Unabhängigkeit und Wahrscheinlichkeitsverteilung

Definition

Sei $\left(\Omega,P\right)$ ein diskreter W-Raum. Wir nennen zwei Ereignisse $A,B\subseteq\Omega$ unabhängig voneinander, falls $P\left(B\right)=0$ oder $P\left(A\right)=P_{B}\left(A\right)$. Diese Aussage ist Äquivalent zu $P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)P\left(B\right)$.

Allgemein heißen $A_{1},A_{2},\ldots,A_{n}\subseteq\Omega$ unabhängig voneinander, falls für alle $\left\{ i_{1},\ldots,i_{k}\right\} \subseteq\left\{ 1,\ldots,n\right\}$ mit $k\geq2$ gilt:

$$P\left(A_{i_{1}}\cap\ldots\cap A_{i_{k}}\right)=\prod_{j=1}^{k}P\left(A_{i_{j}}\right)$$

Eine Verteilungsfunktion $P^{n}:\Omega^{n}\rightarrow\left[0,1\right]$ die jedem $\left(A_{1},\ldots,A_{n}\right)\mapsto P^{n}\left(\left(A_{1},\ldots,A_{n}\right)\right)=\prod_{i=1}^{n}P\left(A_{i}\right)$ Tupel von Ereignissen eine Wahrscheinlichkeit zuordnet.

Binomialverteilung

Wir betrachten $\Omega=\left\{ 0,1\right\}$ mit $P\left(0\right)=p$ und $P\left(1\right)=1-p$. Die Binomialverteilung

$$b_{n,p}\left(k\right)=\left({{n\atop k}}\right)p^{k}\left(1-p\right)^{n-k}$$

gibt an, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, das bei $n$-maligen Wiederholen genau $k$-mal ein Ereigniss mit der Wahrscheinlichkeit $p$ auftritt.

• z.B. 10-maliger Münzwurf. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das genau 7 Mal Zahl kommt: $b_{10,\frac{1}{2}}\left(7\right)$
• ist bezüglich verschiedenen $k$ disjunkt
• $E\left(X\right)=np$
• $V\left(X\right)=np\left(1-p\right)=npq$

Hypergeometrische Verteilung

Situation: Urne mit $n$ Kugeln, davon seien $n_{1}$ ausgezeichnet. Wir ziehen $r$ Kugeln $\left(r\leq n\right)$. Wie viele dieser $r$ Kugeln gehören zu den $n_{1}$ ausgezeichnet?

$$h_{n,n_{1},r}\left(k\right)=\frac{\left({{n_{1}\atop k}}\right)\left({{n-n_{1}\atop r-k}}\right)}{\left({{n\atop r}}\right)}$$

• ist bezüglich verschiedenen $k$ disjunkt
• Bei großen Zahlen $\left(r\ll n_{1}\right)$ lässt sich $h_{n,n_{1},r}\left(k\right)\approx b_{r,\frac{n_{1}}{n}}\left(k\right)$ annähern
• $E\left(X\right)=\frac{n_{1}}{n}r$