Abbildungen

Eine Abbildung ist eine eindeutige Zuordnung, d.h. zu jedem Urbild wird genau ein Bild zugeordnet.

Mengen

$f:\mathbb{V}\rightarrow\mathbb{W}$
$f:$ Urmenge $\rightarrow$ Bildmenge

Elemente von Mengen

$a\mapsto f\left(a\right)$
$f:$ Urbild $\mapsto$ Bild

injektiv

wenn es zu jedem unterschiedlichen Urbild auch unterschiedliche Bilder gibt.

$$a\neq b\Rightarrow f\left(a\right)\neq f\left(b\right)$$

• $f$ injektiv $\Leftrightarrow f^{-1}\left(f\left(a\right)\right)=a$
• $f:A\rightarrow B$ injektiv $\Rightarrow$ $\left\vert A\right\vert\leq\left\vert B\right\vert$
  • durch Einschränken von $B$ kann $f$ bijektiv gemacht werden

surjektiv

heißt eine Abbildung $f:A\rightarrow B$, wenn es zu jedem Element aus dem Bildraum auch mindestens ein passendes Urbild gibt.

$$\forall_{B}^{b}:\exists_{A}^{a}:f\left(a\right)=b$$

• $f$ surjektiv $\Leftrightarrow f\left(f^{-1}\left(b\right)\right)=b$
• $f:A\rightarrow B$ surjektiv $\Rightarrow$ $\left\vert A\right\vert\geq\left\vert B\right\vert$

bijektiv

ist eine Abbildung $f$, wenn sie surjektiv und injektiv ist. Dies sind 1:1 - Abbildungen.

• Bei endlichen Mengen:
  $f:A\rightarrow B$ bijektiv (surjektiv & injektiv) $\Rightarrow\left\vert A\right\vert=\left\vert B\right\vert$
• es existiert bei bijektiven Abbildungen eine Umkehrabbildung.

isomorph

Eine Abbildung $f$ heißt isomorph, wenn sie bijektiv und linear ist. (entspricht Umbenennung der Elemente)