Ersatzschaltungen, passiv I.34

Reihenschaltung I.34

• Ersatzwiderstand
  $$R_{g}=\sum_{k=1}^{n}R_{k}$$

• Spannungsteiler
  $$U_{v}=U_{g}\frac{R_{v}}{R_{g}}$$

Parallelschaltung I.35

• Ersatzwiderstand
  $$G_{g}=\sum_{k=1}^{n}G_{k}$$
  $$R_{g}=\frac{1}{\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{R_{k}}}$$
  • Sonderfall bei 2 Widerständen $R_{g}=R_{1}\vert\vert R_{2}=\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$
• Stromteiler
  $$I_{v}=I_{g}\frac{G_{v}}{G_{g}}$$
  • Sonderfall bei 2 Widerständen $I_{1}=I_{g}\frac{G_{1}}{G_{1}+G_{2}}=I_{g}\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$

Brückenschaltung I.39

Eine Brückenschaltung lässt sich nicht direkt berechnen. Aber es lassen sich alle Methoden für kompliziertere Netzwerke anwenden.

Sonderfall abgeglichene Brücke. Hier ist der Strom und die Spannung im Brückenzweig $I_{b}=0A,\; U_{b}=0V$. Hier kann der Brückenzweig kurzgeschlossen oder geöffnet werden, um weitere Berechnungen anzustellen. Eine Brücke ist abgegelichen wenn $\frac{R_{1}}{R_{2}}=\frac{R_{3}}{R_{4}}$ gilt.

Stern $\Longleftrightarrow$ Dreieck Transformation I.79

Der Mittelpunktes eines Sterns aus 3 Widerständen bekommt die Nummer 0, die Ecken die Nummern 1 bis 3. Gleiches gilt für die Ecken eines Dreiecks aus 3 Widerständen. Um nun von einer in die andere Schaltung zu transformieren, nutzt man folgende Gleichungen (Achtung, innere Ströme gehen dadurch verloren!!)

• Dreieck $\Longrightarrow$ Stern
  

  $$R_{10} = \frac{R_{12}R_{13}}{R_{12}+R_{13}+R_{23}}$$

  $$R_{20} = \frac{R_{12}R_{23}}{R_{12}+R_{13}+R_{23}}$$

  $$R_{30} = \frac{R_{13}R_{23}}{R_{12}+R_{13}+R_{23}}$$

  $$\textrm{Sternw.} = \frac{\textrm{Prod. Anliegerwiderstände}}{\textrm{Umfangswiderstand}}$$

  
  

• Stern $\Longrightarrow$ Dreieck
  

  $$R_{12} = \frac{R_{10}R_{20}}{R_{30}}+R_{10}+R_{20}=\frac{R_{10}R_{20}+R_{10}R_{30}+R_{20}R_{30}}{R_{30}}$$

  $$R_{13} = \frac{R_{10}R_{30}}{R_{20}}+R_{10}+R_{30}=\frac{R_{10}R_{20}+R_{10}R_{30}+R_{20}R_{30}}{R_{20}}$$

  $$R_{23} = \frac{R_{20}R_{30}}{R_{30}}+R_{20}+R_{30}=\frac{R_{10}R_{20}+R_{10}R_{30}+R_{20}R_{30}}{R_{10}}$$

  $$\textrm{Dreiecksw.} = \frac{\textrm{Prod. Anliegerwiderstände}}{\textrm{gegenüberliegender W.}}+\textrm{Sum. Anliegerwiederstände}$$

  $$= \frac{\textrm{Summe der Produckte der Dreieckswiderstände}}{\textrm{gegenüberliegender Widerstand}}$$

  $$= \frac{\textrm{Prod. Anliegerleitwerte}}{\textrm{Umfangsleitwert}}$$

  
  

Durch die Stern $\Longleftrightarrow$ Dreieck Transformation ändert sich die Zahl der Knoten und Maschen im Netz (siehe 3.1), ihre Summe bleibt aber konstant. Man erhält dadurch trotzdem eine Vereinfachung, da das neue Netzwerk meistens eine einfachere Struktur als das Alte hat, und so leichter zu bestimmen ist.

Auftrennen von Widerständen

Unter Umständen kann eine Berechnung einfacher sein, wenn man Anstatt einem einzelnen Widerstand am gleichen Ort 2 oder mehrere hätte. Dies erhält man durch die umgekehrte Anwendung der Parallel-/Reihenschaltung.

Parallelschaltung

Man kann einen Widerstand mit dem Wert R durch n parallele Widerstände mit jeweils dem Wert $n\cdot R$ ersetzen.

Reihenschaltung

Man kann einen Widerstand mit dem Wert R durch n in reihe geschaltete Widerstände mit jeweils dem Wert $\frac{R}{n}$ ersetzen.

Symmetrie I.41

Für Netzwerke mit eigentlich komplizierter Struktur, die einen symmetrischen Aufbau besitzen (auf U,R,I Werte achten!!!), kann man einen Weiteren eleganten Rechentrick anwenden. Symmetrische Bauteile werden auch die selben U/I Größen aufweisen. In einem Netzwerk das fast symmetrisch ist, kann es helfen Bauteile wie unter 3.3.5 aufzutrennen um die Symmetrie zu erlangen.