Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie

Definitionen

Sei $\Omega$ eine höchstens abzählbare Menge (d.h. es gibt eine surjektive Abbildung $f:\mathbb{N}\rightarrow\Omega$) und sei $P:\mathcal{P}\left(\Omega\right)\rightarrow\left[0,1\right]$ ($P$ von Probability = Wahrscheinlichkeit) eine Abbildung mit den Eigenschaften:

• $P\left(\Omega\right)=1$
• $P$ ist additiv auf disjunkten Mengen:
  $P\left(\dot{\cup}_{n\geq0}A_{n}\right)=\sum_{n\geq0}P\left(A_{n}\right)$

Dann heißt $\left(\Omega,P\right)$ ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum (endlicher Wahrscheinlichkeitsraum, falls $\Omega$ endlich), und $P$ heißt die Wahrscheinlichkeitsverteilung auf $\Omega$. $P\left(A\right)$ nennen wir die Wahrscheinlichkeit von $A$.

Wir nennen $A\in\mathcal{P}\left(\Omega\right)$ ein Ereignis in $\Omega$, und falls $\left\vert A\right\vert=1$, Elementarereignis.

$\bar{A}=\Omega\backslash A$ heißt Gegenereignis zu $A$.

$\emptyset$ heißt unmögliches Ereignis und $\Omega$ sicheres Ereignis.

• $A\subseteq B\subseteq\Omega:$
  • $P\left(B\backslash A\right)=P\left(B\right)-P\left(A\right)$
  • $P\left(A\right)\leq P\left(B\right)$
• $P\left(\bar{A}\right)=1-P\left(A\right)$
• $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$

Laplacescher Wahrscheinlichkeitsraum

$\left(\Omega,P\right)$ heißt Laplacescher Wahrscheinlichkeitsraum, falls $\left\vert\Omega\right\vert<\infty$ und $\forall_{\mathcal{P}\left(\Omega\right)}^{A}:P\left(A\right)=\frac{\left\vert A\right\vert}{\left\vert\Omega\right\vert}$.

• insbesondere $\forall_{\Omega}^{w}:P\left(\left\{ w\right\} \right)=\frac{1}{\left\vert\Omega\right\vert}$

bedingte Wahrscheinlichkeit

Sei $\left(\Omega,P\right)$ ein diskreter W-Raum, $A,B\subseteq\Omega$, $P\left(B\right)>0$.

$$P_{B}\left(A\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}=\frac{P_{A}\left(B\right)P\left(A\right)}{P\left(B\right)}$$

heißt bedingte W-keit von $A$ bezüglich $B$ (d.h. die W-keit von $A$, falls man schon weiß, dass $B$ erfüllt ist).

• $\left(\Omega,P\right)$ ein diskreter W-Raum, $A_{1},\ldots,A_{n}\subseteq\Omega$, $P\left(A_{1}\cap\ldots\cap A_{n-1}\right)>0$.

$$P\left(A_{1}\cap\ldots\cap A_{n}\right)=P\left(A_{1}\right)\prod_{i=2}^{n}P_{A_{1}\cap\ldots\cap A_{i-1}}\left(A_{i}\right)$$

Formel von der vollständigen Wahrscheinlichkeit

$\left(\Omega,P\right)$ ein diskreter W-Raum, $A_{1},\ldots,A_{n}\subseteq\Omega$ mit $\Omega=A_{1}\dot{\cup}A_{2}\dot{\cup}\ldots\dot{\cup}A_{n}$, P $\left(A_{i}\right)>0$, $B\subseteq\Omega$ mit $P\left(B\right)>0$. Dann:

$$P\left(B\right)=\sum_{i=1}^{n}P\left(A_{i}\right)P_{A_{i}}\left(B\right)$$

$$P_{B}\left(A_{i}\right)=\frac{P\left(A_{i}\right)P_{A_{i}}\left(B\right)}{\sum_{i=1}^{n}P\left(A_{i}\right)P_{A_{i}}\left(B\right)}$$

• Für $n=2$:
  $P\left(B\right)=P\left(A\right)P_{A}\left(B\right)+P\left(\bar{A}\right)P_{\bar{A}}\left(B\right)$