Resonanz in RLC-Schaltungen II.105

freie Schwingung II.105

Entsteht

durch laden eines Kondensators auf $U_{0}$, dessen Energie dann ab einem ``Einschaltmoment, in einer RLC-Reihenschaltung hin und her schwingt.
Folgende Formeln gelten zumindest für den Reihenschwingkreis.

Dämpfung

$\delta=\frac{R}{2L}$

Eigenfrequenz

$\omega_{e}=\frac{1}{\sqrt{LC}}\sqrt{1-\frac{R^{2}C}{4L}}\approx\frac{1}{\sqrt{LC}}$

• Näherung für $R=0$

Stromverlauf

$i\left(t\right)=-\frac{U_{0}}{\omega_{e}L}e^{-\delta t}\sin\left(\omega_{e}t\right)$

Spannungsverlauf

$u_{C}\left(t\right)=U_{0}\left(\cos\left(\omega_{e}t\right)+\frac{\delta}{\omega_{e}}\sin\left(\omega_{e}t\right)\right)e^{-\delta t}$

Erzwungene Schwingung II.108

Resonanzfrequenz

$\omega_{r}=\frac{1}{\sqrt{LC}}$

• bei Phasenresonanz

Resonanzüberhöhung

 

• Spannungsüberhöhung $\frac{U_{C}}{U}\vert _{\omega_{r}}=\frac{U_{L}}{U}\vert _{\omega_{r}}=\frac{\omega_{r}L}{R}=\frac{1}{\omega_{r}CR}=\frac{\sqrt{\frac{L}{C}}}{R}=Q$
  • Für RLC-Reihenschaltung
  • Maximum Spulenspannung bei $\omega=\frac{\omega_{r}}{\sqrt{1-\frac{CR^{2}}{2L}}}$
  • Maximum Kondensatorspannung bei $\omega=\omega_{r}\sqrt{1-\frac{CR^{2}}{2L}}$
• Stromüberhöhung $\frac{I_{C}}{I}\vert _{\omega_{r}}=\frac{\omega_{r}C}{G}=\frac{\sqrt{\frac{C}{L}}}{G}=Q$
  • Für RLC-Parallelschaltung

Phasenresonanz

$\Im\left(\underbar{Z}\right)=0\quad\Im\left(\underbar{Y}\right)=0$

• bei einfachen Schaltungen gleich der Betragsresonanz

Betragsresonanz

$Y=\left\vert\underbar{Y}\right\vert$ bzw. $Z=\left\vert\underbar{Z}\right\vert$ wird mini-/ maximal

• bei einfachen Schaltungen gleich der Phasenresonanz

Reihenresonanz

diese Verhalten zeigt eine Schaltung, wenn $Z\rightarrow$ min gegen ein Minimum bzw. $Y\rightarrow$ max gegen Unendlich bei $\omega_{r}$ strebt.

Parallelresonanz

diese Verhalten zeigt eine Schaltung, wenn $Y\rightarrow$ min gegen ein Minimum bzw. $Z\rightarrow$ max gegen Unendlich bei $\omega_{r}$ strebt.

Gruppenschaltung

eine Kombination aus L,R,C die weder eine Reihen, Parallel noch ein Hoch / Tiefpass darstellt.

Bandbreite

$\Delta\omega=\frac{R}{L}=\omega_{r}d=\frac{\omega_{r}}{Q}$

• bei reiner R,L,C Reihen- oder Parallelschaltung

Güte

$Q=\frac{\omega_{r}}{\Delta\omega}=\frac{1}{d}=\frac{\sqrt{\frac{L}{C}}}{R}$

Verlustfaktor

$d=\frac{1}{Q}=\frac{\Delta\omega}{\omega_{r}}=\frac{R}{\sqrt{\frac{L}{C}}}$

relative Verstimmung

$v=\frac{\omega}{\omega_{r}}-\frac{\omega_{r}}{\omega}$

normierte Verstimmung

$\Omega=Qv$