%% LyX 1.3 created this file. 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Jürgen Leohold an der Universität Kassel im Wintersemester 2003/04 und Sommersemester 2004. Die folgende Formelsammlung steht zum kostenlosen Download zur Verfügung. Das Urheberrecht und sonstige Rechte an dem Text verbleiben beim Verfasser, der keine Gewähr für die Richtigkeit und Vollständigkeit der Inhalte übernehmen kann. \tableofcontents{} Die hinter den Überschriften angegebenen Nummern beziehen sich auf die Bücher {}``Grundgebiete der Elektrotechnik I-II'' von H. Clausert / G. Wiesemann (8. Auflage). Die römische Ziffer gibt die Buchnummer, und die arabische die Seitenzahl an. Z.B. II.45 bedeutet Band II Seite 45. \section{Konventionen} \subsection{Einheiten\index{Einheiten}} Alle Einheiten lassen sich auf die 7 SI-Basiseinheiten\index{Si-Basiseinheiten}\index{Basiseinheiten}\index{Einheiten!SI-B.} (System International) zurückführen. Dies sind: Länge~(m), Masse~(kg), Zeit~(s), Stromstärke~(A), Temperatur~(K), Stoffmenge~(Mol) und die Lichtstärke~(cd). Eine ausführliche Auflistung finden sie in Tabelle \vref{cap:Einheiten}. % \begin{table}[H] \caption{\label{cap:Einheiten}Einheiten} \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline Grösse\index{Grössen}& Formel-Buchstabe& Einheit& Einheit-Name\tabularnewline \hline \hline Länge& l& m& Meter\tabularnewline \hline Masse& m& kg& KiloGramm\tabularnewline \hline Zeit& t& s& Sekunde\tabularnewline \hline Stromstärke& I, i(t)& A& Ampere\tabularnewline \hline Temperatur& T, $\vartheta$& °C& Grad-Zelsius\tabularnewline & & K& Grad-Kelvin\tabularnewline \hline Stoffmenge& m& Mol& mol\tabularnewline \hline Lichtstärke& & cd& Candela\tabularnewline \hline \hline el. Ladung& Q& $C=As$& Culomb\tabularnewline \hline el. Spannung& U, u(i)& $V=\frac{J}{C}=\frac{m^{2}kg}{s^{3}A}$& Volt\tabularnewline \hline el. Widerstand& R& $\Omega=\frac{1}{S}=\frac{V}{A}=\frac{m^{2}kg}{s^{3}A^{2}}$& Ohm\tabularnewline \hline el. Leitwert& G& $S=\frac{1}{\Omega}=\frac{A}{V}=\frac{s^{3}A^{2}}{m^{2}kg}$& Siemens\tabularnewline \hline mag. Fluß& $\phi$& $W_{b}=Vs=\frac{m^{2}kg}{s^{2}A}$& Weber\tabularnewline \hline mag. Flußdichte& B& $T=\frac{Vs}{m^{2}}=\frac{kg}{s^{2}A}$& Tesler\tabularnewline \hline mag. Feldstärke& H& $\frac{A}{m}$& \tabularnewline \hline Induktivität& L& $H=\Omega s=\frac{Vs}{A}=\frac{m^{2}kg}{s^{2}A}$& Henry\tabularnewline \hline Leistung& P& $W=VA=\frac{m^{2}kg}{s^{3}}$& Watt\tabularnewline \hline Energie& W& $J=Ws=Nm=\frac{m^{2}kg}{s^{2}}$& Joule\tabularnewline \hline el. Kapazität& C& $F=\frac{s}{\Omega}=\frac{C}{V}=\frac{As}{V}=\frac{A^{2}s^{4}}{m^{2}kg}$& Farrad\tabularnewline \hline Geschwindigkeit& v& $\frac{m}{s}$& \tabularnewline \hline Beschleunigung& a& $\frac{m}{s^{2}}$& \tabularnewline \hline Kraft& F& $N=\frac{mkg}{s^{2}}$& Newton\tabularnewline \hline \end{tabular} \end{table} \subsection{Vorsatzzeichen\index{Vorsatzzeichen}} Siehe Tabelle \vref{cap:Forsatzzeichen-und-Abk=FCrzungen}. % \begin{table}[h] \caption{\label{cap:Forsatzzeichen-und-Abk=FCrzungen}Vorsatzzeichen und Abkürzungen\index{Abkürzungen}} \begin{tabular}{|c|c|c||c|c|c|} \hline da& Deka& $10^{1}$& d& Dezi& $10^{-1}$\tabularnewline \hline h& Hekto& $10^{2}$& c& Zenti& $10^{-2}$\tabularnewline \hline k& Kilo& $10^{3}$& m& Milli& $10^{-3}$\tabularnewline \hline M& Mega& $10^{6}$& $\mu$& Mikro& $10^{-6}$\tabularnewline \hline G& Giga& $10^{9}$& n& Nano& $10^{-9}$\tabularnewline \hline T& Tera& $10^{12}$& p& Piko& $10^{-12}$\tabularnewline \hline P& Peta& $10^{15}$& f& Femto& $10^{-15}$\tabularnewline \hline E& Exa& $10^{18}$& a& Atto& $10^{-18}$\tabularnewline \hline Z& Zetta& $10^{21}$& z& Zepto& $10^{-21}$\tabularnewline \hline Y& Yotta& $10^{24}$& y& Yocto& $10^{-24}$\tabularnewline \hline \end{tabular} \end{table} \subsection{Gleichungen\index{Gleichungen} \textsf{\textmd{\small I.15}}} \begin{itemize} \item Größengleichungen\index{Größengleichungen}\index{Gleichungen!Größen}\begin{eqnarray*} \underbrace{a}= & \underbrace{\left\{ a\right\} } & \underbrace{\left[a\right]}\\ \mathrm{Formelzeichen} & \mathrm{Zahl} & \mathrm{Einheit}\end{eqnarray*} \index{Formelzeichen}\index{Zahl}\index{Einheit} \begin{itemize} \item Jeder Wert beseht aus Zahl und Einheit \item Sicherer da man Fehler an falschen Einheiten erkennen kann \item z.B. $P=UI=220V\cdot15A=3300VA=3300W$ \end{itemize} \item Zahlenwertgleichungen\index{Zahlenwertgleichungen}\index{Gleichgunen!Zahlenwert} \begin{itemize} \item z.B. $W=4,186\cdot c\cdot m\cdot\Delta\vartheta$ wenn $C$ in $\frac{cal}{g\cdot k}$, $m$ in $kg$, $\Delta\vartheta$ in $K$ \item nicht benutzt, da Probleme mit Einheiten / in richtiger Dimension (mm,cm,m,km,...) \end{itemize} \item Zugeschnittene Größengleichungen\index{Zugeschnittene Größengleichungen}\index{Gleichungen!Zugeschnittene Größen} \begin{itemize} \item z.B. $\frac{W}{Ws}=\frac{4,186\cdot c\cdot m\cdot\Delta\vartheta}{cal}$ \item selten benutzt, aber sicherer als Zahlenwertgleichungen, da Einheiten mit benutzt werden \end{itemize} \end{itemize} \section{Physikalische Grundlagen\index{Grundlagen}\index{Physikalische Grundlagen} \textsf{\textmd{\small I.17}}} \subsection{Elektrische Ladung\index{Ladung} \textsf{\textmd{\small I.17}}} \begin{itemize} \item Ladung $Q=ne=\int_{t_{1}}^{t_{2}}i\left(t\right)dt$ \begin{itemize} \item $n$ Anzahl der Elektronen \item Elementarladung $e=1,6022\cdot10^{-19}As$ \end{itemize} \end{itemize} \subsection{Elektrischer Strom\index{Strom} \textsf{\textmd{\small I.17}}} \begin{itemize} \item Gleichstrom\index{Gleichstrom}\index{Strom!Gleich} $I=\frac{Q}{t}=\frac{U}{R}$ \item Wechselstrom\index{Wechselstrom}\index{Strom!Wechsel} $i\left(t\right)=\frac{dQ}{dt}$ \begin{itemize} \item Bezogen auf Querschnitt \end{itemize} \item Stromrichtung\index{Stromrichtung} \begin{itemize} \item Technisch\index{Technische Stromrichtung}\\ Richtung von positiven Ladungsträgern ($+\rightarrow-$) \item Physikalisch\index{Physikalisch Stromrichtung}\\ Richtung von Elektronen ($-\rightarrow+$) \end{itemize} \end{itemize} \subsection{Elektrische Spannung\index{Spannung}\index{Potential} \textsf{\textmd{\small I.21}}} \begin{itemize} \item Potentialdifferenz $W_{A}-W_{B}=U_{AB}\cdot q$ \item Spannung $U_{AB}=\frac{W_{A}-W_{B}}{q}=RI$ \item Zählpfeilsysteme\index{Zählpfeilsysteme} (Spannungsrichtung) \begin{itemize} \item Verbraucher Zählpfeilsystem\index{Verbraucher Zählpfeilsystem} \begin{itemize} \item Bei Widerständen in Stromrichtung \item Bei Quellen gegen Stromrichtung \end{itemize} \item Erzeuger Zählpfeilsystem\index{Erzeuger Zählpfeilsystem} \begin{itemize} \item Bei Widerständen in Stromrichtung \item Bei Quellen gegen Stromrichtung \item Früher {}``EMK\index{EMK}''-Elektro Motorische Kraft abgekürzt \end{itemize} \end{itemize} \end{itemize} \subsection{Elektrische Widerstand\index{Widerstand} \textsf{\textmd{\small I.22}}} \begin{itemize} \item Linearer Widerstand $R=\frac{U}{I}$ \item differenzieller Widerstand\index{Widerstand!differenzieller} $r=\frac{dU}{dI}$ \begin{itemize} \item z.B. bei Halbleitern \end{itemize} \item Leitwert\index{Leitwert} $G=\frac{1}{R}$ \item Materialwiderstand\index{Widerstand!Material} $R=\frac{l\rho}{A}=\frac{l}{A\gamma}$ \begin{itemize} \item Wenn Strom gleichmäßig im Material fließt \item $A$ Querschnittfläche \item $l$ Leiter Länge \item $\rho$ spezifischer Materialwiderstand $\left[\rho\right]=\Omega m$ \item $\gamma$ spezifischer Materialleitwert $\left[\gamma\right]=\frac{S}{m}$ \end{itemize} \item Temperaturabhängiger\index{Widerstand!Themperaturabhängiger} Widerstand \\ $R=R_{20}\left(1+\alpha_{20}\left(\frac{\vartheta}{°C}-20\right)K+\beta_{20}\left(\frac{\vartheta}{°C}-20\right)^{2}K^{2}+\ldots\right)$ \begin{itemize} \item $R_{20}$ Wiederstand bei Raumtemperatur \item $\alpha_{20},\beta_{20},\ldots$ Temperaturkoeffizienten (Materialkonstanten) \item Die Formel kann nach einem beliebigen Koeffizienten als Näherung abgebrochen werden \end{itemize} \end{itemize} \subsection{Energie\index{Energie} (Arbeit\index{Arbeit}) \textsf{\textmd{\small I.24}}} \begin{itemize} \item Zeitl. Konstant $W=QU=UIt$ \item Zeitl. Veränderlich $W=\int_{t_{1}}^{t_{2}}u\left(t\right)i\left(t\right)dt$ \item Energiewirkungsgrad $\eta_{W}=\frac{W_{N}}{W_{G}}=\frac{\textrm{genutzte Energie}}{\textrm{aufgewandte Energie}}$\index{Wirkungsgrad!Energie} \end{itemize} \subsection{Leistung\index{Leistung} \textsf{\textmd{\small I.24}}} \begin{itemize} \item Zeitl. Konstant $P=\frac{W}{t}=UI=\frac{U^{2}}{R}=I^{2}R$ \item Zeitl. Veränderlich $P=\frac{dW}{dt}=u\left(t\right)i\left(t\right)$ \item Leistungswirkungsgrad\index{Wirkungsgrad!Leistung} $\eta_{P}=\frac{P_{N}}{P_{G}}=\frac{\textrm{genutzte Leistung}}{\textrm{aufgewandte Leistung}}$ \begin{itemize} \item Wenn zeitlich nicht veränderlich $\Rightarrow\eta_{w}=\eta_{P}$ \end{itemize} \end{itemize} \section{Widerstandsnetzwerk\index{Netzwerk}\index{Widerstandsnetzwerke} \textsf{\textmd{\small I.26}}} \subsection{\label{sub:Definitionen}Netzwerk Strukturen\index{Strukturen}\index{Netzwerk!Strukturen} \textsf{\textmd{\small I.88}}} \begin{description} \item [Knoten\index{Knoten}]Ein Knoten ist ein Punkt in dem sich mehrere Leitungen (mindestens~3), und damit auch Ströme, treffen. \item [Großknoten\index{Großknoten}]Ein Großknoten ist ein Ausschnitt aus einem Netzwerk. Hier sind alle mit diesem Ausschnitt verbundenen Leitungen zu berücksichtigen \item [Umlauf\index{Umlauf}]Ein Umlauf ist ein geschlossener Pfad in einem Netzwerk, bei dem man sich nur über Spannungspfeile und Leiterbahnen bewegen darf (über jedem Bauteil ist eigentlich ein Spannungspfeil\index{Spannungspfeil}, auch wenn er nicht immer gezeichnet ist). \item [Masche\index{Masche}]Ein Masche ist ein spezieller Umlauf, bei dem innerhalb des Umlaufes keine weiteren Spannungspfeile (Leitungen) liegen. Maschen sind bei einer Schaltung nicht eindeutig, sondern hängen von der Struktur der Zeichnung ab. \item [Baum\index{Baum}]Unter einem Baum verstehen wir hier die Abstrahierung der Struktur eines Netzwerkes als \emph{Linienkomplex}\index{Linienkomplex}. Bei einem Baum werden alle Knoten aus dem Netzwerk übernommen. Allerdings sind hier die Knoten mit sogenannten \emph{Zweigen}\index{Zweig}, auf die gleiche Weise wie im Netzwerk, verbunden. \item [Vollständiger~Baum\index{Vollständiger Baum}\index{Baum!vollständiger}]Bei einem Vollständigen Baum gibt es im Unterschied zu einem Baum keine geschlossenen Umläufe. Allerdings ist trotzdem jeder Knoten mit jedem verbunden! Um dies zu erreichen werden bei einem gegebenen Baum die Zweige in zwei Kategorien unterteilt. In \emph{Baumzweige\index{Baumzweige}} und in \emph{Verbindungszweige}\index{Verbindungszweige}.\\ Gegeben ist ein Netzwerk mit $k$ Knoten und $z$ Zweigen. Ein vollständiger Baum hat dann $b=k-1$ Baumzweige und $v=z-b=z-k+1$ Verbindungszweige. Um $k$ Knoten miteinander zu verbinden gibt es $n_{b}=k^{(k-2)}$ unterschiedliche vollständige Bäume. \item [Sternförmiger~vollständiger~Baum\index{Baum!sternförmig vollständig}\index{Vollständig!Sternförmiger Baum}]Bei einem solchen Baum gibt es einen \emph{Bezugsknoten\index{Bezugsknoten}} in der Mitte, von dem die einzelnen Baumzweige abgehen. Baumzweige die nicht mit dem Bezugsknoten verbunden sind dürfen nicht enthalten sein. Ein so definierter Baum hat eine sternförmige Struktur. \end{description} \subsection{\label{Krichhoffschen-Gleichungen}Krichhoffschen\index{Krichhoffschen Gleichungen} Gleichungen \textsf{\textmd{\small I.30}}} \subsubsection{Knotengleichung\index{Knotengleichung} (1. Kirchhoff) \textsf{\textmd{\small I.30}}} Die Summe aller Ströme in einem Knoten (siehe \ref{sub:Definitionen}) ist 0. \[ \sum_{k=1}^{n}I_{k}=0\] \begin{itemize} \item einfließende Ströme mit positiven, ausfließende mit negativen Vorzeichen \item auch Großknoten\index{Großknoten} (von einer geschlossenen Linie Umschlossen) \end{itemize} \subsubsection{Maschengleichung\index{Maschengleichung} (2. Kirchhoff) \textsf{\textmd{\small I.32}}} In einem Geschlossenen Maschenumlauf (siehe \ref{sub:Definitionen}) ist die Summe aller Spannungen = 0.\[ \sum_{k=1}^{n}U_{k}=0\] \begin{itemize} \item Beim Umlauf darf man sich auf allen Spannungspfeilen bewegen. \item Umlauf in Pfeilrichtung positiv, entgegengesetzt negativ \end{itemize} \subsection{Ersatzschaltungen\index{Ersatzschaltung}, passiv \textsf{\textmd{\small I.34}}} \subsubsection{Reihenschaltung\index{Reihenschaltung} \textsf{\textmd{\small I.34}}} \begin{itemize} \item Ersatzwiderstand\index{Ersatzwiderstand}\[ R_{g}=\sum_{k=1}^{n}R_{k}\] \item Spannungsteiler\index{Spannungsteiler}\[ U_{v}=U_{g}\frac{R_{v}}{R_{g}}\] \end{itemize} \subsubsection{Parallelschaltung\index{Parallelschaltung} \textsf{\textmd{\small I.35}}} \begin{itemize} \item Ersatzwiderstand\index{Ersatzwiderstand}\[ G_{g}=\sum_{k=1}^{n}G_{k}\] \[ R_{g}=\frac{1}{\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{R_{k}}}\] \begin{itemize} \item Sonderfall bei 2 Widerständen $R_{g}=R_{1}||R_{2}=\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$ \end{itemize} \item Stromteiler\index{Stromteiler}\[ I_{v}=I_{g}\frac{G_{v}}{G_{g}}\] \begin{itemize} \item Sonderfall bei 2 Widerständen $I_{1}=I_{g}\frac{G_{1}}{G_{1}+G_{2}}=I_{g}\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$ \end{itemize} \end{itemize} \subsubsection{Brückenschaltung\index{Brückenschaltung} \textsf{\textmd{\small I.39}}} Eine Brückenschaltung lässt sich nicht direkt berechnen. Aber es lassen sich alle Methoden für kompliziertere Netzwerke anwenden. Sonderfall \emph{abgeglichene Brücke}\index{abgegleichene Brücke}. Hier ist der Strom und die Spannung im Brückenzweig $I_{b}=0A,\; U_{b}=0V$. Hier kann der Brückenzweig\index{Brückenzweig} kurzgeschlossen oder geöffnet werden, um weitere Berechnungen anzustellen. Eine Brücke ist abgegelichen wenn $\frac{R_{1}}{R_{2}}=\frac{R_{3}}{R_{4}}$ gilt. \subsubsection{Stern $\Longleftrightarrow$ Dreieck Transformation\index{Transformation}\index{Transformation!Dreieck-Stern}\index{Stern-Dreieick Transf.}\index{Dreieick-Stern Transf.} \textsf{\textmd{\small I.79}}} Der Mittelpunktes eines Sterns aus 3 Widerständen bekommt die Nummer 0, die Ecken die Nummern 1 bis 3. Gleiches gilt für die Ecken eines Dreiecks aus 3 Widerständen. Um nun von einer in die andere Schaltung zu transformieren, nutzt man folgende Gleichungen (Achtung, innere Ströme gehen dadurch verloren!!) \begin{itemize} \item Dreieck $\Longrightarrow$ Stern\begin{eqnarray*} R_{10} & = & \frac{R_{12}R_{13}}{R_{12}+R_{13}+R_{23}}\\ R_{20} & = & \frac{R_{12}R_{23}}{R_{12}+R_{13}+R_{23}}\\ R_{30} & = & \frac{R_{13}R_{23}}{R_{12}+R_{13}+R_{23}}\\ \textrm{Sternw.} & = & \frac{\textrm{Prod. Anliegerwiderstände}}{\textrm{Umfangswiderstand}}\end{eqnarray*} \item Stern $\Longrightarrow$ Dreieck\begin{eqnarray*} R_{12} & = & \frac{R_{10}R_{20}}{R_{30}}+R_{10}+R_{20}=\frac{R_{10}R_{20}+R_{10}R_{30}+R_{20}R_{30}}{R_{30}}\\ R_{13} & = & \frac{R_{10}R_{30}}{R_{20}}+R_{10}+R_{30}=\frac{R_{10}R_{20}+R_{10}R_{30}+R_{20}R_{30}}{R_{20}}\\ R_{23} & = & \frac{R_{20}R_{30}}{R_{30}}+R_{20}+R_{30}=\frac{R_{10}R_{20}+R_{10}R_{30}+R_{20}R_{30}}{R_{10}}\\ \textrm{Dreiecksw.} & = & \frac{\textrm{Prod. Anliegerwiderstände}}{\textrm{gegenüberliegender W.}}+\textrm{Sum. Anliegerwiederstände}\\ & = & \frac{\textrm{Summe der Produckte der Dreieckswiderstände}}{\textrm{gegenüberliegender Widerstand}}\\ & = & \frac{\textrm{Prod. Anliegerleitwerte}}{\textrm{Umfangsleitwert}}\end{eqnarray*} \end{itemize} Durch die Stern $\Longleftrightarrow$ Dreieck Transformation ändert sich die Zahl der Knoten und Maschen im Netz (siehe \ref{sub:Definitionen}), ihre Summe bleibt aber konstant. Man erhält dadurch trotzdem eine Vereinfachung, da das neue Netzwerk meistens eine einfachere Struktur als das Alte hat, und so leichter zu bestimmen ist. \subsubsection{\label{AuftrennenWiderstaende}Auftrennen\index{Auftrennen von Widerständen} von Widerständen} Unter Umständen kann eine Berechnung einfacher sein, wenn man Anstatt einem einzelnen Widerstand am gleichen Ort 2 oder mehrere hätte. Dies erhält man durch die umgekehrte Anwendung der Parallel-/Reihenschaltung. \begin{description} \item [Parallelschaltung\index{Parallelschaltung}]Man kann einen Widerstand mit dem Wert R durch n parallele Widerstände mit jeweils dem Wert $n\cdot R$ ersetzen. \item [Reihenschaltung\index{Reihenschaltung}]Man kann einen Widerstand mit dem Wert R durch n in reihe geschaltete Widerstände mit jeweils dem Wert $\frac{R}{n}$ ersetzen. \end{description} \subsubsection{Symmetrie\index{Symmetrie} \textsf{\textmd{\small I.41}}} Für Netzwerke mit eigentlich komplizierter Struktur, die einen symmetrischen Aufbau besitzen (auf U,R,I Werte achten!!!), kann man einen Weiteren eleganten Rechentrick anwenden. Symmetrische Bauteile werden auch die selben U/I Größen aufweisen. In einem Netzwerk das fast symmetrisch ist, kann es helfen Bauteile wie unter \ref{AuftrennenWiderstaende} aufzutrennen um die Symmetrie zu erlangen. \subsection{Messen\index{Messen} \textsf{\textmd{\small I.42}}} \subsubsection{Messgeräte\index{Messgeräte} \textsf{\textmd{\small I.42}}} Ein Messgerät besteht im Ersatzschaltbild aus einem Widerstand und einem Messwerk, welches eine Größe (z.B. I, U) messen kann. Hier wird zusätzlich der maximale Zeigerausschlag mit angegeben. Ein Strommesswerk\index{Strommesswerk} wird in Reihe in den Messzweig eingebaut. Es sollte einen möglichst kleinen Innenwiderstand\index{Innenwiderstand} haben. Ein Spannungsmesswerk\index{Spannungsmesswerk} wird parallel an einen Messzweig angeschlossen. Es sollte einen möglichst großen Innenwiderstand\index{Innenwiderstand} haben. Unter \emph{Klassengenauigkeit\index{Klassengenauigkeit}} versteht man bei einem Messgerät die Größe des prozentualen maximalen Messfehlers bezogen auf den Messbereichs\index{Messbereich} Endwert. Z.B. ist eine Klassengenauigkeit von 1,5 bei einem 1A Messgerät, das es immer einen Fehler von +/-~15~mA hat. Auch bei einem gemessenen Wert von z.B. 30~mA. Dies hat zur Folge, das man möglichst im letzten $\frac{1}{3}$ des Messbereiches messen sollte, da sonst der Fehler zu groß wird. \subsubsection{Strom-/Spannungsrichtige\index{Spannungsrichtige Messung}\index{Stromrichtige Messung} Messung\index{Messung!Stromrichtige}\index{Messung!Spannungsrichtige} \textsf{\textmd{\small I.48}}} Wenn Strom und Spannung zugleich gemessen werden, kann nur eine der beiden Größen korrekt gemessen werden. Bei der \emph{Stromrichtigen} Messung liegt das Strommessgerät direkt in Reihe in dem Messzweig, und die Spannung wird über Messobjekt \emph{und} Strommessgerät gemessen (deshalb auch verfälscht). Zu nutzen wenn $R_{iA}\ll R_{Mess}$. Bei der \emph{Spannungsrichtigen} Messung liegt das Strommessgerät in Reihe mit der Parallelschaltung aus Messzweig und Spannungsmessgerät (deshalb auch verfälscht). Die Spannung wird nur über dem Messobjekt gemessen. Zu nutzen wenn $R_{iV}\ll R_{Mess}$. \subsubsection{Messbereichserweiterung\index{Messbereichserweiterung} \textsf{\textmd{\small I.44}}} Verkleinerung nur mit aktiven Bauelementen wie Verstärkern möglich!! Mit ohmschen Widerständen nur Vergrößerung \begin{itemize} \item Strommessgerät (Ampermeter)\\ $R_{p}$ parallel zum Messgerät $I_{M\textrm{neu}}=I_{M\textrm{alt}}\frac{R_{m}+R_{p}}{R_{p}}$ \item Spannungsmessgeröt (Voltmeter)\\ $R_{R}$ in Reihe zum Messgerät $U_{M\textrm{neu}}=U_{M\textrm{alt}}\frac{R_{m}+R_{R}}{R_{m}}$ \end{itemize} \subsection{Lineare Zweipole\index{Zweipole}\index{Lineare Zweipole} \textsf{\textmd{\small I.51}}} Lineare Zweipole bestehen aus \emph{linearen\index{Linear} Netzwerke\index{Netzwerk}\index{lineare Netzwerke}} (enthalten nur Strom- / Spannungsquellen und Ohmische-Widerstände). Zudem sind sie nur mit 2 Klemmen vorhanden. Bei diesen Netzwerken sind einige Vereinfachungen möglich. Wenn ein Gesamtnetzwerk auch andere Komponenten enthält, lassen sich aber evtl. Teile des Netzwerks als Lineare Zweipole auffassen. Alle linearen Zweipole lassen sich nach Außen hin durch eine Reihenschaltung aus Widerstand und idealer Spannungsquelle (\emph{Ersatzspannungsquelle}\index{Ersatzspannungsquelle}) beschreiben. Gleichwertig ist die Beschreibung mit Hilfe einer Parallelschaltung aus Widerstand und idealer Stromquelle (\emph{Ersatzstromquelle}\index{Ersatzstromquelle}). Diese hat allerdings keine physikalische Entsprechung. Achtung!! Innere Größen wie z.B. Quellleistung und Wirkungsgrad gehen verloren. \subsubsection{Transformation\index{Transformation} Ersatzstromquelle\index{Ersatzstromquelle} $\Longleftrightarrow$ Ersatzspannungsquelle\index{Ersatzspannungsquelle} \textsf{\textmd{\small I.57}}} Gegeben Sei eine Ersatzspannungsquelle mit $U_{q},R_{iV}$ und eine Ersatzstromquelle mit $I_{q},R_{iA}$. Dann gelten folgende Beziehungen:\[ R_{i}=R_{iV}=R_{iA}\] \[ U_{q}=R_{i}I_{q}\] \[ I_{q}=\frac{U_{q}}{R_{i}}\] Dies sind die gleichen Beziehungen wie beim ohmschen Gesetz, also nichts neues. \subsubsection{Allgemeine Transformation\index{Transformation} \textsf{\textmd{\small I.57}}} Ein beliebiges Netzwerk lässt sich mit folgenden Schritten in eine Ersatzquelle Transformieren. Wobei nur 2 ausgeführt werden müssen, der 3te Wert lässt sich mit Hilfe des ohmschen Gesetzes wenn benötigt berechnen. Am besten werden die 2 im konkreten Fall einfachsten genommen. \begin{itemize} \item $U_{q}$ bestimmen \begin{itemize} \item Klemmen {}``öffnen'' \item Leerlaufspannung\index{Leerlaufspannung} bestimmen $U_{l}=U_{q}$ \end{itemize} \item $I_{q}$ bestimmen \begin{itemize} \item Klemmen {}``Kurzschließen'' \item Kurzschlussstrom\index{Kurzschlussstrom} bestimmen $I_{k}=I_{q}$ \end{itemize} \item $R_{i}$ bestimmen \begin{itemize} \item Klemmen {}``öffnen'' \item Alle eingebauten Stromquelle öffnen \item Alle eingebauten Spannungsquellen kurzschließen \item Wiederstand zwischen den Quellen bestimmen $R_{g}=R_{i}$ \end{itemize} \end{itemize} Dies Verfahren lässt sich nur rechnerisch nutzen, da es die mesten realen Schaltungen zerstören würde. In der Praxis geht man wie folgt vor. $U_{q}$ bestimmen \begin{itemize} \item Klemmen mit passenden $R_{L1}$ belasten \begin{itemize} \item Strom $I_{1}$ und Spannung $U_{1}$ messen \end{itemize} \item Klemmen mit passenden $R_{L2}$ belasten \begin{itemize} \item Strom $I_{2}$ und Spannung $U_{2}$ messen \end{itemize} \item $R_{i},U_{q},I_{q}$ errechnen \begin{itemize} \item $R_{i}=\frac{\Delta U}{\Delta I}=\frac{U_{2}-U_{1}}{I_{1}-I_{2}}$ \item $U_{q}=U_{L1}\frac{R_{i}+R_{L1}}{R_{L1}}=U_{L2}\frac{R_{i}+R_{L2}}{R_{L2}}$ \item $I_{q}=\frac{U_{q}}{R_{i}}$ \end{itemize} \end{itemize} \subsubsection{Netzwerk\index{Netzwerk} Vereinfachung\index{Vereinfachung}\index{Netzwerk!Vereinfachung}} Um Netzwerke zu Vereinfachen kann man alternierend Ersatz Strom- / Spannungsquellen mit passend interpretierten $R_{i}$ Transformieren (möglichst viele Widerstände zu $R_{i}$ zusammenfassen um eine rasche Vereinfachung zu erlangen). Bzw. durch rechnerischen Kurzschlussversuch. Es lassen sich aber sicherlich auch beide Ansätze kombinieren. \subsubsection{Grafische Arbeitspunktbestimmung\index{Arbeitspunkt!bestimmung}\index{grafische Arbeitspunktbestimmung} an nichtlinearen\index{nichtlineare Bauteile} Bauteilen \textsf{\textmd{\small I.70}}} Wenn ein nichtlineares Bauteil in einer Schaltung verbaut ist, lässt sich die Spannung an dem Bauteil bzw. der Strom durch das Bauteil nicht leicht rechnerisch bestimmen. Grafisch ist es allerdings leicht möglich. Wenn nur ein solches Bauteil in einer Schaltung vorhanden ist, kann man den Rest des Netzwerkes zu einer idealen Quelle zusammenfassen. Nun trägt man die Größen $U_{q},I_{q}$ auf den Achsen des der Bauteilkennlinie ein und verbindet sie mit einer Geraden. Der Schnittpunkt mit der Kennlinie nennt sich \emph{Arbeitspunkt} (AP) und seine Achsenwerte ($U,I$) geben den die an dem Bauteil anliegenden Werte wieder. Falls man mehrere solche Bauteile in Reihe hat, kann man durch Umskalierung der Achse (mehrere identische Bauteile) oder durch grafische Addition der Kennlinie (mehrere verschiedene Bauteile) das Problem ebenfalls auf den Fall mit nur einem Bauteil zurückführen. \subsubsection{Leistung\index{Leistung} an linearen Zweipolen\index{Zweipole}} \[ \eta_{P}=\eta_{W}=\frac{R_{L}}{R_{L}+R_{i}}\] \subsubsection{Anpassung\index{Anpassung} \textsf{\textmd{\small I.67}}} \begin{description} \item [Leistungsanpassung\index{Leistungsanpassung}]$R_{i}=R_{L}$ \begin{itemize} \item $\eta_{P}=0,5$ \item maximale Leistung am Lastwiderstand \end{itemize} \item [Spannungsanpassung\index{Spannungsanpassung}]$R_{i}\ll R_{L}$ \begin{itemize} \item $\eta\lessapprox1$ \item maximale (konstante / unabhängig vom genauen Lastwiderstand) Spannung am Lastwiderstand \end{itemize} \item [Stromanpassung\index{Stromanpassung}]$R_{i}\gg R_{L}$ \begin{itemize} \item $\eta\gtrapprox0$ \item maximaler (konstanter / unabhängig vom genauen Lastwiderstand) Strom am Lastwiderstand \end{itemize} \end{description} \subsection{Überlagerungssatz\index{Überlagerung} / Superpositionsprinzip\index{Superpositionsprinzip} (nach Helmholz\index{Helmholz}) \textsf{\textmd{\small I.76}}} Bei linearen Netzwerken (nur Strom-/Spannungsquelle und Widerstände) hat man die Möglichkeit die Wirkung der einzelnen Quellen separat zu berechnen. Die tatsächliche Wirkung auf ein Bauteil (Strom / Spannung), ist nun die Überlagerung der einzelnen Spannungen. Dazu geht man wie folgt vor. \begin{itemize} \item Man wiederhole folgendes für jede im Netz vorhandene Quelle $(1,\ldots,k,\ldots,n)$ \begin{itemize} \item Alle Quellen außer Quelle $k$ abschalten (Spannungsquellen kurzschließen, Stromquellen öffnen). \item Alle benötigten Werte im akt. umgestalteten Netzwerk berechnen. Alle anderen \emph{Netzwerkanalyseverfahren} dürfen dabei zum Tragen kommen. Dabei schreibt man: \begin{itemize} \item $I_{v}^{(k)}$ ist der Strom $v$ der durch die Quelle $k$ getrieben wird. \item $U_{v}^{(k)}$ ist die Spannung $v$ die durch die Quelle $k$ erzeugt wird. \end{itemize} \end{itemize} \item Um einen tatsächlichen, im Orginalnetzwerk fließenden Strom bzw. eine anliegende Spannung zu erhalten muss man nur die Summe der einzelnen Ströme / Spannungen berechnen: $I_{v}=\sum_{k=1}^{n}I_{v}^{(k)}$ und $U_{v}=\sum_{k=1}^{n}U_{v}^{(k)}$ \end{itemize} Man kann sich im Allgemeinen sparen, jeweils Strom und Spannung aus zurechnen, da man durch eine Größe die jeweils Andere im Orginalnetzwerk über das Ohmische Gesetz leicht bestimmen kann. Zudem müssen auch nicht alle gesuchten Größen auf diese Weise ermittelt werden. Manchmal ist es ratsamer nur einzelne, schwierig zu bestimmende Werte so zu errechnen und im Orginalnetzwerk mit diesen die Restlichen zu bestimmen. Dieses Prinzip lässt sich mathematisch von durch die Linearität der Ohmschem Gleichung begründen ($f(a+b)=f(a)+f(b)$). Prinzip der Überlagerung gilt somit für alle linearen Gleichungssysteme! \subsection{Aufstellen eines linearen Gleichungssystems\index{Gleichungssystem}\index{lineare Gleichungssystem} \textsf{\textmd{\small I.84}}} \subsubsection{Per Hand \textsf{\textmd{\small I.84}}} Durch das Aufstellen aller über ein Netzwerk bekannten Beziehungen, erhält man ein Gleichungssystem, das sich mit Hilfe der Mathematik mehr oder weniger leicht lösen lässt. Allgemein benötigt man für jede Unbekannte in einem Netz 1 Gleichung. Um hier nicht aus Versehen linear abhängige aufzustellen, nutzt man folgende Regeln. \begin{itemize} \item Aus den Umläufen kann man Gleichungen beziehen. Allerdings sollten nur die Maschen genutzt werden, da so keine Größe vergessen, und auch keine lin. Abhängigkeit entstehen kann. Aus einer Schaltung mit $m$~Maschen erhält man $m$~Umlaufgleichungen (siehe \ref{Krichhoffschen-Gleichungen}). \item Aus den Knoten kann man Gleichungen beziehen. Allerdings sind bei $k$~Knoten nur $k-1$ linear unabhängige. Welche das sind, spielt keine Rolle. \item An jedem Widerstand lässt sich die Beziehung $U=RI$ bzw. $I=\frac{U}{R}$ aufstellen. \end{itemize} In dem so erstellen Gleichungssystem sind enorm viele Gleichungen vorhanden. Von vornherein einfacher wird es, in dem man in den Umlaufgleichungen direkt anstelle der Spannungen das Produkt aus Widerstand und Strom schreibt. \subsubsection{Umlaufanalyse\index{Umlaufanalyse} \textsf{\textmd{\small I.91}}} Bei der Umlaufanalyse handelt es sich um ein Verfahren, um möglichst einfach ein lineares Gleichungssystem\index{Gleichungssystem} mit wenig Unbekannten zu erhalten. Um ein Gleichungssystem der Gestalt\[ \begin{array}{c} \textrm{Umlauf mit }I_{1}:\\ .\\ \textrm{Umlauf mit }I_{v}:\\ .\\ \textrm{Umlauf mit }I_{n}:\end{array}\left[\begin{array}{ccccc} +R_{11} & . & \pm R_{1k} & . & \pm R_{1n}\\ . & . & . & . & .\\ \pm R_{1k} & . & +R_{vv} & . & \pm R_{vn}\\ . & . & . & . & .\\ \pm R_{1n} & . & \pm R_{vn} & . & +R_{nn}\end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{c} +I_{1}\\ .\\ +I_{v}\\ .\\ +I_{n}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} \pm U_{q1}\\ .\\ \pm U_{qv}\\ .\\ \pm U_{qn}\end{array}\right]\] (Indizes absichtlich so, da die Matrix spiegelsymetrisch auf der Haupt-Diagonale ist) zu erhalten, muss man folgendes Schema anwenden: \begin{enumerate} \item Stromquellen wenn möglich in Spannungsquellen transformieren. \item Alle Leitwerte (wenn vorhanden) in Widerstände umrechnen. \item Für das Netz einen vollständigen Baum\index{Baum!vollständiger} auswählen. Dabei folgendes beachten: \begin{itemize} \item Alle Stromquellen müssen in Verbindungszweige liegen, alle Spannungsquellen sollten. \item gesuchte Ströme möglichst in Verbindungszweige legen \item Baum so wählen das möglichst einfache Umläufe entstehen (möglichst kurz) (möglichst Sternförmig) \item Einen Baumzweig sollten sich möglichst wenig Umläufe {}``teilen'' \end{itemize} \item Über Stromquellen einen Spannungspfeil eintragen \item In den Verbindungszweigen Zählpfeile (für Stromrichtung) eintragen \item In den Stromvektor\index{Stromvektor} alle Ströme aus Verbindungszweigen zuordnen \item Jedem Strom aus Verbindungszweig einen Umlauf, der sich nur über Baumzweige schließt, zuordnen. Richtung wie Zählpfeil. \item Für jeden Umlauf eine Zeile des obigen Gleichungssystems aufstellen: \begin{enumerate} \item Diagonalelement der Widerstandmatrix ($R_{vv}$) ist die Summe aller Widerstände im jeweiligen Umlauf $v$.\\ Vorzeichen: + \item Andere Matrixelemente ($R_{vk}$) sind die Kopplungswiderstände\index{Kopplungswiderstände} zwischen den Umläufen. Der Umlauf $I_{v}$ hat in z.B. in der k-ten Spalte die Summe aller Widerstände die der Umlauf k und v gemeinsam haben stehen.\\ Vorzeichen: + für im Baum gleichgerichtete Umläufe, - für entgegen gerichtete. \item Das Element des Spannungsvektors\index{Spannungsvektors} wird aus der Summe aller Quellspannungen des Umlaufes gebildet.\\ Vorzeichen: + wenn Spannungszählpfeil gegen den Umlaufsinn, - wenn im Umlaufsinn. \end{enumerate} \item Überprüfen, ob die Elemente der Matrix wirklich Spiegelsymetrisch zu der Diagonale (Diagonale von Oben Links nach Unten Rechts) sind. Wenn nicht, alles von vorn... \item Wenn im Netzwerk noch Stromquellen enthalten waren, die Matrix für jede dieser Quellen wie folgt vereinfachen: \begin{enumerate} \item Die Zeile mit dem Umlauf über die Stromquelle streichen. \item In allen anderen Zeilen die zur Stromquelle zugehörige Spalte streichen. Wert der gestrichenen Zellen mit umgekehrten Vorzeichen und Multipliziert mit dem Stomquellenstrom in die entsprechenden Zellen im Spannungsvektor eintragen (jeweils in die gleiche Zeile). \end{enumerate} \item Gleichungssystem Lösen \item Alle nun noch nicht bekannten Größen mit Hilfe der Kirchhoffschen Gleichungen (siehe \vref{Krichhoffschen-Gleichungen}) und des Ohmschen Gesetzes errechnen. \end{enumerate} \subsubsection{Knotenanalyse\index{Knotenanalyse} \textsf{\textmd{\small I.101}}} Bei der Knotenanalyse handelt es sich um ein Verfahren, um möglichst einfach ein lineares Gleichungssystem mit wenig Unbekannten zu erhalten. Um ein Gleichungssystem\index{Gleichungssystem} der Gestalt\[ \begin{array}{c} \textrm{K. 1}:\\ .\\ \textrm{K. v}:\\ .\\ \textrm{K. k-1}:\end{array}\left[\begin{array}{ccccc} +G_{11} & . & -G_{1n} & . & -G_{1(k-1)}\\ . & . & . & . & .\\ -G_{1n} & . & +G_{vv} & . & -G_{v(k-1)}\\ . & . & . & . & .\\ -G_{1(k-1)} & . & -G_{v(k-1)} & . & +G_{(k-1)(k-1)}\end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{c} +U_{1}\\ .\\ +U_{v}\\ .\\ +U_{k-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} \pm I_{q1}\\ .\\ \pm I_{qv}\\ .\\ \pm I_{q(k-1)}\end{array}\right]\] (Indizes absichtlich so, da die Matrix spiegelsymetrisch auf der Haupt-Diagonale ist) zu erhalten, muss man folgendes Schema anwenden: \begin{enumerate} \item Spannungsquellen wenn möglich in Stromquellen Transformieren. \item Alle Widerstände (wenn vorhanden) in Leitwerte umrechnen. \item Für das Netz einen Sternförmigen vollständigen Baum\index{Baum!sternförmig vollständig} auswählen. Dabei folgendes beachten: \begin{itemize} \item Wenn nicht möglich, das Netzwerk entsprechend um Leitwerte mit $G=0S$ ergänzen. \item gesuchte Spannungen möglichst in Baumzweige\index{Baumzweige} legen \item Alle Spannungsquellen müssen in Baumzweigen liegen \end{itemize} \item Zählpfeile der unabhängigen Spannungen längs der Baumzweige in Richtung des Bezugsknotens\index{Bezugsknoten} (Mittelpunkt) eintragen \item In den Spannungsvektor alle Spannungen aus den Baumzweigen eintragen \item Für jeden Knoten (außer dem mittlerem Bezugsknoten) eine Zeile des Gleichungssystems aufstellen: \begin{enumerate} \item Diagonalelement der Leitwertmatix ($G_{vv}$) ist die Summe aller Leitwerte (entspricht-Parallelschaltung) die im jeweiligen Knoten v zusammentreffen.\\ Vorzeichen: + \item Andere Matrixelemente ($G_{vk}$) sind die Summe der Kopplungsleitwerte\index{Kopplungsleitwerte} zwischen den Knoten v und k.\\ Vorzeichen: - \item Das Element des Stromvektors wird aus der Summe aller Quellströme die an den jeweiligen Knoten angeschlossen sind gebildet.\\ Vorzeichen: + wenn der Strom in den Knoten hinein fließt, - wenn heraus fließt. \end{enumerate} \item Überprüfen, ob die Elemente der Matrix wirklich Spiegelsymetrisch zu der Diagonale (Diagonale von Oben Links nach Unten Rechts) sind. Wenn nicht, alles von vorn... \item Wenn im Netzwerk noch Spannungsquellen enthalten waren, die Matrix für jede dieser Quellen wie folgt vereinfachen: \begin{enumerate} \item Die Zeile mit dem Zweig der die Spannungsquelle enthält streichen. \item In allen anderen Zeilen die zur Spannungsquelle zugehörige Spalte streichen. Wert der gestrichenen Zellen mit umgekehrten Vorzeichen und Multipliziert mit der Spannungsquellenspannung in die entsprechenden Zellen im Stromvektor eintragen (jeweils in die gleiche Zeile). \end{enumerate} \item Gleichungssystem Lösen \item Alle nun noch nicht bekannten Größen mit Hilfe der Kirchhoffschen Gleichungen (siehe \vref{Krichhoffschen-Gleichungen}) und des Ohmschen Gesetzes errechnen. \end{enumerate} \subsubsection{Vergleich\index{Analyse!Vergleich} von Knoten-\index{Knotenanalyse} und Umlaufanalyse\index{Umlaufanalyse} \textsf{\textmd{\small I.108}}} In Tabelle \vref{Tabel:VergleichKontenUmlauf} kann man ersehen, wie groß ein Gleichungssystem\index{Gleichungssystem} bei der jeweiligen Analysemethode werden würde. Man muss allerdings auch den Aufwand zum Erstellen eines solchen Gleichungssystems mit in die Betrachtung mit einbeziehen. % \begin{table}[h] \caption{\label{Tabel:VergleichKontenUmlauf}Größe des Gleichungssystem bei Maschen-/Knotenanalyse} \begin{tabular}{|c|c||c|c|} \hline & Knotenanalyse& & Maschenanalyse\tabularnewline $k$& $b=k-1$& $\hat{z}=\frac{k(k-1)}{2}=\sum_{k=1}^{n-1}k$& $\hat{v}=\hat{z}-b$\tabularnewline Knoten& Baumzweige& max. mögl. Zweige& max. Verbindungszweige\tabularnewline \hline \hline 2& 1& 1& 0\tabularnewline \hline 3& 2& 3& 1\tabularnewline \hline 4& 3& 6& 3\tabularnewline \hline 5& 4& 10& 6\tabularnewline \hline 6& 5& 15& 10\tabularnewline \hline 7& 6& 22& 15\tabularnewline \hline \end{tabular} \end{table} \section{Gesteuerte Quellen\index{Quellen}\index{Quellen!Gesteuert}\index{gesteuerte Quellen} \textsf{\textmd{\small I.111}}} Mit Hilfe gesteuerter Quellen lassen sich einige aktive Bauelemente\index{Aktive Bauelemente} näherungsweise (und vor allem einfacher) beschreiben. Es gibt folgende Arten von gesteuerten Quellen. \begin{itemize} \item $U_{E}$ steuert $U_{A}$: spannungsgesteuerte Spannungsquelle\index{Spannungsquelle} $\left(U_{A}=k_{1}U_{E}\right)$ \item $U_{E}$ steuert $I_{A}$: spannungsgesteuerte Stromquelle\index{Stromquelle} $\left(I_{A}=k_{2}U_{E}\right)$ \item $I_{E}$ steuert $U_{A}$: stromgesteuerte Spannungsquelle $\left(U_{A}=k_{3}I_{E}\right)$ \item $I_{E}$ steuert $I_{A}$: stromgesteuerte Stromquelle $\left(I_{A}=k_{4}I_{E}\right)$ \end{itemize} Mit diesen Ersatzschaltungen lassen sich alle bisher vorgestellten Analyseverfahren auch für Elemente wie Transistoren und Operationsverstärker verwenden. \subsection{Transistor\index{Transistor} Ersatzschaltung\index{Ersatzschaltung} \textsf{\textmd{\small I.116}}} Ein Transisor lässt sich als Näherung durch eine Ersatzschaltung (siehe Abbildung \vref{cap:Transistor-Ersatzschaltbild}) aus idealen Quellen und Widerständen beschreiben. Der Eingangsstrom $I_{B}$ steuert hier den Ausgangsstrom $I_{C}$. Allerdings ist ein Teil des Ausgansstromes durch den Widerstand $R_{CE}$ kurzgeschlossen. Zur Vereinfachung lassen sich die Spannungsquelle $U_{S}$ und der Widerstand $R_{CE}$ noch weglassen. % \begin{figure}[h] \caption{\label{cap:Transistor-Ersatzschaltbild}Transistor Ersatzschaltbild} \includegraphics[% scale=0.35]{NPN-ersatz.tif} \end{figure} \subsection{Operationsverstärker\index{Operationsverstärker}\index{OP} \textsf{\textmd{\small I.117}}} \subsubsection{Ersatzschaltung \textsf{\textmd{\small I.113}}} Auch ein Operationsverstärker lässt sich Näherungsweise durch eine Ersatzschaltung (siehe Abbildung \vref{cap:Operationsverst=E4rker-Ersatzschaltung}) beschreiben. Zu beachten ist hier, das die Ausgangsspannung keinen höheren (bzw. niedrigeren) Wert als die Betriebsspannung erreichen kann. Innerhalb dieser Grenzen ist die Ersatzschaltung allerdings ziemlich gut. Die Betriebsspannung wird in Standard Schaltbildern aus Gründen der Übersichtlichkeit nicht mit eingezeichnet. Üblicherweise werden Operationsverstärker mit einer Symmetrischen Betriebsspannung von $\pm12V$ versorgt. Die meisten OP's haben noch weitere Eingänge, die uns hier aber nicht weiter interessieren. % \begin{figure}[h] \caption{\label{cap:Operationsverst=E4rker-Ersatzschaltung}Nicht übersteuerter Operationsverstärker als spannungsgesteuerte Spannungsquelle.} \includegraphics[% scale=0.3]{OP-ersatz.TIF} \end{figure} \subsubsection{\label{sub:OP-Kenngr=F6=DFen}Kenngrößen\index{Operationsverstärker!Kenngrößen} \textsf{\textmd{\small I.117}}} Um OP (Operationsverstärker) Schaltungen einfacher analysieren zu können, geht man von folgenden Idealen Werten aus. \begin{itemize} \item $R_{E}=\infty\Omega$ Eingangswiderstand \item $R_{A}=0\Omega$ Ausgangswiderstand \item $v_{E}=\infty$ Spannungsverstärkungsfaktor $\left(U_{A}=v_{E}U_{E}\right)$ \item $U_{E}=0V$ Eingangsspannung (wenn $\left|U_{A}\right|<\left|U_{Versorgung}\right|$bzw. OP korrekt Rückgekoppelt) \item $I_{E}=0A$ Eingansstrom (Am Plus und Minuseingang) \item $U_{DCoffset}=0V$ Offsetspannung (Ausgang um $U_{DCoffset}$ aus der Ruhelage verschoben) \item $\pm U_{AMax}=\pm U_{Versorgung}$ \end{itemize} \subsubsection{Standardschaltungen mit Rückkopplung\index{Rückkopplung}\index{Operationsverstärker!Rückkopplung} \textsf{\textmd{\small I.120}}} Das Prinzip der Rückkopplung wird bei Operationsverstärkern sehr häufig angewandt, da man mit der (starken Fertigungstoleranzen unterliegenden) großen Leerlaufverstärkung\index{Leerlaufverstärkung} meist wenig anfangen kann. Allerdings lässt sich die Verstärkung durch Rückkopplung drastisch senken und auch auf einen festen Wert stabilisieren, unabhängig von der Leerlaufverstärkung. Hierzu folgende Standardschaltungen (siehe Abbildung \vref{cap:OP-Standard-R=FCckkopplungsarten}), die sich aller sehr gut mit den unter \ref{sub:OP-Kenngr=F6=DFen} vorgestellten Vereinfachungen berechnen lassen. % \begin{figure}[h] \caption{\label{cap:OP-Standard-R=FCckkopplungsarten}Standard Rückkopplungsarten von Operationsverstärkern} \includegraphics[% scale=0.2]{OP-rueckkopplung.TIF} \end{figure} \subsubsection{Komperatorschaltung\index{Komperatorschaltung} \textsf{\textmd{\small I.119}}} Wenn ein OP nicht rückgekoppelt wird, arbeitet er üblicherweise in Leerlaufverstärkung. Das bedeutet, das bereits eine Minimale Spannung am Eingang ausreicht, um den Ausgang auf sein Maximum zu bringen. Dies nutzt man aus, wenn einen nur das Vorzeichen einer Spannung interessiert. Wenn $U_{E}>0\Rightarrow U_{A}=+U_{Versorgung}$ und $U_{E}<0\Rightarrow U_{A}=-U_{Versorgung}$. Dies wird z.B. ausgenutzt, um einen analogen Spannungsverlauf zu Digitalisieren\index{Digitalisieren}. \subsubsection{Kopplungsarten\index{Kopplungsarten} \textsf{\textmd{\small I.120}}} \begin{description} \item [Mitkopplung]Signal wird vom Ausgang so zurück gekoppelt, dass es das Eingangssignal verstärkt. Anwendung bei Schmitttrigger (Komparator mit Hysteresekurve). \item [Gegenkopplung]Signal wird vom Ausgang so zurück gekoppelt, dass es das Eingangssignal abschwächt. Anwendung bei gesteuerten Quellen (Verstärkern). \end{description} \section{Elektrostaitsches Feld\index{Feld}\index{Elektrostatik}\index{Feld!Elektrostatisches} \textsf{\textmd{\small I.153}}} Beim elektrostatischen Feld ändert sich die Position der Ladung über die Zeit nicht. Es kommen also nur Isolatoren als Dielektrikum\index{Dielektrikum} in Frage. \subsection{Grundlagen \textsf{\textmd{\small I.153}}} Alle verkoriellen Gleichungen lassen sich skalar lösen, wenn man sie längs einer Feldline betrachtet! \begin{description} \item [E-Feld]$\vec{E}=-\mathrm{grad}\phi=-\left(\vec{e}_{x}\frac{\partial\phi}{\partial x}+\vec{e}_{y}\frac{\partial\phi}{\partial y}+\vec{e}_{z}\frac{\partial\phi}{\partial z}\right)$ \begin{itemize} \item Gradient bedeutet, dass das Vektorfeld als Komponenten die Ableitungen nach den entsprechenden Koordinaten hat. \item Resultierendes Feld (vektorielle Überlagerung der Einzelfelder)\\ $\vec{E}=\sum_{k=1}^{n}\vec{E}_{k}$ \item entlang Feldlinie\\ $E=-\frac{d\phi}{ds}$ \item $\oint_{L}\vec{E}\ d\vec{s}=0$ \begin{itemize} \item Wirbelfreiheit / Kirchhoff \end{itemize} \end{itemize} \item [Kräfte~im~E-Feld]$\vec{F}=q\vec{E}$ \begin{itemize} \item Kraft die auf die Probeladung $g$ im E-Feld wirkt \item Lassen sich (vektoriell) übelagern\\ $\vec{F}=\sum_{k=1}^{n}\vec{F}_{k}$ \end{itemize} \item [Verschiebungsdichte\index{Verschiebungsdichte}]$\vec{D}=\varepsilon\vec{E}$ \begin{itemize} \item Elektrisches Feld unabhängig vom Dielektrikum \end{itemize} \item [Dieelektrizitätskonstante\index{Dieelektrizitätskonstante}]$\varepsilon=\varepsilon_{m}\varepsilon_{0}$ \begin{itemize} \item materialabhängige Konstante \item $\varepsilon_{0}=8,8542\cdot10^{-12}\frac{As}{Vm}$ Dieelektrizitätskonstante (im Vakuum / ähnlich Luft) \end{itemize} \item [Feldlinien\index{Feldlinien}]$+\rightarrow-$ \begin{itemize} \item Richtung: von positiven Ladungen zu negativen (theoretische Bewegungsrichtung von Positiven Ladungsträgern / technische Stromrichtung) \item Abstand: je dichter, je stärker das Feld \item Richtung: Kraftrichtung auf eine Positive Ladung \item Parallel: Homogenes Feld \item E-Feld ist Wirbelfrei\index{Wirbelfrei} / Quellenfeld\index{Quellenfeld}\\ $\oint\vec{E}d\vec{s}=0$ (Potential auf Umlauf 0, 1. Kirchhoff) \item Treten Senkrecht aus Leiteroberflächen aus \end{itemize} \item [Potentialfunktion\index{Potentialfunktion}]$\phi\left(A\right)=-\int_{0}^{A}\vec{E}\ d\vec{s}=-U_{0A}$ \begin{itemize} \item Bei der Potentialfunktion muss ein passender Bezugspunkt gewählt werden, hier $0$. Allgemein irgendein markanter Punkt in der Aufgabenstellung. Kürzt sich bei der Differenz zweier Potentiale ohnehin heraus. \item $\oint_{L}\vec{E}d\vec{s}=0$ \\ Potentialfunktion ist Wegunabhängig - Konservatives Feld\\ (1. Kirchhoff) \item $U_{AB}=\int_{A}^{B}\vec{E}d\vec{s}=-\int_{A}^{B}d\phi=\phi\left(A\right)-\phi\left(B\right)$ \item Gesamtpotential ist Überlagerung der Einezelpotentiale\\ $\phi=\sum_{k=1}^{n}\phi_{k}$ \item Aufteilung der Spannungen \\ $U=U_{0}\frac{y}{d}$ \begin{itemize} \item $d$ Länger der Feldlinie \item $U_{0}$ Spannung über der gesamten Feldlinie \item $y$ Entfernung auf Feldlinie vom Ausgangspunkt \end{itemize} \end{itemize} \item [Äqui-Potential-Fläche\index{Fläche}]$U=$konstant; $E_{p}=$konstant \begin{itemize} \item ähnlich wie Höhenlinien bei Bergen \item Äqui-Potential-Fläche$\perp\vec{E}$-Feld (Feldlinien) \item Feldlinien Treten senkrecht aus \emph{jeder} Leiteroberfläche aus, da Leiteroberflächen Äqui-Potential-Flächen bilden \end{itemize} \item [Elektrischer~Fluss\index{Elektrischer Fluss}]$\psi_{e}=\int_{A}\vec{D}\ d\vec{A}$ \begin{itemize} \item $\vec{A}$ Vektor der Senkrecht auf der Hüllfläche\index{Hüllfläche} steht \item bei geschlossener Hüllfläche: $\psi_{e}=Q$ \end{itemize} \item [Gauß'scher~Satz~der~Elektrostatik\index{Gauß'scher Satz der Elektrostatik}]\label{des:Gau=DF'scherSatzderElektrostatik}$Q=\oint_{A}\vec{D}\ d\vec{A}$ \begin{itemize} \item Auch $Q=AD$ wenn A zu allen Feldlinien Rechtwinklig \item Ladungsmenge die in der umschlossenen Hüllfläche liegt \item Wenn eine Hüllfläche bekannt ist, die senkrecht von den Feldlinien durchdrungen wird, lässt sich so die Verschiebungsdichte, bzw. die Ladung bestimmen \item $Q$ ist Mathematisch eine Quelle des $\vec{D}$-Feldes \end{itemize} \item [Kapazität\index{Kapazität}]\label{des:Kapazit=E4t}$Q=C\cdot U$ \begin{itemize} \item Reihenschaltung \begin{itemize} \item $\frac{1}{C_{g}}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{C_{k}}$ \item (in etwa) Plattenabstand addiert sich \end{itemize} \item Parallelschaltung \begin{itemize} \item $C_{g}=\sum_{k=1}^{n}C_{k}$ \item (in etwa) Plattenfläche addiert sich \end{itemize} \item $C=\frac{Q}{\phi_{+}-\phi_{-}}\qquad C'=\frac{\lambda}{\phi_{+}-\phi_{-}}$ \begin{itemize} \item $\phi_{+}$ Potential an positiver Elektrode (mit $Q$ als Ladung) \item $\phi_{-}$ Potential an negativer Elektrode (mit $-Q$ als Ladung) \end{itemize} \item $C'$ Kapazität pro Länge (z.B. bei Leitungskapazitäten) \end{itemize} \end{description} \subsection{Spezielle Felder} \subsubsection{Sternförmige\index{Feld!Sternförmige} / Homogene Felder\index{Feld!Homogene}} \begin{description} \item [Coulombfeld\index{Feld!Coulomb}]$\vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{Q}{\left|r\right|^{2}}\cdot\frac{\vec{r}}{\left|r\right|}$ \begin{itemize} \item für Kugelförmige bzw. Punkt-förmige Ladungen \end{itemize} \item [Kugel]$E=\frac{U_{0}R}{\left|r\right|^{2}}$ \begin{itemize} \item Bequemere Schreibweise über Spannung $U_{0}$ gegenüber Potential im Unendlichen \item $R$ Durchmesser der Kugel \item Kapazität\\ $C=4\pi\varepsilon R$ mit $R_{2}$ im unendlichen\\ $C=\frac{4\pi\varepsilon}{\frac{1}{R}-\frac{1}{R_{2}}}$ mit $R_{2}$ als umhüllende Kugel im endlichen \end{itemize} \item [Umhüllte~Kugel]$E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon}\left(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}\right)$ \begin{itemize} \item Gilt nur zwischen der Kugel und der Umhüllung \item $r_{1}$ Radius Innenkugel \item $r_{2}$ Radius Umhüllung \end{itemize} \item [Platten~Kondensator\index{Kondensator}\index{Kondensator!Platten}]$E=\frac{U_{0}}{d}=\frac{Q}{\varepsilon A}$ \begin{itemize} \item $A$ Fläche der Kondensator-platten (Parallel!/plan) \item $d$ Abstand der Platten \item $C=\frac{A\varepsilon}{d}=\frac{Q}{U_{0}}$ Kapazität \item Aufteilung Spannungen $U=U_{0}\frac{y}{d}$ (y Höhe über einer Platte) \end{itemize} \end{description} \subsubsection{Dipol\index{Dipol} \textsf{\textmd{\small I.166}}} \begin{description} \item [Charakteristika]~ \begin{itemize} \item Ladungen vom Betrag gleich \item Unterschiedliche Vorzeichen \end{itemize} \item [Dipolmoment\index{Dipolmoment}]$P=aQ$ \begin{itemize} \item $a$ Abstand der beiden Ladungsmittelpunkte \end{itemize} \item [Nahfeld\index{Nahfeld}]~ \begin{itemize} \item $r\approx a\rightarrow$ Nahfeld \item Zwischen Ladungen in etwa homogen \item Um die Ladungen etwa Sternförmig \end{itemize} \item [Fernfeld\index{Fernfeld}]$E_{r}=\frac{P}{2\pi\varepsilon}\cos\alpha\frac{1}{r^{3}}\,\,\, E_{\bot}=\frac{P}{4\pi\varepsilon}\sin\alpha\frac{1}{r^{3}}$ \begin{itemize} \item $r\gg a\rightarrow$ Fernfeld \item $P$ Dipolmoment \item $\alpha$ Winkel relativ zur Dipolachse (Gerade durch beide Ladungen / mit Berühren) \item $r$ Radius relativ zum Dipolmittelpunkt \item $E_{r}$ Fernfeld Radialanteil \item $E_{\bot}$ Fernfeld Anteil senkrecht zum Radius (von - nach +) \end{itemize} \end{description} \subsubsection{Linienladungen\index{Linienladung} \textsf{\textmd{\small I.167}}} \begin{description} \item [Ladungsdichte\index{Ladungsdichte}\index{Linienladung!Ladungsdichte}]$\lambda=\frac{dQ}{ds}$ \item [Potentialfunktion]$\phi(r,z)=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon}\left[\mathrm{Arsh}\left(\frac{s-z}{r}\right)\right]_{l_{1}}^{l_{2}}$ \begin{itemize} \item Die Linienladung liegt im 3-Dim Zylinderkoordinatensystem auf der z-Achse im Bereich von $l_{1}$ bis $l_{2}$. \item für $s$ wird die untere und obere Grenze eingesetzt ($l_{1}$, $l_{2}$) \item $r$ ist sozusagen der senkrechte Abstand von der Linienladung, lässt sich also auch auf 3-Dim übertragen ($r=$Radius in $x$,$y$ Ebene) \item $z$ ist die Höhenkoordinate des Punktes (Zylinderkoordinatensystem!!) \end{itemize} \item [Potentialfunktion~$\infty$-lange~Ladung]$\phi(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon}\ln\left(\frac{\textrm{const}}{r}\right)$ \begin{itemize} \item const im $ln$, da sich so die Einheit von $r$ herauskürzt. \end{itemize} \item [E-Feld~$\infty$-lange~Ladung]$E(r)=\frac{\lambda}{2\pi r\varepsilon}$ \begin{itemize} \item Radial (und senkrecht) von der Linienladung nach außen (nach innen) gerichtet \item gilt für eine unendlich lange Linienladung \item gilt auch für eine Zylindrische-Linienladung, allerdings nur Außerhalb \end{itemize} \item [Koaxialkabel\index{Koaxialkabel}]$C'=\frac{2\pi\varepsilon}{\ln\left(\frac{r_{a}}{r_{i}}\right)}$ \begin{itemize} \item $C'$ Kapazität pro Länge \item $r_{i}$ Radius Innenleiter \item $r_{a}$ Radius Umhüllung \end{itemize} \item [Doppelleitung\index{Doppelleitung}]$C'=\frac{\pi\varepsilon}{\ln\left(\frac{d}{r}\right)}$ \begin{itemize} \item gilt nur wenn $r\ll d$ \item $r$ Radius der Leiter \item $d$ Abstand der Leitermittelpunkte \end{itemize} \end{description} \subsection{Im Kondensator\index{Kondensator} gespeicherte Energie\index{Energie}\index{Feld!Energie}\index{Kondesator!Energie} \textsf{\textmd{\small I.184}}} \begin{description} \item [Gesamtenergie]$W_{e}=\int_{0}^{\infty}u(t)\ i(t)\ dt=\int_{V}\vec{D}\vec{E}\ dV=V\int_{0}^{D_{e}}\vec{E}\ d\vec{D}$ \begin{itemize} \item $W_{e}==\frac{1}{2}CU^{2}=\frac{1}{2}QU=\frac{Q^{2}}{2C}$ \item $u(t),i(t)$ Ladespannung und Strom am Kondensator (Gesamtenergie = Unendliche Ladedauer) \item $C$ Kapazität (muss konstant sein) \item $U$ Spannung am Kondensator \item $Q$ Ladung auf den Kondensatorplatten \item $V$ Volumen (zwischen Platten) \item $D_{e}$ Endwert der Verschiebungsdichte \end{itemize} \item [Energiedichte\index{Energiedichte}]$w_{e}=\int_{0}^{D_{e}}E\ dD=\frac{1}{2}\varepsilon E^{2}=\frac{1}{2}DE=\frac{D^{2}}{2\varepsilon}$ \begin{itemize} \item $w_{e}$ ist Energie pro Volumen im E-Feld \item $D_{e}$ Endwert der Verschiebungsdichte \end{itemize} \item [Energieverlust~beim~Parallelschalten]$W_{v}=\frac{\left(Q_{1}C_{2}-Q_{2}C_{2}\right)^{2}}{2C_{1}C_{2}\left(C_{1}+C_{2}\right)}$ \begin{itemize} \item Wenn Kondensatoren parallel geschaltet werden, tritt beim Umladevorgang ein Energieverlust auf. Dieser wird in Wärme umgewandelt und abgestrahlt. \item $W_{G}=W_{1}+W_{2}-W_{v}$ \end{itemize} \end{description} \subsection{Energie im Elektrischen Feld (Mechanisch) \textsf{\textmd{\small I.186}}} \begin{description} \item [Arbeit~im~E-Feld]$W_{mech}=q\int_{A}^{B}\vec{E}\ d\vec{s}=qU_{AB}$ \begin{itemize} \item Da es sich um eine konservative Kraft handelt ist es egal welcher Weg gewählt wird, nur der Start- und Endpunkt sind entscheiden $\oint_{L}\vec{E}\ d\vec{s}=0$ \item lässt sich in normales Produkt überführen, wenn man den Weg längs einer Feldlinie wählt \end{itemize} \item [Potentielle~Energie]$E_{P}=qU$ \begin{itemize} \item $q$ Probeladung \item $U$ Spannung / Potential am Ort \end{itemize} \item [Potentielle~Energie~Kugel-Kondensator]$E_{P}=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{Qq}{r}=U_{o}\frac{R}{r}q$ \begin{itemize} \item $r$ Abstand Zentrum Kugel-Kondensator zu Zentrum Probeladung \item $R$ Durchmesser Kugel-Kondensator \item $U_{0}$ Spannung an Kugel-Kondensator \end{itemize} \item [Kräfte~an~Plattenkondensator~Platten\index{Kraft!Kondensator}\index{Kondensator!Kraft}]$F_{x}=\frac{U^{2}\varepsilon A}{2d^{2}}=\frac{E^{2}\varepsilon A}{2}=\frac{D^{2}A}{2\varepsilon}$ \begin{itemize} \item Wenn $U$ konstant \item $F_{x}=\frac{Q^{2}}{2\varepsilon A}$ wenn $Q$ konstant \item Auf jeweils andere Platte gerichtet \item allgemein siehe \vref{sub:Prinzip-virtuelle-Verschiebung} \end{itemize} \end{description} \subsection{Influenz\index{Influenz} \textsf{\textmd{\small I.169}}} Im Innern eines geschlossenen Leiters herrscht kein elektrisches Feld, da die Ladungsträger dies durch Positionsänderung sofort Ausgleichen würden. Dies gilt auch, wenn die Ladungsträger bereits verschoben wurden, wenn man z.B. zwei Metallplatten verbunden in ein Feld bringt, und dort trennt, herrscht zwischen den Platten kein Feld. \subsection{Berechnungsmethoden\index{E-Feld!Berechnungsmethoden}} \subsubsection{Symmetrie\index{Symmetrie}} Mit Hilfe der Symmetrie lassen sich einige Feldverläufe logisch erschließen. Wenn man die Anordnung drehen würde, dies für den Betrachter aber nicht durch eine andere Position der Ladungen sichtbar werden würde, kann sich auch das Feld nicht ändern. Hiermit lässt sich das sternförmige Feld einer einzelnen Ladung begründen. Dies Prinzip kann auch mit Spiegelsymmetrie genutzt werden. Bei unendlich langen Linienladungen lässt sich begründen, das das Feld rechtwinklig vom Leiter nach außen verlaufen muss, da alles andere sich nicht (siehe Symmetrie) begründen ließe. \subsubsection{Überlagerung\index{Überlagerung}} Wie schon häufig erwähnt lassen sich Kräfte, E-Felder und die Potentialfunktion überlagern. Es ist allerdings meistens am einfachsten die Potentialfunktion zu überlagern, da diese eine skalare Funktion ist. Gegebenenfalls muss die Potentialfunktion durch Integration aus dem E-Feld gewonnen werden. Falls als Antwort das E-Feld verlangt ist, erhält man dies aus dem (-grad($\phi$)) des Potentialfeldes (Komponenten des E-Feldes sind partielle Ableitungen von $\phi$ nach x, y, z). \subsubsection{Gauß'scher Satz der Elektrostatik\index{Gauß'scher Satz der Elektrostatik} \textsf{\textmd{\small I.163}}} Mit Hilfe des Gaus'schen Satzes der Elektrostatisch lässt sich bei bekannten Feldverläufen die Verschiebungsdichte\index{Verschiebungsdichte} leicht aus der Ladung und einer geometrischen Figur ableiten (siehe \vref{des:Gau=DF'scherSatzderElektrostatik}). Ein relativ allgemeiner Lösungsweg könnte so aussehen: \begin{enumerate} \item $D=\frac{Q}{A}$ Formel aufstellen \begin{itemize} \item $A$ ist eine Fläche, die überall senkrecht von $\vec{D}$ durchdrungen wird. \end{itemize} \item $U=\frac{1}{\varepsilon}\int_{s_{1}}^{s_{2}}D\ ds$ Formel aufstellen und Integral lösen \begin{itemize} \item $s$ ist eine Strecke, die auf einer Feldlinie verläuft \item $s_{1},s_{2}$ sind Anfangs- und Endpunkte von einer Feldlinie auf den Kondensatorplatten \end{itemize} \item $C=\frac{Q}{U}$ ($Q$ wird sich herauskürzen) \item $Q=C\cdot U$ \item $E=\frac{D}{\varepsilon}$ ($Q$ durch Formel aus 4. ersetzen) \end{enumerate} \subsubsection{Prinzip der Materialisierung\index{Materialisierung}\index{Prinzip!Materialisierung} \textsf{\textmd{\small I.178}}} Das Prinzip der Materialisierung baut aus bekannten Funktionen eine Berechnungsformel für kompliziertere Kondensatoren auf. Bei ihm wird folgendermaßen vorgegangen: \begin{enumerate} \item Potentialfunktion für das Gesamtfeld aufstellen \item Potential an der Oberfläche von der positiven Ladung errechnen $\left(\phi_{+}\right)$ \item Potential an der Oberfläche von der negativen Ladung errechnen $\left(\phi_{-}\right)$ \item In Formel $C=\frac{Q}{\phi_{+}-\phi_{-}}\qquad C'=\frac{\lambda}{\phi_{+}-\phi_{-}}$ einsetzen\\ (siehe \vref{des:Kapazit=E4t}) \end{enumerate} \subsubsection{\label{sub:Prinzip-virtuelle-Verschiebung}Prinzip der virtuellen Verschiebung\index{Verschiebung}\index{virtuelle Verschiebung}\index{Prinzip!virtuelle Verschiebung} \textsf{\textmd{\small I.186}}} Beim \emph{Prinzip der virtuellen Verschiebung} wird eine Platte am Kondensator um $dx$ relativ zur anderen bewegt (dichter / entfernter), und mit Hilfe der Energieerhaltung ergibt sich: \begin{itemize} \item $F_{x}=-\frac{dW_{e}^{(Q)}}{dx}$ bei konstanter Ladung während des verschiebes \item $F_{x}=\frac{dW_{e}^{(U)}}{dx}$ bei konstanter Spannung während des verschiebens \end{itemize} Mit Hilfe dieser Gleichungen lassen sich die Kräfte\index{Kraft!Kondensator}\index{Kondensator!Kräfte} auf die Kondensatorplatten bestimmen. Die Form des Kondensators spielt hierbei keine Rolle. Eine positive Kraft zählt übrigens immer in Richtung der Mitte des Kondensators. Die Formel muss übrigens nach $x$ und \emph{nicht} nach $d$ abgeleitet werden. Dafür wird z. B. beim Plattenkondensator $d$ durch $\left(d-x\right)$ ersetzt. \subsection{\label{sub:Verschiedene-Dielektrika-E-Feld}Verschiedene Dielektrika\index{Dielektrikum}\index{Dielektrikum!Verschiedene} \textsf{\textmd{\small I.190}}} \subsubsection{Allgemein \textsf{\textmd{\small I.190}}} An der Grenzschicht\index{Grenzschicht} zwischen zwei Dielektrika werden Feldlinien wie Licht von einer Linse umgelenkt. Gegeben sei ein Übergang zwischen $\varepsilon_{1}$ und $\varepsilon_{2}$. Das $\vec{D}$ und $\vec{E}$ Feld besitzen eine tangential-Komponente (parallel zur Grenzschicht) mit dem Index $t$ und eine normal-Komponente (senkrecht auf Grenzschicht) mit dem Index $n$. Die Felder im Dielektrikum $\varepsilon_{1/2}$ besitzen den Index $1/2$. Folgendes gilt: \begin{itemize} \item $D_{1n}=D_{2n}$ \item $\frac{D_{1t}}{\varepsilon_{1}}=\frac{D_{2t}}{\varepsilon_{2}}\Leftrightarrow\frac{D_{1t}}{D_{2t}}=\frac{\varepsilon_{1}}{\varepsilon_{2}}$ \item $E_{1n}\varepsilon_{1}=E_{2n}\varepsilon_{2}\Leftrightarrow\frac{E_{1n}}{E_{2n}}=\frac{\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}}$ \item $E_{1t}=E_{2t}$ \item $\frac{\tan\alpha_{1}}{\tan\alpha_{2}}=\frac{\varepsilon_{1}}{\varepsilon_{2}}$ \begin{itemize} \item $\tan\left(\alpha\right)=\frac{E}{D}$ \end{itemize} \end{itemize} Diese Formeln nennen sich Brechungsgesetz\index{Brechungsgesetz}. \subsubsection{Senkrechte Durchdringung\index{Senkrechte durchdringung} der Grenzschicht\index{Grenzschicht} \textsf{\textmd{\small I.190}}} \begin{itemize} \item $D_{1}=D_{2}$ \item $\varepsilon_{1}E_{1}=\varepsilon_{2}E_{2}$ \end{itemize} \section{Stationäre elektrische Strömungsfelder\index{Strömungsfelder} \textsf{\textmd{\small I.201}}} Ein stationäres Stromungsfeld ist ein \emph{Leiter}, der von einem zeitlich unveränderlichen Strom durchflossen wird. Einschaltmomente werden hier vernachlässigt. Die Formeln aus dem elektrostatischen Feld gelten auch im elektrischen Strömungsfeld. \subsection{Grundlagen \textsf{\textmd{\small I.202}}} \begin{description} \item [E-Feld]siehe elektrostatisches E-Feld (gelten hier genauso) \item [Potentialfunktion]siehe elektrostatisches E-Feld (gelten hier genauso) \item [Stromdichte\index{Stromdichte}]$J=\frac{dI}{dA}$ \begin{itemize} \item wenn $I\perp A$ \item $I=\int_{A}\vec{J}\ d\vec{A}$ \end{itemize} \item [1.~Kirchhoff\index{Kirchhoffschen Gleichungen}]$\oint_{A}\vec{J}\ d\vec{A}=0$ \begin{itemize} \item $\Rightarrow$ Quellenfreiheit\index{Quellenfrei} des $\vec{J}$ Feldes \end{itemize} \item [Ohmsches~Gesetz]$E=\rho J\quad E=\frac{J}{\gamma}$ \begin{itemize} \item $\rho$ (roh) spezifischer Materialwiderstand $\left[\rho\right]=\Omega m$ \item $\gamma$ (gamma) spezifischer Materialleitwert $\left[\gamma\right]=\frac{S}{m}$ \end{itemize} \item [2.~Kirchhoff\index{Kirchhoffschen Gleichungen}]$\oint_{L}\vec{E}\ d\vec{s}=0$ \begin{itemize} \item $\Rightarrow$ Wirbelfreiheit des $\vec{E}$ Feldes \item $U_{A,B}=\int_{A}^{B}\vec{E}\ d\vec{s}$ \begin{itemize} \item entlang Stromlinie auch ohne Skalarproduckt \end{itemize} \end{itemize} \item [Leistungsdichte\index{Leistungsdichte}]$p=\frac{dP}{dV}=\frac{J^{2}}{\gamma}=EJ=\gamma E^{2}$ \begin{itemize} \item Gesamtleistung\\ $P=\int_{V}p\ dV=\int_{V}\frac{J^{2}}{\gamma}dV=\int_{V}EJ\ dV=\int_{V}\gamma E^{2}\ dV$ \end{itemize} \item [Widerstand\index{Widerstand}]$R=\frac{U}{I}=\frac{\int_{L}\vec{E}\ d\vec{s}}{\int_{A}\vec{J}\ d\vec{A}}$ \begin{itemize} \item Genauere Berechnungsmethoden folgen weiter unten \end{itemize} \item [Stromfäden\index{Stromfäden}]$+\rightarrow-$ \begin{itemize} \item {}``Weg'' eines positiven Ladungsträgers im Leiter (technische Stromrichtung) \item Vergleichbar Feldlinien\index{Feldlinien} \item stehen senkrecht auf Äquipotentialflächen\index{Äquipotentialflächen} \end{itemize} \item [Äquipotentialflächen\index{Äquipotentialflächen}]$U=$ konstant \begin{itemize} \item Fläche im Material, auf der Überall die gleiche Spannung herrscht \item Jede Oberfläche eines Supra-Leiters $\left(R=0\right)$ ist eine Äquipotentialfläche \item stehen senkrecht auf Stromfäden \end{itemize} \end{description} \subsection{Widerstandsberechnung\index{Widerstandsberechnung} \textsf{\textmd{\small I.204}}} Allgemein: \[ R=\frac{U}{I}=\frac{\int\vec{E}d\vec{s}}{\int_{A}\vec{J}d\vec{A}}\] Zum Berechnen von Widerständen gibt es zwei Ansätze. Beide gehen allerdings davon aus, das der Strom im Leiter gleichmäßig verteilt ist, und das der Strom gleichmäßig in die Stirnflächen einströmt. \begin{description} \item [Reihenschaltung\index{Reihenschaltung}]$R=\int_{l}dR=\int_{l}\frac{dl}{\gamma A}$ \begin{enumerate} \item Material in dünne Schichten zerschneiden \item für diese Schichten den $dR$ ausrechnen \item Aufintegrieren über einem Stromfaden $\left(=R\right)$ \end{enumerate} \item [Parallelschaltung\index{Parallelschaltung}]$G=\int_{A}dG=\int_{A}\frac{\gamma\ dA}{l}$ \begin{enumerate} \item Material in dünne Streifen zerschneiden \item für diese Streifen den $dG$ ausrechnen \item Aufintegrieren über der Fläche (senkrecht zu den Stromfäden) $\left(=G\right)$ \end{enumerate} \end{description} \subsubsection{Spezielle Widerstände} \begin{description} \item [Koaxialkabel\index{Koaxialkabel}]$R=\frac{\ln\left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right)}{2\pi l\gamma}$ \begin{itemize} \item $R$ Widerstand zwischen Hüllleiter und Innenleiter \item $r_{1}$ Radius Innenleiter \item $r_{2}$ Innenradius Mantelleiter \item $l$ Leiterlänge \item Gilt, als Näherung, wenn der Leitwert des Dielektirkums viel kleiner als Leitwert des Leitermaterials \end{itemize} \item [Leiterbogen\index{Leiterbogen}]$R=\frac{\pi}{\mu B\ln\left(\frac{r_{a}}{r_{i}}\right)}$ \begin{itemize} \item rechteckiger Querschnitt \item $r_{a},r_{i}$ innen und Außenradius des Metallbogens \item $B$ Breite des Bogens (senkrecht zum Radius) \item gilt nur als Näherung!!! ($r_{i}\gg\left(r_{a}-r_{i}\right)$) \end{itemize} \end{description} \subsubsection{Erdungsproblem\index{Erdungsproblem} \textsf{\textmd{\small I.206}}} Beim den folgenden Formeln zum Erden von Strömen wird davon ausgegangen, das sich der Strom radial vom Eintrittspunkt in die Erde in alle Richtungen gleichmäßig ausbreitet. Dies ist allerdings nur gegeben, wenn der Erdung über einen Halbkugelförmigen Erder geschieht. Außerdem muss der Wiederstand des Erders bedeutend kleiner sein, als der Widerstand des Erdbodens. \begin{description} \item [Berührspannung\index{Berührspannung}]$U_{B}=\frac{I}{e\pi\mu}\left(\frac{1}{r_{0}}-\frac{1}{r_{1}}\right)$ \begin{itemize} \item $U_{B}$ gibt Spannung an, die zwischen den Füßen und den Händen eines Menschen anliegen würde, wenn er einen Erder berührt. \item $I$ Strom der über den Erder in den Boden fließt \item $\mu$ Leitwert des Erdbodens \item $r_{0}$ Radius der Erdungshalbkugel \item $r_{1}$ Radius auf dem der Erdboden berührt wird \end{itemize} \item [Schrittspannung\index{Schrittspannung}]$U_{B}=\frac{I}{e\pi\mu}\left(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}\right)$ \begin{itemize} \item $U_{B}$ gibt Spannung an, die zwischen den Füßen eines Menschen anliegen würde, wenn er sich in der Nähe eines Erders befindet. \item $I$ Strom der über den Erder in den Boden fließt \item $\mu$ Leitwert des Erdbodens \item $r_{1},r_{2}$ Radien die man auf dem Erdboden berührt \end{itemize} \end{description} \subsection{Bedingungen an Grenzflächen\index{Grenzfläche} \textsf{\textmd{\small I.209}}} Die folgenden Formeln sind beinahe Identisch mit \vref{sub:Verschiedene-Dielektrika-E-Feld}. Die Stromdichte $\vec{J}_{n}$die Senkrecht auf die Grenzfläche trifft, tritt mit dem gleichen Betrag und Richtung an der anderen Seite wieder aus. Für die tangentiale Stromdichte gilt $\frac{\vec{J}_{1T}}{\mu_{1}}=\frac{\vec{J}_{2T}}{\mu_{2}}$. Es gilt: \begin{itemize} \item $\vec{J}_{1N}=\vec{J}_{2N}$ \item $\frac{\vec{J}_{1T}}{\mu_{1}}=\frac{\vec{J}_{2T}}{\mu_{2}}$ \item $\vec{E}_{1T}=\vec{E}_{2T}$ \item $\frac{\vec{E}_{1N}}{\mu_{2}}=\frac{\vec{E}_{2N}}{\mu_{1}}$ \item $\frac{\tan\alpha_{1}}{\tan\alpha_{2}}=\frac{\mu_{1}}{\mu_{2}}$ \item Rechtwinklig zur Grenzfläche fließender Strom wird nicht abgelenkt! \end{itemize} \section{Sationäre Magnetfelder\index{Magnetfeld}\index{Magnetfeld!Stationär}\index{Stationär!Magnetfeld} \textsf{\textmd{\small I.211}}} \subsection{Grundlagen} \begin{description} \item [Flussdichte~/~Induktion\index{Induktion}\index{Magnetfeld!Flussdichte}\index{Flussdichte}]$\vec{B}=\mu\vec{H}$ \begin{itemize} \item Einheit $\left[B\right]=\frac{N}{Am}=\frac{Vs}{m^{2}}=\frac{kg}{As^{2}}=T=Tesla$ \item $B$-Feld wird {}``irgendwie'' erzeugt, Formeln je nach Aufbau. \item Alte Einheit $1\textrm{Gauss}=1G=10^{-4}T$ \end{itemize} \item [Feldsträke\index{Magnetisch!Feldsträke}\index{Feldsträke!Magnetische}]$\vec{H}=\frac{\vec{B}}{\mu}$ \begin{itemize} \item Einheit $\left[\vec{H}\right]=\frac{A}{m}$ \item auch mag. Erregung\index{Magnetisch!Erregung}\index{Erregung!Magnetisch} genannt \item unabhängig vom Material in dem das Feld herrscht \item Ursache für $\vec{B}$-Feld \end{itemize} \item [Kraft]$\vec{F}=I\vec{l}\times\vec{B}=I\int d\vec{s}\times\vec{B}=Q\vec{v}\times\vec{B}$ \begin{itemize} \item $\vec{l}$ Länge und Lage des Leites im $B$-Feld \item Betrag $F=I\ l\ B\ \sin\alpha$ \item Richtung $\vec{F}\perp\vec{B}$, $\vec{F}\perp\vec{l}$ (Rechte Hand Regel) \item $\vec{v}$ Geschwindigkeit der Ladung $Q$ im $\vec{B}$-Feld \item parallele, gleiche Richtung von I $\rightarrow$ Anziehung \item parallele, entgegengesetzte Richtung von I $\rightarrow$ Abstoßung \end{itemize} \item [Permiabilitätskonstante\index{Permiabilitätskonstante}]$\mu=\mu_{0}\mu_{r}$ \begin{itemize} \item $\mu_{0}=4\pi10^{-7}\frac{Vs}{Am}$ Permiabilität im Vakuum / Luft \begin{itemize} \item genau dieser Wert, da Ampere hierüber definiert ist. \end{itemize} \item $\mu_{r}$ Materialeigenschaft (im Vakuum / Luft = 1) \begin{itemize} \item bei ferromagnetischen Materialien ist dies eine Kurve, die eventuell sogar eine Drehung zwischen $\vec{H}$ und $\vec{B}$ verursacht \end{itemize} \end{itemize} \item [Feldlinien]Nord $\rightarrow$ Süd \begin{itemize} \item Umkreisen den Strom der sie erzeugt im Rechten Winkel \end{itemize} \end{description} \subsubsection{Durchflutungsgesetz \index{Durchflutungsgesetz} \textsf{\textmd{\small I.219}}} \[ \sum_{k}I=\oint_{L}\vec{H}\ d\vec{s}=\Theta=\int_{A}\vec{J}\ d\vec{A}\] \begin{itemize} \item Wenn man ein Linienintegral um einen oder mehrere Leiter auswertet, so erhält man \begin{itemize} \item die Summe der eingeschlossenen Ströme (wenn alle $\vec{I}$ parallel zueinander) \item die Durchflutung Theta $\Theta$. \item das Integral über die Stromdichte der eingeschlossenen Stromfäden \end{itemize} \end{itemize} \subsubsection{Biot-Savart'sches Gesetz\index{Biot-Savart'sches Gesetz} \textsf{\textmd{\small I.223}}} \[ \vec{B}\left(P\right)=\frac{\mu I}{4\pi}\oint_{L}\frac{d\vec{s}\times\vec{r}_{0}}{\left\Vert \vec{r}\right\Vert ^{2}}=\frac{\mu I}{4\pi}\oint_{L}\frac{d\vec{s}\times\vec{r}}{\left\Vert \vec{r}\right\Vert ^{3}}\] \begin{itemize} \item Das $B$-Feld in einem bestimmten Punkt $P$ erhält man durch Integration entlang des Stromweges $L$ \item gilt nur für $\mu$ im \emph{ganzen} Raum konstant \item $\vec{r}$ zeigt vom akt. Punkt auf Stromweg in Richtung des Punktes $P$ \end{itemize} \subsubsection{magnetischer Fluss\index{magnetischer Fluss} \textsf{\textmd{\small I.225}}} \[ \Phi=\int_{A}\vec{B}\ d\vec{A}\] \begin{itemize} \item Einheit Phi $\left[\Phi\right]=Vs=Weber=Wb$ \item $\oint_{A}\vec{B}\ d\vec{A}=0$\\ magnetisches Feld ist Quellenfrei \end{itemize} \subsection{Energie\index{Energie im Magnetfeld} im Magnetfeld \textsf{\textmd{\small I.242}}} \begin{description} \item [Energiedichte]$w=\frac{\mu H^{2}}{2}=\frac{BH}{2}=\frac{B^{2}}{2\mu}=\int_{0}^{B_{ende}}H\ dB$ \begin{itemize} \item gilt nur für ein konstantes $\mu$ \end{itemize} \item [Energie]$W_{m}=\int_{V}w\ dV=wV$ \begin{itemize} \item erste Formel für inhomogenes Material, zweites für Homogenes \end{itemize} \end{description} \subsection{Kräfte im Magnetfeld \textsf{\textmd{\small I.252}}} \begin{description} \item [Kraft\index{Kraft}]$F_{x}=\frac{dW_{m}^{\left(I\right)}}{dx}$ \begin{itemize} \item Wenn Strom konstant \end{itemize} \item [Elektromagnet\index{Elektromagnet}]$\frac{F_{x}}{A}=\frac{B^{2}}{2\mu_{0}}=\frac{\Phi²}{2\mu_{0}A²}$ \end{description} \subsection{Magnetische Ersatzschaltung\index{Magnetisch!Ersatzschaltung}\index{Ersatzschaltung!Magnetisch} \textsf{\textmd{\small I.228}}} \begin{description} \item [magnetischer~Widerstand\index{Magnetisch!Widerstand}\index{Widerstand!Magnetisch}]$R_{m}=\frac{l}{\mu A}=\frac{1}{\Lambda}=\frac{Hl}{\Phi}=\frac{Hl}{BA}=\frac{V}{\Phi}$ \begin{itemize} \item letzten beiden Formeln für nicht konstantes $\mu$ \item Annäherung durch Werte von mittlerer Feldlinie im Material (mittig durch den Querschnitt) \item $l$ Länge des Materials \item $A$ Querschnittsfläche ($A\perp\vec{B}$) \item $\mu$ Materialkonstante \item $\left[R_{m}\right]=\frac{A}{Vs}$ \end{itemize} \item [magnetischer~Leitwert\index{Leitwert!Magnetisch}\index{magnetisch!Leitwert}]$\Lambda=\frac{\mu A}{l}=\frac{1}{R_{m}}=\frac{\Phi}{V}\ldots$ \begin{itemize} \item $\Lambda$ (Lambda), $\left[\Lambda\right]=\frac{Vs}{A}$ \end{itemize} \item [magnetische~Spannung\index{Spannung!Magnetisch}\index{Magnetisch!Spannung}]$V=R_{m}\Phi=\frac{\Phi}{\Lambda}=Hl=\int\vec{H}\ d\vec{s}$ \begin{itemize} \item $\left[V\right]=A$ \item Durchflutung $\Theta$ ist Äquivalent zur Spannungsquelle im Netz mit $V_{q}=\Theta$ \item entspricht Spannung in normalen Netz \end{itemize} \item [magnetischer~Fluss\index{magnetischer Fluss}]$\Phi=\Lambda V=\frac{V}{R_{m}}=BA=\int\vec{B}\ d\vec{A}$ \begin{itemize} \item $\left[\Phi\right]=Vs$ \item entspricht Strom in normalen Netz \item Flussdichte $B=\frac{\Phi}{A}$ ist in einem Zweig konstant, wenn $A$ konstant \end{itemize} \end{description} \subsubsection{Rechenregeln} Allgemein gelten die gleichen Formeln wie bei normalen elektrischen Netzwerken, bis hin zu den komplexen Analyseformen wie z.B. der Knotenanalyse. \begin{description} \item [Maschenregel\index{Maschenregel}]$\sum V=0$ \begin{itemize} \item Die Summe aller Spannungen in einem geschlossenen Umlauf ist 0 \item Wie bei Kirchhoff\index{Kirchhoff} ($\Theta$ ist auch eine Spannung) \end{itemize} \item [Knotenregel\index{Knotenregel}]$\sum\Phi=0$ \begin{itemize} \item Die Summe aller Flüsse in einem Knoten ist 0 \item Wie bei Kirchhoff\index{Kirchhoff} \end{itemize} \end{description} \subsection{Spezielle Anordnungen \textsf{\textmd{\small I.216}}} \begin{description} \item [Linienleiter\index{Linienleiter}]$H=\frac{I}{2\pi r}$ \begin{itemize} \item Idealisierung für unendlich Langen, und unendlich dünnen Linienleiter \item $r$ rechtwinkliger Abstand vom Linienleiter \item $I$ Strom durch den Linienleiter \item Feldlinien umkreisen den Linienleiter nach der \emph{Rechte-Hand-Regel\index{Rechte-Hand-Regel}} (Daumen in Stromrichtung, geschlossene Finger geben Feldlinien vor) \end{itemize} \item [endlicher~Linienleiter]$\vec{B}\left(P\right)=\vec{e}_{3}\frac{\mu I}{4\pi a}\left(\cos\vartheta_{1}+\cos\vartheta_{2}\right)$ \begin{itemize} \item $\mu$ muss im Gesamten Raum konstant sein \item $I$ Strom im endlichen Leiter \item $a$ Abstand zwischen Linienleiter und Punkt $P$ (muss als Höhe auf dem Linienleiter stehen!) \item $\vartheta$ Winkel an Endpunkten des Leiters zwischen dem Leiter und dem Punkt $P$ \end{itemize} \item [Ringspule\index{Ringspule}]$H=\frac{NI}{2\pi r}$ \begin{itemize} \item Geschlossener, ringförmiger Metallkern von $N$ Windungen umschlungen \item $r$ Abstand vom Ringmittelpunkt \end{itemize} \item [Drehspulinstument\index{Drehspulinstument}]$M=n\cdot A\cdot I\cdot B$ \begin{itemize} \item $M$ ist das auf den Anker Wirkende Drehmoment \item $A$ ist die Fläche der Ankerspule die sich im Magnetfeld befindet \item $\vec{B}$ das am Anker anliegende Magnetfeld \item $I$ durch den Anker fließender Strom \item $\alpha=\frac{nAB}{C}I$ Drehwinkel des Anzeigers, wenn $C$ die Spiralfederkonstante ist \end{itemize} \item [Hallsensor\index{Hallsensor}]$U_{H}=\frac{I}{ned}B$ \begin{itemize} \item $n$ Anzahl der freien Ladungsträger pro Volumen (mit Ladung $Q=-e$) \begin{itemize} \item Material mit wenigen freien Ladungsträgern führt zu einer hohen Spannung (z.B. Halbleiter). \end{itemize} \item $d$ Dicke des Sensors \item $I$ Strom der durch den Sensor fließt (möglichst konstant halten) \item $e$ Elementarladung \item $B$ zu detektierendes Magnetfeld \item $U_{H}$ über dem Sensor (quer zur Stromrichtung) anliegende (Hall) Spannung ($U_{H}\sim B$) \end{itemize} \end{description} \subsection{Bedingungen an Grenzflächen \textsf{\textmd{\small I.227}}} Die folgenden Formeln sind beinahe identisch mit \vref{sub:Verschiedene-Dielektrika-E-Feld}. Die Flussdichte $\vec{B}_{n}$ die Senkrecht auf die Grenzfläche trifft, tritt mit dem gleichen Betrag und Richtung an der anderen Seite wieder aus. Für die tangentiale Flussdichte gilt $\frac{\vec{B}_{1T}}{\mu_{1}}=\frac{\vec{B}_{2T}}{\mu_{2}}$. Es gilt: \begin{itemize} \item $\vec{B}_{1N}=\vec{B}_{2N}$ \item $\frac{\vec{B}_{1T}}{\mu_{1}}=\frac{\vec{B}_{2T}}{\mu_{2}}$ \item $\vec{H}_{1T}=\vec{H}_{2T}$ \item $\frac{\vec{B}_{1N}}{\mu_{2}}=\frac{\vec{B}_{2N}}{\mu_{1}}$ \item $\frac{\tan\alpha_{1}}{\tan\alpha_{2}}=\frac{\mu_{1}}{\mu_{2}}$ \item Rechtwinklig auf die Grenzfläche treffende Flussdichte wird nicht abgelenkt! \end{itemize} \subsection{Arbeitsgeraden\index{Arbeitsgeraden} auf Kennlinien\index{Kennlinien} \textsf{\textmd{\small I.232}}} Es kann vorkommen, das man Gleichungen in magnetischen Netzwerken erhält, die ein unbekanntes $B$ und ein unbekanntes $H$ enthalten. Hier ist es Notwendig, beide Größen über die Materialkennline herauszufinden. Man geht dabei wie folgt vor: \begin{enumerate} \item Gleichung nach $B$ auflösen \item $H=0$ setzen, $B_{max}$ berechnen \item Gleichung nach $H$ auflösen \item $B=0$ setzen, $H_{max}$ berechnen \item $B_{max}$ und $H_{max}$ auf den Koordinaten Achsen in der Kennlinie eintragen und verbinden \item Schnittpunkt der Gerade mit der Materialkennline bildet Arbeitspunkt\index{Arbeitspunkt} \item $B$ und $H$ am Arbeitspunkt ablesen \end{enumerate} \subsection{Kenngrößen von Materialien \textsf{\textmd{\small I.218}}} \begin{description} \item [diamagnetisch\index{diamagnetisch}]$\mu_{r}<1$ \begin{itemize} \item Schwächt das $\vec{H}$-Feld ab \item nur gering kleiner als $1$. \begin{itemize} \item Z.B. Kupfer $\mu_{r}=1-160\cdot10^{-6}$ \item Z.B. Wismut $\mu_{r}=1-10\cdot10^{-6}$ \end{itemize} \end{itemize} \item [paramagnetisch\index{paramagnetisch}]$\mu_{r}>1$ \begin{itemize} \item Stärkt das $\vec{H}$-Feld ab \item nur gering größer als $1$. \begin{itemize} \item Z.B. Platin $\mu_{r}=1+300\cdot10^{-6}$ \item Z.B. Aluminium $\mu_{r}=1+22\cdot10^{-6}$ \end{itemize} \end{itemize} \item [ferromagnetisch\index{ferromagnetisch}]$\mu_{r}\gg1$ \begin{itemize} \item z.B. Eisen, Kobalt, Nickel, div. Legierungen \end{itemize} \begin{description} \item [Magnetische~Domänen\index{Magnetische!Domänen}](auch Weisschen Bezirke\index{Weisschen Bezirke}\index{Magnetische!Weisschen Bezirke}) Dieses sind Bereiche innerhalb von Permanentmagneten, die durch atomare Felder im Bereich von 500 Tesla gleich ausgerichtet sind. Durch Einwirkung von Außen lassen sich mehrere dieser Bereiche in ihrer Ausrichtung drehen, bzw. sich die Wände zwischen ihnen bewegen. So erhält das Material eine nach außen wirksames Magnetfeld. \item [Hysteresekurve\index{Hysteresekurve}\index{Magnetische!Hysteresekurve}]$H\Rightarrow B$\\ Dies ist ein Diagramm, in dem die Flussdichte $B$ über $H$ aufgetragen ist. In diesem Diagramm sind 2 bzw. 3 Linien übereinander vorhanden, da es bei den Materialien einen Unterschied macht, wie ihre Flussdichte vorher war, wenn ein neuer $H$ Wert auf sie wirkt. Aufgenommen werden sie so: $H$ bei 0 starten und bis zum +Maximum erhöhen, bei einem noch nicht magnetisierten Material. Dies ist die Neukurve. Nun $H$ bis -Maximum absenken, und wieder bis +Maximum erhöhen. Dies beiden Kurven sind nicht deckungsgleich, und ergeben eine Hysterese. Wird bei kleiner Hysterese durch eine einzelne Kurve angenähert. \item [Sättigung\index{Sättigung}\index{Magnetische!Sättigung}]$B_{S}$\\ Bei der Sättigung erhöht sich der Wert von $B$ nicht weiter, da alle magnetischen Domänen bereits gleichgerichtet sind. \item [Remanenz\index{Remanenz}\index{Magnetische!Remanenz}]$B_{R}$\\ Die Remanenz ist der $B$ Wert, der sich bei einem $H$ von 0 einstellt (nicht Neukurve). \item [Koerzitiv~Feldstärke\index{Koerzitiv Feldstärke}\index{Magnetische!Koerzitiv Feldstärke}]$H_{C}$\\ ist die Feldstärke $H$ die benötigt wird, um die Flussdichte $B$ den Wert 0 annehmen zu lassen (nicht Neukurve). \item [Ummagnetisierungs~Verluste\index{Ummagnetisierung}\index{Magnetisch!Ummagnetisierung}]entstehen durch die Hysterese. Sie entsprechen der Fläche zwischen den beiden Kurven. \item [Weichmagnetisch\index{Weichmagnetisch}]nennen sich die Stoffe die eine schwach ausgeprägte Hysterese besitzen ($H_{C}$ und $B_{R}$ klein). Die Hysteresekurve lässt sich durch eine einzelne Kurve annähern. \begin{itemize} \item Materialien: PermalloyFeNi, amorphe Legierungen \item Anwendungen: Transformatorblech (geringe Verluste) \end{itemize} \item [Hartmagnetisch\index{Hartmagnetisch}]nennen sich die Stoffe die eine stark ausgeprägte Hysterese besitzen ($H_{C}$ und $B_{R}$ gross, $B_{R}\approx B_{S}$). \begin{itemize} \item Materialien: PermalloyFeNi, amorphe Legierungen \item Anwendungen: Transformatorblech (geringe Verluste) \end{itemize} \item [Ummagnetisierungsverluste\index{Ummagnetisierungsverluste}](\textsf{\small I.24}3) sind die Verluste, die bei dem Anlegen einer Wechselspannung an eine Spule durch die Hysterese des Spulenkerns entstehen. Allgemein entspricht der Energieverlust der Fläche zwischen der Hin- und Rückkurve. Weichmagnetische Materialien haben also weniger Verluste als helektrischenartmagnetische Materialien. \end{description} \end{description} \section{Analogien in zeitlich unveränderlichen elektrischen-/ magnetischen- Feldern \textsf{\textmd{\small I.228}}} Siehe Tabelle \vref{cap:FeldAnalogieen}. % \begin{table}[h] \caption{\label{cap:FeldAnalogieen}Analogien in statischen Feldern} \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline Elektrostatik& stationäre& stationäre\tabularnewline & elektrische& Magnetfelder\tabularnewline & Strömungsfelder& \tabularnewline \hline \hline $\oint_{A}\vec{D}\ d\vec{A}=Q$& $\oint_{A}\vec{J}\ d\vec{A}=0$& $\oint_{A}\vec{B}\ d\vec{A}=0$\tabularnewline $\oint_{L}\vec{E}\ d\vec{s}=0$& $\oint_{L}\vec{E}\ d\vec{s}=0$& $\oint_{L}\vec{H}\ d\vec{s}=\Theta$\tabularnewline $\vec{D}=\varepsilon\vec{E}$& $\vec{J}=\gamma\vec{E}$& $\vec{B}=\mu\vec{H}$\tabularnewline \hline $\Psi_{e}=\int_{A}\vec{D}\ d\vec{A}$& $I=\int_{A}\vec{J}\ d\vec{A}$& $\Phi=\int_{A}\vec{B}\ d\vec{A}$\tabularnewline $U=\int_{L}\vec{E}\ d\vec{s}$& $U=\int_{L}\vec{E}\ d\vec{s}$& $V=\int_{L}\vec{H}\ d\vec{s}$\tabularnewline \hline $\sum\Psi_{e}=Q$& $\sum I=0$& $\sum\Phi=0$\tabularnewline $\sum U=0$& $\sum U=0$& $\sum V=\Theta$\tabularnewline $Q=CU$& $I=GU$& $\Psi=N\Phi=LI$\tabularnewline $\Psi_{e}=CU$& & $\Phi=\Lambda V$\tabularnewline \hline \end{tabular} \end{table} \section{Zeitlich veränderliche magnetische Felder \textsf{\textmd{\small I.236}}} \subsection{Grundlagen \textsf{\textmd{\small I.236}}} \begin{description} \item [Induzierte~Spannung]$U=\frac{dx}{dt}Bl=-\frac{d}{dt}\int\vec{B}d\vec{A}=-B\frac{dA}{dt}=-\frac{d\Psi}{dt}=-L\frac{di}{dt}=-\int\vec{v}\times\vec{B}\ d\vec{s}$ \begin{itemize} \item $l$ Länge des Leiters im $B$ Feld \item $A$ Fläche der Leiterschleife im Magnetfeld \item $\Psi$ Magnetischer (Verketteter-) Fluss durch die Leiterschleife \end{itemize} \item [Kraft]$\vec{F}=Q\vec{v}\times\vec{B}=Q\vec{E}_{m}=\frac{dW_{m}}{dx}$ \item [E-Feld\index{E-Feld}]$\vec{E}_{m}=\vec{v}\times\vec{B}$ \begin{itemize} \item durch Ladungsbewegung im B-Feld \item $\vec{E}_{m}+\vec{E}=\vec{0}$ \end{itemize} \item [Lenz'sche~Regel\index{Lenz'sche Regel}]~ Der induzierte Strom bzw. Fluss wirkt der erregenden Ursache immer entgegen. \item [Verketteter~Fluss\index{Verketteter Fluss}\index{Fluss!Verketteter}]$\Psi=N\Phi=\sum\Phi=Li$ \begin{itemize} \item z.B. bei Spule mit mehreren($N$) Windungen: $U=-N\frac{d\Phi}{dt}$ \end{itemize} \item [E-Feld~Quellen]$\oint_{L}\vec{E}\ d\vec{s}\neq0$ \item [Induktivität\index{Induktivität}]$L=N^{2}\Lambda=\frac{N\Phi}{i}=\frac{\Psi}{i}=N^{2}\frac{\Phi}{\Theta}=\frac{2W_{m}}{I^{2}}$ \begin{itemize} \item $\Lambda=\frac{\mu A}{l}$ Magnetischer Leitwert des Materials \item $N$ Windungszahl \end{itemize} \item [Energie]$W_{m}=\frac{1}{2}LI^{2}=\frac{1}{2}\sum_{{{j=1\atop k=1}}}^{n}L_{jk}I_{j}I_{k}=\int_{0}^{\infty}u\left(t\right)i\left(t\right)\ dt=\int_{0}^{I}Li\left(t\right)\ di$ \begin{itemize} \item $I$ aktuell fließender Strom \item zweite Formel für $n$ gekoppelte Spulen in den jeweils der Strom $I_{k}$ fließt, und die über die Induktivitäten $L_{jk}$ gekoppelt sind (Achtung: $\frac{1}{2}L_{ii}I_{i}I_{i}=\frac{1}{2}LI^{2}$ / Selbstinduktion nicht vergessen). \end{itemize} \end{description} \subsection{gekoppelte Spulen \textsf{\textmd{\small I.245}}} \begin{description} \item [Gegeninduktivität\index{Gegeninduktivität}]$M=N_{1}N_{2}\Lambda$ \\ Gilt für verlustfreie Kopplung.\\ Wenn zwei Spulen nahe aneinander gebracht werden, induzieren sie nicht nur in sich selbst eine Spannung, sondern auch in der jeweils anderen. Dieses wird im Schaltplan durch einen Bogen zwischen den Spulen angedeutet, der mit $M$ (Abkürzung für Gegeninduktivität\index{Gegeninduktivität}) beschriftet wird. Diese Gegeninduktivität verhält sich zwischen den beiden Spulen symmetrisch. \item [Ersatzschaltbild]Dieser aus zwei Spulen bestehende Trafo lässt sich auch als Stern aus drei Spulen beschreiben, wenn auf die galvanische Trennung verzichtet werden kann. Im gemeinsamen Zweig liegt hier die Gegeninduktivität $M$ und die individuellen Zweige sind mit $L_{1}-M$ bzw. $L_{2}-M$ bestückt. \end{description} \subsubsection{Berechnungsmethoden \textsf{\textmd{\small I.250}}} \begin{description} \item [Strom~vorgeben]Bei dieser Methode gibt man sich den durch eine Spule vor ($1A$) und berechnet den Fluss durch die andere Spule. Hier bei bitte nur 1ne Windung annehmen. Die Gegeninduktivität $M$ ist dann $M=N_{1}N_{2}\frac{\Phi_{2}}{I_{1}}$. \item [Energie\index{Energie}]$L=\frac{2W_{m}}{I^{2}}$ \end{description} \subsection{Spezielle Anordnungen} \begin{description} \item [Doppelleitung\index{Doppelleitung}]$L'=\frac{L}{l}=\frac{\mu_{0}}{\pi}\ln\left(\frac{d}{r_{0}}\right)$ \begin{itemize} \item $L'$ Induktivität pro Länge \item $d$ Abstand der Leitungen \item $r_{0}$ Radius der Leitungen \end{itemize} \item [parallele~Linienleiter]$M'=\frac{\mu}{2\pi}\left(\frac{r_{ad}r_{bc}}{r_{ac}r_{bd}}\right)$\\ Hierbei sind $r_{xy}$ die Radien zwischen dem Leiter $x$ und dem Leiter $y$. $a$ und $b$ gehören zur ersten, und $c$ und $d$ zur zweiten Spule. Gilt allerdings nur wenn $\mu$ überall im Raum konstant. \end{description} \subsection{Maxwellschen Gleichungen (Integralform)} \begin{itemize} \item E-Feld und M-Feld gehören bei Zeitlicher Veränderung zwangsläufig zusammen \item ist nicht an Vorhandensein eines Leiters gebunden \end{itemize} \begin{description} \item [1.~Maxwell'sche~Gleichung\index{Maxwell'sche Gleichung}]$\oint_{L}\vec{H}\ d\vec{s}=\int_{A}\left(\vec{J}+\frac{d\vec{D}}{dt}\right)d\vec{A}$ \begin{itemize} \item geht bei zeitlich Stationären Feldern über in $\oint_{L}\vec{H}\ d\vec{s}=I$ $\quad\left(\frac{d\vec{D}}{dt}\ll\vec{J}\right)$ \end{itemize} \item [2.~Maxwell'sche~Gleichung]$\oint_{L}\vec{E}\ d\vec{s}=-\frac{d}{dt}\int_{A}\vec{B}\ d\vec{A}$ \end{description} \section{Wechselstromlehre\index{Wechselstromlehre} \textsf{\textmd{\small II.11}}} \subsection{Grundlagen} \subsubsection{sonstige Math. Grundbegriffe \textsf{\textmd{\small II.15}}} \begin{description} \item [Sprungfunktion\index{Sprungfunktion}]$\sigma\left(t\right)=\epsilon\left(t\right)=1\left(t\right)=\left\{ \begin{array}{cc} 0 & \ \mathrm{für}\ t<0\\ 1 & \ \mathrm{für}\ t>0\end{array}\right.$ \begin{description} \item [verschoben]$f\left(t\right)=\sigma\left(t-t_{0}\right)$ \end{description} \item [Einschaltvorgang]$f\left(t\right)=\sigma\left(t-t_{0}\right)\sin\left(\omega t\right)$ \item [Rechteckimpuls\index{Rechteckimpuls}]$f\left(t\right)=\sigma\left(t\right)-\sigma\left(t-t_{0}\right)$ \item [Sinusimpuls\index{Sinusimpuls}]$f\left(t\right)=\left(\sigma\left(t\right)-\sigma\left(t-t_{0}\right)\right)\sin\left(\omega t\right)$ \end{description} \subsubsection{Grundbegriffe für Schwingungen} \begin{description} \item [Frequenz\index{Frequenz}]$f=\frac{1}{T}$ Anzahl von Schwingungen pro Sekunde $\left[f\right]=\frac{1}{s}=$Hz (Hertz) \item [Periodendauer\index{Periodendauer}]$T=\frac{1}{f}$ Dauer einer kompletten Schwingung $\left[T\right]=s$ \item [Kreisfrequenz\index{Kreisfrequenz}]$\omega=2\pi f$ \begin{itemize} \item auch \emph{Winkelgeschwindigkeit\index{Winkelgeschwindigkeit}} bezeichnet \end{itemize} \item [Phasenverschiebungswinkel\index{Phasenverschiebungswinkel}]$\varphi_{0}$ \begin{itemize} \item auch \emph{Phasenlage\index{Phasenlage}} genannt \end{itemize} \item [Phase\index{Phase}]$\varphi=\omega t+\varphi_{0}$ \begin{itemize} \item Achtung: eine positive Phasenlage $\varphi_{0}$ verschiebt die Schwingung nah Links \end{itemize} \item [Amplitude\index{Amplitude}]ist das Maximum was eine Schwingung in ihrem Durchlauf annimmt. Bei $f\left(t\right)=a\sin\left(\omega\left(t\right)+\varphi_{0}\right)$ ist $a$ z.B. die Amplitude. \item [Harmonische~Schwingung\index{Harmonische Schwingung}]ist eine periodische Schwingung (wiederholt sich nach $T$ wider) dann, wenn sie sich durch einen Sinus oder einen Kosinus in der Form $f\left(t\right)=a\sin\left(\omega\left(t\right)+\varphi_{0}\right)$ beschreiben lässt. \item [Anharmonische~Schwingung\index{Anharmonische Schwingung}]ist eine periodische Schwingung dann, wenn sie eben nicht harmonisch ist. \end{description} \subsubsection{Komplexe\index{Komplex} Beschreibung von Schwingungsvorgängen \textsf{\textmd{\small II.18}}} \begin{description} \item [Komplexe~Spannung]$\underbar{U}=\Re\left(\underbar{U}\right)+\Im\left(\underbar{U}\right)=U_{r}+jU_{i}=U\cos\varphi+Uj\sin\varphi=Ue^{j\varphi}=U\left\lfloor \varphi\right.$ \begin{itemize} \item Unterstrich kennzeichnet komplexe Größen \item Indizes $r$ und $i$ geben den Real und Imaginärteil einer Spannung an \item gilt analog für $\underbar{I}$ \item $\left\lfloor \right.$ Versor \end{itemize} \item [Phasenlage\index{Phasenlage}]$\varphi=\arctan\left(\frac{U_{i}}{U_{r}}\right)$ \begin{itemize} \item gilt analog für $\underbar{I}$ \end{itemize} \item [Amplitude\index{Amplitude}]$U=\left|\underbar{U}\right|=\sqrt{U_{r}^{2}+U_{i}^{2}}$ \item [Wechselspannung]$u\left(t\right)=\hat{u}\cos\left(\omega t+\varphi\right)=\Re\left(\underbar{u}\left(t\right)\right)$ \item [komplexe~Wechselspannungs]$\underbar{u}\left(t\right)=\hat{\underbar{u}}e^{j\omega t}$ \item [komplexe~Amplitude\index{komplexe Amplitude}]$\hat{\underbar{u}}=\hat{u}e^{j\varphi}$ \end{description} \subsubsection{Rechenregeln für komplexe Schwingungsvorgänge \textsf{\textmd{\small II.20}}} Detailliertere Informationen entnehmen Sie bitte meiner Formelsammlung: {}``\emph{Formelsammlung Mathe I/II für Informatiker \& E-Techniker}''. \begin{description} \item [Euler'sche~Zahl\index{Euler'sche Zahl}]$j=\sqrt{-1}\quad j^{2}=-1$ \end{description} \begin{itemize} \item Mathematisch $i$, in E-Technik ist $i$ ja bereits für Ströme reserviert \end{itemize} \begin{description} \item [Euler'sche~ Formel\index{Euler'sche Formel}]$e^{j\alpha}=\cos\left(\alpha\right)+j\sin\left(\alpha\right)$ \begin{itemize} \item $e^{jn\frac{\pi}{2}}=j^{n}$ \end{itemize} \item [Ableitung]$\frac{d\underbar{u}}{dt}=j\omega\underbar{u}$ \begin{itemize} \item Multiplizieren mit $j\omega$ \item gilt auch für z.B. $\underbar{i}$ \end{itemize} \item [Stammfunktion]$\int\underbar{i}\ dt=\frac{1}{j\omega}\underbar{i}$ \begin{itemize} \item Dividieren durch $j\omega$ \item gilt auch für z.B. $\underbar{u}$ \end{itemize} \end{description} \subsection{Kenngrößen von Periodische Funktionen} \subsubsection{Mittelwerte\index{Mittelwerte} \textsf{\textmd{\small II.29}}} \begin{description} \item [Arithmetischer\index{Arithmetischer Mittelwert}~Mittelwert]$\bar{f}=\frac{1}{T}\int_{\tau}^{\tau+T}f\left(t\right)dt$ \begin{itemize} \item $\bar{f}_{sin}=0$ \end{itemize} \item [Einweg~Gleichrichtwert\index{Einweg Gleichrichtwert}]$\dot{f}_{EG}=\frac{1}{T}\int_{\tau}^{\tau+T}f_{EG}\left(t\right)dt$ \begin{itemize} \item $f_{EG}\left(t\right)=\left\{ \begin{array}{cc} f\left(t\right) & f\left(t\right)>0\\ 0 & sonst\end{array}\right.$ \item $\bar{f}_{EGsin}=\frac{1}{\pi}\approx0,318$ \item z.B. bei Einweggleichrichtung \end{itemize} \item [Gleichrichtwert\index{Gleichrichtwert}]$\left|\bar{f}\right|=\frac{1}{T}\int_{\tau}^{\tau+T}\left|f\left(t\right)\right|dt$ \begin{itemize} \item auch elektrolytischer\index{elektrolytischer Mittelwert} Mittelwert genannt \item $\left|\bar{f}\right|_{sin}=\frac{2}{\pi}\approx0,637$ \item z.B. bei Brückengleichrichtung \end{itemize} \item [Effektivwert]$F=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{\tau}^{\tau+T}f^{2}\left(t\right)dt}$ \begin{itemize} \item auch: Quadratischer\index{Quadratischer Mittelwert} Mittelwert \item $F_{sin}=\sqrt{\frac{1}{2}}$ \end{itemize} \end{description} \subsubsection{Scheitel\index{Scheitelfaktor}- und Formfaktor\index{Formfaktor} \textsf{\textmd{\small II.35}}} \begin{description} \item [Scheitelfaktor]$f_{s}=\frac{\hat{f}}{F}$ \begin{itemize} \item $f_{s_{sinus}}=\sqrt{2}\approx1,44$ \end{itemize} \item [Formfaktor]$f_{F}=\frac{F}{\left|\bar{f}\right|}$ \begin{itemize} \item $f_{F_{sin}}=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\approx1,11$ \end{itemize} \end{description} \subsection{Diagramme} \subsubsection{Zeigerdiagramm\index{Zeigerdiagramm}} Hier wird in der Gaußschen Zahlenebene ($x=\Re f$ $y=\Im f$) das Verhalten von verschiedenen periodischen Vorgängen zueinander visualisiert. Hier werden alle komplexen Amplituden (für $t=0$) eingetragen. So lässt sich leicht erkennen, ob eine Funktion einer anderen \emph{Voreilt\index{Voreilt}} (liegt gegen den Uhrzeigersinn vor einer Anderen), bzw. \emph{Nacheilt\index{Nacheilt}}. \subsubsection{Operatorendiagramm\index{Operatorendiagramm} / Ortskurve} Hier wird in der Gaußschen Zahlenebene ($x=\Re f$ $y=\Im f$) \emph{entweder} eine Menge von Impedanzen \emph{oder} Admittanzen visualisiert. Die Kurve, die ein komplexer Zeiger $\underbar{Z}$ beschreiben würde, wenn man eine oder mehrere seiner abhängigen Größen verändern würde wird als \emph{Ortskurve\index{Ortskurve}} bezeichnet. Konstruieren kann man diese Kurven durch gezielte Überlagerung und Invertierung von Einzelkurven. Hierzu greift man sich markante Punkte heraus, und verbindet sie entsprechend. Kreise und Geraden sind häufig vertretene Gebilde. \subsection{Komplexes Ohm'sches Gesetz \textsf{\textmd{\small II.39}}} \begin{description} \item [Impedanz\index{Impedanz}]$\underbar{Z}=\frac{1}{\underbar{Y}}$ \begin{itemize} \item Entspricht dem Widerstand in Gleichstromnetzwerken \end{itemize} \begin{description} \item [Ohm'scher~Widerstand]$\underbar{Z}=R$ \item [Kondensator\index{Kondensator}]$\underbar{Z}=\frac{1}{j\omega C}=-j\frac{1}{\omega C}$ \begin{itemize} \item Für $\omega\rightarrow\infty$ geht $\underbar{Z}\rightarrow0$ \item Für $\omega\rightarrow0$ geht $\underbar{Z}\rightarrow\infty$ \end{itemize} \item [Spule\index{Spule}]$\underbar{Z}=j\omega L$ \begin{itemize} \item Für $\omega\rightarrow0$ geht $\underbar{Z}\rightarrow0$ \item Für $\omega\rightarrow\infty$ geht $\underbar{Z}\rightarrow\infty$ \end{itemize} \end{description} \item [Admittanz\index{Admittanz}]$\underbar{Y}=\frac{1}{\underbar{Z}}$ \begin{itemize} \item Entspricht dem Leitwert in Gleichstromnetzen \end{itemize} \item [Reaktanz\index{Reaktanz}~/~Blindwiderstand\index{Blindwiderstand}]$X=\Im\left(\underbar{Z}\right)=-\frac{1}{B}$ \item [Suszeptanz\index{Suszeptanz}~/~Blindleitwert\index{Blindleitwert}]$B=\Im\left(\underbar{Y}\right)=-\frac{1}{X}$ \item [Ohm'sches~Gesetz\index{Ohm'sches Gesetz}]$\underbar{u}=\underbar{Z}\ \underbar{i}\qquad\hat{\underbar{u}}=\underbar{Z}\ \hat{\underbar{i}}\qquad\underbar{U}=\underbar{Z}\underbar{I}$ \item [Knotengleichung\index{Knotengleichung}]$\sum_{v=1}^{n}\underbar{i}_{v}=0\quad\sum_{v=1}^{n}\hat{\underbar{i}}_{v}=0$ \begin{itemize} \item 1. Kirchhoff \end{itemize} \item [Maschengleichung\index{Maschengleichung}]$\sum_{v=1}^{n}\underbar{u}_{v}=0\quad\sum_{v=1}^{n}\hat{\underbar{u}}_{v}=0$ \begin{itemize} \item 2. Kirchhoff \end{itemize} \item [Effektivwert\index{Effektivwert}]$\underbar{I}_{R}=\frac{\hat{\underbar{i}}_{R}}{\sqrt{2}}\quad\underbar{U}_{R}=\frac{\hat{\underbar{u}}_{R}}{\sqrt{2}}$ \begin{itemize} \item $\underbar{U}=\underbar{Z}\underbar{I}$ \end{itemize} \end{description} \subsection{RLC\index{RLC} Schaltungen} \subsubsection{RLC Parallelschaltung\index{RLC-Parallelschaltung} \textsf{\textmd{\small II.52}}} \begin{description} \item [Admittanz]$\underbar{Y}=\frac{1}{R}+j\left[\omega C-\frac{1}{\omega L}\right]=G+j\left(B_{C}+B_{L}\right)$ \item [Resonanzfrequenz]$\omega_{p}=\sqrt{\frac{1}{CL}}$ \end{description} \subsubsection{RLC Reihenschaltung\index{RLC-Reihenschaltung} \textsf{\textmd{\small II.55}}} \begin{description} \item [Impedanz]$\underbar{Z}=R+j\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)=R+j\left(X_{L}+X_{C}\right)$ \item [Resonanzfrequenz]$\omega_{R}=\sqrt{\frac{1}{CL}}$ \end{description} \subsubsection{Maxwell-Wien-Brücke\index{Maxwell-Wien-Bruecke}\index{Wien-Bruecke} \textsf{\textmd{\small II.73}}} Die \emph{Maxwell-Wien-Brücke} (auch \emph{Wien-Brücke}) besteht aus einer Brückenschaltung, an der eine beliebiges Wechselspannung anliegt. In den Zweig oben links wir die zu messende Spule (bestehend aus $L$ und $R_{i}$) eingesetzt. Oben rechts sitzt der Widerstand $R_{3}$ unten links $R_{2}$ und unten recht die Parallelschaltung aus $R_{4}$ und $C_{4}$. In den Mittelast wir ein Spannungsmessgerät eingesetzt. Wenn diese Spannung zu $0$ wird bestehen die Beziehungen: \begin{itemize} \item $R=\frac{R_{2}R_{3}}{R_{4}}$ \item $L=C_{4}R_{2}R_{3}$ \end{itemize} \subsubsection{Lösungsmethode für Netzwerke allgemein \textsf{\textmd{\small II.59}}} \begin{enumerate} \item Transformation von allen Größen im Netzwerk (Quellen und Bauteilen) in die komplexe Darstellung (Komplexe Amplitude / Admittanzen / Impedanzen). \item Berechnen der gesuchten Größen mit Hilfe aller bekannten Netzweranalysemethoden, bloß im Komplexen \item Rücktransformation über Realteilbildung \item Fertig \end{enumerate} \subsubsection{Tiefpass\index{Tiefpass} / Hochpass\index{Hochpass} \textsf{\textmd{\small II.96}}} \begin{description} \item [normierte~Frequenz\index{normierte Frequenz}]$\Omega=\omega RC$ \item [Grenzfrequenz\index{Grenzfrequenz}]$\omega_{g}\Leftrightarrow\frac{U_{A}}{U_{E}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=-3\ dB$ \item [Logarithmisches~Spannungsverhältnis\index{Logarithmisches Spannungsverhaeltniss}~/DeziBel\index{DeziBel}(dB\index{dB})]$\left|\frac{\underbar{U}_{A}}{\underbar{U}_{E}}\right|^{*}=20\ dB\ \log_{10}\left(\frac{U_{A}}{U_{E}}\right)$ \item [Tiefpass~1.~Ordnung\index{Ordnung}]$\frac{\underbar{U}_{A}}{\underbar{U}_{E}}=\frac{1}{1+j\Omega}\quad\frac{U_{A}}{U_{E}}=\frac{1}{\sqrt{1+\Omega^{2}}}\quad\varphi=-\arctan\left(\Omega\right)$ \item [Tiefpass~2.~Ordnung\index{Ordnung}]$\frac{\underbar{U}_{A}}{\underbar{U}_{E}}=\frac{1}{1+\Omega^{2}j3\Omega}\quad\frac{U_{A}}{U_{E}}=\frac{1}{\sqrt{\left(1-\Omega^{2}\right)^{2}+9\Omega^{2}}}\quad\varphi=-\arctan\left(\frac{3\Omega}{1-\Omega^{2}}\right)$ \end{description} \subsubsection{RC-Bandpass\index{Bandpass} \textsf{\textmd{\small II.101}}} \begin{description} \item [Aufbau]Ein RC-Tiefpass gefolgt von einem RC-Hochpass \item [Übertragungsfunktion]$\frac{\underbar{U}_{A}}{\underbar{U}_{E}}=\frac{j\Omega}{1+j3\Omega-\Omega^{2}}$; $\frac{U_{A}}{U_{E}}=\frac{1}{\sqrt{9+\left(\Omega-\frac{1}{\Omega}\right)^{2}}}$ \item [Phase]$\varphi=\frac{\pi}{2}+\arctan\frac{3\Omega}{\Omega^{2}-1}$ \item [Maximum]$\Omega=1$; $\frac{U_{A}}{U_{E}}|_{\Omega=1}=\frac{1}{3}$ \item [Grenzfrequenz]$\frac{U_{A}}{U_{E}}|_{\Omega_{g}}=\frac{1}{3}\frac{1}{\sqrt{2}}$; $\Omega_{g_{1/2}}=\frac{\sqrt{13}\pm3}{2}$ \end{description} \subsubsection{Verschiedene Frequenzen \textsf{\textmd{\small II.103}}} Dies kann man durch Überlagerung\index{Ueberlagerung} von den Verschiedenen Quellen mit der jeweils eigenen Frequenz erreichen. \subsection{Resonanz\index{Resonanz} in RLC-Schaltungen \textsf{\textmd{\small II.105}}} \subsubsection{freie Schwingung\index{freie Schwingung} \textsf{\textmd{\small II.105}}} \begin{description} \item [Entsteht]durch laden eines Kondensators auf $U_{0}$, dessen Energie dann ab einem {}``Einschaltmoment, in einer RLC-Reihenschaltung hin und her schwingt.\\ Folgende Formeln gelten zumindest für den Reihenschwingkreis. \item [Dämpfung\index{Daempfung}]$\delta=\frac{R}{2L}$ \item [Eigenfrequenz\index{Eigenfrequenz}]$\omega_{e}=\frac{1}{\sqrt{LC}}\sqrt{1-\frac{R^{2}C}{4L}}\approx\frac{1}{\sqrt{LC}}$ \begin{itemize} \item Näherung für $R=0$ \end{itemize} \item [Stromverlauf]$i\left(t\right)=-\frac{U_{0}}{\omega_{e}L}e^{-\delta t}\sin\left(\omega_{e}t\right)$ \item [Spannungsverlauf]$u_{C}\left(t\right)=U_{0}\left(\cos\left(\omega_{e}t\right)+\frac{\delta}{\omega_{e}}\sin\left(\omega_{e}t\right)\right)e^{-\delta t}$ \end{description} \subsubsection{Erzwungene Schwingung\index{Erzwungene Schwingung} \textsf{\textmd{\small II.108}}} \begin{description} \item [Resonanzfrequenz\index{Resonanzfrequenz}]$\omega_{r}=\frac{1}{\sqrt{LC}}$ \begin{itemize} \item bei Phasenresonanz \end{itemize} \item [Resonanzüberhöhung\index{Resonanzueberhoehung}]~ \begin{itemize} \item Spannungsüberhöhung\index{Spannungsueberhoehung} $\frac{U_{C}}{U}|_{\omega_{r}}=\frac{U_{L}}{U}|_{\omega_{r}}=\frac{\omega_{r}L}{R}=\frac{1}{\omega_{r}CR}=\frac{\sqrt{\frac{L}{C}}}{R}=Q$ \begin{itemize} \item Für RLC-Reihenschaltung \item Maximum Spulenspannung bei $\omega=\frac{\omega_{r}}{\sqrt{1-\frac{CR^{2}}{2L}}}$ \item Maximum Kondensatorspannung bei $\omega=\omega_{r}\sqrt{1-\frac{CR^{2}}{2L}}$ \end{itemize} \item Stromüberhöhung\index{Stromueberhoehung} $\frac{I_{C}}{I}|_{\omega_{r}}=\frac{\omega_{r}C}{G}=\frac{\sqrt{\frac{C}{L}}}{G}=Q$ \begin{itemize} \item Für RLC-Parallelschaltung \end{itemize} \end{itemize} \item [Phasenresonanz\index{Phasenresonanz}]$\Im\left(\underbar{Z}\right)=0\quad\Im\left(\underbar{Y}\right)=0$ \begin{itemize} \item bei einfachen Schaltungen gleich der Betragsresonanz \end{itemize} \item [Betragsresonanz\index{Betragsresonanz}]$Y=\left|\underbar{Y}\right|$ bzw. $Z=\left|\underbar{Z}\right|$ wird mini-/ maximal \begin{itemize} \item bei einfachen Schaltungen gleich der Phasenresonanz \end{itemize} \begin{description} \item [Reihenresonanz\index{Reihenresonanz}]diese Verhalten zeigt eine Schaltung, wenn $Z\rightarrow$ min gegen ein Minimum bzw. $Y\rightarrow$ max gegen Unendlich bei $\omega_{r}$ strebt. \item [Parallelresonanz\index{Parallelresonanz}]diese Verhalten zeigt eine Schaltung, wenn $Y\rightarrow$ min gegen ein Minimum bzw. $Z\rightarrow$ max gegen Unendlich bei $\omega_{r}$ strebt. \end{description} \item [Gruppenschaltung\index{Gruppenschaltung}]eine Kombination aus L,R,C die weder eine Reihen, Parallel noch ein Hoch / Tiefpass darstellt. \item [Bandbreite\index{Bandbreite}]$\Delta\omega=\frac{R}{L}=\omega_{r}d=\frac{\omega_{r}}{Q}$ \begin{itemize} \item bei reiner R,L,C Reihen- oder Parallelschaltung \end{itemize} \begin{description} \item [Güte\index{Güte}]$Q=\frac{\omega_{r}}{\Delta\omega}=\frac{1}{d}=\frac{\sqrt{\frac{L}{C}}}{R}$ \item [Verlustfaktor\index{Verlustfaktor}]$d=\frac{1}{Q}=\frac{\Delta\omega}{\omega_{r}}=\frac{R}{\sqrt{\frac{L}{C}}}$ \item [relative~Verstimmung\index{Verstimmung}\index{relative Verstimmung}]$v=\frac{\omega}{\omega_{r}}-\frac{\omega_{r}}{\omega}$ \item [normierte~Verstimmung\index{Verstimmung}\index{normierte Verstimmung}]$\Omega=Qv$ \end{description} \end{description} \subsection{Leistung im Wechselstromkreis \textsf{\textmd{\small II.136}}} $\varphi$ ist im folgenden der Winkel zwischen $U$ und $I$. $u\left(t\right)$, $i\left(t\right)$ sind sinusförmig. \begin{description} \item [Wirkleistung\index{Wirkleistung}]$P=UI\cos\varphi=S\cos\varphi=\Re\left(\underbar{S}\right)$ \begin{itemize} \item Einheit $1W=1Watt$ \item Wird \emph{nur} an ohmschen Widerständen umgesetzt. \end{itemize} \item [Blindleistung\index{Blindleistung}]$Q=UI\sin\varphi=S\sin\varphi=\Im\left(\underbar{S}\right)$ \begin{itemize} \item Einheit $1var=1\ volt\ ampere\ reactive$\index{var} (Eigentlich Watt, aber so besser unterscheidbar) \item Wird \emph{nur} an Reaktanzen (C's und L's) umgesetzt. \end{itemize} \item [Scheinleistung\index{Scheinleistung}]$\underbar{S}=P+jQ=UIe^{j\varphi}=\underbar{U}\ \underbar{I}^{*}\qquad S=\left|\underbar{S}\right|=UI=\sqrt{P²+Q²}$ \begin{itemize} \item Einheit $1VA=1\ Volt\ Ampere$\index{VA} (Eigentlich Watt, aber so besser unterscheidbar) \item komplex zusammengesetzte Leistung \item $\varphi=\varphi_{u}-\varphi_{i}$ \end{itemize} \item [Verzerrungsblindleistung\index{Verzerrungsblindleistung}]wird die Blindleistung genannt, wenn Strom und Spannungen gegeneinander verzerrt sind \item [Blindleistungskompensation\index{Blindleistungskompensation}]kompensieren der in einer Last enthaltenen Blindlasten durch gleichgroße mit entgegengesetzter Phase. Dies bedeutet das erstellen eines Parallelschwingkreises in Resonanz $\omega=\omega_{r}$. \begin{itemize} \item $C=\frac{1}{\omega^{2}L}$ \item $L=\frac{1}{\omega^{2}C}$ \end{itemize} \item [Leistungsanpassung\index{Leistungsanpassung}]Maximieren der Leistung an einem Verbraucher, durch Variation seines Widerstandes. \begin{itemize} \item $\underbar{Z}_{a}=\underbar{Z}_{i}^{*}$ \item $R_{a}=\sqrt{R_{i}+\left(X_{a}+X_{i}\right)}$ (Wenn der Blindanteil der Last feststeht) \end{itemize} \item [Wirkungsgrad\index{Wirkungsgrad}]$\eta=\frac{P_{nutz}}{P_{gesamt}}$ \begin{itemize} \item Im Allgemeinen werden hier Wirkleistungen genutzt. \end{itemize} \end{description} \subsection{Der Transformator\index{Transformator} im eingeschwungenen Zustand \textsf{\textmd{\small II.146}}} \begin{description} \item [Symbol]besteht aus Zwei Spulen, an denen $L_{1},L_{2},R_{1},R_{2},M$ bzw. $L_{12}$ angetragen werden. Zusätzlich enthält sie noch zwei Punkte, jeweils an einem Spulenende für den Wickelsinn\index{Wickelsinn} (Gleiche, oder entgegensetzte Seite). \begin{itemize} \item $L_{1},L_{2}$ Induktivität der beiden Spulen mit Ohmschen Wiederstand $R_{1},R_{2}$ \item $M$ bzw. $L_{12}$ ist die Gegeninduktivität\index{Gegeninduktivität} \end{itemize} \item [Last~am~Trafo]$\underbar{Z}_{v}$ \item [Normalfall]$\underbar{U}_{1}=j\omega L_{1}\underbar{I}_{1}+j\omega M\underbar{I}_{2}$ und $\underbar{U}_{2}=j\omega L_{2}\underbar{I}_{2}+j\omega M\underbar{I}_{1}$ \begin{itemize} \item wenn Wickelsinn gleich und Pfeile alle in gleiche Richtung \end{itemize} \item [Ersatzschaltung\index{Ersatzschaltung}]eines (verlustlosen) Transformators mit den Spulen $L_{1}$, $L_{2}$ und der Gegeninduktivität $M$ lässt sich durch eine T-förmige Konstruktion aus $L_{1}-M$ im Längszweig Linksoben, $M$ in Querzweig und $L_{2}-M$ im Längszweig Rechtsoben darstellen. \item [Verlustloser~Trafo\index{Trafo}]$R_{1}=0$ $R_{2}=0$ Hyterreseverluste $=0$ \begin{itemize} \item $\frac{\underbar{I}_{1}}{\underbar{I}_{2}}=\frac{\underbar{Z}_{v}+j\omega L_{2}}{j\omega M}=\frac{\omega L_{2}-j\underbar{Z}_{v}}{\omega M}$ \item $\frac{\underbar{U}_{2}}{\underbar{U}_{1}}=\frac{jM\underbar{Z}_{v}}{jL_{1}\underbar{Z}_{v}-\omega\left(L_{1}L_{2}-M^{2}\right)}=\frac{jM\underbar{Z}_{v}}{jL_{1}\underbar{Z}_{v}-\omega\sigma L_{1}L_{2}}$ \end{itemize} \item [Streufaktor\index{Streufaktor}]$\sigma=1-\frac{M^{2}}{L_{1}L_{2}}$ \begin{itemize} \item $\sigma=0$: es schließt sich der gesamte Fluss im Eisenkern durch \emph{beide} Spulen $\Rightarrow$ der \emph{streuungsfreie\index{streuungsfreie Transformator} Transformator} / \emph{völlige Kopplung\index{voellige Kopplung}} \item $\sigma=1$: Spulen haben nix miteinander zu tun (z.B. $M=0$), worst case. \end{itemize} \item [Streuungsfreier\index{Streuungsfrei}~Transformator]$\sigma=0$ $\Rightarrow$ $M^{2}=L_{1}L_{2}$ \begin{itemize} \item $\frac{\underbar{I}_{1}}{\underbar{I}_{2}}=\sqrt{\frac{L_{2}}{L_{1}}}\frac{\underbar{Z}_{v}+j\omega L_{2}}{j\omega L_{2}}=\frac{\underbar{Z}_{v}+j\omega L_{2}}{j\omega\sqrt{L_{1}L_{2}}}$ \item $\ddot{u}^{2}=\frac{L_{1}}{L_{2}}$ \end{itemize} \item [Verlust-~und~Streuungsfreier~Transformator]$M^{2}=L_{1}L_{2}\qquad R_{1}=0\ R_{2}=0$ \begin{itemize} \item $\frac{\underbar{I}_{1}}{\underbar{I}_{2}}=\frac{N_{2}}{N_{1}}\frac{\underbar{Z}_{v}+j\omega L_{2}}{j\omega L_{2}}=\frac{\underbar{Z}_{v}+j\omega L_{2}}{j\omega L_{2}\ddot{u}}$ \item $\underbar{Z}_{1}=\left(j\omega L_{1}\right)||\left(\ddot{u}^{2}\underbar{Z}_{v}\right)=\frac{1}{\frac{1}{j\omega L_{1}}+\frac{1}{\ddot{u}^{2}\underbar{Z}_{v}}}$ \item $\ddot{u}=\frac{\underbar{U}_{1}}{\underbar{U}_{2}}=\frac{N_{1}}{N_{2}}$ \end{itemize} \item [Ideale\index{Ideale Transformator}~Transformator]$M,L_{1},L_{2}=\infty$ \begin{itemize} \item und zusätzlich Verlust- und Streuungsfrei \item $\underbar{Z}_{1}=\ddot{u}^{2}\underbar{Z}_{v}$ \item $\ddot{u}=\frac{\underbar{I}_{2}}{\underbar{I}_{1}}$ \end{itemize} \end{description} \printindex{} \end{document}