \item [{\index{Bosonen}Bosonen}] können sich im gleichen Zustand befinden\[ n_{\nu}\in\mathbb{N}\] \item [{\index{MittlereBesetzungszahl}Mittlere~Besetzungszahl}] \[ \left\langle N\right\rangle =\sum_{\nu}\left\langle n_{\nu}\right\rangle \] \item [{Mittlere~Energie}] \[ \left\langle H\right\rangle =\sum_{\nu}E_{\nu}\left\langle n_{\nu}\right\rangle \] \item [{Gipps-Potential}] \begin{align*} J\left(T,\mu,V\right) & =-pV\\ & =-k_{B}T\ln Z_{grk}\\ & =\pm k_{B}T\sum_{\nu}\ln\left[1\mp e^{-\frac{E_{\nu}-\mu}{k_{B}T}}\right]\end{align*} \end{description} \subsection{Einatomiges verdünntes Gas} \begin{description} \item [{\index{Bosonen}Bosonen}] \[ \ln Z_{grk}^{\left(B\right)}=-\sum_{\nu}\ln\left[1-e^{-\beta\left(E_{\nu}-\mu\right)}\right]\] \begin{description} \item [{Mittlere~Besetzungszahl}] des Zustandes $\nu$\[ \left\langle n_{\nu}^{\left(B\right)}\right\rangle =\frac{1}{e^{\beta\left(E_{\nu}-\mu\right)}-1}\] \end{description} \item [{\index{Fermionen}Fermionen}] \[ \ln Z_{grk}^{\left(F\right)}=+\sum_{\nu}\ln\left[1+e^{-\beta\left(E_{\nu}-\mu\right)}\right]\] \begin{description} \item [{Mittlere~Besetzungszahl}] des Zustandes $\nu$\[ \left\langle n_{\nu}^{\left(F\right)}\right\rangle =\frac{1}{e^{\beta\left(E_{\nu}-\mu\right)}+1}\] \end{description} \item [{Große~Energien}] $E_{\nu}-\mu\gg kT$ \begin{description} \item [{Mittlere~Besetzungszahl}] \[ \left\langle n_{\nu}\right\rangle \approx e^{\beta\mu}e^{-\beta E_{\nu}}\] \end{description} \begin{itemize} \item Boltzmann-Faktor $e^{-\beta E_{\nu}}$ \end{itemize} \item [{Einatomiges~Gas\index{EinatomigesGas}}] d.h. keine inneren Freiheitsgerade, kein Potential da freie Teilchen \[ E_{\nu}=\frac{\hbar^{2}}{2m}\vec{k}^{2}\] \item [{\index{Entartungsgrad}Entartungsgrad}] Entartung der Energienivos \[ g_{I}=2s+1\] \item [{thermische~de~Brogliewellenlänge\index{thermischedeBrogliewellenlänge}}] $\lambda\left(T\right)=\sqrt{\frac{2\pi\hbar^{2}}{mk_{B}T}}$ \item [{Klassischer~Grenzfall}] $\frac{\hbar^{2}\vec{k}^{2}}{2m}-\mu\gg k_{B}T$\[ J\left(T,\mu,V\right)=-g_{I}k_{B}TVe^{\frac{\mu}{k_{B}T}}\lambda^{-3}\left(T\right)\] \end{description} \begin{itemize} \item $pV=Nk_{B}T$ \item $\mu=-k_{B}T\ln\left(\frac{g_{I}V}{\lambda^{3}\left(T\right)N}\right)$ \item $E=\frac{3}{2}Nk_{B}T$ unabhängig von $g_{I}$ \item Geschwindigkeitsverteilung $p\left(\vec{v}\right)d^{3}v=p\left(v_{x}\right)dv_{x}\cdot p\left(v_{y}\right)dv_{y}\cdot p\left(v_{z}\right)dv_{z}$\\ \[ p\left(v_{i}\right)=\left(\frac{m}{2\pi k_{B}T}\right)^{\frac{1}{2}}e^{-\frac{mv_{i}^{2}}{2k_{B}T}}\] \end{itemize} \begin{description} \item [{Korrekturen~durch~QM}] \[ pV=Nk_{B}T\left(1\mp\frac{\lambda^{3}\left(T\right)}{2^{\frac{5}{2}}g_{I}}\frac{N}{V}+\ldots\right)\] \end{description} \begin{itemize} \item $-$Bosonen, $+$Fermionen \item Schwer an realen Gasen beobachtbar, da bei bei kleinen $T$ der Term wegfällt und bei großen $T$ WW eine große Rolle spielen! \end{itemize} \subsection{Entartetes \index{Fermigas}Fermigas} \begin{description} \item [{Grundzustand}] für $T=0$ ist\begin{align*} \lim_{T\rightarrow0}\left\langle n_{s}\left(\vec{k}\right)\right\rangle & =\begin{cases} 1 & \mbox{für }\varepsilon\left(\vec{k}\right)<\mu\\ 0 & \mbox{für }\varepsilon\left(\vec{k}\right)>\mu\end{cases}\\ & =\Theta\left(\mu-\varepsilon\left(\vec{k}\right)\right)\end{align*} \item [{Fermi-Energie\index{Fermi-Energie}}] $\varepsilon_{F}=\mu\left(T=0\right)$ \[ k_{F}=\left(3\pi^{2}\frac{N}{V}\right)^{\frac{1}{3}}\] \item [{\index{Fermi-Temperatur}Fermi-Temperatur}] $\Theta_{F}=\frac{3}{2k_{B}\Omega_{1}\left(\varepsilon_{F}\right)}$ \item [{Freies~Gas}]~ \begin{description} \item [{\index{Fermi-Impuls}Fermi-Impuls}] für $\varepsilon\left(\vec{k}\right)=\frac{\vec{p}^{2}}{2m}$ und für $g_{I}=2$ \[ \varepsilon_{F}=\frac{\vec{p}_{F}}{2m}=\frac{\hbar^{2}k_{F}^{2}}{2m}\] \[ \varepsilon_{F}=\frac{\hbar^{2}}{2m}\left(3\pi^{2}\frac{N}{V}\right)^{\frac{2}{3}}\] \item [{\index{Grundzustandsenergie}Grundzustandsenergie}] \[ E_{0}=\frac{3}{5}N\varepsilon_{F}\] \item [{\index{Fermi-Temperatur}Fermi-Temperatur}] \[ \Theta_{F}=\frac{\varepsilon_{F}}{k_{b}}\] \end{description} \end{description} \subsubsection{Verallgemeinerung der \index{Einteilchenenergie}Einteilchenenergie} \begin{description} \item [{auf~ein~Teilchen~bezogene~\index{Zustandsdichte}Zustandsdichte}] \[ \Omega_{1}\left(\varepsilon\right)=\frac{V}{N}\sum_{s}\int\frac{d^{3}k}{\left(2\pi\right)^{3}}\delta\left(\varepsilon-\varepsilon\left(\vec{k}\right)\right)\] \end{description} \begin{itemize} \item freie Teilchen\[ \Omega_{1}^{frei}=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{\varepsilon}{\varepsilon_{F}^{3}}}\] \item hiermit geht nun\[ \frac{1}{N}\int\frac{d^{3}k}{\left(2\pi\right)^{3}}\cdot f\left(\vec{k}\right)\cdot\left\langle n\left(\vec{k}\right)\right\rangle \rightarrow\int d\varepsilon\cdot f\left(\varepsilon\right)\] \item Allgemein gilt\[ \int_{-\infty}^{\infty}d\varepsilon\Omega_{1}\left(\varepsilon\right)\frac{1}{e^{\frac{\varepsilon-\mu}{k_{B}T}}+1}=1\] \end{itemize} \begin{description} \item [{Chemisches~Potential}] für kleine $T$\[ \mu\left(T\right)\approx\varepsilon_{F}\left(1-\frac{\pi^{2}}{12}\left(\frac{k_{B}T}{\varepsilon_{F}}\right)^{2}+\ldots\right)\] \item [{Energie}] für kleine $T$\[ E\left(T\right)\approx E_{0}+N\frac{\pi^{2}}{4}\frac{k_{B}T^{2}}{\Theta_{F}}\] \end{description} \begin{itemize} \item Spezifische Wärme\[ C_{V}=\frac{\pi^{2}}{2}Nk_{B}\frac{T}{\Theta_{F}}\] \end{itemize} \subsection{\index{Bose-Einstein-Kondensation}Bose-Einstein-Kondensation} \begin{description} \item [{Grundzustand}] für $T=0$\[ \left\langle n_{\nu}\right\rangle =\begin{cases} N_{0} & \nu=0\\ 0 & \mbox{sonst}\end{cases}\] \end{description} \begin{itemize} \item $N_{0}=N\left(T=0\right)$ \item $E_{0}=\mu\left(T=0\right)$ \end{itemize} \begin{description} \item [{Bose-Einstein-Kondensation}] \[ \frac{N_{0}}{V}=\begin{cases} 1-\left(\frac{T}{T_{c}}\right)^{\frac{3}{2}}=1-\frac{n_{c}V}{N} & \mbox{ für }\frac{N}{V}\lambda^{3}\ge\xi\left(1\right)\\ 0 & \mbox{ sonst}\end{cases}\] \end{description} \begin{itemize} \item $\xi\left(1\right)\approx2.612$ \end{itemize} \begin{description} \item [{Kritische~Temperatur\index{KritischeTemperatur}}] ist die Temperatur ab der Bose-Einstein Kondensation stattfindet\[ T_{c}=\left(\frac{N}{V\xi\left(1\right)}\right)^{\frac{2}{3}}\frac{2\pi\hbar^{2}}{mk_{B}}\] \item [{Kritische~Dichte\index{KritischeDichte}}] ab der Bose-Einstein Kondensation stattfindet \[ n_{c}=\frac{\xi\left(1\right)}{\lambda^{3}\left(T\right)}\] \end{description} \subsection{\index{Photonen}Photonen} \begin{description} \item [{Randbedingung}] $\vec{k}\cdot\vec{E}=0$ $\Rightarrow$ $\vec{k}$ hat nur 2 Freiheitsgerade! \end{description} \begin{itemize} \item typisch für Masselose Bosonen mit Spin $1$ \end{itemize} \begin{description} \item [{Einteilchenenergie}] $\varepsilon\left(\vec{k}\right)=\hbar\omega\left(\vec{k}\right)=\hbar c\left|\vec{k}\right|$ \end{description} \begin{itemize} \item ist zweifach entartet \end{itemize} \begin{description} \item [{Freie~Energie}] $F=2k_{B}TV\int\frac{d^{3}k}{\left(2\pi\right)^{3}}\ln\left(1-e^{-\frac{\hbar c\left|\vec{k}\right|}{k_{B}T}}\right)$ \item [{\index{Stefan-Boltzmann-Konstante}Stefan-Boltzmann-Konstante}] $\sigma=\frac{\pi^{2}k_{B}^{4}}{60\hbar^{3}c^{2}}=5,670\cdot10^{-8}Jm^{-2}s^{-1}K^{-4}$ \item [{Entropie}] $S=\frac{16}{3}\frac{\sigma}{c}VT^{4}$ \item [{Energie}] $E=4\frac{\sigma}{c}VT^{4}$ \item [{Druck}] $p=\frac{4}{3}\frac{\sigma}{c}T^{4}$ \item [{Zustandsgleichung}] $p=\frac{1}{3}\frac{E}{V}$ \end{description} \begin{itemize} \item charakteristisch für Bosonen \end{itemize} \begin{description} \item [{\index{Stefan-Boltzmann-Gesetz}Stefan-Boltzmann-Gesetz}] $I=\sigma T^{4}$ \end{description} \begin{itemize} \item Gesamte pro Zeiteinheit und Fläche angestrahlte Energie \item \index{Schwarzkörperstrahler}\emph{Schwarzkörperstrahler} \end{itemize} \begin{description} \item [{Spektrale~Verteilung\index{SpektraleVerteilung}}] der Energie \[ u\left(\lambda\right)d\lambda=\frac{15}{\lambda_{T}\pi^{4}}\frac{E}{V}\left(\frac{\lambda_{T}}{\lambda}\right)^{5}\frac{1}{e^{\frac{\lambda_{T}}{\lambda}}-1}d\lambda\] \end{description} \begin{itemize} \item $\lambda_{T}=\frac{2\pi\hbar c}{k_{B}T}$ die Wellenlänge eine Photons mit Energie $k_{B}T$ \item Maximum liegt bei\[ \lambda_{max}\approx1,265\frac{\hbar c}{k_{B}T}\] \item Schwarzkörperstrahler \item Für $\lambda\gg\lambda_{max}$ erhält man\[ u\left(\lambda\right)d\lambda=\frac{8\pi ck_{B}T}{\lambda^{4}}d\lambda\] \end{itemize} \subsection{Phononen\index{Phononen}} \begin{description} \item [{Phononen}] sind Schwingungsmoden in Festkörpern, der sich als $3N$ harmonische Oszillatoren nähern lässt. \item [{Einteilcheenergie}] $\varepsilon_{\lambda}\left(\vec{k}\right)=\hbar\omega_{\lambda}\left(\vec{k}\right)$ ist abhängig von der Schwingungsrichtung $\lambda$ \item [{erste~Brillouin-Zone}] $\left|\vec{k}\right|\le\frac{\pi}{a}$ für $a$ Abstand der Gitteratome \item [{Zustandsdichte}] $\int d\varepsilon\Omega_{1}\left(\varepsilon\right)=3$ \item [{Grenzfall~kleiner~$\vec{k}$}] gilt für akustische Phononen (bei nur einer Atomsorte sind alle Phononen akustisch) \[ \omega_{\lambda}\left(\vec{k}\right)=c_{\lambda}\left(\vec{e}\right)\left|\vec{k}\right|\] dabei ist $c_{\lambda}\left(\vec{e}\right)$ die Schallgeschwindigkeit fpr Polarisation $\lambda$ und Ausbreitung in Richtung $\vec{e}=\frac{\vec{k}}{\left|\vec{k}\right|}$ \item [{\index{MittlereSchallgeschwindigkeit}Mittlere~Schallgeschwindigkeit}] $\frac{1}{\overline{c}^{3}}=\frac{1}{3}\frac{1}{4\pi}\sum_{\lambda}\int d^{2}\vec{e}\frac{1}{c_{\lambda}^{3}\left(\vec{e}\right)}\approx\frac{1}{3}\left(\frac{1}{c_{L}^{3}}+\frac{2}{c_{T}^{3}}\right)$ \item [{Einteilchenenergie}] bei kleinen $T$ $\frac{E}{N}\approx6\sigma_{ph}\frac{1}{\overline{c}}VT^{4}$ \end{description} \begin{itemize} \item $\sigma_{ph}=\frac{\pi^{2}k_{B}^{4}}{60\hbar^{3}\overline{c}^{2}}$ \end{itemize} \begin{description} \item [{Spezifische~Wärme}] $C_{V}=24\sigma_{ph}\frac{1}{\overline{c}}VT^{3}$ bei kleinen $T$ \end{description} \begin{itemize} \item bei Isolatoren! ansonsten tragen bei Metalle bei Leitungselektronen mit $\sim T$ dazu stärker bei! (entartetes Fermigas) \end{itemize} \begin{description} \item [{\index{Debye-Näherung}Debye-Näherung}] $\Omega_{1}\left(\varepsilon\right)=\frac{3V}{2\pi^{2}\hbar^{3}N\overline{c}^{3}}\varepsilon^{2}\Theta\left(\varepsilon_{D}-\varepsilon\right)$ \begin{description} \item [{Debye-Energie}] $\varepsilon_{D}$ \item [{Debye-Temperatur}] $\Theta_{D}=\frac{\varepsilon_{D}}{k_{B}}=\left(\frac{6\pi^{2}N}{V}\right)^{\frac{1}{3}}\frac{\hbar\overline{c}}{k_{B}}$ \item [{Spezifische~Wärme}] $C_{V}^{\left(D\right)}\approx3Nk_{B}$ für $T\gg\Theta_{D}$ \end{description} \end{description} \section{\index{Reale Gase}Reale Gase} Berücksichtigt die Wechselwirkung zwischen den Teilchen. \subsection{Virialentwicklung} \begin{description} \item [{Virialentwicklung\index{Virialentwicklung}}] ist eine Entwicklung der Zustandsgleichung in Potenzen der Dichte $n=\frac{N}{V}$\[ \frac{pV}{Nk_{B}T}=1+B_{2}\left(T\right)n+B_{3}\left(T\right)n^{2}+\ldots\] \end{description} \begin{itemize} \item Die $B_{i}$ werden Vifialkoeffizienten bezeichnet \end{itemize} \begin{description} \item [{\index{Fugizität}Fugizität}] $y=e^{\beta\mu}$ ist für niedrige dichten und hohe Temperaturen $\ll1$ \end{description} \begin{itemize} \item Ideales Gas $e^{\beta\mu}=\frac{\lambda^{3}}{g_{I}}n$ mit $\lambda\left(T\right)=\sqrt{\frac{2\pi\hbar^{2}}{mk_{B}T}}$ \end{itemize} \begin{description} \item [{Gibbsches~Potential}] soll entwickelt werden\begin{align*} J\left(T,\mu,V\right) & =-pV\\ & =-k_{B}T\ln\mbox{Tr}e^{-\beta\left(H-\mu N\right)}\\ & =-k_{B}T\ln\sum_{N}e^{\beta\mu N}z_{N}\\ & \approx-k_{B}T\left(z_{1}y+\left(z_{2}-\frac{z_{1}^{2}}{2}\right)y^{2}+\ldots\right)\end{align*} \end{description} \begin{itemize} \item $Z_{N}=$ Kanonische Zustandssumme für den Fall für $N$ Teilchen \item $B_{2}=-\left(z_{2}-\frac{z_{1}^{2}}{2}\right)\frac{V}{z_{1}^{2}}=-\frac{1}{2}\int d^{3}r\left(e^{-\frac{W\left(\left|\vec{r}\right|\right)}{k_{B}T}}-1\right)$ \item $z_{1}=V\left(2\pi mk_{B}T\right)^{\frac{3}{2}}$ \item $z_{2}=\frac{1}{2}z_{1}^{2}\frac{1}{V}\int d^{3}re^{-\frac{W\left(\left|\vec{r}\right|\right)}{k_{B}T}}$\\ $W\left(\left|\vec{r}\right|\right)=$2-Teilchen WW-Potential \item Für $W\left(r\right)=\begin{cases} \infty & \mbox{für }r