Aufstellen eines linearen Gleichungssystems I.84

Per Hand I.84

Durch das Aufstellen aller über ein Netzwerk bekannten Beziehungen, erhält man ein Gleichungssystem, das sich mit Hilfe der Mathematik mehr oder weniger leicht lösen lässt. Allgemein benötigt man für jede Unbekannte in einem Netz 1 Gleichung. Um hier nicht aus Versehen linear abhängige aufzustellen, nutzt man folgende Regeln.

• Aus den Umläufen kann man Gleichungen beziehen. Allerdings sollten nur die Maschen genutzt werden, da so keine Größe vergessen, und auch keine lin. Abhängigkeit entstehen kann. Aus einer Schaltung mit $m$ Maschen erhält man $m$ Umlaufgleichungen (siehe 3.2).
• Aus den Knoten kann man Gleichungen beziehen. Allerdings sind bei $k$ Knoten nur $k-1$ linear unabhängige. Welche das sind, spielt keine Rolle.
• An jedem Widerstand lässt sich die Beziehung $U=RI$ bzw. $I=\frac{U}{R}$ aufstellen.

In dem so erstellen Gleichungssystem sind enorm viele Gleichungen vorhanden. Von vornherein einfacher wird es, in dem man in den Umlaufgleichungen direkt anstelle der Spannungen das Produkt aus Widerstand und Strom schreibt.

Umlaufanalyse I.91

Bei der Umlaufanalyse handelt es sich um ein Verfahren, um möglichst einfach ein lineares Gleichungssystem mit wenig Unbekannten zu erhalten. Um ein Gleichungssystem der Gestalt

$$\begin{array}{c} \textrm{Umlauf mit }I_{1}:\\ .\\ \textrm{... ... U_{q1}\\ .\\ \pm U_{qv}\\ .\\ \pm U_{qn}\end{array}\right]$$

(Indizes absichtlich so, da die Matrix spiegelsymetrisch auf der Haupt-Diagonale ist) zu erhalten, muss man folgendes Schema anwenden:

1. Stromquellen wenn möglich in Spannungsquellen transformieren.
2. Alle Leitwerte (wenn vorhanden) in Widerstände umrechnen.
3. Für das Netz einen vollständigen Baum auswählen. Dabei folgendes beachten:
   • Alle Stromquellen müssen in Verbindungszweige liegen, alle Spannungsquellen sollten.
   • gesuchte Ströme möglichst in Verbindungszweige legen
   • Baum so wählen das möglichst einfache Umläufe entstehen (möglichst kurz) (möglichst Sternförmig)
   • Einen Baumzweig sollten sich möglichst wenig Umläufe ``teilen''
4. Über Stromquellen einen Spannungspfeil eintragen
5. In den Verbindungszweigen Zählpfeile (für Stromrichtung) eintragen
6. In den Stromvektor alle Ströme aus Verbindungszweigen zuordnen
7. Jedem Strom aus Verbindungszweig einen Umlauf, der sich nur über Baumzweige schließt, zuordnen. Richtung wie Zählpfeil.
8. Für jeden Umlauf eine Zeile des obigen Gleichungssystems aufstellen:
   1. Diagonalelement der Widerstandmatrix ($R_{vv}$) ist die Summe aller Widerstände im jeweiligen Umlauf $v$.
      Vorzeichen: +
   2. Andere Matrixelemente ($R_{vk}$) sind die Kopplungswiderstände zwischen den Umläufen. Der Umlauf $I_{v}$ hat in z.B. in der k-ten Spalte die Summe aller Widerstände die der Umlauf k und v gemeinsam haben stehen.
      Vorzeichen: + für im Baum gleichgerichtete Umläufe, - für entgegen gerichtete.
   3. Das Element des Spannungsvektors wird aus der Summe aller Quellspannungen des Umlaufes gebildet.
      Vorzeichen: + wenn Spannungszählpfeil gegen den Umlaufsinn, - wenn im Umlaufsinn.
9. Überprüfen, ob die Elemente der Matrix wirklich Spiegelsymetrisch zu der Diagonale (Diagonale von Oben Links nach Unten Rechts) sind. Wenn nicht, alles von vorn...
10. Wenn im Netzwerk noch Stromquellen enthalten waren, die Matrix für jede dieser Quellen wie folgt vereinfachen:
    1. Die Zeile mit dem Umlauf über die Stromquelle streichen.
    2. In allen anderen Zeilen die zur Stromquelle zugehörige Spalte streichen. Wert der gestrichenen Zellen mit umgekehrten Vorzeichen und Multipliziert mit dem Stomquellenstrom in die entsprechenden Zellen im Spannungsvektor eintragen (jeweils in die gleiche Zeile).
11. Gleichungssystem Lösen
12. Alle nun noch nicht bekannten Größen mit Hilfe der Kirchhoffschen Gleichungen (siehe Krichhoffschen-Gleichungen) und des Ohmschen Gesetzes errechnen.

Knotenanalyse I.101

Bei der Knotenanalyse handelt es sich um ein Verfahren, um möglichst einfach ein lineares Gleichungssystem mit wenig Unbekannten zu erhalten. Um ein Gleichungssystem der Gestalt

$$\begin{array}{c} \textrm{K. 1}:\\ .\\ \textrm{K. v}:\\ .\... ...q1}\\ .\\ \pm I_{qv}\\ .\\ \pm I_{q(k-1)}\end{array}\right]$$

(Indizes absichtlich so, da die Matrix spiegelsymetrisch auf der Haupt-Diagonale ist) zu erhalten, muss man folgendes Schema anwenden:

1. Spannungsquellen wenn möglich in Stromquellen Transformieren.
2. Alle Widerstände (wenn vorhanden) in Leitwerte umrechnen.
3. Für das Netz einen Sternförmigen vollständigen Baum auswählen. Dabei folgendes beachten:
   • Wenn nicht möglich, das Netzwerk entsprechend um Leitwerte mit $G=0S$ ergänzen.
   • gesuchte Spannungen möglichst in Baumzweige legen
   • Alle Spannungsquellen müssen in Baumzweigen liegen
4. Zählpfeile der unabhängigen Spannungen längs der Baumzweige in Richtung des Bezugsknotens (Mittelpunkt) eintragen
5. In den Spannungsvektor alle Spannungen aus den Baumzweigen eintragen
6. Für jeden Knoten (außer dem mittlerem Bezugsknoten) eine Zeile des Gleichungssystems aufstellen:
   1. Diagonalelement der Leitwertmatix ($G_{vv}$) ist die Summe aller Leitwerte (entspricht-Parallelschaltung) die im jeweiligen Knoten v zusammentreffen.
      Vorzeichen: +
   2. Andere Matrixelemente ($G_{vk}$) sind die Summe der Kopplungsleitwerte zwischen den Knoten v und k.
      Vorzeichen: -
   3. Das Element des Stromvektors wird aus der Summe aller Quellströme die an den jeweiligen Knoten angeschlossen sind gebildet.
      Vorzeichen: + wenn der Strom in den Knoten hinein fließt, - wenn heraus fließt.
7. Überprüfen, ob die Elemente der Matrix wirklich Spiegelsymetrisch zu der Diagonale (Diagonale von Oben Links nach Unten Rechts) sind. Wenn nicht, alles von vorn...
8. Wenn im Netzwerk noch Spannungsquellen enthalten waren, die Matrix für jede dieser Quellen wie folgt vereinfachen:
   1. Die Zeile mit dem Zweig der die Spannungsquelle enthält streichen.
   2. In allen anderen Zeilen die zur Spannungsquelle zugehörige Spalte streichen. Wert der gestrichenen Zellen mit umgekehrten Vorzeichen und Multipliziert mit der Spannungsquellenspannung in die entsprechenden Zellen im Stromvektor eintragen (jeweils in die gleiche Zeile).
9. Gleichungssystem Lösen
10. Alle nun noch nicht bekannten Größen mit Hilfe der Kirchhoffschen Gleichungen (siehe Krichhoffschen-Gleichungen) und des Ohmschen Gesetzes errechnen.

Vergleich von Knoten- und Umlaufanalyse I.108

In Tabelle Tabel:VergleichKontenUmlauf kann man ersehen, wie groß ein Gleichungssystem bei der jeweiligen Analysemethode werden würde. Man muss allerdings auch den Aufwand zum Erstellen eines solchen Gleichungssystems mit in die Betrachtung mit einbeziehen.

Table 3: Größe des Gleichungssystem bei Maschen-/Knotenanalyse

	Knotenanalyse		Maschenanalyse
$k$	$b=k-1$	$\hat{z}=\frac{k(k-1)}{2}=\sum_{k=1}^{n-1}k$	$\hat{v}=\hat{z}-b$
Knoten	Baumzweige	max. mögl. Zweige	max. Verbindungszweige
2	1	1	0
3	2	3	1
4	3	6	3
5	4	10	6
6	5	15	10
7	6	22	15