Mengen

Eine Menge ist die Gesamtheit einer Zahl von Objekten unserer Anschauung oder Intuition (nach dem Mathematiker Cantor)). Die Objekte heißen Elemente und wir schreiben $a\in M$ ($a$ ist Element der Menge $A$) bzw. $a\notin A\Leftrightarrow\neg\left(a\in M\right)$.

Beschreibung

Aufzählung

$W=\left\{ Montag,Dienstag,\ldots\right\}$

Beschreibung

$\mathbb{Z}=$Menge der ganzen Zahlen

Auswahl

$M=\left\{ x\in\mathbb{Z}\vert x\; ist\; gerade\right\}$

• $\vert$ mit der Eigenschaft

Standardmengen

• Leere Menge
  $\textrm{Ø}=\{\}$
• Natürlichen Zahlen
  $\mathbb{N}=\left\{ 1,2,3,\ldots\right\}$
  • Natürlichen Zahlen mit 0
    $\mathbb{N}_{0}=\left\{ 0,1,2,3,\ldots\right\}$
• Ganzen Zahlen
  $\mathbb{Z}=\left\{ \ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\right\}$
• Rationalen Zahlen
  $\mathbb{Q}=\left\{ \frac{p}{q}\vert p\in\mathbb{Z}\wedge q\in\mathbb{N}\right\}$
• Reellen Zahlen
  $\mathbb{R}=\left\{ \textrm{jeder\ Punkt\ auf\ dem\ Zahlenstrahl}\right\}$
  • positiven reellen Zahlen
    $\mathbb{R}_{>0}=\left\{ x\in\mathbb{R}\vert x>0\right\}$
• Komplexen Zahlen
  $\mathbb{Z}=\left\{ x+iy\vert x,y\in\mathbb{R},\; i=\sqrt{-1}\right\}$
• $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$

Intervalle

• offenes Intervall
  $\left(a,b\right):=\left\{ x\in\mathbb{R}\vert a<x<b\right\}$
• halboffenes Intervall
  $\left(a,b\right]:=\left\{ x\in\mathbb{R}\vert a<x\leq b\right\}$ bzw. $(a,b($
  $\left[a,b\right):=\left\{ x\in\mathbb{R}\vert a\leq x<b\right\}$ bzw. $)a,b)$
• abgeschlossenes Intervall
  $\left[a,b\right]:=\left\{ x\in\mathbb{R}\vert a<x<b\right\}$ bzw. $)a,b($

Operationen

• Gleichheit
  $A=B\Leftrightarrow\left(A\subseteq B\wedge B\subseteq A\right)\Leftrightarrow\left(x\in A\Leftrightarrow x\in B\right)$
• Teilmenge
  $A\subseteq B\Leftrightarrow(x\in A\Rightarrow x\in B)$
• echte Teilmenge
  $A\subsetneq B\Leftrightarrow\left(A\subseteq B\wedge A\neq B\right)$
• Vereinigung
  $A\cup B=\left\{ x\vert x\in A\vee x\in B\right\}$
• Disjunkte Vereinigung
  $A\ \dot{\cup}\ B=\left(A\cup B\right)\backslash\left(A\cap B\right)$
• Schnitt
  $A\cap B=\left\{ x\vert x\in A\wedge x\in B\right\}$
• Ohne (Differenz)
  $A\backslash B=\left\{ x\vert x\in A\vee x\notin B\right\}$
• symmetrische Differenz
  $A\Delta B=\left(A\cup B\right)\backslash\left(A\cap B\right)$
• geordnete Paare
  $A\times B=\left\{ \left(x,y\right)\vert x\in A\wedge y\in B\right\}$
• Potenzmenge
  $\mathcal{P}\left(M\right)=\left\{ A\vert A\subseteq M\right\}$
• Komplementärmenge
  für $A\subseteq M$ ist $\bar{A}=\left\{ x\in M\vert x\notin A\right\}$
• Anzahl der Elemente
  $\left\vert M\right\vert=$Anzahl der Elemente von $M$

Rechenregeln

• Kommutativgesetz
  $A\cup B=B\cup A$
  $A\cap B=B\cap A$
  $A\Delta B=B\Delta A$
• Assoziativgesetz
  $A\cup\left(B\cup C\right)=\left(A\cup B\right)\cup C$
  $A\cap\left(B\cap C\right)=\left(A\cap B\right)\cap C$
  $A\Delta\left(B\Delta C\right)=\left(A\Delta B\right)\Delta C$
• Distributivgesetz
  $A\cup\left(B\cap C\right)=\left(A\cup B\right)\cap\left(A\cup C\right)$
  $A\cap\left(B\cup C\right)=\left(A\cap B\right)\cup\left(A\cap C\right)$
• De Morgan
  $\overline{A}\cap\overline{B}=\overline{A\cup B}$
  $\overline{A}\cup\overline{B}=\overline{A\cap B}$
• doppelt invers
  $\overline{\overline{A}}=A$
• neutrales Element
  $A\cup\textrm{Ø}=A$
  $A\cap\textrm{Ø}=\textrm{Ø}$
• inverses Element
  $A\cap\overline{A}=\textrm{Ø}$
  $A\cup\overline{A}=$Grundmenge