Erwartungswert und Varianz

Zufallsvariable

Eine Zufallsvariable ist eine Funktion $X:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$.

Erwartungswert

Sei $\left(\Omega,P\right)$ ein diskreter W-Raum. Eine Zufallsvariable $X:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ gibt den Ausgang eines Zufallsexperiments in $\Omega$ an. Sie besitzt die Wertemenge $W=\left\{ X\left(a\right)\vert a\in\Omega\right\}$.

Der Erwartungswert von $X$ ist

$$E\left(X\right) = \sum_{\mathrm{Werte}\ x\ \mathrm{von}\ X}x\ P\left(X\ \mathrm{nimmt}\ x\ \mathrm{an}\right)$$

$$= \sum_{x}x\ P\left(X=x\right)$$

$$= \sum_{x\in W}x\ P\left(X^{-1}\left(x\right)\right)$$

• $E\left(E\left(X\right)\right)=E\left(X\right)$
• $E\left(aX+b\right)=aE\left(X\right)+b\quad\left(a\neq0\right)$
• $E\left(X_{1}+X_{2}\right)=E\left(X_{1}\right)+E\left(X_{2}\right)$
• Wenn $X_{1},X_{2}$ unabhängig sind:
  $E\left(X_{1}X_{2}\right)=E\left(X_{1}\right)E\left(X_{2}\right)$

Varianz

Sei $\left(\Omega,P\right)$ ein diskreter W-Raum. Eine Zufallsvariable $X:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ gibt den Ausgang eines Zufallsexperiments in $\Omega$ an. Sie besitzt die Wertemenge $W=\left\{ X\left(a\right)\vert a\in\Omega\right\}$.

Die Varianz von $X$ ist

$$V\left(X\right) = E\left(\left(X-E\left(X\right)\right)^{2}\right)$$

$$= E\left(X^{2}\right)-\left(E\left(X\right)\right)^{2}$$

• $V\left(aX+b\right)=a^{2}V\left(X\right)\quad\left(a\neq0\right)$
• Wenn $X_{1},X_{2}$ unabhängig sind:
  $V\left(X_{1}+X_{2}\right)=V\left(X_{1}\right)+V\left(X_{2}\right)$