Der Transformator im eingeschwungenen Zustand II.146

Symbol

besteht aus Zwei Spulen, an denen $L_{1},L_{2},R_{1},R_{2},M$ bzw. $L_{12}$ angetragen werden. Zusätzlich enthält sie noch zwei Punkte, jeweils an einem Spulenende für den Wickelsinn (Gleiche, oder entgegensetzte Seite).

• $L_{1},L_{2}$ Induktivität der beiden Spulen mit Ohmschen Wiederstand $R_{1},R_{2}$
• $M$ bzw. $L_{12}$ ist die Gegeninduktivität

Last am Trafo

$\underbar{Z}_{v}$

Normalfall

$\underbar{U}_{1}=j\omega L_{1}\underbar{I}_{1}+j\omega M\underbar{I}_{2}$ und $\underbar{U}_{2}=j\omega L_{2}\underbar{I}_{2}+j\omega M\underbar{I}_{1}$

• wenn Wickelsinn gleich und Pfeile alle in gleiche Richtung

Ersatzschaltung

eines (verlustlosen) Transformators mit den Spulen $L_{1}$, $L_{2}$ und der Gegeninduktivität $M$ lässt sich durch eine T-förmige Konstruktion aus $L_{1}-M$ im Längszweig Linksoben, $M$ in Querzweig und $L_{2}-M$ im Längszweig Rechtsoben darstellen.

Verlustloser Trafo

$R_{1}=0$ $R_{2}=0$ Hyterreseverluste $=0$

• $\frac{\underbar{I}_{1}}{\underbar{I}_{2}}=\frac{\underbar{Z}_{v}+j\omega L_{2}}{j\omega M}=\frac{\omega L_{2}-j\underbar{Z}_{v}}{\omega M}$
• $\frac{\underbar{U}_{2}}{\underbar{U}_{1}}=\frac{jM\underbar{Z}_{v}}{jL_{1}\und... ...ght)}=\frac{jM\underbar{Z}_{v}}{jL_{1}\underbar{Z}_{v}-\omega\sigma L_{1}L_{2}}$

Streufaktor

$\sigma=1-\frac{M^{2}}{L_{1}L_{2}}$

• $\sigma=0$: es schließt sich der gesamte Fluss im Eisenkern durch beide Spulen $\Rightarrow$ der streuungsfreie Transformator / völlige Kopplung
• $\sigma=1$: Spulen haben nix miteinander zu tun (z.B. $M=0$), worst case.

Streuungsfreier Transformator

$\sigma=0$ $\Rightarrow$ $M^{2}=L_{1}L_{2}$

• $\frac{\underbar{I}_{1}}{\underbar{I}_{2}}=\sqrt{\frac{L_{2}}{L_{1}}}\frac{\und... ...{j\omega L_{2}}=\frac{\underbar{Z}_{v}+j\omega L_{2}}{j\omega\sqrt{L_{1}L_{2}}}$
• $\ddot{u}^{2}=\frac{L_{1}}{L_{2}}$

Verlust- und Streuungsfreier Transformator

$M^{2}=L_{1}L_{2}\qquad R_{1}=0\ R_{2}=0$

• $\frac{\underbar{I}_{1}}{\underbar{I}_{2}}=\frac{N_{2}}{N_{1}}\frac{\underbar{Z... ...2}}{j\omega L_{2}}=\frac{\underbar{Z}_{v}+j\omega L_{2}}{j\omega L_{2}\ddot{u}}$
• $\underbar{Z}_{1}=\left(j\omega L_{1}\right)\vert\vert\left(\ddot{u}^{2}\underb... ...right)=\frac{1}{\frac{1}{j\omega L_{1}}+\frac{1}{\ddot{u}^{2}\underbar{Z}_{v}}}$
• $\ddot{u}=\frac{\underbar{U}_{1}}{\underbar{U}_{2}}=\frac{N_{1}}{N_{2}}$

Ideale Transformator

$M,L_{1},L_{2}=\infty$

• und zusätzlich Verlust- und Streuungsfrei
• $\underbar{Z}_{1}=\ddot{u}^{2}\underbar{Z}_{v}$
• $\ddot{u}=\frac{\underbar{I}_{2}}{\underbar{I}_{1}}$