Spezielle Felder

Sternförmige / Homogene Felder

Coulombfeld

$\vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{Q}{\left\vert r\right\vert^{2}}\cdot\frac{\vec{r}}{\left\vert r\right\vert}$

• für Kugelförmige bzw. Punkt-förmige Ladungen

Kugel

$E=\frac{U_{0}R}{\left\vert r\right\vert^{2}}$

• Bequemere Schreibweise über Spannung $U_{0}$ gegenüber Potential im Unendlichen
• $R$ Durchmesser der Kugel
• Kapazität
  $C=4\pi\varepsilon R$ mit $R_{2}$ im unendlichen
  $C=\frac{4\pi\varepsilon}{\frac{1}{R}-\frac{1}{R_{2}}}$ mit $R_{2}$ als umhüllende Kugel im endlichen

Umhüllte Kugel

$E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon}\left(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}\right)$

• Gilt nur zwischen der Kugel und der Umhüllung
• $r_{1}$ Radius Innenkugel
• $r_{2}$ Radius Umhüllung

Platten Kondensator

$E=\frac{U_{0}}{d}=\frac{Q}{\varepsilon A}$

• $A$ Fläche der Kondensator-platten (Parallel!/plan)
• $d$ Abstand der Platten
• $C=\frac{A\varepsilon}{d}=\frac{Q}{U_{0}}$ Kapazität
• Aufteilung Spannungen $U=U_{0}\frac{y}{d}$ (y Höhe über einer Platte)

Dipol I.166

Charakteristika

 

• Ladungen vom Betrag gleich
• Unterschiedliche Vorzeichen

Dipolmoment

$P=aQ$

• $a$ Abstand der beiden Ladungsmittelpunkte

Nahfeld

 

• $r\approx a\rightarrow$ Nahfeld
• Zwischen Ladungen in etwa homogen
• Um die Ladungen etwa Sternförmig

Fernfeld

$E_{r}=\frac{P}{2\pi\varepsilon}\cos\alpha\frac{1}{r^{3}}\,\,\, E_{\bot}=\frac{P}{4\pi\varepsilon}\sin\alpha\frac{1}{r^{3}}$

• $r\gg a\rightarrow$ Fernfeld
• $P$ Dipolmoment
• $\alpha$ Winkel relativ zur Dipolachse (Gerade durch beide Ladungen / mit Berühren)
• $r$ Radius relativ zum Dipolmittelpunkt
• $E_{r}$ Fernfeld Radialanteil
• $E_{\bot}$ Fernfeld Anteil senkrecht zum Radius (von - nach +)

Linienladungen I.167

Ladungsdichte

$\lambda=\frac{dQ}{ds}$

Potentialfunktion

$\phi(r,z)=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon}\left[\mathrm{Arsh}\left(\frac{s-z}{r}\right)\right]_{l_{1}}^{l_{2}}$

• Die Linienladung liegt im 3-Dim Zylinderkoordinatensystem auf der z-Achse im Bereich von $l_{1}$ bis $l_{2}$.
• für $s$ wird die untere und obere Grenze eingesetzt ($l_{1}$, $l_{2}$)
• $r$ ist sozusagen der senkrechte Abstand von der Linienladung, lässt sich also auch auf 3-Dim übertragen ($r=$Radius in $x$,$y$ Ebene)
• $z$ ist die Höhenkoordinate des Punktes (Zylinderkoordinatensystem!!)

Potentialfunktion $\infty$-lange Ladung

$\phi(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon}\ln\left(\frac{\textrm{const}}{r}\right)$

• const im $ln$, da sich so die Einheit von $r$ herauskürzt.

E-Feld $\infty$-lange Ladung

$E(r)=\frac{\lambda}{2\pi r\varepsilon}$

• Radial (und senkrecht) von der Linienladung nach außen (nach innen) gerichtet
• gilt für eine unendlich lange Linienladung
• gilt auch für eine Zylindrische-Linienladung, allerdings nur Außerhalb

Koaxialkabel

$C'=\frac{2\pi\varepsilon}{\ln\left(\frac{r_{a}}{r_{i}}\right)}$

• $C'$ Kapazität pro Länge
• $r_{i}$ Radius Innenleiter
• $r_{a}$ Radius Umhüllung

Doppelleitung

$C'=\frac{\pi\varepsilon}{\ln\left(\frac{d}{r}\right)}$

• gilt nur wenn $r\ll d$
• $r$ Radius der Leiter
• $d$ Abstand der Leitermittelpunkte