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\begin{document}

\title{Formelsammlung\\
Mathe I/II für Informatiker \& E-Techniker}


\author{<Marco.Moeller@macrolab.de>}


\date{Stand: 27.05.2005 - Version: 1.0.1\\
\noun{Erhältlich unter \url{http://privat.macrolab.de}}}

\maketitle
Diese Formelsammlung basiert auf der Vorlesung {}``Mathematik 1/2
für Elektrotechniker'' von Prof. Dr. Gunter Malle an der Universität
Kassel im Wintersemester 2003/04 und Sommersemester 2004.

Die folgende Formelsammlung steht zum kostenlosen Download zur Verfügung.
Das Urheberrecht und sonstige Rechte an dem Text verbleiben beim Verfasser,
der keine Gewähr für die Richtigkeit und Vollständigkeit der Inhalte
übernehmen kann.

\tableofcontents{}

Die hinter den Überschriften angegebenen Nummern beziehen sich auf
die Bücher {}``Höhere Mathematik mit Mathematika I-II'' von W. Strampp.
Die römische Ziffer gibt die Buchnummer, und die arabische die Seitenzahl
an. Z.B. II.45 bedeutet Band II Seite 45.


\section{Begriffe}


\subsection{Logik\index{Logik}}


\subsubsection{Verknüpfungen\index{Verknüpfungen}}

\begin{itemize}
\item Negation\index{Negation}\\
$\neg a$: nicht\index{nicht} $a$
\item Implikation\index{Implikation}\\
$a\Rightarrow b$: aus $a$ folgt\index{folgt} $b$
\item Äquivalenz\index{Äquivalenz}\\
$a\Longleftrightarrow b$: $a$ und $b$ sind äquivalent\index{äquivalent}
(gleichwertig\index{gleichwertig})
\item Konjunktion\index{Konjungtion}\\
$a\wedge b$: $a$ und\index{und} $b$
\item Disjunktion\index{Disjunktion}\\
$a\vee b$: $a$ oder\index{oder} $b$
\end{itemize}

\subsubsection{Rechenregeln}

\begin{itemize}
\item Kommutativgesetz\index{Kommutativgesetz}\\
$a\wedge b=b\wedge a$\\
$a\vee b=b\vee a$
\item Assoziativgesetz\index{Assoziativgesetz}\\
$\left(a\wedge b\right)\wedge c=a\wedge\left(b\wedge c\right)$\\
$\left(a\vee b\right)\vee c=a\vee\left(b\vee c\right)$
\item Distributivgesetz\index{Distributivgesetz}\\
$a\wedge\left(b\vee c\right)=\left(a\wedge b\right)\vee\left(a\wedge c\right)$\\
$a\vee\left(b\wedge c\right)=\left(a\vee b\right)\wedge\left(a\vee c\right)$
\item De Morgan\index{De Morgan}\\
$\neg\left(a\vee b\right)=\left(\neg a\right)\wedge\left(\neg b\right)$\\
$\neg\left(a\wedge b\right)=\left(\neg a\right)\vee\left(\neg b\right)$
\item doppelte Negation\\
$\neg\left(\neg a\right)=a$
\item neutrales Element\index{Neutrales Element}\\
$a\vee\textrm{f}=a$\\
$a\wedge\textrm{f}=\textrm{f}$\\
$a\vee\textrm{w}=\textrm{w}$\\
$a\wedge\textrm{w}=a$
\item inverses Element\index{inverses Element}\\
$a\vee\left(\neg a\right)=\textrm{w}$\\
$a\wedge\left(\neg a\right)=\textrm{f}$
\end{itemize}

\subsubsection{Quantoren\index{Quantifikatoren}}

\begin{itemize}
\item Allquantor\index{Allquantor} $\forall x:\varphi(x)$ \\
für alle $x$ gilt $\varphi(x)$.\\
z.B. $\forall x\in\mathbb{N}:x^{2}\in\mathbb{N}=\forall_{\mathbb{N}}^{x}:x^{2}\in\mathbb{N}$
\item Existenzquantor\index{Existenzquantor} $\exists x:\varphi(x)$ \\
es gibt (mindestens) ein $x$ für das $\varphi(x)$ gilt.\\
z.B. $\exists x\in\mathbb{N}:\varphi(x)=\exists_{\mathbb{N}}^{x}:\varphi(x)$
\item $\exists!x:\varphi(x)$ oder $\exists^{1}x:\varphi(x)$\\
es gibt genau ein $x$ für das $\varphi(x)$ gilt.
\item Negation\index{Negation} $\forall x:H(x)\Leftrightarrow\neg\exists x:\neg H(x)$\\
Es gilt für alle $x$, $H(x)$ $\Leftrightarrow$ Es gibt nicht ein
$x$, für das $H(x)$ nicht gilt.
\end{itemize}

\subsubsection{Eigenschaften von Aussagen}

\begin{description}
\item [Widerspruch]heißt eine zusammengesetzte Aussage, wenn sie \emph{immer
falsch} ist.\\
z.B. $A\wedge\neg A$
\item [Tautologie](Symbol: Blitz) heißt eine Aussage, wenn sie \emph{immer
wahr} ist.\\
z.B. $A\vee\neg A$
\end{description}

\subsection{Abbildungen\index{Abbildungen}}

\begin{description}
\item [Mengen]$f:\mathbb{V}\rightarrow\mathbb{W}$\\
$f:$ Urmenge $\rightarrow$ Bildmenge
\item [Elemente~von~Mengen]$a\mapsto f\left(a\right)$\\
$f:$ Urbild $\mapsto$ Bild
\end{description}

\subsubsection{injektiv\index{injektiv}}

wenn es zu jedem unterschiedlichen Urbild auch unterschiedliche Bilder
gibt.\[
a\neq b\Rightarrow f\left(a\right)\neq f\left(b\right)\]



\subsubsection{surjektiv\index{surjektiv}}

heißt eine Abbildung $f:A\rightarrow B$, wenn es zu jedem Element
aus dem Bildraum auch mindestens ein passendes Urbild gibt.\[
\forall_{B}^{b}:\exists_{A}^{a}:f\left(a\right)=b\]



\subsubsection{bijektiv\index{bijektiv}}

ist eine Abbildung $f$, wenn sie surjektiv und injektiv ist. Dies
sind 1:1 - Abbildungen.

\begin{itemize}
\item Bei endlichen Mengen:\\
$f:A\rightarrow B$ bijektiv $\Rightarrow\left|A\right|=\left|B\right|$
\end{itemize}

\section{Mengen}


\subsection{Beschreibung}

Die Menge A enthält alle grade Zahlen größer als 0: \\
$A=\left\{ x|x\textrm{\  ist\  grade\  Zahl\  und\  größer\  als\  Null}\right\} $\\
$A=\left\{ x|\frac{x}{2}\in\mathbb{N}\right\} $

$a$ ist ein Element der Menge $A$:\\
$a\in A$


\subsection{\label{sub:Standdardmengen}Standardmengen\index{Standdardmengen}}

\begin{itemize}
\item Leere~Menge\index{Menge}\\
$\textrm{Ø}=\{\}$
\item Natürlichen~Zahlen\index{Zalen}\index{Natürliche Zalen}\\
$\mathbb{N}=\left\{ 1,2,3,\ldots\right\} $

\begin{itemize}
\item Natürlichen~Zahlen mit $0$\\
$\mathbb{N}_{0}=\left\{ 0,1,2,3,\ldots\right\} $
\end{itemize}
\item Ganzen~Zahlen\index{Ganze Zalen} \\
$\mathbb{Z}=\left\{ \ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\right\} $
\item Rationalen~Zahlen\index{Rationale Zalen}\\
$\mathbb{Q}=\left\{ \frac{p}{q}|p\in\mathbb{Z}\wedge q\in\mathbb{N}\right\} $
\item Reellen~Zahlen\index{Reelle Zahlen}\\
$\mathbb{R}=\left\{ \textrm{jeder\  Punkt\  auf\  dem\  Zahlenstrahl}\right\} $

\begin{itemize}
\item positiven reellen Zahlen\\
$\mathbb{R}_{>0}=\left\{ x\in\mathbb{R}|x>0\right\} $
\end{itemize}
\item Komplexen~Zahlen\index{Komplexe Zahlen}\\
$\mathbb{Z}=\left\{ x+iy|x,y\in\mathbb{R},\; i=\sqrt{-1}\right\} $
\item $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$
\end{itemize}

\subsection{Intervalle\index{Intervall}}

\begin{itemize}
\item offenes Intervall\index{offenes Intervall}\\
$\left(a,b\right):=\left\{ x\in\mathbb{R}|a<x<b\right\} $
\item halboffenes Intervall\index{halboffenes Intervall}\\
$\left(a,b\right]:=\left\{ x\in\mathbb{R}|a<x\leq b\right\} $ bzw.
$(a,b($\\
$\left[a,b\right):=\left\{ x\in\mathbb{R}|a\leq x<b\right\} $ bzw.
$)a,b)$
\item abgeschlossenes\index{abgeschlossenes Intervall} Intervall\\
$\left[a,b\right]:=\left\{ x\in\mathbb{R}|a<x<b\right\} $ bzw. $)a,b($
\end{itemize}

\subsection{Operationen\index{Menge Operationen}}

\begin{itemize}
\item Gleichheit\index{Gleichheit}\\
$A=B\Leftrightarrow(A\subseteq B\wedge B\subseteq A)$
\item Teilmenge\index{Teilmenge}\\
$A\subseteq B\Leftrightarrow(x\in A\Rightarrow x\in B)$
\item echte Teilmenge\index{Teilmenge(echte)}\index{echte Teilmenge}\\
$A\subsetneq B\Leftrightarrow\left(A\subseteq B\wedge A\neq B\right)$
\item Vereinigung\index{Vereinigung}\\
$A\cup B=\left\{ x|x\in A\vee x\in B\right\} $
\item Schnitt\index{Schnitt}\\
$A\cap B=\left\{ x|x\in A\wedge x\in B\right\} $
\item Ohne\index{Ohne} (Differenz\index{Differenz})\\
$A\backslash B=\left\{ x|x\in A\vee x\notin B\right\} $
\item symmetrische Differenz\index{Differenz, symmetrische}\index{symmetrische Differenz}\\
$A\Delta B=\left(A\cup B\right)\backslash\left(A\cap B\right)$
\item geordnete~Paare\index{Paare}\index{geeordnete Paare}\\
$A\times B=\left\{ \left(x,y\right)|x\in A\wedge y\in B\right\} $
\item Potenzmenge\index{Potenzmenge}\\
$\mathcal{P}\left(M\right)=\left\{ A|A\subseteq M\right\} $
\item Komplementärmenge\index{Komplementärmenge}\\
für $A\subseteq M$ ist $\bar{A}=\left\{ x\in M|x\notin A\right\} $
\item Anzahl der Elemente\\
$\left|M\right|=$Anzahl der Elemente von $M$
\end{itemize}

\subsection{Rechenregeln}

\begin{itemize}
\item Kommutativgesetz\index{Kommutativgesetz}\\
$A\cup B=B\cup A$\\
$A\cap B=B\cap A$\\
$A\Delta B=B\Delta A$
\item Assoziativgesetz\index{Assoziativgesetz}\\
$A\cup\left(B\cup C\right)=\left(A\cup B\right)\cup C$\\
$A\cap\left(B\cap C\right)=\left(A\cap B\right)\cap C$\\
$A\Delta\left(B\Delta C\right)=\left(A\Delta B\right)\Delta C$
\item Distributivgesetz\index{Distributivgesetz}\\
$A\cup\left(B\cap C\right)=\left(A\cup B\right)\cap\left(A\cup C\right)$\\
$A\cap\left(B\cup C\right)=\left(A\cap B\right)\cup\left(A\cap C\right)$
\item De~Morgan\index{De Morgan}\\
$\overline{A}\cap\overline{B}=\overline{A\cup B}$\\
$\overline{A}\cup\overline{B}=\overline{A\cap B}$
\item doppelt invers\\
$\overline{\overline{A}}=A$
\item neutrales Element\index{Neutrales Element}\\
$A\cup\textrm{Ø}=A$\\
$A\cap\textrm{Ø}=\textrm{Ø}$
\item inverses Element\index{inverses Element}\\
$A\cap\overline{A}=\textrm{Ø}$\\
$A\cup\overline{A}=$Grundmenge
\end{itemize}

\subsection{Schranken\index{Schranken} \textsf{\textmd{\small I.29}}}

\begin{itemize}
\item Untere-/Obere~Schranke (s bzw S)\\
$\forall x\in M\subseteq\mathbb{R:\;}s\leq x\quad x\leq S$
\item beschränkt\index{beschränkt}\\
$\forall x\in M\subseteq\mathbb{R:\;}\left|x\right|\leq S_{B}$
\item Infimum\index{Infimum}~/~Supremum\index{Supremum} kleinste untere-
/ obere Schranke\\
$\inf(M)$; $\sup(M)$
\item Minimum\index{Minimum}/~Maximum\index{Maximum}\\
$\min(M):=\inf(M)$ wenn $\inf(M)\in M$ bzw. $\max(M):=\sup(M)$
wenn $\sup(M)\in M$
\item (offene)~$\varepsilon$-Umgebung\index{Umgebung}\index{E-Umgebung}\\
$U_{\varepsilon}(a)=\{ x\in\mathbb{R}|\left|x-a\right|<\varepsilon\}$
\end{itemize}

\subsection{Häufungspunkt\index{Häufungspunkt} \textsf{\textmd{\small I.33}}}

\begin{itemize}
\item $a$ heißt Häufungspunkt von $M$ wenn\\
\[
\forall\varepsilon>0,x_{\varepsilon}\neq a\in M:\left|x_{\varepsilon}-a\right|<\varepsilon\]

\item Satz~von~Bolzano-Weierstraß \\
Jede unendliche, beschränkte Menge $M\subseteq\mathbb{R}$ besitzt
mindestens einen Häufungspunkt
\end{itemize}

\subsection{Ordnungsregeln\index{Ordnungsregeln}}

Eine Relation\index{Relation} (Platzhalter $\sim$) zwischen den
Mengen A und B ist eine Teilmenge von $A\times B$.\\
$a\sim b$ falls $(a,b)\in A\times B$.


\subsubsection{Eigenschaften von Relationen}

\begin{itemize}
\item reflexiv\index{reflexiv}\\
$\forall a:a\sim a$
\item symmetrisch\index{symetrisch}\\
$a\sim b\Leftrightarrow b\sim a$
\item antisymmetrisch\index{antisymetrisch}\\
$a\sim b\wedge b\sim a\Rightarrow a=b$
\item transitiv\index{transitiv}\\
$a\sim b\wedge b\sim c\Rightarrow a\sim c$
\end{itemize}

\subsubsection{Typen von Relationen}

\begin{itemize}
\item Äquivalenzrelationen\index{Äquivalenzrelationen}\\
heißen Relationen die reflexiv, symmetrisch und transitiv sind.\\
z.B. Gleichheit\index{Gleichheit}; $a\sim b$ mit $a,b\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow a-b$
ist gerade
\item Ordnungsrelationen\index{Ordnungsrelationen}\\
heißen Relationen die reflexiv, antisymmetrisch und transitiv sind.\\
z.B. $\leq$; $\geq$; {}``a steht vor b im Lexikon''. ($<$; $>$
sind keine Ordnungsrelationen, da nur 4)
\end{itemize}

\subsection{Körper\index{Körper}}

Eine Menge $\mathbb{K}$ zusammen mit den Rechenoperationen + und
{*} heißt Körper wenn folgendes gilt:

$\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$ sind beispielsweise Körper.


\subsubsection{Addition}

$\forall_{\mathbb{K}}^{a,b}$

\begin{itemize}
\item Abgeschlossenheit\index{Abgeschlossenheit}\\
$a+b\in\mathbb{K}$
\item Kommutativgesetz\index{Kommutativgesetz}\\
$a+b=b+a$
\item Assoziativgesetz\index{Assoziativgesetz}\\
$(a+b)+c=a+(b+c)$
\item Neutrales~Element\index{Neutrales Element}\\
$\exists0\in\mathbb{K}:$a+0=a
\item Inverses~Element\index{Inverses Element}\\
$\exists-a\in\mathbb{K}:a+(-a)=0$
\end{itemize}

\subsubsection{Multiplikation\index{Multiplikation}}

$\forall_{\mathbb{K}}^{a,b,c}$

\begin{itemize}
\item Abgeschlossenheit\index{Abgeschlossenheit}\\
$ab\in\mathbb{K}$
\item Kommutativgesetz\index{Kommutativgesetz}\\
$ab=ba$
\item Assoziativgesetz\index{Assoziativgesetz}\\
$a(bc)=(ab)c$
\item Neutrales~Element\index{Neutrales Element}\\
$\exists1\in\mathbb{K}:1a=a$
\item Inverses~Element\index{Inverses Element}\\
$\forall a\in\mathbb{K}\backslash\left\{ 0\right\} :\exists a^{-1}\in\mathbb{K}:aa^{-1}=1$
\end{itemize}

\subsubsection{Distributivgesetz\index{Distributivgesetz}}

$\forall_{\mathbb{K}}^{a,b,c}$

\begin{itemize}
\item $a(b+c)=ab+ac$
\end{itemize}

\subsection{Angeordnete\index{Angeordnete Körper} Körper\index{Körper!Angeordnet}}

Ein Körper auf dem die Relation $<$ definiert ist, wird als \emph{angeordneter
Körper} bezeichnet. Die unter \vref{sub:Standdardmengen} aufgeführten
Mengen sind angeordnete Körper.


\section{Beweisverfahren\index{Beweisverfahren}}


\subsection{direkter Beweis\index{direkterBeweis}}

Diesen Beweis erhält man durch gezielte Umformung der Aussagen bzw.
durch logisches Schließen\index{Schließen} (Implikation\index{implikation}).


\subsection{indirekter Beweis\index{indirekter Beweis}}

Auch Widerspruchsbeweis\index{Wiederspruchsbeweis} genannt. Hier
versuch man die Gleichwertigkeit von\[
\left(A\Rightarrow B\right)\Leftrightarrow\left(\left(A\wedge\left(\neg B\right)\right)\Rightarrow Falsch\right)\]
 auszunutzen.

z.B.: {}``Wenn es regnet ist die Straße nass.'' $\Leftrightarrow$
{}``Es regnet und die Straße ist nicht nass, ist ein Widerspruch.''


\subsection{Kontraposition\index{Kontraposition}}

Hier wird versucht die Aussage umzudrehen (beruht auf Tautologie).
\[
\left(A\Rightarrow B\right)\Leftrightarrow\left(\left(\neg B\right)\Rightarrow\left(\neg A\right)\right)\]


z.B.: {}``Wenn es Regnet ist die Straße nass.'' $\Leftrightarrow$
{}``Wenn die Straße nicht nass ist, kann es nicht geregnet haben.''


\subsection{Vollständige Induktion\index{Induktion}\index{Vollständige Induktion}
\textsf{\textcolor{black}{\small I.33}}}

$A(n)$ Aussage für natürliche Zahlen

\begin{enumerate}
\item Induktionsanfang\index{Induktionsanfang}: $A(1)$ gilt
\item Induktionsannahme\index{Induktionsannahme}: für jedes $n$ gilt $A(n)$
\item Induktionsschritt\index{Induktionsschritt}: Zeige: aus $A(n)$ folgt
$A(n+1)$. (bzw. $A(n+1)$ lässt sich mit Hilfe der Annahme $A(n)$
beweisen)
\end{enumerate}

\section{Rechenregeln}


\subsection{Summen\index{Summen} \textsf{\textmd{\small I.13}}}

\[
\sum_{k=1}^{n}a_{k}+\sum_{k=1}^{n}b_{k}=\sum_{k=1}^{n}\left(a_{k}+b_{k}\right)\]
\[
\sum_{k=1}^{n}a_{k}=\sum_{k=1}^{m}a_{k}+\sum_{k=m+1}^{n}a_{k}\quad1\leq m\leq n\]
Indexverschiebung\index{Indexverschiebung}:\[
\sum_{k=a}^{b}g_{k}=\sum_{k=a+c}^{b+c}g_{k-c}\]



\subsection{Ungleichungen\index{Ungleichungen}}

\begin{itemize}
\item $a<b\Leftrightarrow-a>-b$
\item $a\neq0\Leftrightarrow a^{2}>0$
\item $a<b\wedge0<ab\Rightarrow\frac{1}{b}<\frac{1}{a}$
\item $\left|ab\right|=\left|a\right|\left|b\right|$
\item (Umgekehrte-) Dreiecksungleichung\index{Dreiecksungleichung}\index{Umgekehrte Dreicksungleichung}
\textsf{\small I.25}\\
$\left|\left|a\right|-\left|b\right|\right|\leq\left|a+b\right|\leq\left|a\right|+\left|b\right|$
\item Cauchy-Schwarze-Ungleichung\index{Cauchy-Schwarze-Ungleichung} \textsf{\small I.19}\\
$\left(\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right)^{2}\leq\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{2}\cdot\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{2}$
\item Bernullische~Ungleichung\index{Bernullische Ungleichung} \textsf{\small I.34}\\
$(1+h)^{n}>1+nh,\quad n\geq2$
\end{itemize}

\subsection{Fakultät\index{Fakultät} \textsf{\small I.38}}

\[
n!=\prod_{k=1}^{n}k=1\cdot2\cdot\ldots\cdot(n-n)\cdot n\]
\[
e!=1\quad1!=1\quad0!=1\]
\[
(n+1)!=n!\cdot(n+1)\]



\subsection{Binomialkoeffizient\index{Binomialkoeffizient} \textsf{\small I.39}}

$k\leq n,n\geq0,k\geq0$

\begin{eqnarray*}
\left(\begin{array}{c}
n\\
k\end{array}\right) & = & \frac{n!}{k!(n-k)!}\\
 & = & \frac{n\cdot\ldots\cdot(n-k+1)}{1\cdot\ldots\cdot(k-1)\cdot k}\end{eqnarray*}
\[
\left(\begin{array}{c}
n\\
k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
n\\
n-k\end{array}\right)\]
\[
\left(\begin{array}{c}
n\\
k-1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
n\\
k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
n+1\\
k\end{array}\right)\]
\[
\left(\begin{array}{c}
n\\
0\end{array}\right)=1\quad\left(\begin{array}{c}
n\\
1\end{array}\right)=n\]


\begin{itemize}
\item Binomischer~Satz\index{Binomischer Satz} \\
$(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c}
n\\
k\end{array}\right)a^{n-k}b^{k}$\[
\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c}
n\\
k\end{array}\right)=2^{n}\]

\end{itemize}

\section{Trigonometrie\index{Trigonometrie}}

Siehe Sieber; Mathematische Formelsammlung für Gymnasien; Klett.

Es macht meiner Meinung nach keinen Sinn, eine so gute Übersicht noch
einmal {}``abzuschreiben''.

\begin{description}
\item [Kreisfunktionen\index{Kreisfunktionen}]Seite 15
\item [Winkelsätze\index{Winkelsätze}]Seite 16
\item [Arkusfunktionen\index{Arkusfunktionen}]Seite 16
\item [Ableitungen]Seite 33
\item [Stammfunktionen]Seite 35
\item [Hyperbel-\index{Hyperbelfunktionen}~und~Areafunktionen\index{Areafunktionen}]Seite
37
\end{description}

\section{Komplexe Zahlen\index{Komplexe Zahlen} \textsf{\small I.44}}


\subsection{Definition}

Die komplexen Zahlen bilden zusammen mit den Rechenregeln für $+,\cdot$
einen Körper dessen Elemente wie folgt definiert sind

\[
\mathbb{C}:=\mathbb{R}^{2}=\left\{ (x,y)|x,y\in\mathbb{R}\right\} \]


\[
z=\left(x,y\right)=x+iy\in\mathbb{C}\]


$x=\Re(z)$ (Re) Realteil\index{Realteil}, $y=\Im(z)$ (Im) Imaginärteil\index{Imaginärteil}

$i=\sqrt{-1}$ wird als Imaginäre Einheit\index{Imaginäre Einheit}
bezeichnet.


\subsubsection{Rechenregeln \textsf{\small I.45}}

\begin{itemize}
\item Addition\\
$z_{1}+z_{2}=\left(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}\right)$
\item Multiplikation\\
$z_{1}z_{2}=\left(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2},x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\right)$
\item Division\\
\begin{eqnarray*}
\frac{z_{1}}{z_{2}} & = & \frac{z_{1}\bar{Z}_{2}}{z_{2}\bar{z}_{2}}\\
 & = & \frac{z_{1}\bar{z}_{2}}{\left|z_{2}\right|^{2}}\\
 & = & \left(\frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}},\frac{x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}\right)\end{eqnarray*}

\item Neutrales Element der Addition\\
z=$\left(0,0\right)$
\item Neutrales Element der Multiplikation\\
z=$\left(1,0\right)$
\item $i=\sqrt{-1}$\index{i}
\end{itemize}

\subsection{Komplex Konjungierte\index{Konjungierte}\index{kompley konjungiert}
Zahl \textsf{\small I.53}}

Die komplex konjungierte Zahl von $z=x+iy$ heißt:\[
\bar{z}=x-iy\left(=z^{*}\right)\]
(Spiegelung an der reellen Achse)

\begin{itemize}
\item $\bar{\bar{z}}=z$
\item $\Re\left(z\right)=\frac{1}{2}\left(z+\bar{z}\right)$
\item $\Im\left(z\right)=\frac{1}{2}\left(z-\bar{z}\right)$
\item $\overline{z+w}=\bar{z}+\bar{w}$
\item $\overline{zw}=\bar{z}\bar{w}$
\item $\frac{1}{\left(\bar{z}\right)}=\bar{\left(\frac{1}{z}\right)}$
\item $z=\bar{z}\Leftrightarrow z\in\mathbb{R}$
\item $z\bar{z}=\Re\left(z\right)^{2}+\Im\left(z\right)^{2}$
\item Bei Matrizen mit Komplexen Einträgen:\\
$\overline{\det\left(A\right)}=\det\left(\bar{A}\right)$
\end{itemize}

\subsection{Betrag\index{Betrag!Komplex} einer Komplexen Zahl \textsf{\small I.58}}

\[
\left|z\right|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\]


\begin{itemize}
\item $\left|z\right|\geq0$
\item $\left|z\right|^{2}=z\bar{z}$ (also $\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{\left|z\right|^{2}}$)
\item $\left|z\right|=\left|-z\right|=\left|\bar{z}\right|=\left|-\bar{z}\right|$
\item $\left|z_{1}z_{2}\right|=\left|z_{1}\right|\left|z_{2}\right|$
\item Dreiecksungleichung\index{Dreiecksungleichung}\\
$\left|\left|z_{1}\right|-\left|z_{2}\right|\right|\leq\left|z_{1}+z_{2}\right|\leq\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|$
\end{itemize}

\subsection{Polarkoordinaten\index{Polarkoordinaten}\index{Komplex!Polarkoordinaten}
\textsf{\small I.60}}

\[
z=x+iy=re^{i\varphi}=r\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)\]


\begin{itemize}
\item $\Re\left(z\right)=x=r\cos\varphi$
\item $\Im\left(z\right)=y=r\sin\varphi$
\item $\varphi=$Winkel des Komplexen Zeigers\index{Komplex!Zeiger} mit
positiver Reeller Achse (Argument\index{Argument}\index{Komlex!Argument}
von $z$)\[
\arg\left(z\right)=\varphi=\left\{ \begin{array}{cc}
\arctan\left(\frac{y}{x}\right) & x\geq0\\
\pi+\arctan\left(\frac{y}{x}\right) & x<0\end{array}\right.\]

\item $\left|z\right|=\left|e^{i\varphi}\right|=\cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi=1$
\item $\left|z\right|=\left|re^{i\varphi}\right|=\left|r\right|\left(\cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi\right)=\left|r\right|$
\item $z=e^{i\varphi}\Leftrightarrow\bar{z}=e^{-i\varphi}$
\item $r_{1}e^{i\varphi_{1}}r_{2}e^{i\varphi_{2}}=r_{1}r_{2}e^{i\left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)}$
\item $\left(e^{i\varphi}\right)^{n}=e^{i\varphi n}$
\item Formel von Moivre\index{Moivre}\\
$\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)^{n}=\cos\left(n\varphi\right)+i\sin\left(n\varphi\right)$
\item $\frac{r_{1}e^{i\varphi_{1}}}{r_{2}e^{i\varphi_{2}}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}e^{i\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)}$
\item $z_{k}=\sqrt[n]{z_{0}}=\sqrt[n]{r_{0}}e^{i\left(\frac{\varphi_{0}}{n}+\frac{k}{n}2\pi\right)}$\\
$0\leq k\leq\left(n-1\right)$
\item $a$, $b$ sind rechtwinklig\index{rechtwinklig} zueinander\\
$\left|\frac{a}{b}\right|=r\  i\Leftrightarrow a\perp b$ 
\end{itemize}

\subsection{\label{sub:Fundamentalsatz-der-Algebra}Fundamentalsatz der Algebra\index{Fundamentalsatz der Algebra}
\textsf{\small I.71}}

Zu jedem Polynom\index{Polynom} vom Grad $n\geq1$\[
p\left(z\right)=\sum_{k=0}^{n}a_{k}z^{k},\quad a_{k}\in\mathbb{C},a_{n}\neq0\]
gibt es $n$ (nicht zwangsläufig unterschiedliche) komplexe Zahlen
$z_{1},\ldots,z_{n}$, so dass \[
p\left(z\right)=a_{n}\prod_{k=1}^{n}\left(z-z_{k}\right)\]
 für alle $z\in\mathbb{C}$ gilt. $z_{1},\ldots,z_{n}$ sind die Nullstellen\index{Nullstelle}
des Polynoms. Diese Umformung nennt sich \emph{Faktorisieren\index{Faktorisieren}}
in \emph{Linearfaktoren}\index{Linearfaktoren}.

Es lässt sich auch nur ein Linearfaktor abspalten. Dann erhält man
einen Linearfaktor und ein Restpolynom\index{Restpolynom} vom einem
um 1 verringerten Grad.\[
p\left(z\right)=\left(z-z^{*}\right)r\left(z\right)\]



\subsection{Vietascher\index{Vietaischer Wurzelsatz} Wurzelsatz\index{Wurzelsatz}
\textsf{\small I.72}}

\begin{eqnarray*}
\sum_{k=1}^{n} & = & -a_{n-1}\\
\sum_{k_{1},k_{2}=1,k_{1}\leq k_{2}}^{n} & = & a_{n-2}\\
\sum_{k_{1},k_{2},k_{3}=1,k_{1}\leq k_{2}\leq k_{3}}^{n} & = & -a_{n-3}\\
 & \vdots\\
\prod_{k=1}^{n}z_{k} & = & \left(-1\right)^{n}a_{0}\end{eqnarray*}



\section{Folgen\index{Folgen} \textsf{\small II.3}}

$\left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty}$ist eine Zuordnung\index{Zuordnung},
die jedem Index $n\in\mathbb{N}$ eine reelle Zahl $a_{n}$zuordnet.
Index $\mapsto$ Folgenglied. $n\mapsto a_{n}$.

$\left\langle a_{n}\right\rangle =a_{1},a_{2},a_{3},\ldots,a_{n}\quad(n\in\mathbb{N})$

Zuordnungsvorschrift\index{Zuordnungsvorschrift} in Form einer Gleichung
$a_{n}=f(n)$ (explizit\index{explizit}) oder rekursiv\index{rekrusiv}
$a_{n+1}=f(a_{n})$.


\subsection{Monotonie\index{Monotonie} \textsf{\small II.6}}

\begin{itemize}
\item monoton\index{monoton}~fallend $a_{n+1}\leq a_{n}$
\item streng~monoton\index{streng monoton}~fallend $a_{n+1}<a_{n}$
\item monoton~steigend $a_{n+1}\geq a_{n}$
\item streng~monoton~steigend $a_{n+1}>a_{n}$
\end{itemize}

\subsection{Teilfolge\index{Teilfolge} \textsf{\small II.6}}

$\left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty}$eine Folge, $\left\{ n_{k}\right\} _{k=1}^{\infty}$eine
streng monoton wachsende Folge mit $n_{k}\mathbb{\in N}$. Dann heißt\[
\left\{ a_{n_{k}}\right\} _{k=1}^{\infty}\]
 Teilfolge von $\left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty}$.

Man nehme als Index der einen Folge die Folgenglieder einer anderen
Folge, so dass man nur spezielle Elemente erhält, z.B. jedes Zweite.


\subsection{Konvergenz\index{Konvergenz} \textsf{\small II.8}}

Der Wert den eine Folge im Unendlichen annimmt, wird \emph{Grenzwert\index{Grenzwert}}
genannt. Wenn sie einen Grenzwert besitzt wird sie \emph{konvergent\index{konvergent}}
genannt, ansonsten \emph{divergent}\index{divergent}.

\[
\forall\varepsilon>0:\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon\]
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\]



\subsection{Nullfolge\index{Nullfolge} \textsf{\small II.11}}

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0\]


\begin{itemize}
\item z.B. die geometrische Reihe:\[
\forall\left|q\right|<1:\lim_{n\rightarrow\infty}q^{n}=0\]

\end{itemize}

\subsection{Konvergenzkriterien\index{Konvergenzkriterien}}


\subsubsection{Teilfolgen}

$\left\{ a_{n}\right\} $ konvergent wenn jede ihrer Teilfolgen konvergent.
\textsf{\small II.13}{\small \par}


\subsubsection{Sandwitchtheorem\index{Sandwitchtheorem} \textsf{\small II.15}}

Wenn: $\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\quad\lim_{n\rightarrow\infty}b_{n}=a$
\\
$a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}$\\
dann folgt: $\lim_{n\rightarrow\infty}c_{n}=a$


\subsubsection{Monotonie\index{Monotonie} / beschränkt\index{Beschränkt} \textsf{\small II.16}}

Jede monoton wachsende (monoton fallende) nach oben (nach unten) beschränkte
Folge $\left\{ a_{n}\right\} $ ist konvergent.\\
$a=\sup\left\{ a_{n}\right\} $ (bzw. $a=\inf\left\{ a_{n}\right\} $)


\subsubsection{Cauchy-Folge\index{Cauchy-Folge} \textsf{\small II.20}}

Jede Cauchy-Folge ist konvergent. \\
$\forall\varepsilon>0,k\in\mathbb{N}:\left|a_{n+k}-a_{n}\right|<\varepsilon$
definiert eine Cauchy-Folge


\subsubsection{Häufungspunkt}

Wenn bei einer beschränkten Folge der kleinste Häufungspunkt\index{Häufungspunkt}
(Limes inferior\index{Limes!inferior}: $\liminf$) gleich dem Größten
(Limes superior\index{Limes!superior}: $\limsup$) ist, ist dies
der Grenzwert der Folge \textsf{\small II.21} \[
\liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\]



\subsection{Grenzwert Rechenregeln \textsf{\small II.14}}

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}+b_{n}=a+b\]
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}b_{n}=ab\]
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{a}{b}\quad b\neq0\]


\begin{itemize}
\item Im Allgemeinen lassen sich zwei Grenzwertbildungen nicht in der Reihenfolge
vertauschen!
\end{itemize}

\subsubsection{Unbestimmte\index{Unbestimmt} Formen}

Unbestimmte Formen siehe Tabelle \vref{unbestFormen}. Diese lassen
sich alle bis auf $x=\left(\infty-\infty\right)$ lösen mit Hilfe
der Regeln von de l'Hospital\index{l'Hospital}\index{Hospital} (siehe
\vref{sub:Regeln-de-l-Hospital}).

%
\begin{table}[h]

\caption{\label{unbestFormen}unbestimmte Formen}

\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline 
$\lim f$&
$\lim g$&
unbestimmt\tabularnewline
\hline
\hline 
$+\infty$&
$-\infty$&
$\lim(f+g)$\tabularnewline
\hline 
0&
$+\infty$&
$\lim(f\cdot g)$\tabularnewline
\hline 
0&
$-\infty$&
$\lim(f\cdot g)$\tabularnewline
\hline 
0&
0&
$\lim\frac{f}{g}$\tabularnewline
\hline 
$+\infty$&
$+\infty$&
$\lim\frac{f}{g}$\tabularnewline
\hline 
$-\infty$&
$-\infty$&
$\lim\frac{f}{g}$\tabularnewline
\hline 
$+\infty$&
$-\infty$&
$\lim\frac{f}{g}$\tabularnewline
\hline 
$-\infty$&
$+\infty$&
$\lim\frac{f}{g}$\tabularnewline
\hline
\end{tabular}
\end{table}



\section{Reihen\index{Reihen} \textsf{\small II.22}}

Eine Reihe ($s_{n}$) ist eine Folge von Teilsummen\index{Teilsummen}
einer anderen Folge ($a_{n}$).\[
s_{n}=\sum_{v=1}^{n}a_{v}\]



\subsection{Konvergenz\index{Konvergenz} \textsf{\small II.22}}

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}s_{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{v=1}^{n}a_{v}=\sum_{v=1}^{\infty}a_{v}=a\]


Die Reihen $\sum_{v=1}^{\infty}a_{v}$ und $\sum_{v=1}^{\infty}b_{v}$
seien konvergent, dann gilt: \textsf{\small II.23}\[
\sum_{v=1}^{\infty}ca_{v}=ca,\quad\sum_{v=1}^{\infty}\left(a_{v}+b_{v}\right)=a+b\]



\subsubsection{Sätze über Konvergente Reihen}

Wenn eine Reihe $\sum_{v=1}^{\infty}a_{v}$ konvergiert, dann ist
$a_{v}$ eine Nullfolge\index{Nullfolge} ($a=0$) \textsf{\small II.24}{\small \par}

\begin{itemize}
\item Cauchy-Konvergenzkriterium\index{Cauchy-Reihe} für Reihen\\
$\sum_{v=1}^{\infty}a_{v}$ konvergent, wenn \\
$\forall\varepsilon>0:\exists n_{\varepsilon}\in\mathbb{N}:\forall n>m>n_{\varepsilon}:\left|\sum_{k=m+1}^{n}a_{k}\right|<\varepsilon$
\end{itemize}

\subsection{absolut / bedingt konvergent\index{absolut konvergent}\index{bedingt konvergent}
\textsf{\small II.163}}

Die Reihe $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}$ heißt absolut konvergent, falls
die Reihe $\sum_{k=0}^{\infty}\left|a_{k}\right|$ konvergiert, bedingt
konvergent, falls zwar $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}$ konvergiert, $\sum_{k=0}^{\infty}\left|a_{k}\right|$
aber divergiert.

\begin{itemize}
\item Wenn eine Reihe $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}$ absolut konvergiert, dann
konvergiert sie auch bedingt.
\item Wenn eine Reihe $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}$ divergiert, dann divergiert
auch $\sum_{k=0}^{\infty}\left|a_{k}\right|$.
\item Die Summe ($\sum_{k=0}^{\infty}\left(a_{k}+b_{k}\right)$) zweier
absolut konvergenter Reihen ($\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}$, $\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}$)
ist die auch absolut konvergent.
\end{itemize}

\subsubsection{Doppelreihe\index{Doppelreihe} \textsf{\small II.167}}

Durch $\sum_{v,\mu=0}^{\infty}a_{v\mu}$ wird eine Doppelreihe gegeben.


\subsubsection{Umordnung\index{Umordnung} \textsf{\small II.164}}

Sei $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}$ eine Reihe und $\pi:\mathbb{N}\cup\left\{ 0\right\} \rightarrow\mathbb{N}\cup\left\{ 0\right\} $
eine bijektive Abbildung. Dann heißt die Reihe \[
\sum_{k=0}^{\infty}a_{\pi\left(k\right)}\]
 eine Umordnung der Ausgangsreihe.

\begin{itemize}
\item Jede Umordnung einer absolut konvergenten Reihe ist ebenfalls (gegen
den gleichen Wert) konvergent.
\item Sei $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}$ bedingt konvergent. Dann gibt es zu
jedem $-\infty\leq s\leq\infty$ eine Umordnung sie bedingt gegen
$s$ konvergiert: $\sum_{k=0}^{\infty}a_{\pi_{s}\left(k\right)}=s$
\end{itemize}

\subsubsection{Großer Umordnungssatz\index{Großer Umordnungssatz} \textsf{\small II.167}}

Ordnet man die Doppelreihe in beliebiger Reihenfolge zu einer einfachen
Reihe an, so entsteht eine stets mit der gleichen Summe $s$ absolut
konvergente Reihe. Alle Zeilensummen\index{Zeilensummen} $\sum_{\mu=0}^{\infty}a_{v\mu}$
sowie alle Spaltensummen\index{Spaltensummen} $\sum_{v=0}^{\infty}a_{v\mu}$
sind absolut konvergent. Die Reihe der Spaltensummen bzw. Reihensummen
konvergiert absolut gegen $s$:\[
\sum_{v,\mu=0}^{\infty}a_{v\mu}=\sum_{v=0}^{\infty}\left(\sum_{\mu=0}^{\infty}a_{v\mu}\right)=\sum_{\mu=0}^{\infty}\left(\sum_{v=0}^{\infty}a_{v\mu}\right)=s\]


\begin{itemize}
\item gilt sinngemäß auch für Mehrfachreihen\index{Mehrfachreihe} $\sum_{v_{1},\ldots,v_{m}=0}^{\infty}a_{v_{1},\ldots,v_{m}}$
\end{itemize}

\subsubsection{Produkt von Reihen\index{Produckt von Reihen} \textsf{\small II.165}}

Wenn zwei Reihen absolut konvergieren, dann konvergiert die Reihe
der Produkte (bei beliebiger Anordnung) ebenfalls absolut, und es
gilt:\begin{eqnarray*}
 & \sum_{k=0}^{\infty}\tilde{p}_{k}=\sum_{{{k=1\atop j=1}}}^{\infty}\left(a_{k}b_{j}\right)=\sum_{k,j=0}^{\infty}\left(a_{k}b_{j}\right)\\
 & =\left(\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\right)\left(\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}\right)=ab\end{eqnarray*}



\subsubsection{Cauchy-Produkt\index{Cauchy-Produkt} \textsf{\small II.166}}

Das Cauchy-Produkt ist absolut konvergent:

\[
\sum_{v=0}^{\infty}\left(\sum_{\mu=0}^{v}a_{\mu}b_{v-\mu}\right)=\left(\sum_{v=0}^{\infty}a_{v}\right)\left(\sum_{v=0}^{\infty}b_{v}\right)\]



\subsection{Konvergenzkriterien\index{Reihen!Konvergenzkriterien}\index{Konvergenzkriterien}
\textsf{\small II.168}}


\subsubsection{Majoranten-\index{Majorantenkriterium} oder Vergleichskriterium\index{Vergleichskriterium}
\textsf{\small II.168}}

$\forall v\geq v_{0}\geq0:\;0\leq a_{v}\leq b_{v}$.

Wenn die Reihe $\sum_{v=0}^{\infty}b_{v}$ konvergiert, dann konvergiert
auch die Reihe $\sum_{v=0}^{\infty}a_{v}$, und es gilt: $\sum_{v=0}^{\infty}a_{v}\leq\sum_{v=0}^{\infty}b_{v}$.

Wenn die Reihe $\sum_{v=0}^{\infty}b_{v}$ divergiert, dann divergiert
auch die Reihe $\sum_{v=0}^{\infty}a_{v}$.


\subsubsection{Quotientenkriterium\index{Quotientenkriterium} \textsf{\small II.169}}

Sei $\sum_{v=0}^{\infty}a_{v}$ eine Reihe mit $a_{v}\neq$ für alle
$v\in\mathbb{N}$ und \[
\limsup_{v\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{v+1}}{a_{v}}\right|=\bar{g}\;\mathrm{und}\;\liminf_{v\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{v+1}}{a_{v}}\right|=\underbar{g}\]


Dann gilt:

\begin{itemize}
\item Ist $\bar{g}<1$, so konvergiert die Reihe $\sum_{v=0}^{\infty}a_{v}$
absolut.
\item Ist $\underbar{g}>1$, so divergiert die Reihe $\sum_{v=0}^{\infty}a_{v}$.
\item Für jeweils $=1$ gibt das Kriterium keinen Aufschluss.
\item siehe Wurzelkriterum (ist stärker als Quotientenkriterium)
\end{itemize}

\subsubsection{Wurzelkriterium\index{Wurzelkriterium} \textsf{\small II.171}}

Sei $\sum_{v=0}^{\infty}a_{v}$ eine Reihe mit \[
\limsup_{v\rightarrow\infty}\sqrt[v]{\left|a_{v}\right|}=\bar{g}\]


\begin{itemize}
\item Ist $\bar{g}<1$, so konvergiert die Reihe absolut.
\item Ist $\bar{g}>1$, so divergiert die Reihe.
\item Für $\bar{g}=1$ gibt das Kriterium keinen Aufschluss.
\item $\limsup_{v\rightarrow\infty}\sqrt[v]{\left|a_{v}\right|}\leq\limsup_{v\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{v+1}}{a_{v}}\right|$\\
$\liminf_{v\rightarrow\infty}\sqrt[v]{\left|a_{v}\right|}\geq\liminf_{v\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{v+1}}{a_{v}}\right|$

\begin{itemize}
\item Bezug zum Quotientenkriterium.
\item Wenn erster Grenzwert existiert, dann existiert auch der zweite.
\item Das Wurzelkriertum ist stärker als das Quotientenkriterium.
\end{itemize}
\end{itemize}

\subsubsection{Leibnizsches Kriterium\index{Leibnizsches Kriterium} \textsf{\small II.174}}

Sei $\left\{ a_{v}\right\} _{v=1}^{\infty}$ eine Nullfolge\index{Nullfolge}
mit $\forall v:\  a_{v}\geq0,\  a_{v}\geq a_{v+1}$.

Dann ist die Reihe \[
\sum_{v=1}^{\infty}\left(-1\right)^{v+1}a_{v}\]
 konvergent. Für die n-te Teilsumme gilt die Abschätzung:\[
\left|\sum_{v=1}^{\infty}\left(-1\right)^{v+1}a_{v}-\sum_{v=1}^{n}\left(-1\right)^{v+1}a_{v}\right|\leq a_{n+1}\]



\subsubsection{Integralkriterium\index{Integralkriterium} \textsf{\small II.175}}

Sei $\forall_{\left[1,\infty\right)}^{x}:\; f:\left[1,\infty\right)\rightarrow\mathbb{R},\; f\left(x\right)\leq0$
monoton fallend, und die Folge $a_{v}=f\left(v\right),v\in\mathbb{N}$
eine Nullfolge. Dann gilt:\[
\sum_{v=1}^{\infty}a_{v}\;\mathrm{konvergiert}\Leftrightarrow\int_{x=1}^{\infty}f\left(x\right)dx\;\mathrm{konvergiert}\]
 


\subsection{\label{sub:Besondere-Reihen}Besondere Reihen}

\begin{itemize}
\item Weitere Reihen siehe \vref{sub:wichtige-Reihen-II.154}
\item geometrische Reihe\index{geometrische Reihe} \textsf{\small II.25}\\
$\sum_{v=0}^{n}q^{v}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$\\
(konvergent wenn $\left|q\right|<1$)
\item harmonische Reihe\index{harmonische Reihe} \textsf{\small II.27}
\textsf{\small }\\
$\sum_{v=1}^{\infty}\frac{1}{v}$ (divergent)
\item alternierende harmonische Reihe\index{alternierende harmonische Reihe}
\textsf{\small II.28}\\
$\sum_{v=1}^{\infty}(-1)^{v+1}\frac{1}{v}$ (konvergent)
\item $\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$
\item $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=1-\frac{1}{n+1}$
\item $\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
\item $\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c}
m+k\\
k\end{array}\right)$=$\left(\begin{array}{c}
m+n+1\\
n\end{array}\right)$
\item $\sum_{k=0}^{n}k\left(\begin{array}{c}
n\\
k\end{array}\right)=n2^{n-1}$
\end{itemize}

\subsubsection{Eulersche Zahl\index{Eulersche Zahl} $e$ \textsf{\small II.34}}

Folgende Reihen sind absolut Konvergent gegen $e$.

\[
\sum_{v=0}^{\infty}\frac{1}{v!}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e\]
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}=\frac{1}{e}\]
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)^{n}=1\]



\section{Funktionsfolgen\index{Funktionsfolgen} und Funktionsreihen\index{Funktionsreihen}}


\subsection{Konvergenz}


\subsubsection{Punktweise\index{Punktweise} Konvergenz \textsf{\small II.178}}

Eine Folge von Funktionen $\left(f_{n}\right)_{n=1}^{\infty},\; f_{n}:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$
konvergiert punktweise, wenn $\forall_{\left[a,b\right]}^{x}:\left(f_{n}\left(x\right)\right)_{n=1}^{\infty}$
konvergiert. Die durch $f\left(x\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)$
in $\left[a,b\right]$ erklärte Funktion heißt Grenzfunktion\index{Grenzfunktion}.

Man schreibt \[
f_{n}\left(x\right)\begin{array}{c}
pktw.\\
\longrightarrow\\
n\rightarrow\infty\end{array}f\left(x\right)\]



\subsubsection{Gleichmäßige\index{gleichmäßig} Konvergenz \textsf{\small II.178}}

Die Funktion $f_{n}:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R},\;\left(n\geq1\right)$,
und $f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$ seien beschränkt. Die
Folge $\left(f_{n}\right)_{n=1}^{\infty}$ konvergiert gleichmäßig
gegen die Grenzfunktion $f$, wenn die folgende Beziehung gilt:\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\;\max_{x\in\left[a,b\right]}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|=0\]


Man schreibt \[
f_{n}\left(x\right)\begin{array}{c}
glm.\\
\longrightarrow\\
n\rightarrow\infty\end{array}f\left(x\right)\]


\begin{itemize}
\item jede gleichmäßig konvergente Folge ist auch punktweise Konvergent.
\item wenn alle $\left(f_{n}\right)_{n=1}^{\infty}$ stetig $\Rightarrow$
$f$ ist stetig in $\left[a,b\right]$
\item man kann in jedem Punkt zwei Grenzprozesse vertauschen:\\
\begin{eqnarray*}
f\left(x_{0}\right) & = & \lim_{x\rightarrow x_{0}}\left(\lim_{x\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)\right)\\
 & = & \lim_{x\rightarrow\infty}\left(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f_{n}\left(x\right)\right)\\
 & = & \lim_{x\rightarrow\infty}f_{n}\left(x_{0}\right)\end{eqnarray*}

\end{itemize}

\subsection{Vertauschen von Grenzwerten}


\subsubsection{Integration \textsf{\small II.180}}

Die Folge $\left(f_{n}\right)_{n=1}^{\infty}$ von stetigen Funktionen
konvergiere gleichmäßig gegen die Grenzfunktion $f$. Dann gilt\begin{eqnarray*}
\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx & = & \int_{a}^{b}\left(\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)\right)dx\\
 & = & \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\int_{a}^{b}f_{n}\left(x\right)dx\right)\end{eqnarray*}



\subsubsection{Differenziation \textsf{\small II.180}}

Die Folge von stetig differenzierbaren Funktionen $\left(f_{n}\right)_{n=1}^{\infty}$
konvergiere in $\left[a,b\right]$ punktweise gegen $f$. Die Folge
der Ableitungen $\left(f_{n}'\right)_{n=1}^{\infty}$ konvergiere
gleichmäßig in $\left[a,b\right]$. Dann ist $f$ stetig diffbar,
und\[
f'\left(x\right)=\frac{d}{dx}\left(\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}'\left(x\right)\]



\subsubsection{Funktionsreihen Integrieren \textsf{\small II.182}}

Sei $\left(f_{n}\right)_{n=1}^{\infty}$ stetig auf $\left[a,b\right]$.
Die Reihe $f\left(x\right):=\sum_{k=1}^{\infty}f_{k}\left(x\right)$
konvergiere gleichmäßig auf $\left[a,b\right]$. Dann ist die Grenzwertfunktion
$f$ stetig in $\left[a,b\right]$ und\begin{eqnarray*}
\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx & = & \int_{a}^{b}\left(\sum_{v=1}^{\infty}f_{v}\left(x\right)\right)dx\\
 & = & \sum_{v=1}^{\infty}\left(\int_{a}^{b}f_{v}\left(x\right)dx\right)\end{eqnarray*}



\subsubsection{Funktionsreihen Differenzieren \textsf{\small II.182}}

Sei $\left(f_{n}\right)_{n=1}^{\infty}$ stetig differenzierbar auf
$\left[a,b\right]$. Die Reihe $f\left(x\right)=\sum_{k=1}^{\infty}f_{k}\left(x\right)$
konvergiere punktweise gegen $f$, und $\sum_{k=1}^{\infty}f_{k}'\left(x\right)$
konvergiere gleichmäßig auf $\left[a,b\right]$. Dann ist $f\left(x\right)$stetig
differenzierbar und\[
f'\left(x\right)=\frac{d}{dx}\left(\sum_{v=1}^{\infty}f_{v}\left(x\right)\right)=\sum_{v=1}^{\infty}f_{v}'\left(x\right)\]



\subsection{Konvergenzkriterien\index{Konvergenzkriterien}}


\subsubsection{Cauchy-Kriterium\index{Cauchy-Kriterium} für gleichmäßige Konvergenz
\textsf{\small II.178}}

Eine Folge $f_{n}:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R},\;\left(n\geq1\right)$
beschränkter Funktionen konvergiert genau dann gleichmäßig gegen die
beschränkte Grenzfunktion $f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$,
wenn: \begin{eqnarray*}
 &  & \forall\epsilon>0:\exists n_{\epsilon}:\forall n,m>n_{\epsilon}:\\
 &  & \max_{x\in\left[a,b\right]}\left|f_{m}\left(x\right)-f_{n}\left(x\right)\right|<\epsilon\end{eqnarray*}



\subsubsection{Majorantenkriterium\index{Majorantenkriterium} \textsf{\small II.182}}

Sei $\left(f_{n}\right)_{n=1}^{\infty}$ auf $\left[a,b\right]$ beschränkt,
und $\left(c_{n}\right)_{n=1}^{\infty}$ eine Zahlenfolge mit $\left|f_{n}\left(x\right)\right|\leq c_{n}$
für alle $x\in\left[a,b\right]$. Konvergiert $\left(c_{n}\right)_{n=1}^{\infty}$,
so konvergiert auch $\sum_{k=1}^{\infty}f_{k}\left(x\right)$ gleichmäßig
auf $\left[a,b\right]$.


\subsection{Potenzreihen\index{Potenzreihen} \textsf{\small II.185}}

Sei $\left(a_{k}\right)_{k=0}^{\infty}$ eine Folge und $x_{0}\in\mathbb{R}$.
Die Reihe \[
\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\left(x-x_{0}\right)^{k}\]
 heißt Potenzreihe\index{Potenzreihe} mit Koeffizienten\index{Koeffizienten}
$a_{k}$ und Entwicklungspunkt\index{Entwicklungspunkt} $x_{0}$
(z.B. Taylorreihe\index{Taylorreihe}).


\subsubsection{Konvergenz\index{Konvergenz}\index{Potenzreihe!konvergenz} / Konvergenzradius\index{Konvergenzradius}
\textsf{\small II.185}}

Sei $f=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\left(x-x_{0}\right)^{k}$ eine Potenzreihe,
die an der Stelle $\tilde{x}$ konvergiert. Dann konvergiert die Reihe
absolut\index{absolute Konvergenz} und gleichmäßig\index{gleichmäßige Konvergenz}
in jedem Intervall $\left|x-x_{0}\right|\leq c$ für jedes $c<\left|\tilde{x}-x_{0}\right|$.
Divergiert $f$ in $\tilde{x}$, so divergiert $f$ für alle $x$
mit $\left|x-x_{0}\right|>\left|\tilde{x}-x_{0}\right|$.

Wenn $D:=\left\{ x|f\left(x\right)\ \mathrm{konvergiert}\right\} $
der Definitionsbereich von $f$ ist, heißt $\rho:=\sup_{x\in D}\left|x-x_{0}\right|$
der Konvergenzradius von $f$.

\begin{itemize}
\item In $\mathbb{C}$ bildet $\rho$ einen Kreis um $x_{0}$
\item über Punkte $x=x_{0}\pm\rho$ kann nichts ausgesagt werden
\item $\rho=0$ Konvergenz nur bei $x_{0}$
\item $\rho=\infty$ Konvergenz für alle $x$
\item eine Potenzreihe ist innerhalb ihres Konvergenzradius stets eine stetige
Funktion\index{stetige Funktion}.
\end{itemize}

\subsubsection{Konvergenzradius\index{Konvergenzradius} \textsf{\small II.186}}

Sei $f=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\left(x-x_{0}\right)^{k}$ eine Potenzreihe.
Dann ist\[
\rho=\frac{1}{\limsup_{k\rightarrow\infty}\sqrt[k]{\left|a_{k}\right|}}=\lim_{k\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{k}}{a_{k+1}}\right|\]
 der Konvergenzradius. Die erste Formel ist die Hadamasche\index{Hadamasche Formel}
Formel (gilt immer). Die Zweite Formel gilt nur, wenn dieser Grenzwert
auch existiert.


\subsubsection{Integrieren / Differenzieren \textsf{\small II.190}}

Sei $f=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\left(x-x_{0}\right)^{k}$ eine Potenzreihe
mit Konvergenzradius $\rho>0$. Dann gilt\[
g\left(x\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\left(k+1\right)a_{k+1}\left(x-x_{0}\right)^{k}\]
 \[
h\left(x\right)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{a_{k-1}}{k}\left(x-x_{0}\right)^{k}\]
haben ebenfalls den Konvergenzradius $\rho$ und $g\left(x\right)=f'\left(x\right),\  h\left(x=\int_{x_{0}}^{x}f\left(t\right)dt\right)$.


\subsubsection{Eindeutigkeitssatz für Potenzreihen \textsf{\small II.191}}

Wenn zwei Potenzreihen in einem beliebig kleinen Intervall $\epsilon>0$
absolut konvergieren und übereinstimmen, sind sie bereits identisch
($\forall_{\mathbb{N}}^{k}:a_{k}=b_{k}$).


\subsection{\label{sub:wichtige-Reihen-II.154}wichtige Reihen \textsf{\small II.154
/ II.192}}

\begin{itemize}
\item Weitere Reihen siehe \vref{sub:Besondere-Reihen}
\item $e^{x}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}$
\item $\sin\left(x\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\left(-1\right)^{k}\frac{x^{2k+1}}{\left(2k+1\right)!}$
\item $\cos\left(x\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\left(-1\right)^{k}\frac{x^{2k}}{\left(2k\right)!}$
\item $\sinh\left(x\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k+1}}{\left(2k+1\right)!}$
\item $\cosh\left(x\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k}}{\left(2k\right)!}$
\item geometrische Reihe $\left(\left|x\right|<1\right)$\\
$\frac{1}{1\pm x}=\sum_{k=0}^{\infty}\left(\mp1\right)^{k}x^{k}$
\item abgeleitete geometrische Reihe $\left(\left|x\right|<1\right)$\\
$\frac{1}{\left(1\pm x\right)^{2}}=\sum_{k=0}^{\infty}\left(\mp1\right)^{k}\left(k+1\right)x^{k}$
\item $\ln\left(1-x\right)=\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k+1}\frac{x^{k}}{k}$
\item $\arctan\left(x\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\left(-1\right)^{k}\frac{x^{2k+1}}{2k+1}$
\end{itemize}

\section{Funktionen\index{Funktionen} \textsf{\small I.116}}


\subsection{Definition \textsf{\small I.116}}

\begin{itemize}
\item $D=$ Definitionsbereich\index{Definitionsbereich}, $W=$ Wertebereich\index{Wertebereich}.
Die Zuordnungsvorschrift $f$ ordnet jedem Element $x\in D$ genau
ein Element $y=f(x)\in W$ zu. Man sagt, $f$ bildet $D$ auf $W$
ab. $x=$ Urbild\index{Urbild}, $f(x)=$ Bild\index{Bild}\[
f:D_{f}\rightarrow W_{f},\quad x\mapsto f(x)\]

\item Gleichheit\index{Gleichheit}\\
$D_{g}=D_{f}\quad f(x)=g(x)$
\item Restriktion\index{Restriktion}\\
$D_{g}\subseteq D_{f}$ lässt sich das wie folgt schreiben $g=f|_{D_{g}}$\\
d.h. $f$ gilt nur für Teilmenge\index{Teilmenge} $D_{g}$
\end{itemize}

\subsection{Stetige Funktionen\index{stetige Funktionen} \textsf{\small II.38}}

\begin{itemize}
\item $f:D\rightarrow\mathbb{R}$ heißt stetig\index{stetig} im Punkt $x_{0}$,
wenn\[
\forall\varepsilon>0,x\in D:\exists\delta_{\varepsilon}>0:\left|x-x_{0}\right|<\delta_{\varepsilon}\Rightarrow\]
\[
\left|f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)\right|<\varepsilon\]

\item Stetig in D\\
falls $f$ in in jedem Punkt $x_{0}\in D$ stetig ist.
\item gleichmäßig Stetig\index{gleichmäßig Stetig}\[
\forall\varepsilon>0,x,x_{0}\in D:\exists\delta_{\varepsilon}>0:\left|x-x_{0}\right|<\delta_{\varepsilon}\Rightarrow\]
\[
\left|f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)\right|<\varepsilon\]
(Die Steigung ist in D endlich, z.B. $y=\sin(x)$.\\
$y=x^{2}$ ist in $\mathbb{R}$ nicht gleichmäßig stetig).
\end{itemize}

\subsubsection{Kriterien für Stetigkeit}

\begin{itemize}
\item Folgenkriterium\index{Folgenkriterium} \textsf{\small II.40}\\
$f$ ist stetig im Punkt $x_{0}\subset D$, wenn die zu irgendeiner
gegen $x_{0}$ konvergenten Folge$\left\{ \tilde{x}_{n}\right\} \subset D$
gehörigen Folge von Funktionswerten $\left\{ f\left(\tilde{x}_{n}\right)\right\} $
gegen $f\left(x_{0}\right)$ konvergiert. \[
\lim_{n\rightarrow\infty}\tilde{x}_{n}=x_{0}\Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}f\left(\tilde{x}_{n}\right)=f\left(x_{0}\right)\]
 $\Rightarrow f$ stetig in $x_{0}$.
\item Ableitung\index{Ableitung} \textsf{\small II.68}\\
Wenn eine Funktion in $x_{0}$ differenzierbar ist, ist sie dort auch
stetig.
\end{itemize}

\subsection{Sätze über stetige Funktionen}


\subsubsection{Hauptsätze \textsf{\small II.41}}

Seien $f,g:D\rightarrow\mathbb{R}$ stetig in $x_{0}\in D$. Dann
sind auch folgende Funktionen stetig:

\begin{itemize}
\item $f+g:D\rightarrow\mathbb{R}$
\item $fg:D\rightarrow\mathbb{R}$
\item $\frac{f}{g}:D\rightarrow\mathbb{R}$ falls $g\left(x_{n}\right)\neq0$
\end{itemize}

\subsubsection{Verkettung\index{Verkettung} \textsf{\small II.42}}

Sei $f:D\rightarrow\mathbb{R}$ stetig in $x_{0}\in D$, $g:f(D)\rightarrow\mathbb{R}$
stetig in $f\left(x_{0}\right)$. Dann gilt:

Verkettung $g\circ f:D\rightarrow\mathbb{R}$ ist stetig.\\
bzw. $x\mapsto g\left(f(x)\right)$ stetig in $x_{0}$

\begin{itemize}
\item $\left(f\circ f^{-1}\right)(x)=x$
\end{itemize}

\subsubsection{Umkehrfunktion\index{Umkehrfunktion} \textsf{\small II.43}}

Sei $f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$ eine streng monotone,
in $x_{0}\in\left[a,b\right]$ stetige Funktion. Dann ist die Umkehrfunktion
$f^{-1}:f\left(\left[a,b\right]\right)\rightarrow\mathbb{R}$ in $f\left(x_{0}\right)\in f\left(\left[a,b\right]\right)$
stetig.

\begin{itemize}
\item Entspricht einer Spiegelung der Funktion an der Geraden $y=x$
\item $\left(f\circ f^{-1}\right)(x)=x$
\item Nur !!! bei stetigen, streng monotonen Funktionen möglich. Anderenfalls
Definitionsbereich passend einschränken.
\end{itemize}

\subsubsection{Min-/Maximum\index{Maximum}\index{Minimum} \textsf{\small II.43}}

Eine Funktion hat ein (absolutes) Minimum bzw. Maximum $x_{0}$, wenn
$f(x)\geq f\left(x_{0}\right)$ bzw. $f(x)\leq f\left(x_{0}\right)$.\[
\min f(x)=\underline{x}\quad\mathrm{bzw.}\quad\max f(x)=\overline{x}\]
 Bei einem beschränkten Wertebereich muss eine stetige Funktion ein
absolutes Minimum und ein absolutes Maximum besitzen.

Dies ist relativ, falls dies nur in einer Umgebung um $x_{0}$ gilt.\[
\min_{x\in\left[a,b\right]}f(x)=\underline{x}\quad\mathrm{bzw.}\quad\max_{x\in\left[a,b\right]}f(x)=\overline{x}\]



\subsubsection{Zwischenwertsatz\index{Zwischenwertsatz} \textsf{\small II.44}}

Bei einer stetigen, beschränkten Funktion wird jeder Wert zwischen
dem Minimum und dem Maximum als Funktionswert angenommen.


\subsubsection{\label{sub:gerade-/-ungerade}gerade\index{gerade Funktion} / ungerade\index{ungerade Funktion}
Funktionen}

\begin{itemize}
\item Eine Funktion $g(x)$ ist gerade, wenn\\
$g(-x)=g(x)$

\begin{itemize}
\item sind Spiegelsymmetrisch\index{Spiegelsymetrisch} zur Y-Achse
\item z.B. Polynome in denen nur gerade Exponenten auftauchen ($p(x)=\sum_{k=0}^{n}a_{2k}x^{2k}$)
\item z.B. $\cos(x)$
\end{itemize}
\item Eine Funktion $u(x)$ ist ungerade, wenn\\
$u(-x)=-u(x)$

\begin{itemize}
\item sind Punktsymmetrisch\index{Punktsymetrisch} zum Ursprung
\item z.B. Polynome in denen nur ungerade Exponenten Auftauchen ($p(x)=\sum_{k=0}^{n}a_{2k+1}x^{2k+1}$)
\item z.B. $\sin(x)$
\end{itemize}
\item Der (un)gerade Anteil einer beliebigen Funktion $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$
ist definiert durch

\begin{itemize}
\item gerade: $g(x):=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$
\item ungerade: $u(x):=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$
\item $f(x)=g(x)+u(x)$
\item z.B. $f(x)=e^{x}$\\
$g(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}=\cosh(x)$\\
$u(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=\sinh(x)$
\end{itemize}
\end{itemize}

\subsection{Grenzwert\index{Grenzwert} von Funktionen}


\subsubsection{Definition \textsf{\small II.46}}

$D=(a,b)\backslash\left\{ x_{0}\right\} $\\
$f:D\rightarrow\mathbb{R}$ hat den Grenzwert y, falls für jede gegen
$x_{0}$ konvergente Folge,\\
$\left(x_{n}\right)$; $x_{n}\in D$; $\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x_{0}$
folgendes gilt: \\
$\lim_{n\rightarrow\infty}f\left(x_{n}\right)=y$ \\
$y$ ist die stetige Fortsetzung\index{stetige Fortsetzung} von $f$
in $x_{0}$. \\
Somit wäre $\overline{f}(x)=\left\{ \begin{array}{cc}
f(x) & x\in D\\
y & x=x_{0}\end{array}\right.$ stetig.


\subsubsection{Linksseitiger\index{Linksseitiger Grenzwert} Grenzwert \textsf{\small II.46}}

Die Funktion $f:\left(a,x_{0}\right)\rightarrow\mathbb{R}$ besitzt
in $x_{0}$ den linksseitigen Grenzwert y, mit Zuhilfenahme einer
gegen $x_{0}$ konvergenten Folge:\[
\lim_{x\rightarrow x^{-}}f(x)=y\]



\subsubsection{Rechtsseitiger\index{Rechtsseitiger Grenzwert} Grenzwert \textsf{\small II.47}}

Die Funktion $f:\left(x_{0},b\right)\rightarrow\mathbb{R}$ besitzt
in $x_{0}$ den rechtsseitigen Grenzwert y, mit Zuhilfenahme einer
gegen $x_{0}$ konvergenten Folge:\[
\lim_{x\rightarrow x^{+}}f(x)=y\]



\subsubsection{Grenzwert im Punkt\index{Grenzwert im Punkt} \textsf{\small II.47}}

Eine Funktion besitzt in einem Punkt $x_{0}$ dann einen Grenzwert
$y$, wenn ihr links-/rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen.\[
\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)=y\]



\subsubsection{Grenzwert im Unendlichen\index{Grenzwert im Unendlichen} \textsf{\small II.49}}

Eine Funktion kann im Unendlichen einen Grenzwert besitzen. Z.B. $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x}=0$\[
\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=\lim_{t\rightarrow0^{-}}f\left(\frac{1}{t}\right)\]
\[
\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\lim_{t\rightarrow0^{+}}f\left(\frac{1}{t}\right)\]



\subsubsection{Sprungstelle\index{Sprungstelle} \textsf{\small II.50}}

Eine Funktion besitzt eine Sprungstelle im Punkt $x_{0}$, wenn:

\[
\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)\neq\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)\]



\subsubsection{hebbare\index{hebbare Unstetigkeit} Unstetigkeit\index{Unstetigkeit}}

Eine Funktion $f:(a,b)\backslash\left\{ x_{0}\right\} \rightarrow\mathbb{R}$
hat in $x_{0}$ eine hebbare Unstetigkeit, falls:\[
\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)=y\]
 existieren und übereinstimmen. Die Funktion $\overline{f}:(a,b)\rightarrow\mathbb{R},\;\overline{f}(x)=\left\{ \begin{array}{cc}
f(x) & x\neq x_{0}\\
y & x=x_{0}\end{array}\right.$ heißt stetige Fortsetzung\index{stetige Fortsetzung} von $f$.


\subsubsection{\label{sub:Regeln-de-l-Hospital}Regeln von de l'Hosptial\index{de l'Hosptial}\index{Regel von de l'Hospital}
\textsf{\small II.86}}

Wenn $\lim_{x\rightarrow a^{\pm}}\frac{f(x)}{g(x)}$ zu $\frac{\pm0}{\pm0}$
oder $\frac{\pm\infty}{\pm\infty}$ führt, dann lässt sich der Ausdurch
an der Stelle $a$ durch die Ableitung von $f$ und $g$ ersetzen.
\[
\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\]


Um einen Ausdruck, der zu $0\cdot\infty$ führt zu ersetzen, müssen
die Funktionen einfach angepasst werden. So wird aus $f\cdot g=\frac{g}{\frac{1}{f}}$.
Hier muss nur beachtet werden, dass hier $\left(\frac{1}{f}\right)'$
abgeleitet wird.


\subsubsection{Grenzwertbildung mithilfe des Taylorpolynoms\index{Taylorpolynom}}

Wenn $\lim_{x\rightarrow0^{\pm}}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$
zu $\frac{\pm0}{\pm0}$ führt, lässt sich dies häufig durch eine Taylorentwicklung
von Teilen von $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ (z.B. Teile
des Nenners und des Zählers) umgehen. Dabei reicht es zumeist, die
ersten 3 bis 5 Glieder des Polynoms hinzuschreiben. Anschließend muss
versucht werden, $x$ so zu kürzen, das die Therme höherer Potenz
durch den Grenzübergang wegfallen, und nur noch ein (einfacher) Bruch
übrig bleibt.

\begin{itemize}
\item Achtung, nur für Grenzübergang gegen $0$.
\end{itemize}

\subsubsection{wichtige Grenzwerte}

\begin{itemize}
\item $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^{n}}{e^{x}}=0,\quad n\geq0$
\item $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln\left(x\right)}{x^{n}}=0,\quad n>0$
\item $\lim_{x\rightarrow+\infty}\sqrt[x]{x}=1$
\end{itemize}

\subsection{Logarithmus\index{Logarithmusfunktion}- und Exponentialfunktion\index{Exponentialfunktion}
\textsf{\small II.55}}


\subsubsection{Denfinition \textsf{\small II.56}}

(eigentlich über Potenzreihen\index{Potenzreihen} definiert)\[
\ln x=\lim_{n\rightarrow\infty}2^{n}\left(\sqrt[2^{n}]{x}-1\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}2^{n}\left(1-\frac{1}{\sqrt[2^{n}]{x}}\right)\]
$\ln(x)$ ist eine stetige, streng monoton wachsende Funktion auf
$\mathbb{R}_{>0}$ (\textsf{\small II.57}).


\subsubsection{$\ln(x)$-Rechenregeln \textsf{\small II.57}}

\begin{itemize}
\item $\ln(1)=0$
\item $\ln\left(x_{1}x_{2}\right)=\ln\left(x_{1}\right)+\ln\left(x_{2}\right)$
\item $\ln\left(\frac{x_{1}}{x_{2}}\right)=\ln\left(x_{1}\right)-\ln\left(x_{2}\right)$
\item $\ln\left(x^{r}\right)=r\ln\left(x\right)\quad r\in\mathbb{Q}$
\item $\left(\ln(x)\right)'=\frac{1}{x}$
\item $\log_{b}\left(x\right)=\frac{\ln\left(x\right)}{\ln\left(b\right)}$
\end{itemize}

\subsubsection{$e$-Funktion \textsf{\small II.59}}

Umkehrfunkton\index{Umkehrfunkton} von $\ln(x)$ heißt \[
e^{x}:=\exp x=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{n}\]


$f:\mathbb{R}_{>0}\rightarrow\mathbb{R}\quad f:x\rightarrow\ln(x)$\\
$f^{-1}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}_{>0}\quad f^{-1}:x\rightarrow\exp(x)$

$e^{x}$ stetig und streng monoton wachsend auf $\mathbb{R}$.


\subsubsection{$e^{x}$-Rechenregeln \textsf{\small II.59}}

\begin{itemize}
\item $\forall_{\mathbb{R}_{>0}}^{x}:e^{\ln x}=x$
\item $\ln\left(e^{x}\right)=x$
\item $e^{x_{1}+x_{2}}=e^{x_{1}}e^{x_{2}}$
\item $\forall x<1:e^{x}\leq\frac{1}{1-x}$
\item $1+x\leq e^{x}$
\item $\left(e^{ax}\right)'=ae^{ax}$
\item Wachstumsverhalten\index{Wachstumsverhalten} der Exponentialfunktion\\
$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^{n}}{e^{x}}=0,\quad n\geq0$
\end{itemize}

\subsubsection{Allgemeine Exp. Funktion\index{Allgemeine Exponentialfunktion} /
Logarithmus\index{Allgemeiner Logarithmus} \textsf{\small II.62}}

$\forall a>0:a^{x}=e^{\ln(a)x}$ bzw. $\forall x>0:x^{b}=e^{b\ln(x)}$

$\forall a>0,a\neq1,x>0:\log_{a}(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(a)}$


\subsection{Differenzierbare Funktionen\index{Differenzierbare Funktionen} \textsf{\small II.64}}


\subsubsection{Definition \textsf{\small II.64}}

Eine Funktion $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ heißt differenzierbar im
inneren Punkt $x_{0}\in I$, wenn der Grenzwert \begin{eqnarray*}
f'\left(x_{0}\right) & = & \lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h}\\
 & = & \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}\\
 & = & \frac{df}{dx}\left(x_{0}\right)=\frac{d}{dx}f\left(x_{0}\right)\end{eqnarray*}
 existiert.

Ist $x_{0}$ ein Randpunkt des Intervalls $I$ mit $x_{0}\in I$,
so heißt $f$ in $x_{0}$ links-/ bzw. rechtsseitig differenzierbar,
wenn der links-/ bzw. rechtsseitige Grenzwert existiert. $f'\left(x_{0}\right)$
gibt die Steigung\index{Steigung} einer Tangenten\index{Tangenten}
von $f$ in $x_{0}$wieder. Die Prozedur des Ableiten ist eine lineare
Abbildung\index{lineare Abbildung} $f:P\left(x\right)\rightarrow P'\left(x\right)$.


\subsubsection{Kriterium für Differenzierbarkeit \textsf{\small II.67}}

Eine Funktion $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ ist genau dann differenzierbar
im Punkt $x_{o}\in I$, wenn es ein $c\in\mathbb{R}$ und eine auf
einer $\varepsilon$-Umgebung $U_{\varepsilon}(x_{0})\subset I$ erklärte
Funktion $r(x)$ gibt, so daß \[
\lim_{x\rightarrow x_{o}}r(x)=0\]
 und \[
f(x)=f(x_{0})+c(x-x_{0})+r(x)\left|x-x_{0}\right|\]
 gilt.


\subsubsection{Tangente\index{Tangente} \textsf{\small II.68}}

\[
t(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})\]



\subsubsection{Ableitung\index{Ableitung} \textsf{\small II.69}}

\begin{itemize}
\item 1-te Ableitung\\
$f'(x)=\frac{d}{dx}f(x)$
\item n-te Ableitung\\
$f^{(n)}(x)=\frac{d^{n}}{dx^{n}}f(x)$
\end{itemize}

\subsubsection{Ableitungsregeln \textsf{\small II.72}}

\begin{itemize}
\item Summenregel\index{Summenregel} \textsf{\small II.72}\\
$(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)$
\item Produktregel\index{Producktregel} \textsf{\small II.72}\\
$(f\  g)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$
\item Quotientenregel\index{Quotientenregel} \textsf{\small II.72}\\
$\left(\frac{f}{g}\right)'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}$
\item Kettenregel\index{Kettenregel} \textsf{\small II.75}\\
$(g\circ f)'(x)=g\left(f\left(x\right)\right)=g'(f(x))f'(x)$
\end{itemize}

\subsubsection{Ableitung der Umkehrfunktion\index{Umkehrfunktion}\index{Ableitung Umkehrfunktion}
\textsf{\small II.78}}

Die stetige Funktion $f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$ sei
streng monoton und in $x_{0}\in\left(a,b\right)$ differenzierbar
mit $f'(x_{0})\neq0$. Dann ist die Umkehrfunktion $f^{-1}:f\left(\left[a,b\right]\right)\rightarrow\left[a,b\right]$
in $f(x_{0})$ differenzierbar, und es gilt\[
\left(f^{-1}\right)'\left(f\left(x_{0}\right)\right)=\frac{1}{f'\left(x_{0}\right)}\]
bzw. \[
\left(f^{-1}\right)'\left(x_{0}\right)=\frac{1}{f'\left(f^{-1}\left(x_{0}\right)\right)}\]


Ist $f$ stetig differenzierbar, dann ist auch $f^{-1}$ stetig differenzierbar.

\begin{itemize}
\item Möglichst $f$ in der Ableitung $f'$ wieder vorkommen lassen, da
dies sich anschließend mit Hilfe der Umkehrfunktion\index{Umkehrfunktion}
gegenseitig aufhebt. Z.B. $\tan\left(x\right)'=1+\tan^{2}\left(x\right)$.
\end{itemize}

\subsubsection{Ableitung von wichtigen Funktionen}

Alle Ableitungen nach $x$ ($\frac{d}{dx}f(x)$).

\begin{itemize}
\item $a'=0$
\item $\left(ax^{b}\right)'=abx^{b-1}$
\item $\left(\ln(x)\right)'=\frac{1}{x}$
\item $\left(e^{bx}\right)'=be^{bx}$
\item $\forall a>0:\ \left(a^{x}\right)'=\ln(a)a^{x}$
\item $\left(v\left(x\right)^{u\left(x\right)}\right)'=v\left(x\right)^{u\left(x\right)}\left(v'\left(x\right)\ln\left(u\left(x\right)\right)+v\left(x\right)\frac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)}\right)$
\item $\sin(x)'=\cos(x)$
\item $\cos(x)'=-\sin(x)$
\item $\tan(x)'=\frac{1}{\cos^{2}(x)}$
\item $\forall-1<x<1:\arcsin(x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
\item $\mathrm{arsinh}(x)'=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$
\end{itemize}

\subsubsection{Relatives Extremum\index{Extremum}\index{Relatives Extremum} \textsf{\small II.80}}

Die Funktion $f$ besitzt an der Stelle $x_{0}$ ein relatives Extremum,
dann gilt $f'(x_{0})=0$. Dies ist aber nicht hinreichend\index{hinreichend}
(nicht immer in umgekehrter Richtung gültig), da es sich auch um einen
Sattelpunkt\index{Sattelpunkt} handeln könnte.


\subsubsection{Satz von Rolle\index{Rolle}\index{Satz von Rolle} / Mittelwertsatz\index{Mittelwertsatz}
\textsf{\small II.80}}

Die Funktionen $f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$ und $g:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$
seien stetig und in $\left(a,b\right)$ differenzierbar.

\begin{itemize}
\item Satz von Rolle (wenn $a=b$)\\
$\exists\xi\in\left(a,b\right):\  f'\left(\xi\right)=0$
\item Mittelwertsatz\\
$\exists\xi\in\left(a,b\right):\  f'\left(\xi\right)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
\item Verallgemeinerter Mittelwertsatz (wenn $\forall x\in\left(a,b\right):g'(x)\neq0$)
\textsf{\small II.84}\\
$\exists\xi\in\left(a,b\right):\ \frac{f'\left(\xi\right)}{g'\left(\xi\right)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$
\end{itemize}

\subsubsection{Charakteristika von Funktionen \textsf{\small II.82}}

\begin{itemize}
\item konstante Funktion\\
Es gilt: $f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$ mit $f'(x)=0$\\
$\Rightarrow f(x)=f(a)$
\item beliebige Funktionen\\
Es gilt: $f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$, $g:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$
und $f'(x)=g'(x)$\\
$\Rightarrow f(x)=g(x)+f(a)-g(a)$
\end{itemize}

\subsubsection{Monotoniekriterium\index{Monotoniekriterium} \textsf{\small II.84}}

Sei $f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$ stetig in $\left(a,b\right)$
differenzierbar. Wenn für alle $x\in\left(a,b\right)$:

\begin{itemize}
\item $f'(x)\leq0\Leftrightarrow f$ ist monoton fallend
\item $f'(x)\geq0\Leftrightarrow f$ ist monoton steigend
\item $f'(x)<0\Rightarrow f$ ist streng monoton fallend
\item $f'(x)>0\Rightarrow f$ ist streng monoton steigend
\end{itemize}

\subsection{Kurvendiskussion\index{Kurvendiskussion} \textsf{\small Papula I.378}}

Bei einer Kurvendiskussion wird versucht möglichst viel über eine
Funktion in Erfahrung zu bringen. Dabei kann man z.B. wie folgt folgendes
Schema abarbeiten%
\footnote{entnommen aus: Lothar Papula; Mathematik für Naturwissenschaftler
und Ingenieure Band 1; Abschnitt 3.5 (in 10. Auflage Seite 378)%
}. Hier wird die Funktion $f(x)$ diskutiert.


\subsubsection{Definitionsbereich\index{Definitionbereich} / Definitionslücken\index{Definitionslücken}}

Angabe des Definitionsbereiches $D$. Auf Definitionslücken (z.B.
wenn der Nenner eines Bruches Null wird) achten!!


\subsubsection{Symmetrie\index{Symmetrie}}

Angeben ob es sich um eine gerade oder ungerade Funktion handelt (siehe
\vref{sub:gerade-/-ungerade}).


\subsubsection{Nullstellen\index{Nullstellen}}

Alle $x_{k}$ Werte, bei der die Funktion den Wert Null annimmt $f(x_{k})=0$.
Hierzu die Funktion am besten in Linearfaktoren\index{Linearfaktoren}
(siehe \vref{sub:Fundamentalsatz-der-Algebra}) zerlegen, da hier
die Nullstellen leichter abgelesen werden können. Eine Funktion vom
Grad $n$ kann bis zu $n$ Nullstellen besitzen.


\subsubsection{Y-Achsenabschnitt\index{Y-Achsenabschnitt}\index{Achsenabschnitt}}

Der Wert von $f(0)$ wird Y-Achsenabschnitt genannt.


\subsubsection{Pole\index{Pole}}

Alle $x_{k}$ Werte, an denen die Funktion den Wert $\pm\infty$ besitzt
($f(x_{k})=\pm\infty$) werden \emph{Polstellen\index{Polstellen}}
genannt. Wenn der Links-/Rechtsseitige Grenzwert übereinstimmen \[
\lim_{x\rightarrow x_{k}^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_{k}^{+}}f(x)=\pm\infty,\]
handelt es sich um einen Pol ohne Vorzeichenwechsel, wenn nicht um
einen mit Vorzeichenwechsel. Pole sind also Unstetigkeitsstellen\index{Unstetigkeitsstellen},
bzw. Definitionslücken\index{Definitionslücken}, und lassen sich
so auch finden (z.B. wenn der Nenner eines Bruches Null wird).


\subsubsection{Ableitungen}

Auflistung der (in der Regel die ersten drei) Ableitungen $f'(x),\  f''(x),\  f'''(x)$


\subsubsection{Relative Extremwerte\index{Relative Extremwerte}\index{Extremwerte}\index{Extremalstellen}
(Maxima\index{Maxima} und Minima\index{Minima})}

Ein relatives Extremum an der Stelle $\left(x_{k},f(x_{k})\right)$
liegt vor, wenn\\
$f'(x_{k})=0$ und die erste Ableitung die nicht verschwindet (alle
Ableitungen von 1 bis $n-1$ sind 0) eine geradzahlige Ableitung ist
($f^{\left(n\right)}(x_{k})\neq0$).

Sonderfall\\
$f'\left(x_{k}\right)=0$ und $f''\left(x_{k}\right)\neq0$

\begin{itemize}
\item relatives Minimum (Tiefpunkt\index{Tiefpunkt}) mit $f^{\left(n\right)}(x_{k})>0$.
\item relatives Maximum (Hochpunkt\index{Hochpunkt}) mit $f^{\left(n\right)}(x_{k})<0$.
\item Die Extremwerte sind Absolut, wenn es in der Funktion kein größeren
/ kleineren Wert gibt. Siehe Wertebereich.
\end{itemize}

\subsubsection{Wendepunkte\index{Wendepunkt}, Sattelpunkte\index{Sattelpunkt}}

Ein Wendepunkt kann als Extremwert der 1. Ableitung (die Steigung
ändert ihr Vorzeichen) interpretiert werden. Er liegt an der Stelle
$\left(x_{k},f(x_{k})\right)$ liegt vor, wenn die 2. Ableitung 0,
und die 1. Ableitung die daraufhin nicht verschwindet eine ungerade
ist\\
$f''(x_{k})=0$ und $f^{\left(n+1\right)}(x_{k})\neq0$.

Sonderfall:\\
$f''(x_{k})=0$ und $f'''(x_{k})\neq0$.


\subsubsection{Krümmung\index{Krümmung} \textsf{\small II.160}}

\begin{itemize}
\item konvexe\index{konvex} (Linkskurve\index{Linkskurve}) Funktion, wenn
stets: $f''\left(x_{k}\right)\geq0$
\item konkave\index{konkav} (Rechtskurve\index{Rechtskurve}) Funktion,
wenn stets: $f''\left(x_{k}\right)\leq0$
\end{itemize}

\subsubsection{Verhalten der Funktion für $x\rightarrow\pm\infty$, Asymptoten\index{Asymptote}
im Unendlichen}

Das Verhalten von Funktionen im Unendlichen, wird von der Funktion
$g(x)$ beschrieben, die der vorgegebenen Funktion $f(x)$ im Unendlichen
immer ähnlicher wird.

\begin{itemize}
\item bei ganzrationalen\index{ganzrationale Funktionen} Funktionen ist
$g(x)=f(x)$
\item bei gebrochenrationalen\index{gebrochenrationale Funktionen} Funktion
entspricht $g(x)$ dem ganzrationalen Anteil von $f(x)$ (Ergebnis
einer Polynomdivision\index{Polynomdivision})
\item bei echtgebrochenen\index{echtgebrochene Funktion} Funktionen (Nennerpolynom
von $f(x)$ hat einen höheren Grad als das Zählerpolynom) ist $g(x)=0$
\end{itemize}
Asymptote im Unendlichen (bzw. an den Intervallgrenzen) sind die Werte
die $f(x)$ an den Grenzen des Definitionsbereichs annimmt ($\pm\infty$,
0)


\subsubsection{Wertebereich\index{Wertebereich} der Funktion}

Hier wird das Intervall verlangt, in dem die Werte der Funktion liegen
können. Hier kann man sich an den Werten der Asymptoten im Unendlichen
und den Extremwerten orientieren.


\subsubsection{Zeichnung\index{Zeichnung von Funktionen} der Funktion in einem
geeigneten Maßstab}

Hier wird eine Zeichnung verlangt, die alle Extremwerte, Pole, Wende-
und Sattelpunkte beinhaltet. Der Verlauf zwischen diesen Punkten kann
intuitiv aus dem Handgelenk ergänzt werden. Wenn es sich um eine periodische
Funktion handelt, recht es 2 - 3 Perioden zu zeichnen.


\section{Integralrechnung\index{Integralrechnung} \textsf{\small II.92}}

Mithilfe der Integralrechnung lässt sich der Flächeninhalt unter einer
Kurve bestimmen.


\subsection{Ober- und Untersummen\index{Obersumme}\index{Untersumme} \textsf{\small II.92}}


\subsubsection{Zerlegung\index{Zerlegung} (Partition\index{Partition}) \textsf{\small II.92}}

Sei $\left[a,b\right]$ ein abgeschlossenes Intervall und\[
a=x_{0}<x_{1}<\ldots<x_{n-1}<x_{n}=b.\]


Dann bildet die Menge der $n+1$ reellen Zahlen \[
P=\left\{ x_{0},\ldots,x_{n}\right\} \]
 eine Partition von $\left[a,b\right]$.\[
\left\Vert P\right\Vert =\max_{1\leq k\leq n}\left\{ x_{k}-x_{k-1}\right\} \]
 heißt Feinheit\index{Feinheit} von $P$.\[
\Delta x_{k}:=x_{k}-x_{k-1}\]


Eine \emph{äquidistante Zerlegung\index{äpuidistante Zerlegung}}
ist wie folgt definiert\[
\Delta x_{k}=\frac{b-a}{n},\quad x_{k}=a+\frac{k\left(b-a\right)}{n}\]



\subsubsection{Riemann-Summe\index{Riemann-Summe} \textsf{\small II.103}}

Sei $P=\left\{ x_{0},\ldots,x_{n}\right\} $ eine Zerlegung von $\left[a,b\right]$
und \[
\xi_{k}\in\left[x_{k-1},x_{k}\right]\quad(k=1,\ldots,n)\]
 Dann heißt \[
S(f,P):=\sum_{k=1}^{n}f(\xi_{k})\Delta x_{k}\]


eine Riemann-Summe.

\begin{itemize}
\item linke\index{Riemann-Summe!linke} Riemann-Summe\\
für $\xi_{k}=x_{k-1}$\\
bei äuquidistanter Zerlegung\[
S(f,P)=\sum_{k=0}^{n-1}\left(f\left(a+\frac{k\left(b-a\right)}{n}\right)\frac{b-a}{n}\right)\]

\item rechte\index{Riemann-Summe!rechte} Riemann-Summe\\
für $\xi_{k}=x_{k}$\\
bei äuquidistanter Zerlegung\[
S(f,P)=\sum_{k=1}^{n}\left(f\left(a+\frac{k\left(b-a\right)}{n}\right)\frac{b-a}{n}\right)\]

\item untere\index{Riemann-Summe!untere} Riemann-Summe\\
für $m_{k}:=\inf\left\{ f\left(x\right)|x_{k-1}\leq x\leq x_{k}\right\} $\[
\underbar{S}\left(f,P\right)=\sum_{k=1}^{n}m_{k}\delta x_{k}\]

\item obere\index{Riemann-Summe!obere} Riemann-Summe\\
für $M_{k}:=\sup\left\{ f\left(x\right)|x_{k-1}\leq x\leq x_{k}\right\} $\[
\bar{S}\left(f,P\right)=\sum_{k=1}^{n}M_{k}\delta x_{k}\]

\end{itemize}

\subsection{Riemann Integral\index{Integral}\index{Riemann Integral} \textsf{\small II.100}}

Eine Funktion $f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$ heißt Riemann-integrierbar\index{integrierbar}\index{Riemann integrierbar}
auf $\left[a,b\right]$ wenn folgende Grenzwerte existieren und miteinander
Übereinstimmen. Für diesen Grenzwert schreibt man\[
\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx:=\lim_{\left\Vert P\right\Vert \rightarrow0}\underbar{S}\left(f,P\right)=\lim_{\left\Vert P\right\Vert \rightarrow0}\bar{S}\left(f,P\right)\]


Im folgenden wird mit integrierbar immer Riemann-integrierbar gemeint
(es gibt noch andere Integrierbarkeitsbegriffe\index{Integrierbarkeitsbegriff}).

Folgende Funktionen sind (Riemann) integrierbar

\begin{itemize}
\item monotone\index{monotone Funktionen}, beschränke\index{beschränke Funktionen}
Funktionen
\item stetige Funktionen\index{stetige Funktionen}
\end{itemize}

\subsection{Eigenschaften von Integralen \textsf{\small II.99}}

Sei $f,g:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$ integrierbar, $\alpha,\beta,c\in\mathbb{R}$

\begin{itemize}
\item integrieren entspricht einer linearen Abbildung:\\
$\int_{a}^{b}\left(\alpha f\left(x\right)+\beta g\left(x\right)\right)dx=$\\
$\alpha\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx+\beta\int_{a}^{b}g\left(x\right)dx$
\item {}``Dreiecksungleichung\index{Dreiecksungleichung}''\\
$\left|\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx\right|\leq\int_{a}^{b}\left|f\left(x\right)\right|dx$
\item $\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=\int_{a}^{c}f\left(x\right)dx+\int_{c}^{b}f\left(x\right)dx$
\item $\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=-\int_{b}^{a}f\left(x\right)dx$
\item Sei $\forall x\in\left[a,b\right]:m\leq f\left(x\right)\leq M$.\\
Dann folgt $m\leq\int_{a}^{b}\frac{f\left(x\right)}{b-a}dx\leq M$
\item Mittelwertsatz\index{Mittelwertsatz Integralrechung}\index{Mittelwertsatz}
der Integralrechnung\\
$\exists\xi\in\left[a,b\right]:\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=f\left(\xi\right)\left(b-a\right)$
\item Das Integrieren ist eine lineare Abbildung\index{lineare Abbildung}
$f:P(x)\rightarrow\int P(x)$
\item $\left|\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx\right|\leq\max_{x\in\left[a,b\right]}\left|f\left(x\right)\right|\left(b-a\right)$
\end{itemize}

\subsection{Flächen\index{Flächenfunktion}- und Stammfunktion\index{Stammfunktion}
/ unbestimmtes\index{unbestimmtes Integral} Integral \textsf{\small II.103}}

Sei $f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$ integrierbar

\begin{description}
\item [Flächenfunktion]~\\
$F\left(x\right):=\int_{a}^{x}f\left(t\right)dt\;\left(x\in\left[a,b\right]\right)$
\item [unbestimmtes~Integral]~\\
$F\left(x\right):=\int_{c}^{x}f\left(t\right)dt\;\left(x,c\in\left[a,b\right]\right)$
\item [Stammfunktion]~\\
$F'\left(x\right):=f\left(x\right)\;\left(x\in\left[a,b\right]\right)$
\end{description}
\begin{itemize}
\item Alle drei Begriffe sind bis auf Feinheiten gleichwertig.
\item Es gibt mehrere verschiedene $F\left(x\right)$ zu einer gegebenen
$f\left(x\right)$ die sich nur durch eine Konstante unterscheiden
\item Stammfunktionen sind in $\left[a,b\right]$ gleichmäßig stetig
\item $\int_{a}^{b}f\left(t\right)dt)=F\left(b\right)-F\left(a\right)$
\item Hauptsatz\index{Hauptsatz Diff./Intergralrech.} der Differential-
und Integralrechnung\\
\[
F'\left(x\right)=\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f\left(t\right)dt=f(x)\]


\begin{itemize}
\item Integrieren ist Umkehroperation\index{Umkehroperation} des Differenzieren
und umgekehrt
\end{itemize}
\end{itemize}

\subsubsection{partielle~Integration\index{partielle Integration} / Produktintegration\index{Producktintegration}
\textsf{\small II.123}}

\[
\int f\left(x\right)\cdot g'\left(x\right)dx=\]
\[
f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)-\int f'\left(x\right)\cdot g\left(x\right)dx\]


\begin{itemize}
\item $g$ und $f$ auf jeden Fall incl. Ableitungen herausschreiben

\begin{itemize}
\item auf jeden Fall Probe (Ableiten) machen, man vertut sich sehr schnell
\item $p\left(x\right)e^{x}$ bzw. $p\left(x\right)\sin\left(x\right)$,
... sind auf diese Weise behandelbar
\end{itemize}
\item Auf jeden Fall Probe!!!
\end{itemize}

\subsubsection{Partialbruchzerlegung\index{Partialbruchzerlegung}}

Durch Partialbruchzerlegung lassen sich rationale Funktionen\index{rationale Funktion}
so schreiben, dass sie sich leichter integrieren lassen. Dabei kann
folgendes Schema angewandt werden.

\begin{enumerate}
\item Polynomdivision, und die Funktion in der Form $\frac{z\left(x\right)}{n\left(x\right)}=g\left(x\right)+\frac{r\left(x\right)}{n\left(x\right)}$
schreiben.
\item Den Rest $r\left(x\right)$ durch Partialbruchzerlegung vereinfachen,
dazu $n\left(x\right)$ in Linearfaktoren $\frac{z\left(x\right)}{n\left(x\right)}=g\left(x\right)+\frac{A_{1}}{n_{1}\left(x\right)}+\ldots+\frac{A_{k}}{n_{k}\left(x\right)}$
zerlegen. Jeder dieser Linearfaktoren wird zu einem Nenner eines Partialbruchs.

\begin{itemize}
\item Falls ein Linearfaktor $m>1$ mal vorkommt, muss man ihn in mehrfach
als Nenner verwenden, und zwar so, das er als ganzen in den Potenzen
$1$ bis $m$ vorkommt.
\item Falls sich ein Nenner vom Rang $m$ (im Reellen) nicht mehr weiter
Zerlegen lässt, ist es möglich ihn als ganzes beizubehalten. Dafür
muss im Zähler ein Polynom vom Grad $m-1$ angenommen Werden, d.h.
$m$ Unbekannte stehen vor den jeweiligen $x$ Potenzen auf dem Bruchstrich.
\end{itemize}
\item Jedem Partialbruch eine Unbekannte $A_{k}\in\mathbb{K}$ zuordnen.
\item Hauptnenner des Partialbruchs bilden und ausmultipizieren
\item Nach gleichen Potenzen von $x$ sortieren.
\item Unbekannte durch Koeffizientenvergleich bestimmen.

\begin{itemize}
\item mit Hilfe lin. Gleichungssystem oder
\item durch Einsetzen passender Werte für x, so das immer alles bis auf
eine Therm den Faktor 0 hat, und so wegfällt. So lässt sich dieser
Therm dann direkt auswerten.
\end{itemize}
\item Kontrolle!!!
\item Stammfunktion der Umgeformten Gleichung bestimmen. Fertig!!
\end{enumerate}

\subsubsection{Substitution\index{Integral!Substitution}\index{Substitution!Integral}
\textsf{\small II.126}}

\[
\int f\left(\phi\left(t\right)\right)\cdot\phi'\left(x\right)\  dt=\left(\int f\left(x\right)dx\right)_{x=\phi\left(t\right)}\]
\[
\int f\left(x\right)\  dx=\left(\int f\left(\phi\left(t\right)\right)\cdot\phi'\left(t\right)\  dt\right)_{t=\phi^{-1}\left(x\right)}\]


\begin{enumerate}
\item Gebrauchsanweisung

\begin{enumerate}
\item Eine passende Ersetzung suchen

\begin{enumerate}
\item $t=g\left(x\right)$
\item diese Ableiten $\frac{dt}{dx}=g'\left(t\right)=\ldots$
\item umstellen $dx=\frac{dt}{g'\left(t\right)}=\ldots$
\end{enumerate}
\item Im Integral Substituieren mit Hilfe von (a).i (bzw. $x=g^{-1}\left(t\right)=\ldots$)
und (a).iii
\item Versuchen Stammfunktion zu bilden

\begin{enumerate}
\item wenn es nicht klappt, evtl. andere Substitution versuchen
\item evtl. passend klammern, um bekannte Integrale zu Nutzen
\end{enumerate}
\item Im Ergebnis (Stammfunktion) zurücksubstituieren mit (a).i
\end{enumerate}
\item Gebrauchsanweisung

\begin{enumerate}
\item Eine passende Ersetzung suchen

\begin{enumerate}
\item $x=\phi\left(t\right)$
\item diese Ableiten $\frac{dx}{dt}=\phi'\left(t\right)=\ldots$
\item umstellen $dx=\phi'\left(t\right)dt=\ldots$
\end{enumerate}
\item Umkehrfunktion bilden $t=\phi^{-1}\left(x\right)$
\item Im Integral Subtituieren mit Hilfe von (a).i und (a).iii
\item Versuchen Stammfunktion zu bilden

\begin{enumerate}
\item wenn es nicht klappt, evtl. andere Substitution versuchen
\item evtl. passend klammern, um bekannte Integrale zu Nutzen
\end{enumerate}
\item Im Ergebnis (Stammfunktion) zurücksubstituieren mit (a).i
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{itemize}
\item Beide Methoden äquivalent durch Regel der Ableitung der Umkehrfunktion.
\item In der Tabelle \vref{cap:Substitution-unbestimmten-Int} hat man eine
Übersicht von geeigneten Substitutionen.
\item So Klammern und Substituieren, das es auf etwas bekanntes (z.B. Ableitungen
von Trigonometrischen-, Hyperbolischen- oder Areafunktioen) zurückführen
lässt.
\item Auf jeden Fall Probe!!!
\end{itemize}
%
\begin{table*}[th]

\caption{\label{cap:Substitution-unbestimmten-Int}Substitution zur unbestimmten
Integration ($R$ ist eine rationale Funktion in $x,y$)}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline 
Funktion&
Methode&
$t$&
$x$\tabularnewline
\hline
\hline 
$R\left(x\right)$&
\multicolumn{3}{c|}{Polynomdivision + Partialbruchzerlegung}\tabularnewline
\hline 
$R\left(x,\sqrt[k]{ax+b}\right)$&
Substitution&
$t=\sqrt[k]{ax+b}$&
$x=\frac{t^{k}}{a}-\frac{b}{a}$\tabularnewline
\hline 
$R\left(x,\sqrt[k]{\frac{ax+b}{cx+d}}\right)$&
Substitution&
$t=\sqrt[k]{\frac{ax+b}{cx+d}}$&
$x=\frac{b-dt^{k}}{ct^{k}-a}$\tabularnewline
\hline 
$R\left(\sin\left(ax\right),\cos\left(ax\right)\right)$&
Substitution&
$t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$&
$x=2\textrm{arctan}\left(t\right)$\tabularnewline
\hline 
$R\left(e^{ax},e^{-ax}\right)$&
Substitution&
$t=e^{ax}$&
$x=\frac{\ln\left(t\right)}{a}$\tabularnewline
\hline 
$R\left(x,\sqrt{ax^{2}+bx+c}\right)$&
Substitution&
\multicolumn{2}{c|}{$t=\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^{2}}}$ bzw. $t=\frac{2ax+b}{\sqrt{b^{2}-4ac}}$}\tabularnewline
\hline
\end{tabular}
\end{table*}



\subsection{Uneigentliche\index{Integral!Uneigentliche}\index{Uneigentliche Integrale}
Integrale \textsf{\small II.131}}

Unter uneigentlichen Integralen versteht man uneingeschränkte Integrale
(z.B.~$\int_{-\infty}^{+\infty}$) oder Integrale über uneingeschränkte
Funktionen (z.B.~$\int_{-1}^{1}\frac{1}{x}\  dx$).

Sei $-\infty<a<b\leq\infty$ und $f:\left[a,b\right)\rightarrow\mathbb{R}$.
Für alle Teilintervalle $\left[\alpha,\beta\right]\subset\left[a,b\right)$
existiert das Riemannsche Integral. Die Funktion heißt \emph{uneigentlich
integrierbar} auf $\left[a,b\right)$, wenn

\[
\lim_{\beta\rightarrow b^{-}}\int_{a}^{\beta}f\left(x\right)dx=\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx\]
 existiert. Entsprechend $-\infty\leq a<b<\infty$:\[
\lim_{\alpha\rightarrow a^{+}}\int_{\alpha}^{b}f\left(x\right)dx=\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx\]
Wenn beide Grenzen unbeschränkt sind, lässt sich dies durch Zerlegung
des Integrationsbereiches lösen.


\subsubsection{Majorrantenkriterium\index{Majorrantenkriterium} \textsf{\small II.133}}

$\forall_{[a,b)}^{x}0\leq f\left(x\right)\leq g\left(x\right):$ Konvergiert
das uneigentliche Integral $\int_{a}^{b}g\left(x\right)\  dx$, so
auch $\int_{a}^{b}f\left(x\right)\  dx$ und es gilt\[
0\leq\int_{a}^{b}f\left(x\right)\  dx\leq\int_{a}^{b}g\left(x\right)\  dx\]


\begin{itemize}
\item Hilft beim abschätzen, ob es eine Lösung geben kann, und in welchen
Intervall sie liegen wird.
\end{itemize}

\subsubsection{Betragskriterium\index{Betragskriterium} \textsf{\small II.134}}

Wenn $\int_{a}^{b}\left|f\left(x\right)\right|\  dx$ konvergiert
$\Rightarrow$ Konvergenz von $\int_{a}^{b}f\left(x\right)\  dx$
und es gilt \[
\left|\int_{a}^{b}f\left(x\right)\  dx\right|\leq\int_{a}^{b}\left|f\left(x\right)\right|\  dx\]



\section{Taylorentwicklung\index{Taylorentwicklung} \textsf{\small II.141}}

Idee: approximiere Funktionen durch geeignete Polynome $\Rightarrow$
einfacher zu differenzieren / integrieren.


\subsection{Satz von Taylor \textsf{\small \index{Taylor}II.141}}

Die Funktion $f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$ sei in $\left[a,b\right]$
$n$-mal stetig differenzierbar und im offenen Intervall $\left(a,b\right)$
$\left(n+1\right)$-mal differenzierbar. Sei $x_{0}\in\left[a,b\right]$.
Dann gibt es zu jedem $x\in\left[a,b\right]$ ein $\xi$ mit $x_{0}<\xi<x$
oder $x<\xi<x_{0}$ mit \begin{eqnarray*}
f\left(x\right) & = & \sum_{k=0}^{n}\left(\frac{f^{\left(k\right)}\left(x_{0}\right)}{k!}\left(x-x_{0}\right)^{k}\right)\\
 &  & +\frac{f^{\left(n+1\right)}\left(\xi\right)}{\left(n+1\right)!}\left(x-x_{0}\right)^{n+1}\end{eqnarray*}



\subsubsection{Taylorpolynom\index{Taylorpolynom} / Restglied\index{Restgleid}
\textsf{\small II.141}}

\begin{itemize}
\item Allgemein gilt\[
f\left(x\right)=T_{n}\left(f,x,x_{0}\right)+R_{n}\left(f,x,x_{0}\right)\]

\item Taylorpolynom der Funktion $f$ vom Grad $n$ um den Entwicklungspunkt\index{Entwicklungspunkt}
$x_{0}$.\[
T_{n}\left(f,x,x_{0}\right)=\sum_{k=0}^{n}\left(\frac{f^{\left(k\right)}\left(x_{0}\right)}{k!}\left(x-x_{0}\right)^{k}\right)\]

\item Restglied~in~Lagrangeform\index{Lagrangeform}\[
R_{n}\left(f,x,x_{0}\right)=\frac{f^{\left(n+1\right)}\left(\xi\right)}{\left(n+1\right)!}\left(x-x_{0}\right)^{n+1}\]
mit $\xi\in\left[x_{0},x\right]\cup\left[x,x_{0}\right]$ 
\item Restglied~in~Integralform\index{Integralform}\[
R_{n}\left(f,x,x_{0}\right)=\frac{1}{n!}\int_{x0}^{x}\left(x-t\right)^{n}f^{\left(n+1\right)}\left(t\right)\  dt\]

\item wichtige Reihen siehe \vref{sub:Besondere-Reihen} und \vref{sub:wichtige-Reihen-II.154}.
\end{itemize}

\subsection{Taylorreihe\index{Taylorreihe} \textsf{\small II.152}}

Sei $f\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$ beliebig oft differenzierbar,
und $x\in\left[a,b\right]$. Die Reihe \[
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{\left(k\right)}\left(x_{0}\right)}{k!}\left(x-x_{0}\right)^{k}\]
 heißt Taylorreihe von $f$ um $x_{0}$. Sie konvergiert an $x$ genau
dann gegen $f\left(x\right)$ wenn \[
\lim_{n\rightarrow\infty}R_{n}\left(f,x,x_{0}\right)=0\]


\begin{itemize}
\item Nicht jede Taylorreihe konvergiert
\item Konvergenz kann evt. nur für Intervalle bestehen
\item wichtige Reihen siehe \vref{sub:Besondere-Reihen} und \vref{sub:wichtige-Reihen-II.154}.
\end{itemize}

\section{Funktionen mehrerer Veränderlicher \textsf{\small II.199}}


\subsection{Grundbegriffe \textsf{\small II.199}}


\subsubsection{Euklidische Norm\index{Norm}\index{Euklidische Norm} \textsf{\small II.199}}

Sei $\vec{x}=\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right)\in\mathbb{R}^{n}$. Dann
heißt $\left\Vert \vec{x}\right\Vert =\sqrt{\sum_{j=1}^{\infty}x_{j}^{2}}$
die euklidische Norm von $\vec{x}$.

\begin{itemize}
\item in $\mathbb{R}^{2}$ über Pythagoras
\item Abstand erfüllt Dreiecksungleichung\index{Dreiecksungleichung}
\item Punkte konstanter Norm ergeben Kugeloberfläche (in $\mathbb{R}^{3}$)
\item Auch andere Abstände denkbar: z.B:\\
$\left\Vert \vec{x}\right\Vert _{max}:=\max_{j=1,\ldots,n}\left\{ \left|x_{j}\right|\right\} $

\begin{itemize}
\item auch hier Dreiecksungleichung
\item ergibt die selbe Analysis ($\left\Vert \vec{x}\right\Vert _{max}\leq\left\Vert \vec{x}\right\Vert \leq\sqrt{n}\left\Vert \vec{x}\right\Vert _{max}$)
\end{itemize}
\item Abstand zweier Punkte über Differenz: $\left\Vert \vec{x}-\vec{y}\right\Vert $
\end{itemize}

\subsubsection{Konvergenz\index{Konvergenz} \textsf{\small II.202}}

Eine Folge $\left(\vec{a}_{k}\right)\in\mathbb{R}^{n}$ konvergiert
genau dann gegen den Grenzwert $\vec{a}\in\mathbb{R}^{n}$, wenn jede
Komponentenfolge $\left(a_{kj}\right)\quad\left(j=1,\ldots,n\right)$
gegen $a_{j}$ konvergiert.

\begin{itemize}
\item Eine Folge ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchyfolge\index{Cauchyfolge}
ist, d.h. wenn es zu jedem $\epsilon>0$ einen $k_{0}\in\mathbb{N}$
gibt mit $\forall k,l>k_{0}:\left\Vert \vec{a}_{k}-\vec{a}_{l}\right\Vert <\epsilon$
\end{itemize}

\subsubsection{Randpunkt\index{Randpunkt} / Häufungspunkt\index{Häufungspunkt}
\textsf{\small II.200}}

Ein $\vec{a}\in\mathbb{R}^{n}$ heißt \emph{Randpunkt} von $M\subseteq\mathbb{R}^{n}$,
wenn für jede $\epsilon$-Umgebung $U_{\epsilon}\left(\vec{a}\right):=\left\{ \vec{x}\in\mathbb{R}^{n}|\left\Vert \vec{x}-\vec{a}\right\Vert <\epsilon\right\} $
sowohl $U_{\epsilon}\left(\vec{a}\right)\cap M\neq\emptyset$ als
auch $U_{\epsilon}\left(\vec{a}\right)\cap\left(\mathbb{R}^{n}\backslash M\right)\neq\emptyset$
gilt.

Ein $\vec{a}$ heißt \emph{Häufungspunkt} von $M$, falls es zu jeder
$\epsilon$-Umgebung $U_{\epsilon}\left(\vec{a}\right)$ ein Element
$\vec{x}_{\epsilon}\neq\vec{a}$ von $M$ mit $\vec{x}_{\epsilon}\in U_{\epsilon}\left(\vec{a}\right)$
gibt.

Ein $\vec{a}\in M$ heißt \emph{innerer Punkt\index{innerer Punkt}}
$\Leftrightarrow$ $\vec{a}$ kein \emph{Randpunkt} von $M$.

\begin{itemize}
\item Jede unendliche beschränkte Menge $M\in\mathbb{R}^{n}$besitzt mindestens
einen Häufungspunkt (Satz von Bolzano-Weierstraß\index{Bolzano-Weierstraß}).
\end{itemize}

\subsubsection{Abgeschlossen\index{Abgeschlossen} / Kompakt\index{Kompakt}}

$M$ heißt \emph{abgeschlossen}, wenn jeder Randpunkt von $M$ zu
$M$ gehört.

$M$ heißt \emph{kompakt}, falls $M$ beschränkt und abgeschlossen
ist.


\subsection{Stetigkeit\index{Stetigkeit} und Grenzwert\index{Grenzwert} \textsf{\small II.203}}


\subsubsection{Stetigkeit\index{Stetigkeit} \textsf{\small II.203}}

Eine Funktion $f:D\rightarrow\mathbb{R}$, wobei $D\subseteq\mathbb{R}^{n}$,
heißt \emph{stetig in $\vec{x}_{0}\in D$}, wenn für jede Folge $\left(\vec{x}_{n}\right)$,
mit $\vec{x}_{n}\rightarrow\vec{x}_{0}$ gilt: $f\left(\vec{x}_{n}\right)\rightarrow f\left(\vec{x}_{0}\right)$.

Sie heißt \emph{gleichmäßig stetig}\index{gleichmäßig stetig}, falls
es zu jedem $\varepsilon>0$ ein $\delta$ gibt, so daß \[
\forall_{D}^{\vec{x},\vec{x}_{0}}:\left\Vert \vec{x}-\vec{x}_{0}\right\Vert <\delta:\Rightarrow\left\Vert f\left(\vec{x}\right)-f\left(\vec{x}_{0}\right)\right\Vert <\varepsilon\]


Eine Funktion $\vec{f}:D\rightarrow\mathbb{R}^{m}\;\left(D\subseteq\mathbb{R}^{n}\right)$
heißt stetig in $\vec{x}_{0}\in D$, falls jede Komponente $f_{j}:D\rightarrow\mathbb{R}\;\left(j=1,\ldots,n\right)$
stetig ist. $\vec{f}\left(\vec{x}\right)=\left(\begin{array}{c}
f_{1}\left(\vec{x}\right)\\
\vdots\\
f_{1}\left(\vec{x}\right)\end{array}\right)$

\begin{itemize}
\item Folgenkriterium\index{Folgenkriterium} aus $\mathbb{R}^{1}$ anwendbar.
\item wenn $f$ und $g$ stetig $\rightarrow$folgende Funktionen sind stetig

\begin{itemize}
\item $f+g$
\item $fg$
\item $\frac{f}{g}$ falls $g\left(\vec{x}_{0}\right)\neq0$
\item $g\circ f$ bzw. $f\circ g$ falls Definitions- und Wertebereiche
passen
\end{itemize}
\item Sei $\vec{f}:D\rightarrow\mathbb{R}^{n}\;\left(D\subseteq\mathbb{R}^{n}\right)$
injektiv, in $\vec{x}_{0}\in D$ stetig mit kompakten Definitionsbereich
$D$. Dann ist die Umkehrfunktion\index{Umkehrfunktion} $\vec{f}^{-1}:\vec{f}\left(D\right)\rightarrow D$
in $\vec{f}\left(\vec{x}_{0}\right)\in\vec{f}\left(D\right)$ stetig. 
\item $\vec{f}:D\rightarrow\mathbb{R}$ habe kompakten Definitionsbereich
$D\subseteq\mathbb{R}^{n}$ und sei stetig $\Rightarrow$

\begin{itemize}
\item $\vec{f}$ gleichmäßig stetig auf $D$
\item $\vec{f}\left(D\right)$ kompakt
\end{itemize}
\end{itemize}

\subsubsection{Grenzwert\index{Grenzwert} \textsf{\small II.205}}

$f:D\rightarrow\mathbb{R}\;\left(D\subseteq\mathbb{R}^{n}\right)$,
hat in $\vec{x}_{0}\in D$ den Grenzwert $g$, falls für jede Folge
$\left(\vec{x}_{k}\right)$ mit $\vec{x}_{k}\rightarrow\vec{x}_{0}$
gilt:\[
\lim_{k\rightarrow\infty}f\left(\vec{x}_{k}\right)=g\]
Wir schreiben auch $\lim_{\vec{x}\rightarrow\vec{x}_{0}}f\left(\vec{x}\right)=g$

\begin{itemize}
\item wenn der Grenzwert existiert, so ist die Funktion \[
\tilde{f}\left(\vec{x}\right):=\left\{ \begin{array}{cc}
f\left(\vec{x}\right) & \vec{x}\in D,\vec{x}\neq\vec{x}_{0}\\
g & \vec{x}=\vec{x}_{0}\end{array}\right.\]
stetig an $\vec{x}_{0}$.
\end{itemize}

\subsubsection{(relative) Maxi-/Minima\index{Maximum}\index{Minimum}\index{relatives Maximum}\index{relatives Minimum}
\textsf{\small II.207}}

Eine Funktion $f:D\rightarrow\mathbb{R}\;\left(D\subseteq\mathbb{R}^{n}\right)$
hat in $\vec{x}_{0}\in D$ ein \emph{relatives Minimum} (\emph{Maximum}),
wenn es eine Umgebung $U_{\varepsilon}\left(\vec{x}_{0}\right)$ gibt,
so daß $f\left(\vec{x}\right)\geq f\left(\vec{x}_{0}\right)$ ($f\left(\vec{x}\right)\leq f\left(\vec{x}_{0}\right)$)
für alle $\vec{x}\in U_{\varepsilon}\left(\vec{x}_{0}\right)$.

$\vec{x}_{0}\in D$ heißt \emph{absolutes Minimum} (\emph{Maximum}),
wenn $f\left(\vec{x}\right)\geq f\left(\vec{x}_{0}\right)$ ($f\left(\vec{x}\right)\leq f\left(\vec{x}_{0}\right)$)
für alle $\vec{x}\in D$.

\begin{itemize}
\item Wenn $f$ stetig, und $D$ kompakt $\Rightarrow$ es existiert mindestens
ein Maximum und ein Minimum auf $D$ (an den Rändern).
\end{itemize}

\subsection{Partielle Ableitung\index{partielle Ableitung} \textsf{\small II.208}}


\subsubsection{Partielle Differenzierbarkeit \textsf{\small II.208}}

Sei $f:D\rightarrow\mathbb{R}\;\left(D\subseteq\mathbb{R}^{n}\right)$
eine Funktion und $\vec{x}\in D$. Wenn der Grenzwert \[
\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(\vec{x}+h\vec{e}_{j}\right)-f\left(\vec{x}\right)}{h}=f_{x_{j}}\left(\vec{x}\right)=\frac{\partial f}{\partial x_{j}}\left(\vec{x}\right)\]
 für ein $j\in\left\{ 1,\ldots,n\right\} $ existiert, so heißt $f$
in $\vec{x}$ \emph{partiell} nach $x_{j}$ \emph{differenzierbar}.


\subsubsection{Gradient\index{Gradient} \textsf{\small II.210}}

$f:D\rightarrow\mathbb{R}\;\left(D\subseteq\mathbb{R}^{n}\right)$
sei in $\vec{x}\in D$ nach allen $x_{j}\ \left(j=1,\ldots,n\right)$
partiell differenzierbar. Dann heißt\[
\mathrm{grad}f\left(\vec{x}_{0}\right):=\nabla f\left(\vec{x}_{0}\right)=\left(\begin{array}{c}
f_{x_{1}}\left(\vec{x}_{0}\right)\\
\vdots\\
f_{x_{n}}\left(\vec{x}_{0}\right)\end{array}\right)\]
 der Gradient von $f$ im Punkt $\vec{x}_{0}$.

\begin{itemize}
\item $\nabla$ wird nabla gesprochen (ist kein echter griechischer Buchstabe)
\item Der Gradient gibt die Richtung des stärksten Anstiegs von $f$ in
$\vec{x}_{0}$ an
\end{itemize}

\subsubsection{Richtungsableitung\index{Richtungsableitung} \textsf{\small II.213}}

Sei $f:D\rightarrow\mathbb{R}\;\left(D\subseteq\mathbb{R}^{n}\right)$,
$\vec{x}\in D$, $\vec{e}\in\mathbb{R}^{n}$ Einheitsvektor. Falls\[
\frac{\partial f}{\partial\vec{e}}\left(\vec{x}\right):=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(\vec{x}+h\vec{e}\right)-f\left(\vec{x}\right)}{h}=\nabla f\left(\vec{x}\right)\vec{e}\]
 existiert, heißt $f$ in $\vec{x}$ \emph{differenzierbar in Richtung}
$\vec{e}$ und $\frac{\partial f}{\partial\vec{e}}\left(\vec{x}\right)$
heißt \emph{Richtungsableitung} von $f$ \emph{in Richtung} $\vec{e}$.

\begin{itemize}
\item Partielle Ableitung $\hat{=}$ Richtungsableitung in Richtung der
$j$-ten Koordinate
\end{itemize}

\subsubsection{Partielle Ableitungen höherer Ordnung \textsf{\small II.215}}

Die Funktion $f:D\rightarrow\mathbb{R}\;\left(D\subseteq\mathbb{R}^{n}\right)$
sei nach der Variablen $x_{k}$ partiell differenzierbar. Im Punkt
$x_{0}\in D$ existiert die partielle Ableitung der Funktion $f_{x_{k}}:D\rightarrow\mathbb{R}$
nach $x_{j}$. Dann bezeichnet man \[
\frac{\partial f_{x_{k}}}{\partial x_{j}}\left(x_{0}\right)=f_{x_{k}k_{j}}\left(x_{0}\right)=\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{k}}\left(x_{0}\right)\]
als partielle Ableitung zweiter Ordnung der Funktion $f$ nach den
Variablen $x_{k}$ und $x_{j}$. Entsprechend werden partielle Ableitungen
höherer Ordnung erklärt.


\subsubsection{Hessematrix\index{Hessematrix} $Q_{A}$ \textsf{\small II.238}}

Die \emph{Hessematrix} ist wie folgt definiert.\begin{eqnarray*}
H\left(\vec{x}_{0}\right) & = & \left(f_{x_{j}x_{k}}\left(x\right)\right)_{j,k=1,\ldots,n}\\
 & = & \left(\begin{array}{ccc}
f_{x_{1}x_{1}}\left(x\right) & \ldots & f_{x_{1}x_{n}}\left(x\right)\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
f_{x_{n}x_{1}}\left(x\right) & \ldots & f_{x_{n}x_{n}}\left(x\right)\end{array}\right)\end{eqnarray*}


\begin{itemize}
\item ist symmetrisch, falls $f\in C^{2}\left(D\right)$ ist
\end{itemize}

\subsubsection{Differenzierbarkeitsklassen\index{Differenzierbarkeitsklassen} \textsf{\small II.230}}

Sei $f:D\rightarrow\mathbb{R}\;\left(D\subset\mathbb{R}^{n}\right)$.
Wir schreiben\[
f\in C^{j}\left(D\right)\]
 ($f$ gehört zu Klasse $C^{j}$) falls sämtliche partiellen Ableitungen
bis zur $j$-ten Ordnung existieren und stetig sind.


\subsubsection{Satz von Schwarz\index{Schwarz} / Vertauschbarkeit\index{Vertauschbarkeit}
der partiellen\index{partielle Ableitung} Ableitungen \textsf{\small II.230}}

Sei $f:D\rightarrow\mathbb{R}$ eine Funktion mit $f\in C^{j}\left(D\right).$
Dann gilt: Die mehrfache Ableitung $f_{x_{k_{1}},\ldots,x_{k_{j}}}$
ist von der Reihenfolge der partiellen Ableitungen unabhängig, d.h.
für jede Permutation der Indizes ergibt sich das selbe Resultat.


\subsubsection{Parameterabhängige\index{Parameterabhängig} Integrale\index{Integral}
\textsf{\small II.216}}

Sei $f\left(x,t\right)$in $D:=\left[a,b\right]\times\left[\alpha,\beta\right]$
stetige, reellwertige Funktion mit stetiger partieller Ableitung $f_{t}\left(x,t\right)$.
Dann ist für beliebige $x_{0}\in\left[a,b\right]$ die Funktion $F\left(y,t\right):=\int_{x_{0}}^{y}f\left(x,t\right)dx$
stetig und besitzt partielle Ableitungen $F_{y}\left(y,t\right)=f\left(y,t\right)$
und $F_{t}=\int_{x_{0}}^{x}f_{t}\left(x,t\right)dt$.

\begin{itemize}
\item eine art. Vertauschbarkeit von Grenzwerten
\end{itemize}

\section{Differenzierbare\index{Differenzierbare Funktionen} Funktionen im
$\mathbb{R}^{n}$ \textsf{\small II.219}}


\subsection{Der Differenzierbarkeitsbegriff \textsf{\small II.219}}


\subsubsection{Definition für $\dim\left(Bild\right)=1$ \textsf{\small II.219}}

Sei $f:D\rightarrow\mathbb{R},\left(D\subseteq\mathbb{R}^{n}\right),x_{0}\in D$
ein innerer Punkt von $D$. $f$ heißt \emph{differenzierbar in $\vec{x}_{0}$},
wenn es ein $\vec{c}\in\mathbb{R^{n}}$ und eine Funktion $r:U_{\varepsilon}\left(\vec{x}_{0}\right)\rightarrow\mathbb{R}$
gibt mit\[
\lim_{\vec{x}\rightarrow\vec{x}_{0}}r\left(\vec{x}\right)=0\]
und \[
f\left(\vec{x}\right)=f\left(\vec{x}_{0}\right)+\vec{c}\left(\vec{x}-\vec{x}_{0}\right)+r\left(\vec{x}\right)\left\Vert \vec{x}-\vec{x}_{0}\right\Vert \]
 gilt. Dies entspricht einer \emph{linearen Approximierbarkeit\index{linear Approximierbar}}
von $f$.

\begin{itemize}
\item Wenn eine Funktion $f$ im inneren Punkt $x_{0}\in D$ differenzierbar\index{differenzierbar}
ist, dann ist sie dort auch stetig\index{stetig}.
\item $f$ differenzierbar in $\vec{x}_{0}$ $\Rightarrow$ es existieren
alle partiellen\index{partielle Ableitung} Ableitungen von $f$ in
$\vec{x}_{0}$, und es gilt $\vec{c}=\mathrm{grad}f\left(\vec{x}_{0}\right)$
\item Existieren alle partiellen Ableitungen $f_{x_{j}}\left(\vec{x}\right)$
und sind stetig in $\vec{x}_{0}$ $\Rightarrow$$f$ ist differenzierbar
in $\vec{x}_{0}$
\item Differenzierbar ist Erweiterung der Existenz des Gradienten um die
Bedingung der Stetigkeit
\item Gleichung der \emph{Tangentialebene}\index{Tangentialebene}:\\
$x_{n+1}=f\left(\vec{x}_{0}\right)+\nabla f\left(\vec{x}_{0}\right)\left(\vec{x}-\vec{x}_{0}\right)$

\begin{itemize}
\item Ebene befindet sich in einem Raum mit der Dimension $n+1$
\item \emph{Normalenvektor\index{Normalenvektor}} der Ebene: $\vec{n}\left(\vec{x}_{0}\right)=\left(f_{x_{1}}\left(\vec{x}_{0}\right),\ldots,f_{x_{n}}\left(\vec{x}_{0}\right),-1\right)$
\end{itemize}
\end{itemize}

\subsubsection{Funktionalmatrix\index{Funktionalmatrix} oder Jacobimatrix\index{Jacobimatrix}
\textsf{\small II.223}}

Sei $\vec{f}:D\rightarrow\mathbb{R}^{m}\;\left(D\subseteq\mathbb{R}^{n}\right)$
eine Funktion, $\vec{x}_{0}\in D$ ein innerer Punkt. $\vec{f}=\left(f_{1},\ldots,f_{m}\right)$
heißt in $\vec{x}_{0}$ differenzierbar, falls alle Komponentenfunktionen\index{Komponentenfunktionen}
$f_{j}$ differenzierbar sind.\begin{eqnarray*}
\frac{d\vec{f}}{d\vec{x}}\left(\vec{x}_{0}\right) & = & J_{\vec{f}}\\
 & = & \left(\begin{array}{c}
\nabla f_{1}\left(\vec{x}_{0}\right)\\
\vdots\\
\nabla f_{m}\left(\vec{x}_{0}\right)\end{array}\right)\\
 & = & \left(\frac{\partial f_{k}\left(\vec{x}_{0}\right)}{\partial x_{j}}\right)_{{{k=1,\ldots,m\atop j=1,\ldots,n}}}\end{eqnarray*}
 heißt \emph{Funktionalmatrix} oder \emph{Jacobimatrix} von $\vec{f}$
in $\vec{x}_{0}$.

\begin{itemize}
\item Zeilen der Jacobimatrix = Gradienten der Komponentenfunktionen.
\end{itemize}
Differenzierbarkeit mehrdimensionaler Funktion\index{mehrdimensionale Funktionen}
$\vec{f}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{m}$wenn:\[
\vec{f}\left(\vec{x}\right)=\vec{f}\left(\vec{x}_{0}\right)+\frac{d\vec{f}}{d\vec{x}}\left(\vec{x}-\vec{x}_{0}\right)+\vec{r}\left(\vec{x}\right)\left\Vert \vec{x}-\vec{x}_{0}\right\Vert \]



\subsubsection{Kettenregel\index{Kettenregel} \textsf{\small II.225}}

Sei $\vec{f}:D\rightarrow\mathbb{R}^{m}\;\left(D\subset\mathbb{R}^{n}\right)$,
$\vec{g}:\vec{f}\left(D\right)\rightarrow\mathbb{R}^{p}$, $\vec{x}_{0}\in D$
innerer Punkt, $\vec{f}\left(\vec{x}_{0}\right)\in\vec{f}\left(D\right)$
innerer Punkt. Sind $f$ in $\vec{x}_{0}$ und $\vec{g}$ in $\vec{f}\left(\vec{x}_{0}\right)$
differenzierbar, so ist die Verkettung $\vec{g}\circ\vec{f}$ in $\vec{x}_{0}$
differenzierbar mit \[
\frac{d\left(\vec{g}\circ\vec{f}\right)}{d\vec{x}}\left(\vec{x}_{0}\right)=\frac{d\vec{g}}{d\vec{y}}\left(\vec{f}\left(\vec{x}_{0}\right)\right)\frac{d\vec{f}}{d\vec{x}}\left(\vec{x}_{0}\right)\]



\subsection{Lokale\index{Lokale Extrema} Extrema\index{Extremstellen}}


\subsubsection{Notwendige Bedingung für lokale Extrema \textsf{\small II.238}}

Sei $f:D\rightarrow\mathbb{R}\;\left(D\subset\mathbb{R}^{n}\right)$
differenzierbar und besitzt $f$ in $D$ ein \emph{relatives} Extrema
in $\vec{x}_{0}$, dann gilt $\nabla f'\left(\vec{x}_{0}\right)=\vec{0}$.


\subsubsection{Quadratische Form\index{Quadratische Form} / Definit\index{Definit}
\textsf{\small II.239}}

Eine \emph{quadratische Form} auf $\mathbb{R}^{n}$ ist eine Abbildung
\[
Q_{A}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}\; Q_{A}\left(\vec{x}\right)=\vec{x}^{T}A\vec{x}\]
 für eine symmetrische $n\times n$-Matrix $A$.

$Q_{A}$ heißt \emph{positiv definit\index{positiv definit}} (bzw.
\emph{negativ definit}\index{negativ definit}), wenn \[
\forall\vec{x}\in\mathbb{R}^{n},\vec{x}\neq\vec{0}:Q_{A}\left(\vec{x}\right)>0\]
 (bzw. $\forall\vec{x}\in\mathbb{R}^{n},\vec{x}\neq\vec{0}:Q_{A}\left(\vec{x}\right)<0$)
gilt.

$Q_{A}$ heißt \emph{indefinit\index{indefinit}}, falls \[
\exists\vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^{n},\vec{x},\vec{y}\neq\vec{0}:Q_{A}\left(\vec{x}\right)<0,Q_{A}\left(\vec{y}\right)>0\]
 gilt.

\begin{itemize}
\item $\frac{dQ_{A}\left(\vec{x}\right)}{d\vec{x}}=2A\vec{x}$
\end{itemize}

\subsubsection{Hinreichende Bedingungen für lokale Extremstellen \textsf{\small II.240}}

Sei $D\subset\mathbb{R}^{n}$ offen, $f:D\rightarrow\mathbb{R}$ gehört
zu Klasse $C^{2}\left(D\right)$. Im Punkt $\vec{x}_{0}\in D$ gelte
$\nabla f\left(\vec{x}_{0}\right)=\vec{0}$. Dann besitzt $f$ in
$\vec{x}_{0}$ ein relatives Maximum (bzw. Minimum), falls die Hesse-Matrix
$H\left(\vec{x}_{0}\right)$ negativ definit (bzw. positiv definit)
ist. Ist $H\left(\vec{x}_{0}\right)$ indefinit, so kann $f$ in $\vec{x}_{0}$
keine Extremalstelle besitzen.

\begin{itemize}
\item $H\left(\vec{x}_{0}\right)$ positiv (negativ) definit\index{definit}
$\Leftrightarrow$ Alle Eigenwerte\index{Eigenwerte} von $H\left(\vec{x}_{0}\right)$
positiv (negativ) sind
\item $H\left(\vec{x}_{0}\right)$ indefinit\index{indefinit} $\Leftrightarrow$
Es gibt sowohl positive, als auch negative Eigenwerte\index{Eigenwerte}
von $H\left(\vec{x}_{0}\right)$
\end{itemize}

\subsubsection{Sonderfall für $D\subseteq\mathbb{R}^{2}$}

Eine Funktion $f:D\rightarrow\mathbb{R}\;\left(D\subseteq\mathbb{R}^{2}\right)$
sei in Klasse $C^{2}\left(D\right)$ und es gelte $\nabla f\left(x_{0},y_{0}\right)=\vec{0}$.
Dann gilt mit \[
d=\left(f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}\right)\left(x_{0},y_{0}\right)\]


\begin{itemize}
\item Ist $d>0$ und $f_{xx}>0$ $\Rightarrow f$ hat relatives Minimum
an $\left(x_{0},y_{0}\right)$ 
\item Ist $d>0$ und $f_{xx}<0$ $\Rightarrow f$ hat relatives Maximum
an $\left(x_{0},y_{0}\right)$ 
\item Ist $d<0$ $\Rightarrow f$ hat kein Extremum an $\left(x_{0},y_{0}\right)$ 
\end{itemize}

\subsection{Implizite\index{Implizite Funktionen} Funktionen \textsf{\small II.242}}


\subsubsection{Extremwerte\index{Extremwerte} unter Nebenbedingungen\index{Nebenbedingungen}
/ Lagrange-Multiplikation\index{Lagrange-Multiplikation} \textsf{\small II.250}}

Sei $D\subseteq\mathbb{R}^{n}$ offen, die Funktion $f:D\rightarrow\mathbb{R}$,
$\vec{g}:D\rightarrow\mathbb{R}^{l}$ ($l$-Nebenbedingungsfunktionen
zu Vektor zusammengefasst) mit $l<n$ seien in $C^{1}\left(D\right)$.
Sei $\vec{x}_{0}\in D$ mit $\vec{g}\left(\vec{x}_{0}\right)=\vec{0}$
und $\textrm{Rang}\left(\frac{d\vec{g}}{d\vec{x}}\left(\vec{x}_{0}\right)\right)=l$
(Rang maximal). Weiter sei $f\left(\vec{x}_{0}\right)$ ein relatives
Extremum der Menge $\left\{ f\left(\vec{x}\right)|\vec{x}\in D,\vec{g}\left(\vec{x}\right)=\vec{0}\right\} $
dann gibt es $l$-Lagrange Multiplikatoren\index{Lagrange-Multiplikatoren}
$\lambda_{1},\ldots,\lambda_{l}\in\mathbb{R}$, so dass \[
\forall k\in\left[1,n\right]:f_{x_{k}}\left(\vec{x}_{0}\right)+\sum_{j=1}^{l}\lambda_{j}\left(g_{j}\right)_{x_{k}}\left(\vec{x}_{0}\right)=0\]
 (Also $\nabla L=\vec{0},$wobei $L=f\left(\vec{x}\right)+\sum_{j=1}^{l}\lambda_{j}g_{j}\left(\vec{x}\right)$)


\subsubsection{Implizite Funktionen auf $\mathbb{R}^{2}$}

Sei $F:D\rightarrow\mathbb{R}$ , ($D\subseteq\mathbb{R}^{2}$ offen),
stetig und $F\left(x_{0},y_{0}\right)=0$, weiter sei $F$ streng
monoton wachsend (oder fallend) bezgl. $y$ (für jedes feste $x$).
Dann gibt es ein Rechteck \[
R=I\times J=\left[x_{0}-\alpha_{0},x_{0}+\alpha_{0}\right]\times\left[y_{0}-\beta_{0},y_{0}+\beta_{0}\right]\]
 und eine auf $I$ stetige Funktion $g:I\rightarrow\mathbb{R}$ mit
$F\left(x,g\left(x\right)\right)=0$ für $x\in I$, und $F\left(x,y\right)\neq0$
sonst auf $\mathbb{R}$.

Ist $F$ stetig differenzierbar aus $D$, so ist auch $g\left(x\right)$
stetig differenzierbar in $I$ mit \[
g'\left(x\right)=-\frac{F_{x}\left(x,g\left(x\right)\right)}{F_{y}\left(x,g\left(x\right)\right)}\]



\subsubsection{Satz über implizite Funktionen \textsf{\small II.247}}

Seien $D_{n}\subseteq\mathbb{R}^{n}$ und $D_{m}\subseteq\mathbb{R}^{m}$
offene Mengen. Die Funktionen $\vec{f}:D_{n}\times D_{m}\rightarrow\mathbb{R}^{m}$
gehören der Klasse $C_{1}\left(D_{n}\times D_{m}\right)$ an. Sei
$\left(\vec{x}_{0},\vec{y}_{0}\right)\in D_{n}\times D_{m}$ mit $\vec{f}\left(\vec{x}_{0},\vec{y}_{0}\right)=\vec{0}$
und $\det\left(\left(f_{k}\right)_{y_{j}}\left(\vec{x}_{0},\vec{y}_{0}\right)\right)_{k,j=1\ldots,m}\neq0$
(Jacobi Matrix). Dann gibt es offene Umgebungen $U_{\varepsilon_{n}}\left(\vec{x}_{0}\right)$
und $U_{\varepsilon_{m}}\left(\vec{y}_{0}\right)$, so dass für jeden
Punkt $\vec{x}\in U_{\varepsilon_{n}}\left(\vec{x}_{0}\right)$ genau
ein $\vec{g}\left(\vec{x}\right)\in U_{\varepsilon_{m}}\left(\vec{y}_{0}\right)$
mit $\vec{f}\left(\vec{x},\vec{g}\left(\vec{x}\right)\right)=\vec{0}$
existiert.

\begin{itemize}
\item Die Ableitung von $\vec{g}\left(\vec{x}\right)$ lässt sich berechnen,
indem man $\vec{f}\left(\vec{x},\vec{g}\left(\vec{x}\right)\right)$
mithilfe der Kettenregel ableitet, und dann nach $\vec{g}'\left(\vec{x}\right)$
umstellt.
\end{itemize}

\section{Integration\index{Integration} im $\mathbb{R}^{n}$ \textsf{\small II.256}}


\subsection{Riemann-Integrale\index{Riemann-Integral} über Intervallen}


\subsubsection{Zerlegung\index{Zerlegung} / Feinheit\index{Feinheit}}

Der Grundbereich über dem die Integration stattfinden soll heiße $Q=\left[a_{1},b_{1}\right]\times\ldots\times\left[a_{n},b_{n}\right]$.
Dieser hat die \emph{Zerlegung} $Z_{k}$ der Intervalle $\left[a_{k},b_{k}\right]$,
$k=1,\ldots,n$. Die \emph{Feinheit}\index{Feinheit} der Zerlegung
ist gegeben durch $\left\Vert Z\right\Vert =\max_{k=1,\ldots,n}\left\Vert Z_{k}\right\Vert $.
Zur Zerlegung $Z$ von $Q$ bezeichnen wir mit $Q_{1},\ldots,Q_{N}$
die Teile von $Q$, also $Q=\cup_{l=1}^{N}Q_{l}$


\subsubsection{Definition Integral}

Für $f:Q\rightarrow\mathbb{R}^{n}$, definiere Integral \[
\int_{Q}f\left(\vec{x}\right)\  d\vec{x}:=\lim_{\left\Vert Z\right\Vert \rightarrow0}\sum_{l=1}^{N}\left|Q_{l}\right|f\left(\vec{\xi}_{l}\right)\]
 mit $\vec{\xi}_{l}\in Q_{l}$ ($l=1,\ldots,N$). Wobei $\left|Q_{l}\right|$=
{}``Volumen'' von $Q_{l}$ bezeichnet, also bei $Q_{l}=\left[c_{1},d_{1}\right]\times\ldots\times\left[c_{n},d_{n}\right]\Rightarrow\left|Q_{l}\right|=\prod_{l=1}^{n}\left|d_{1}-c_{1}\right|$.
Falls der Grenzwert existiert, so heißt $f$ \emph{Riemann-integrierbar}.


\subsubsection{Eigenschaften von Integralen}

\begin{itemize}
\item Linearität\index{Linearität}\\
$\int_{Q}\left(f+g\right)\  d\vec{x}=\int_{Q}f\  d\vec{x}+\int_{Q}g\  d\vec{x}$\\
$\int_{Q}c\  f\  d\vec{x}=c\int_{Q}f\  d\vec{x}$
\item Additivität\index{Additivität}\\
$\int_{\left[a,b\right]\times\left[c,d\right]}f\  d\vec{x}=$\\
$\int_{\left[a,l\right]\times\left[c,d\right]}f\  d\vec{x}+\int_{\left[l,b\right]\times\left[c,d\right]}f\  d\vec{x}$
\item stetige Funktionen sind integrierbar
\item wenn $f,g$ integrierbar $\Rightarrow$

\begin{itemize}
\item $\left|f\right|$ integrierbar
\item $f\  g$ integrierbar
\item $\frac{f}{g}$ integrierbar (falls $g\neq0$)
\item $\max\left(f,g\right)$ integrierbar
\item $\min\left(f,g\right)$ integrierbar
\end{itemize}
\item Monotonie\index{Monotonie}\\
$f\left(\vec{x}\right)\leq g\left(\vec{x}\right)$ auf $Q\Rightarrow$\\
$\int_{Q}f\left(\vec{x}\right)\  d\vec{x}\leq\int_{Q}g\left(\vec{x}\right)\  d\vec{x}$
\item $\int_{Q}1\  d\vec{x}=\left|Q\right|$
\item Mittelwertsatz\index{Mittelwertsatz}\\
$f$ integrierbar auf $Q$, $m\leq f\left(\vec{x}\right)\leq M$ auf
$Q$\\
$\Rightarrow m\left|Q\right|\leq\int_{Q}f\left(\vec{x}\right)d\vec{x}\leq M\left|Q\right|$
\item Dreiecksungleichung\index{Dreiecksungleichung}\\
$\left|\int_{Q}f\left(\vec{x}\right)d\vec{x}\right|\leq\int_{Q}\left|f\left(\vec{x}\right)d\vec{x}\right|\leq\left\Vert f\right\Vert _{Q}\left|Q\right|$\\
wobei $\left\Vert f\right\Vert _{Q}:=\sup\left\{ \left|f\left(\vec{x}\right)\right|\vec{x}\in Q\right\} $
\end{itemize}

\subsection{Integrierte Integrale über Intervallen \textsf{\small II.263}}


\subsubsection{Satz von Fubini\index{Fubini} \textsf{\small II.263}}

Sei $f:Q\rightarrow R$, $Q:=\left[a_{1},b_{1}\right]\times\ldots\times\left[a_{n},b_{n}\right]=\times_{k=1}^{n}\left[a_{k},b_{k}\right]$
ein \emph{Quader}\index{Quader}.

Existiert für jedes $x_{k}$ \[
{\scriptstyle h\left(x_{k}\right):=\int_{I_{k}}f\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right)d\left(x_{1},\ldots,x_{k-1},x_{k+1},\ldots,x_{n}\right)}\]
 wobei \[
I_{k}=\left\{ \left(x_{1},\ldots,x_{k-1},x_{k+1},\ldots,x_{n}\right)|a_{j}\leq x_{j}\leq b_{j}\right\} \]
 dann existiert das Integral \[
\int_{a_{k}}^{b_{k}}h\left(x_{k}\right)dx_{k}\]
 und es gilt $\int_{Q}f\left(\vec{x}\right)d\vec{x}=\int_{a_{k}}^{b_{k}}h\left(x_{k}\right)dx_{k}$
bzw. $\int_{Q}f=\int_{a_{k}}^{b_{k}}\left(\int_{I_{k}}f\right)$.

Existiert für jedes $\left(x_{1},\ldots,x_{k-1},x_{k+1},\ldots,x_{n}\right)\in I_{k}$
das Integral $g\left(x_{1},\ldots,x_{k-1},x_{k+1},\ldots,x_{n}\right)=\int_{a_{k}}^{b_{k}}f\left(\vec{x}\right)$
dann existiert das integrierte Integral \[
{\scriptstyle \int_{I_{k}}g\left(x_{1},\ldots,x_{k-1},x_{k+1},\ldots,x_{n}\right)d\left(x_{1},\ldots,x_{k-1},x_{k+1},\ldots,x_{n}\right)}\]
 und ist gleich $\int_{Q}f\left(\vec{x}\right)d\vec{x}$. Es gilt
auch $\int_{Q}f=\int_{I_{k}}\left(\int_{a_{k}}^{b_{k}}f\right)$

\begin{itemize}
\item speziell für $n=2$\\
$Q=\left[a,b\right]\times\left[c,d\right]$\\
Existiert für $x\in\left[a,b\right]$ das Integral $h\left(x\right)=\int_{c}^{d}f\left(x,y\right)dy$
$\Rightarrow$$\int_{Q}f\left(x,y\right)d\left(x,y\right)=\int_{a}^{b}\left(\int_{c}^{d}f\left(x,y\right)dy\right)dx$\\
Existiert für $y\in\left[c,d\right]$ das Integral $h\left(x\right)=\int_{a}^{b}f\left(x,y\right)dx$
$\Rightarrow$$\int_{Q}f\left(x,y\right)d\left(x,y\right)=\int_{c}^{d}\left(\int_{a}^{b}f\left(x,y\right)dx\right)dy$
\end{itemize}

\subsubsection{Charakteristische Funktion\index{Charakteristische Funktion}}

Sei $A\subseteq\mathbb{R}^{n}$. Mit $\chi_{A}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}$
$\chi_{A}\left(\vec{x}\right)=\left\{ \begin{array}{cc}
1 & \vec{x}\in A\\
0 & \vec{x}\notin A\end{array}\right.$ bezeichnen wir die \emph{charakteristische Funktion} von $A$.


\subsection{Riemann Integrale über beschränkte Mengen}


\subsubsection{Volumen einer Menge\index{Volumen einer Menge} \textsf{\small II.269}}

Sei $D\subset\mathbb{R}^{n}$ eine beschränkte Menge. Es existiere
$\int_{D}1dx=\int_{D}dx$. Dann heißt $V\left(D\right)=\int_{D}dx$
das \emph{Volumen der Menge} $D$. In diesem Fall heißt $D$ \emph{messbar\index{messbar}}.
Ist $V\left(D\right)=0$, so heißt D eine \emph{Nullmenge\index{Nullmenge}}.

Sei $Q=\times_{j=1}^{n}\left[a_{j},b_{j}\right]$ein Quader, $D\subseteq Q$.
Kennt man das $n-1$ dimensionale Volumen $V\left(x_{n}\right)$für
jedes $x_{n}$, so gilt $V\left(D\right)=\int_{a_{n}}^{b_{n}}V\left(x_{n}\right)dx_{n}$
(Prinzip von Cavalieri\index{Cavalieri}\index{Prinzip von Cavalieri}).


\subsubsection{Riemannsche Integral\index{Riemannsche Integral}}

Sei $D\subseteq\mathbb{R}^{n}$ beschränkt, $f:D\rightarrow\mathbb{R}$
Funktion. Sei $Q$ ein Quader mit $D\subseteq Q$. Dann heißt \[
\int_{D}f\left(\vec{x}\right)d\vec{x}=\int_{Q}f\left(\vec{x}\right)\chi_{D}\left(\vec{x}\right)d\vec{x}\]
 das \emph{Riemannsche Integral} von $f$ über $D$.

\begin{itemize}
\item Additivität\index{Additivitaet}\\
$D_{1},D_{2}\subseteq\mathbb{R}^{n}$ mit $D_{1}\cap D_{2}\neq\emptyset$,
und $f:D_{1}\cup D_{2}\rightarrow\mathbb{R}$\\
$\int_{D_{1}\cup D_{2}}f\left(\vec{x}\right)d\vec{x}=\int_{D_{1}}f\left(\vec{x}\right)d\vec{x}+\int_{D_{2}}f\left(\vec{x}\right)d\vec{x}$
\end{itemize}

\subsubsection{Mittelwertsatz der Integralrechnung\index{Mittelwertsatz der Integralrechnung}}

Sei $D\subseteq\mathbb{R}^{n}$ beschränkt, messbar, $f$ integrierbar.
Dann gibt es eine Zahl $\eta\in\left[\inf_{\vec{x}\in D}f\left(\vec{x}\right),\sup_{\vec{x}\in D}f\left(\vec{x}\right)\right]$
mit $\int_{D}f\left(\vec{x}\right)d\vec{x}=\eta V\left(D\right)$.

\begin{itemize}
\item $V\left(D\right)=0\Rightarrow\int_{D}f\left(\vec{x}\right)d\vec{x}=0$
\end{itemize}

\subsubsection{Zylindermengen \textsf{\small II.275}}

Folgendes sind \emph{Zylindermengen\index{Zylindermengen}}.

Sei $D=\left\{ \left(x,y\right)|a\leq x\leq b,g_{1}\left(x\right)\leq y\leq g_{2}\left(x\right)\right\} $
dann folgt hieraus $\int_{D}f\left(x,y\right)d\left(x,y\right)=\int_{a}^{b}\left(\int_{g_{1}\left(x\right)}^{g_{2}\left(x\right)}f\left(x,y\right)dy\right)dx$.

Sei ${\scriptstyle D=\left\{ \left(x,y,z\right)|a\leq x\leq b,g_{1}\left(x\right)\leq y\leq g_{2}\left(x\right),h_{1}\left(x,y\right)\leq z\leq h_{2}\left(x,y\right)\right\} }$
dann folgt hieraus $\int_{D}f\left(x,y,z\right)d\left(x,y,z\right)=\int_{a}^{b}\left(\int_{g_{1}\left(x\right)}^{g_{2}\left(x\right)}\left(\int_{h_{1}\left(x,y\right)}^{h_{2}\left(x,y\right)}f\left(x,y,z\right)dz\right)dy\right)dx$.


\subsubsection{Substitutionsregel\index{Substitutionsregel} \textsf{\small II.278}}

Sei $D\subseteq\mathbb{R}^{n}$ beschränkt und messbar. Sei $Q$ ein
Quader mit $D\cup\mathrm{Rand}\left(D\right)\subseteq Q$ und $\vec{g}:Q\rightarrow\mathbb{R}^{n}$
eine stetig differenzierbare Funktion, die auf $D$ umkehrbar ist.

Gilt dann $\det\frac{d\vec{g}}{d\vec{x}}\left(\vec{x}\right)\neq\vec{0}$
für alle $\vec{x}\in D$, so gilt für jedes stetige $f:g\left(D\right)\cup g\left(\mathrm{Rand}\left(D\right)\right)\rightarrow\mathbb{R}$
die Substitutionsregel:\[
\int_{\vec{g}\left(D\right)}f\left(\vec{y}\right)d\vec{y}=\int_{D}f\left(\vec{g}\left(\vec{x}\right)\right)\left|\det\frac{d\vec{g}}{d\vec{x}}\left(\vec{x}\right)\right|d\vec{x}\]



\section{Integralsätze\index{Integralsätze} \textsf{\small II.285}}


\subsection{Kurvenintegrale\index{Kurvenintegrale} \textsf{\small II.285}}


\subsubsection{glatte Kurve\index{glatte Kurve}}

Sei $\vec{f}:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ eine stetige
differenzierbare Funktion und $f'\left(t\right)\neq\vec{0}$für $t\in\left[a,b\right]$.

Dann heißt $\vec{f}$ und die Punktmenge $K=\left\{ \vec{x}\in\mathbb{R}^{n}|\exists_{\left[a,b\right]}^{t}:\vec{x}=\vec{f}\left(t\right)\right\} $
eine \emph{glatte Kurve}. $t$ heißt \emph{Parameter\index{Parameter}}
der Kurve, $\left[a,b\right]$ \emph{Parameterintervall\index{Parameterintervall}}.

$f$ heißt \emph{stückweise glatt\index{stueckweise glatt}}, wenn
es in den Teilintervallen einer Zerlegung $\left[a,b\right]=\left[a,t_{1}\right]\cup\left[t_{1},t_{2}\right]\cup\ldots\cup\left[t_{n-1},b\right]$
glatt ist, und somit stetig.


\subsubsection{geschlossene / doppelpunktfreie Kurve \textsf{\small II.286}}

Eine Kurve $\vec{f}\left(a\right):\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}^{n}$
heißt \emph{geschlossen\index{geschlossen}}, wenn $\vec{f}\left(a\right)=\vec{f}\left(b\right)$.
Ist $\vec{f}$ injektiv auf $\left[a,b\right]$, so heißt $\vec{f}$
\emph{doppelpunktfrei\index{doppelpunktfrei}}.

\begin{itemize}
\item doppelpunktfrei $\Rightarrow$ Es ex. keine Teilkurve, die geschlossen
ist
\end{itemize}

\subsubsection{Äquivalente Parametrisierung einer Kurve \textsf{\small II.287}}

Durch $\vec{f}:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}^{n}$, $\vec{\tilde{f}}:\left[\tilde{a},\tilde{b}\right]\rightarrow\mathbb{R}^{n}$
werde jeweils eine stückweise glatte Kurve dargestellt. Weiter existiere
eine stetig differenzierbare Funktion $\psi:\left[a,b\right]\rightarrow\left[\tilde{a},\tilde{b}\right]$mit
$\psi\left(a\right)=\tilde{a}$, $\psi\left(b\right)=\tilde{b}$ und
$\psi'\left(t\right)>0$ für alle $t\in\left[a,b\right]$, und es
gelte \[
\forall_{\left[a,b\right]}^{t}:\vec{f}\left(t\right)=\vec{\tilde{f}}\left(\psi\left(t\right)\right)\]
Dann heißen $\vec{f},\vec{\tilde{f}}$ \emph{zueinander äquivalente
Darstellungen\index{aequivalente Darstellungen}\index{zueinander aequivalente Darstellungen}}
der Kurve\[
K=\left\{ \vec{x}|\exists_{\left[a,b\right]}^{t}:\vec{x}=\vec{f}\left(t\right)\right\} =\left\{ \vec{x}|\exists_{\left[\tilde{a},\tilde{b}\right]}^{\tilde{t}}:\vec{x}=\vec{\tilde{f}}\left(\tilde{t}\right)\right\} \]



\subsubsection{Tangente \textsf{\small II.287}}

Sei $K$ eine Stückweise glatte Kurve, die durch $\vec{f}:\left[a.b\right]\rightarrow\mathbb{R}^{n}$
dargestellt werde. Der Vektor $\vec{f}'\left(t\right)$heißt \emph{Tangentenvektor
an $K$ im Punkt $\vec{f}\left(t\right)$\index{Tangentenvektor}},
\[
\vec{f_{0}}'\left(t\right)=\frac{\vec{f}'\left(t\right)}{\left\Vert \vec{f}'\left(t\right)\right\Vert }\]
 heißt \emph{Tangenteneinheitsvektor\index{Tangenteneinheitsvektor}}
im Punkt $\vec{f}\left(t\right)$. Die Gerade \[
\vec{f}\left(t\right)+\lambda\vec{f}_{0}'\left(t\right)\]
 heißt \emph{Tangente an $K$ im Punkt $\vec{f}\left(t\right)$\index{Tangente}}.

\begin{itemize}
\item Die Tangenten sind unabhängig von der Parametrisierung ($\vec{f}=\vec{\tilde{f}}\circ\psi$)\\
$\vec{f}_{0}'\left(t\right)=\vec{\tilde{f}}_{0}'\left(\psi\left(t\right)\right)$
\end{itemize}

\subsubsection{Länge einer Kurve \textsf{\small II.288}}

Durch $f$ werde eine glatte, doppelpunktfreie Kurve $K$ dargestellt.
Das Integral \[
L\left(K\right)=\int_{a}^{b}\left\Vert \vec{f}'\left(t\right)\right\Vert dt\]
 heißt \emph{Länge der Kurve $K$\index{Laenge einer Kurve}}.

\begin{itemize}
\item Falls Doppelpunkte vorhanden sind $\Rightarrow$ Kurve Auftrennen,
bzw. Nullmengen weglassen
\item Die Länge einer Kurve ist unabhängig von der Darstellung (Parametrisierung)\\
$\int_{a}^{b}\left\Vert \vec{f}'\left(t\right)\right\Vert dt=\int_{\tilde{a}}^{\tilde{b}}\left\Vert \vec{\tilde{f}}'\left(\tilde{t}\right)\right\Vert d\tilde{t}$
\end{itemize}

\subsubsection{Bogenlänge \textsf{\small II.291}}

Sei $K$ eine glatte doppelpunktfreie Kurve, die durch $\vec{f}:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}^{n}$
gegeben sei. Dann heißt die Funktion $s:\left[a,b\right]\rightarrow\left[0,L\left(K\right)\right]$,
erklärt durch\[
s\left(t\right)=\int_{a}^{t}\left\Vert \vec{f}'\left(\tau\right)\right\Vert d\tau\]
 die \emph{Bogenlänge\index{Bogenlänge}} der Kurve $K$.

\begin{itemize}
\item abhängig von Parametrisierung
\end{itemize}

\subsubsection{Konstantes Durchlaufen einer Kurve \textsf{\small II.292}}

Sei $K$ eine glatte doppelpunktfreie Kurve. Die Bogenlänge $s$ ist
eine stetige, differenzierbare, streng monoton wachsende Funktion
und besitzt eine Umkehrfunktion $s^{-1}$ mit denselben Eigenschaften.
Die Parameterdarstellung $\vec{\tilde{f}}:\left[0,L\left(K\right)\right]\rightarrow\mathbb{R}^{n}$,
$\vec{\tilde{f}}\left(\tilde{t}\right):=\vec{f}\left(s^{-1}\left(\tilde{t}\right)\right)$
ist zur gegebenen Darstellung $\vec{f}:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}^{n}$
äquivalent, und es gilt \[
\left\Vert \vec{\tilde{f}}'\left(t\right)\right\Vert =1\]


\begin{itemize}
\item Bei Parametrisierung durch Bogenlänge durchlaufen wir die Kurve mit
konstanter Geschwindigkeit
\end{itemize}

\subsubsection{Vektorfeld / Skalarfeld \textsf{\small II.292}}

Eine auf einer offenen Teilmenge $D\subseteq\mathbb{R}^{n}$ erklärte,
stetig differenzierbare Funktion $\vec{V}:D\rightarrow\mathbb{R}^{n}$
nennen wir ein \emph{Vektorfeld\index{Vektrofeld}}. Entsprechend
heißt $P:D\rightarrow\mathbb{R}$ ein \emph{Skalarfeld\index{Skalarfeld}}.


\subsubsection{Kurvenintegral \textsf{\small II.293}}

Sei $D\subseteq\mathbb{R}^{n}$ offen, $\vec{V}:D\rightarrow\mathbb{R}^{n}$
ein Vektorfeld. Sei $K$ eine durch $\vec{f}:\left[a,b\right]\rightarrow D$
gegebene stückweise glatte Kurve. Dann heißt \[
\int_{K}\vec{V}d\vec{s}:=\int_{a}^{b}\vec{V}\left(\vec{f}\left(t\right)\right)\vec{f}'\left(t\right)dt\]
 das \emph{Kurvenintegral von $\vec{V}$ längs $K$\index{Kurvenintegral}}.

\begin{itemize}
\item Das Kurvenintegral ist unabhängig von der Parametrisierung von $K$
\end{itemize}

\subsubsection{Potentialfeld \textsf{\small II.295}}

Ein Vektorfeld $\vec{V}:D\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ heißt \emph{Potentialfeld\index{Potentialfeld}},
falls es eine Funktion $P:D\rightarrow\mathbb{R}$mit $\nabla P\left(\vec{x}\right)=\vec{V}\left(\vec{x}\right)$
gibt.


\subsubsection{Konvex}

$D\subseteq\mathbb{R}^{n}$ heißt \emph{konvex\index{konvex}} $\Leftrightarrow$
mit je zwei Punkten $\vec{x}_{1},\vec{x}_{2}\in D$ gehört auch die
Verbindungsgrade $\left\{ \vec{x}\in\mathbb{R}^{n}|\vec{x}=\vec{x}_{1}+\lambda\left(\vec{x}_{2}-\vec{x}_{1}\right),\lambda\in\left[0,1\right]\right\} $
zu $D$.


\subsubsection{Wegunabhängiges\index{wegunabhaengig} Kurvenintegral \textsf{\small II.295}}

Sei $D\subseteq\mathbb{R}^{n}$ offen und konvex und $\vec{V}:D\rightarrow\mathbb{R}^{n}$
ein Vektorfeld. Dann gilt: Das Kurvenintegral $\int_{K}\vec{V}\  d\vec{s}$
ist wegunabhängig $\Leftrightarrow$ $\vec{V}$ ist ein Potentialfeld.

\begin{itemize}
\item Wenn $P$ mit $\nabla P\left(\vec{x}\right)=\vec{V}\left(\vec{x}\right)$
bekannt ist, dann gilt:\\
$\int_{K}\vec{V}\  d\vec{s}=P\left(\vec{f}\left(b\right)\right)-P\left(\vec{f}\left(a\right)\right)$
\end{itemize}

\subsubsection{Zentralfeld \textsf{\small II.297}}

Sei $g:\mathbb{R}_{>0}\rightarrow\mathbb{R}$ stetig. Dann wird durch
$\vec{V}\left(\vec{x}\right)=g\left(\left\Vert \vec{x}\right\Vert \right)\frac{\vec{x}}{\left\Vert \vec{x}\right\Vert }$
ein Vektorfeld auf $\mathbb{R}^{n}\backslash\left\{ \vec{0}\right\} $
gegeben. Man bezeichnet solche Felder als \emph{Zentralfeld\index{Zentralfeld}}.

\begin{itemize}
\item Zentralfelder sind immer Potentialfelder mit:\\
$\int_{K}\vec{V}\  d\vec{s}=\int_{\left\Vert \vec{f}\left(a\right)\right\Vert }^{\left\Vert \vec{f}\left(b\right)\right\Vert }g\left(t\right)\  dt$
\end{itemize}

\section{Vektorrechnung\index{Vektorrechnung} in $\mathbb{V}^{3}$ \textsf{\small I.76}}


\subsection{Definition eines Vektors \textsf{\small I.76}}

Vektor $\vec{a}$ ist Element der Menge der geordneten Zahlen Tripple.
Er wirkt auf einen Punkt, indem er ihn auf den Koordinatenachsen um
die angegebenen Werte verschiebt, deshalb werden Vektoren auch Verschiebungsvektoren
genannt.\\
\begin{eqnarray*}
\vec{a}\in\mathbb{V}^{3} & = & \mathbb{R}^{3}=\left\{ \left(x,y,z\right)|x,y,z\in\mathbb{R}\right\} \\
 & = & \left(x_{a},y_{a},z_{a}\right)\quad\mathrm{Zeilenvektor}\\
 & = & \left(\begin{array}{c}
x_{a}\\
y_{a}\\
z_{a}\end{array}\right)\quad\mathrm{Spaltenvektor}\end{eqnarray*}
\index{Zeilenvektor}\index{Spaltenvektor}

Zeilen- und Spaltenvektoren sind nur unterschiedliche Schreibweise,
haben aber mathematisch die gleiche Bedeutung.

Der Verschiebungsvektor von $P$ nach $Q$ ist wie folgt definiert\[
\vec{PQ}=\vec{a}_{PQ}=\vec{OQ}-\vec{OP}\]



\subsection{Vektoren als Pfeile\index{Pfeile}}


\subsubsection{Rechenregeln \textsf{\small I.76}}

\begin{itemize}
\item Addition (Komponentenweise)\\
$\vec{a}+\vec{b}=\left(x_{a}+x_{b},y_{a}+y_{b},z_{a}+z_{b}\right)$
\item Skalarmultiplikation\index{Skalarmultiplikation}\\
$\lambda\vec{a}=\left(\lambda x_{a},\lambda y_{a},\lambda z_{a}\right)$
\item $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$
\item $\vec{a}+\left(\vec{b}+\vec{c}\right)=\left(\vec{a}+\vec{b}\right)+\vec{c}$
\item $\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}$ und $\vec{a}+\left(-\vec{a}\right)=\vec{0}$
\item $\lambda\left(\mu\vec{a}\right)=\left(\lambda\mu\right)\vec{a}$
\item $\lambda\left(\vec{a}+\vec{b}\right)=\lambda\vec{a}+\lambda\vec{b}$
\item $\left(\lambda+\mu\right)\vec{a}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{a}$
\end{itemize}

\subsubsection{Länge eines Vektors\index{Länge Vektors}\index{Betrag!Vektor} \textsf{\small I.81}}

Länge von $\vec{a}=\left\Vert \vec{a}\right\Vert =\sqrt{x_{a}^{2}+y_{a}^{2}+z_{a}^{2}}$

\begin{itemize}
\item $\left\Vert \vec{a}\right\Vert \geq0$
\item $\left\Vert \vec{0}\right\Vert =0$
\item $\left\Vert \lambda\vec{a}\right\Vert =\left|\lambda\right|\left\Vert \vec{a}\right\Vert $
\end{itemize}

\subsection{\label{sub:skalare-Produkt-R3}Das skalare Produkt\index{Produkt!Skalare}\index{skalare Produkt}
\textsf{\small I.84}}

Das skalare Produkt ordnet zwei Vektoren eine reelle Zahl zu.\\
(geometrisch: Betrag von $\vec{a}$ in Richtung $\vec{b}$)

\[
\vec{a}\vec{b}=x_{a}x_{b}+y_{a}y_{b}+z_{a}z_{b}\]


\begin{itemize}
\item $\vec{a}\vec{a}=\left\Vert \vec{a}\right\Vert ^{2}$
\item $\vec{a}\vec{b}=\vec{b}\vec{a}$
\item $\left(\vec{a}+\vec{b}\right)\vec{c}=\vec{a}\vec{c}+\vec{b}\vec{c}$
\item $\left(\lambda\vec{a}\right)\vec{b}=\lambda\vec{a}\vec{b}$
\item (umgekehrte-) Dreiecksungleichung\index{Dreiecksungleichung}\\
$\left|\left\Vert \vec{a}\right\Vert -\left\Vert \vec{b}\right\Vert \right|\leq\left\Vert \vec{a}+\vec{b}\right\Vert \leq\left\Vert \vec{a}\right\Vert +\left\Vert \vec{b}\right\Vert $
\item Cauchy-Schwarze Ungleichung\index{Cauchy-Schwarze-Ungleichung}\\
$\left|\vec{a}\vec{b}\right|\leq\left\Vert \vec{a}\right\Vert \left\Vert \vec{b}\right\Vert $
\item $\vec{a}\vec{b}=0\Leftrightarrow\vec{a}\bot\vec{b}$ 
\end{itemize}

\subsubsection{Eingeschlossener\index{Eingeschlossene Winkel} Winkel \textsf{\small I.86}}

Zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ schließen den Winkel $\alpha$
ein.\[
\cos\alpha=\cos\left(\alpha\left(\vec{a},\vec{b}\right)\right)=\frac{\vec{a}\vec{b}}{\left\Vert \vec{a}\right\Vert \left\Vert \vec{b}\right\Vert }\]
für $\alpha$ schreibt man auch $\alpha\left(\vec{a},\vec{b}\right)$.


\subsubsection{Einheitsvektor\index{Einheitsvektor} / Renormierung\index{Renormierung}
\textsf{\small I.88}}

Ein Einheitsvektor ($\vec{e}$) ist ein Vektor mit beliebiger Richtung
und der Länge 1. Man erhält ihn durch Renormierung.\[
\vec{e}_{a}=\frac{\vec{a}}{\left\Vert \vec{a}\right\Vert }\]


\begin{itemize}
\item Besondere (auf den Koordinatenachsen): $\vec{e}_{x}=(1,0,0)\quad\vec{e}_{y}=(0,1,0)\quad\vec{e}_{z}=(0,0,1)$
\end{itemize}

\subsubsection{Projektion\index{Projektion} eines Vektors \textsf{\small I.89}}

$\vec{a'}$ ist die Projektion des Vektors $\vec{a}$ in Richtung
$\vec{e}$ ($\left\Vert \vec{e}\right\Vert =1$).

\[
\vec{a'}=\left(\vec{a}\vec{e}\right)\vec{e}\]



\subsubsection{Richtungskosinus\index{Richtungskosinus} \textsf{\small I.90}}

Die Komponenten eines renormierten Vektors $\vec{e}$ geben den Cosinus
der Winkel mit den Einheitsvektoren der Koordinatenachsen an.


\subsection{Das vektorielle Produkt\index{Produkt!Vektoriell}\index{Vektorielle Produkt}
\textsf{\small I.90}}

Das vektorielle Produkt $\vec{a}\times\vec{b}=\vec{c}$ ordnet zwei
Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ einen dritten Vektor $\vec{c}$
zu. Man stelle sich vor, $\vec{a}$ und $\vec{b}$ spannen im Raum
eine Fläche (Parallelogramm) auf. $\vec{c}$ wird auf dieser Fläche
senkrecht stehen, und als Länge, den Betrag des Flächeninhalts des
Parallelogramms haben. Die genaue Richtung lässt sich mit der 3-Fingerregel
überlegen. Daumen = $\vec{a}$; Zeigefinger (ausgestreckt) = $\vec{b}$;
Mittelfinger (90° angewinkelt) = $\vec{c}.$\[
\vec{a}\times\vec{b}=\left(\begin{array}{c}
y_{a}z_{b}-z_{a}y_{b}\\
z_{a}x_{b}-x_{a}z_{b}\\
x_{a}y_{b}-y_{a}x_{b}\end{array}\right)=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{e}_{x} & a_{x} & b_{x}\\
\vec{e}_{y} & a_{y} & b_{y}\\
\vec{e}_{z} & a_{z} & b_{z}\end{array}\right|\]


\begin{itemize}
\item Das vektorielle Produkt ist nur in $\mathbb{V}^{3}$ definiert.
\end{itemize}

\subsubsection{Rechenregeln \textsf{\small I.91}}

\begin{itemize}
\item $\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}$
\item $\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\vec{a}=\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\vec{b}=0\Rightarrow$$\vec{a}\bot\vec{a}\times\vec{b}\bot\vec{b}$
\item $\left(\lambda\vec{a}\right)\times\vec{b}=\lambda\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)$
\item $\left(\vec{a}+\vec{b}\right)\times\vec{c}=\vec{a}\times\vec{c}+\vec{b}\times\vec{c}$
\item $\vec{a}\times\lambda\vec{a}=\vec{0}$
\item $\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}\Leftrightarrow\vec{a}\ \mathrm{und}\ \vec{b}$
sind linear unabhängig
\item $\left\Vert \vec{a}\times\vec{b}\right\Vert ^{2}=\left\Vert \vec{a}\right\Vert ^{2}\left\Vert \vec{b}\right\Vert ^{2}-\left(\vec{a}\vec{b}\right)^{2}$
\item $\sin\left(\alpha\left(\vec{a},\vec{b}\right)\right)=\frac{\left\Vert \vec{a}\times\vec{b}\right\Vert }{\left\Vert \vec{a}\right\Vert \left\Vert \vec{b}\right\Vert }$
\end{itemize}

\subsection{Spatprodukt\index{Spatproduckt}\index{Produckt!Spat} \textsf{\small I.95}}

Das Spatprodukt ordnet drei Vektoren eine reelle Zahl zu. Diese entspricht
dem Volumen des von den Vektoren aufgespannten Spats (3-dimensionales
Parallelogramm).

\[
\left[\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right]:=\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\vec{c}=\left|\begin{array}{ccc}
a_{x} & b_{x} & c_{x}\\
a_{y} & b_{y} & c_{y}\\
a_{z} & b_{z} & c_{z}\end{array}\right|\]


\begin{itemize}
\item Die Wert entspricht genau dem der Determinante\index{Determinante}
aus den 3 Vektoren.
\item Das Spatprodukt ist nur in $\mathbb{V}^{3}$ definiert.
\end{itemize}

\subsubsection{Rechenregeln \textsf{\small I.96}}

\begin{itemize}
\item zyklisches Vertauschen\index{zyklisches Vertauschen}\\
$\left[\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right]=\left[\vec{b},\vec{c},\vec{a}\right]=\left[\vec{c},\vec{a},\vec{b}\right]$
\item antizyklisches\index{antizyklisches Vertauschen} Vertauschen\\
$\left[\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right]=-\left[\vec{a},\vec{c},b\right]$
\item $\left[\vec{a}+\vec{a'},\vec{b},\vec{c}\right]=\left[\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right]+\left[\vec{a'},\vec{b},\vec{c}\right]$
\item $\left[\lambda\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right]=\lambda\left[\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right]$
\item $\left[\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right]=0\Rightarrow\vec{a},\vec{b},\vec{c}$
sind linear abhängig\index{linear abhänig}
\item Entwicklungssatz\index{Entwicklungssatz}\\
$\vec{a}\times\left(\vec{b}\times\vec{c}\right)=\left(\vec{a}\vec{c}\right)\vec{b}-\left(\vec{a}\vec{b}\right)\vec{c}$
\item Lagrande-Identität\index{Lagrande-Identität}\\
$\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\left(\vec{c}\times\vec{d}\right)=\left(\vec{a}\vec{c}\right)\left(\vec{b}\vec{d}\right)-\left(\vec{a}\vec{d}\right)\left(\vec{b}c\right)$
\end{itemize}

\subsection{Gerade\index{Gerade} und Ebene\index{Ebene} im Raum \textsf{\small I.99}}


\subsubsection{Geradengleichung\index{Geradengleichung} \textsf{\small I.99}}

\begin{itemize}
\item Punkt-Richtungsform\\
$g:\vec{r}=\vec{r}_{0}+\lambda\vec{a}$

\begin{itemize}
\item Ortsvektor $\vec{r}_{0}=\vec{OP_{o}}$
\item Richtungsvektor $\vec{a}$
\end{itemize}
\item Zwei-Punkte-Form\\
$g:\vec{r}=\vec{r}_{0}+\lambda\vec{a}$

\begin{itemize}
\item Ortsvektor $\vec{r}_{0}=\vec{OP_{o}}$
\item Richtungsvektor $\vec{a}=\vec{P_{0}P_{1}}$
\end{itemize}
\item Parameterfreie Darstellung\\
$\vec{a}\times\left(\vec{r}-\vec{r}_{0}\right)=\vec{0}$
\end{itemize}

\subsubsection{Ebenengleichung\index{Ebenengleichung} \textsf{\small I.107}}

\begin{itemize}
\item Parameterdarstellung von $E:$\\
$E:\vec{r}=\vec{r}_{0}+s\vec{a}+t\vec{b}$

\begin{itemize}
\item Ortsvektor $\vec{r}_{0}$
\item Richtungsvektoren $\vec{a},\vec{b}$ (müssen linear unabhängig sein!!)
\item Normalenvektor $\vec{n}=\vec{a}\times\vec{b}$
\item Aus parameterfreier\index{parameterfreie Darstellung} Darstellung
per Festlegung von z.B. $y,z$ als Parameter $s,t$\\
$\vec{r}=\left(\frac{D}{A},0,0\right)+s\left(-\frac{B}{A},1,0\right)+t\left(-\frac{C}{A},0,1\right)$
\end{itemize}
\item Drei-Punkte-Form\\
$E:\vec{r}=\vec{r}_{0}+s\vec{a}+t\vec{b}$

\begin{itemize}
\item Ortsvektor $\vec{r}_{0}=\vec{OP_{o}}$
\item Richtungsvektoren \\
$\vec{a}=\vec{P_{0}P_{1}}\quad\vec{b}=\vec{P_{0}P_{2}}$
\end{itemize}
\item Als Skalarprodukt\\
$\vec{n}\left(\vec{r}-\vec{r}_{0}\right)=0$
\item Als Spatprodukt\\
$\left[\vec{r}-\vec{r}_{0},\vec{a},\vec{b}\right]=0$
\item Parameterfreie Darstellung\\
$E:Ax+By+Cz=D$\\
$E:\vec{n}\vec{r}=D$

\begin{itemize}
\item Punkt auf der Ebene $\vec{r}=\left(x,y,z\right)$
\item $A,B,C,D$ Konstanten
\item Normalenvektor $\vec{n}=\left(A,B,C\right)$
\item Aus Parameterdarstellung:

\begin{itemize}
\item per Elimination der Parameter
\item aus der Determinante des Spatprodukts ($\det\left[\left(x,y,z\right)-\vec{r}_{0},\vec{a},\vec{b}\right]=0$)
\item $\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\left(\vec{r}-\vec{r}_{0}\right)=0$
\end{itemize}
\end{itemize}
\item Hessesche Normalform der Ebenengleichung\index{Hessesche Normalform Ebenengleichung}
\textsf{\small I.114}\\
$E:\vec{e}_{n}\vec{r}-\vec{e}_{n}\vec{r}_{0}=0$ (folgt aus $E:\vec{n}\vec{r}=\vec{n}\vec{r}_{0}=D$)

\begin{itemize}
\item Erhält man durch Renormierung $\vec{e}_{n}=\frac{\vec{n}}{\left\Vert \vec{n}\right\Vert }$
\end{itemize}
\end{itemize}

\subsubsection{Lage von Geraden\index{Geraden!Lage} im Raum \textsf{\small I.99}}

$g_{1}:\vec{r}=\vec{r}_{1}+t\vec{a}_{1}\quad g_{2}:\vec{r}=\vec{r}_{2}+t\vec{a}_{2}$

\begin{enumerate}
\item $g_{1},g_{2}$ parallel zueinander

\begin{itemize}
\item $\vec{a}_{1}\times\vec{a}_{2}=0$
\item Sonderfall $g_{1}=g_{2}$ wenn zusätzlich $\vec{r}_{2}=\vec{r}_{1}+t\vec{a}_{1}$
\end{itemize}
\item $g_{1},g_{2}$ schneiden sich in genau einem Punkt

\begin{itemize}
\item $g_{1}=g_{2}\Rightarrow$ Schnittpunkt\index{Schnittpunkt}
\item $\vec{a}_{1}\times\vec{a}_{2}\neq0$
\end{itemize}
\item $g_{1},g_{2}$ windschief zueinander (weder parallel noch Schnittpunkt)

\begin{itemize}
\item $g_{1}=g_{2}\Rightarrow$nicht lösbar
\item $\vec{a}_{1}\times\vec{a}_{2}\neq0$
\item z.B. $\vec{e}_{x},\vec{e}_{y},\vec{e}_{z}$
\end{itemize}
\end{enumerate}

\subsubsection{Abstand\index{Gerade!Abstand} Gerade Punkt \textsf{\small I.105}}

Gerade: $\vec{r}=\vec{r}_{0}+t\vec{a}$, Punkt: $\vec{r}_{1}$, Abstand
$d$

\[
d=\frac{\left\Vert \vec{a}\times\left(\vec{r}_{1}-\vec{r}_{0}\right)\right\Vert }{\left\Vert \vec{a}\right\Vert }\]



\subsubsection{Abstand zweier windschiefer\index{windschief} Geraden \textsf{\small I.106}}

$g_{1}:\vec{r}=\vec{r}_{1}+t\vec{a}_{1}\quad g_{2}:\vec{r}=\vec{r}_{2}+t\vec{a}_{2}$

\[
d=\frac{\left|\left[\vec{a}_{1},\vec{a}_{2},\vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}\right]\right|}{\left\Vert \vec{a}_{1}\times\vec{a}_{2}\right\Vert }\]



\subsubsection{Normalenvektor\index{Normalenvektor} \textsf{\small I.108}}

Jeder auf der Ebene $E:\vec{r}=\vec{r}_{0}+s\vec{a}+t\vec{b}$ senkrecht
stehende Vektor $\vec{n}$ wird als Normalenvektor der Ebene $E$
bezeichnet.\[
\vec{n}=\lambda\left(\vec{a}\times\vec{b}\right),\quad\lambda\neq0\]



\subsubsection{Lage zweier Ebenen\index{Ebene!Lage} im Raum \textsf{\small I.111}}

$E_{1}:\vec{r}=\vec{r}_{1}+s\vec{a}_{1}+t\vec{b}_{1}\quad E_{2}:\vec{r}=\vec{r}_{2}+s\vec{a}_{2}+t\vec{b}_{2}$

\begin{enumerate}
\item $E_{1}=E_{2}$ (sind gleich)

\begin{itemize}
\item $\vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2}=\vec{0}\quad\left[\vec{a}_{1},\vec{b}_{1},\vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}\right]=0$
\end{itemize}
\item $E_{1},E_{2}$ sind parallel aber nicht gleich

\begin{itemize}
\item $\vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2}=\vec{0}\quad\left[\vec{a}_{1},\vec{b}_{1},\vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}\right]\neq0$
\end{itemize}
\item $E_{1},E_{2}$ schneiden sich in einer Geraden

\begin{itemize}
\item $\vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2}\neq\vec{0}=$ Richtungsvektor der Schnittgeraden\index{Schnittgeraden}
\item Ortsvektor der Schnittgeraden ist ein beliebiger Punkt der auf $E_{1}$
und $E_{2}$ liegt.
\end{itemize}
\end{enumerate}

\subsubsection{Schnittpunkt\index{Schnittpunkt} Gerade Ebene \textsf{\small I.110}}

Der Schnittpunkt der Ebene $E:\vec{n}\cdot\vec{r}=D$ und der Gerade
$g:\vec{r}=\vec{r}_{0}+t\vec{a}$ hat den Ortsvektor\[
\vec{r}_{Q}=\vec{r}_{0}+\frac{D-\vec{n}\vec{r}_{0}}{\vec{n}\vec{a}}\vec{a}\]



\subsubsection{Lot\index{Lot} auf Ebene \textsf{\small I.111}}

Die Lotgerade\index{Lotgerade} auf der Ebene $E:\vec{n}\cdot\vec{r}=D$
durch den Punkt $P_{0}$ mit dem Ortsvektor $\vec{r}_{0}$ besitzt
folgende Gestalt\[
l:\vec{r}=\vec{r}_{0}+t\vec{n}\]
Der Ortsvektor des Fußpunktes (Durchstoßpunkt mit der Ebene) ergibt
sich dann so\[
\vec{r}_{Q}=\vec{r}_{0}+\frac{D-\vec{n}\vec{r}_{0}}{\vec{n}\vec{n}}\vec{n}\]



\subsubsection{Abstand Nullpunkt-Ebende \textsf{\small I.113}}

Der Abstand einer Ebene $E:\vec{n}\cdot\vec{r}=D$ vom Ursprung $d=\left|\vec{e}_{n}\vec{r}_{0}\right|$


\subsubsection{Abstand Punkt-Ebene \textsf{\small I.114}}

Der Abstand einer Ebene $E:\vec{n}\cdot\vec{r}=D$ vom Punkt $\vec{r}_{1}$
$d=\left|\vec{e}_{n}\vec{r}_{1}-\vec{e}_{n}\vec{r}_{0}\right|$


\section{Vektorräume\index{Vektorraum} \textsf{\small I.159}}


\subsection{Definition \textsf{\small I.159}}

Sei $\mathbb{V}$ eine Menge und $\mathbb{K}$ ein Körper\index{Körper}.
Zu je zwei Elementen $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aus $\mathbb{V}$ gebe
es genau ein Element $\vec{a}+\vec{b}\in\mathbb{V}$. Zu jedem $\lambda$
aus $\mathbb{K}$ und jedem Element $\vec{a}$ aus $\mathbb{V}$ gebe
es genau ein Element $\lambda\vec{a}\in\mathbb{V}$. $\mathbb{V}$
heißt \emph{Vektorraum} (VR) über $\mathbb{K}$, wenn die folgenden
Grundgesetze gelten.

\begin{itemize}
\item Addition in $\mathbb{V}$

\begin{itemize}
\item Kommutativgesetz\index{Kommutativgesetz}\\
$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$
\item Assoziativgesetz\index{Assoziativgesetz}\\
$\vec{a}+\left(\vec{b}+\vec{c}\right)=\left(\vec{a}+\vec{b}\right)+\vec{c}$
\item Neutrales Element\index{Neutrales Element}\\
$\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}$ und $\vec{a}+\left(-\vec{a}\right)=\vec{0}$
\item Inverses Element\index{Inverses Element}\\
$\vec{a}+\left(-\vec{a}\right)=\vec{0}$
\end{itemize}
\item Multiplikation mit Körperelementen

\begin{itemize}
\item Neutrales Element\index{Neutrales Element}\\
$1\vec{a}=\vec{a}$
\item $\lambda\left(\mu\vec{a}\right)=\left(\lambda\mu\right)\vec{a}$
\item $\lambda\left(\vec{a}+\vec{b}\right)=\lambda\vec{a}+\lambda\vec{b}$
\item $\left(\lambda+\mu\right)\vec{a}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{a}$
\end{itemize}
\end{itemize}

\subsubsection{Untervektorraum\index{Untervektorraum} \textsf{\small I.160}}

$\mathbb{U}\subset\mathbb{V}$ heißt Untervektorraum (UVR\index{UVR})
vom $\mathbb{V}$, wenn für $\vec{a},\vec{b}\in\mathbb{U},\lambda\in\mathbb{K}$:\[
\vec{a}+\vec{b}\in\mathbb{U},\lambda\vec{a}\in\mathbb{U}\]


\begin{itemize}
\item Untervektorraumkriterium\\
$\forall_{\mathbb{U}}^{\vec{a},\vec{b}}:\forall_{\mathbb{K}}^{\lambda,\mu}:\lambda\vec{a}+\mu\vec{b}\in\mathbb{U}$\\
oder \\
$\forall_{\mathbb{U}}^{\vec{a},\vec{b}}:\forall_{\mathbb{K}}^{\lambda}:\lambda\vec{a}\in\mathbb{U}\wedge\vec{a}+\vec{b}\in\mathbb{U}$
\item Durchschnitt\index{Durchschnitt}\\
$\mathbb{U}_{1}\cap\mathbb{U}_{2}\subset\mathbb{V}$
\item Vereinigung\index{Vereinigung} nicht UVR!!!\\
$\mathbb{U}_{1}\cup\mathbb{U}_{2}\nsubseteq\mathbb{V}$
\item Summe\index{Summe}\\
$\mathbb{U}_{1}+\mathbb{U}_{2}=\left\{ \vec{a}_{1}+\vec{a}_{2}|\vec{a}_{1}\in\mathbb{U}_{1},\vec{a}_{2}\in\mathbb{U}_{2}\right\} \subset\mathbb{V}$
\end{itemize}

\subsubsection{Linearkombination\index{Linearkombination} \textsf{\small I.161}}

\[
\vec{b}=\sum_{j=1}^{n}\lambda_{j}\vec{a}_{j}=\lambda_{1}\vec{a}_{1}+\lambda_{2}\vec{a}_{2}+\ldots+\lambda_{n}\vec{a}_{n}\]


$\vec{b}$ ist eine Linearkombination aus $\vec{a}_{1},\ldots,\vec{a}_{n}$.


\subsubsection{Triviale Darstellung\index{Triviale Darstellung Nullvektor} des
Nullvektors \textsf{\small I.162}}

\[
\sum_{j=1}^{n}\lambda_{j}\vec{a}_{j}=\vec{0},\quad\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}=0\]



\subsubsection{Lineare (Un-)Abhängigkeit\index{Lineare Abhängigkeit}\index{linear!unabhängig}\index{linear!abhängig}
\textsf{\small I.163}}

Die Vektoren $\vec{a}_{j}\in\mathbb{V},j=1,\ldots,n$ heißen linear
unabhängig wenn sich aus ihnen nur mit der trivialen Darstellung der
Nullvektor darstellen lässt. Ansonsten sind sie Linear abhängig.

Bei linear abhängigen Vektoren lässt sich mindestens ein Vektor $\vec{a}_{j}$
als Linearkombination\index{Linearkombination} der restlichen Darstellen:\begin{eqnarray*}
\vec{a}_{j_{0}} & = & -\sum_{j=1,j\neq j_{0}}^{n}\frac{\lambda_{j}}{\lambda_{j_{0}}}\vec{a}_{j}\end{eqnarray*}


\begin{itemize}
\item Beweis durch Lösen von lin. Gleichungssystem\index{linear!Gleichungssystem}\index{Gleichungssystem}.
Wenn eindeutig möglich $\Rightarrow$ linear unabhängig.
\item Anzahl der Vektoren muss $\leq\dim\left(\mathbb{U}\right)$ sein,
sonst sind sie zwangsläufig lin. abhängig.
\item $\vec{b}_{1},\ldots,\vec{b}_{n}$ linear unabhängig $\Leftrightarrow$
$\det\left(\vec{b}_{1}|\ldots|\vec{b}_{n}\right)\neq0$
\end{itemize}

\subsubsection{Lineare Hülle\index{linear!Hülle}\index{Hülle} \textsf{\small I.165}}

Menge aller Linearkombinationen aus gegebenen Vektoren.\[
\left\langle \vec{a}_{1},\ldots,\vec{a}_{n}\right\rangle =\left\{ \sum_{j=1}^{n}\lambda_{j}\vec{a}_{j}|\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}\in\mathbb{K}\right\} \]


\begin{itemize}
\item Die Lineare Hülle bildet einen Untervektorraum von $\mathbb{V}$
\item Wenn $\vec{a}_{1},\ldots,\vec{a}_{n}$ linear unabhängig, und $\vec{b}\in\left\langle \vec{a}_{1},\ldots,\vec{a}_{n} \right\rangle $
dann ist $\vec{b}=\sum_{j=1}^{n}\lambda_{j}\vec{a}_{j}$ eindeutig.
\item Direkte Summe\index{Direkte Summe}\index{Summe!Direkte}\\
$\mathbb{U}=\mathbb{U}_{1}\bigoplus\mathbb{U}_{2}\ldots\bigoplus\mathbb{U}_{n}$\\
Wenn die Untervektorräume linear unabhängig sind
\end{itemize}

\subsection{Endlich-dimensionale Vektorräume \textsf{\small I.166}}


\subsubsection{Erzeugendensystem\index{Erzeugendensystem} \textsf{\small I.166}}

Wenn $\mathbb{U}=\left\langle \vec{a}_{1},\ldots,\vec{a}_{n}\right\rangle $
bilden $\vec{a}_{1},\ldots,\vec{a}_{n}$ ein Erzeugendensystem von
$\mathbb{U}$.

\begin{itemize}
\item Alle Basen sind autom. auch Erzeugendensystem.
\end{itemize}

\subsubsection{Basis\index{Basis} \textsf{\small I.166}}

Wenn $\vec{a}_{1},\ldots,\vec{a}_{n}$ linear unabhängig sind, und
ein Erzeugendensystem von $\mathbb{U}$ sind bilden sie eine \emph{Basis}
von $\mathbb{U}$.

\begin{itemize}
\item Ein Vektor lässt sich in einer Basis eindeutig darstellen \\
$\vec{b}=\sum_{j=1}^{n}\lambda_{j}\vec{a}_{j}$
\item Es kann unterschiedliche Basen von $\mathbb{U}$ geben.
\item Alle Basen haben die gleiche Anzahl von Vektoren.
\item Wenn die Anzahl der Vektoren $=\dim\left(\mathbb{U}\right)$ und sie
lin. unabhängig sind, sind sie autom. ein Basis.
\end{itemize}

\subsubsection{\label{sub:Kanonische-Basis}Kanonische Basis\index{Basis!Kanonische}\index{Kanonische Basis}
/ Standardbasis\index{Standardbasis}\index{Basis!Standard} \textsf{\small I.169}}

\[
\vec{e_{j}^{(n)}}=(0,\ldots,\underbrace{1}_{j\textrm{-te Stelle}},\ldots,0),\quad j=1,\ldots,n\]


\begin{itemize}
\item Die Standardbasen sind linear unabhängig
\item Sie erzeugen $\mathbb{K}^{n}$
\item ist eine Orthonormale Basis (siehe \vref{sub:Orthogonalsystem})
\end{itemize}

\subsubsection{Dimension\index{Dimension} \textsf{\small I.167}}

Die Anzahl von Vektoren von einer Basis wird Dimension genannt: $\dim\left(\mathbb{U}\right)$


\subsubsection{Nullraum\index{Nullraum} \textsf{\small I.169}}

$\mathbb{U}=\left\{ \vec{0}\right\} \subseteq\mathbb{V}$ ist ein
trivialer Untervektorraum eines jeden Vektorraumes der Dimension 0.


\subsubsection{Linearer Teilraum\index{linear!Teilraum}\index{Teilraum} \textsf{\small I.169}}

$\vec{a}$ sei ein fester Vektor\[
\left\{ \vec{a}+\vec{b}|\vec{b}\in\mathbb{U}\right\} \]
wird als Linearer Teilraum der $\dim\left(\mathbb{U}\right)=n$ bezeichnet.


\subsubsection{Darstellung von Vektorräumen \textsf{\small I.169}}

Die Menge aller geordneten n-Tupel\index{Tupel}(geordnete Menge an
Zahlen) von Skalaren aus $\mathbb{K}$, $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ bzw.
$\mathbb{K}=\mathbb{C}$\[
\mathbb{K}^{n}=\left\{ \left(a_{1},\ldots,a_{n}\right)|a_{j}\in\mathbb{K},j=1,\ldots,n\right\} \]
 versehen mit der Addition\[
\left(a_{1},\ldots,a_{n}\right)+\left(b_{1},\ldots,b_{n}\right)=\left(a_{1}+b_{1},\ldots,a_{n}+b_{n}\right)\]
und der Multiplikation mit Skalaren aus $\mathbb{K}$\[
\lambda\left(a_{1},\ldots,a_{n}\right)=\left(\lambda a_{1},\ldots,\lambda a_{n}\right)\]
bilden einen n-dimensionalen Vektorraum über $\mathbb{K}$. Dieser
wird mit $\mathbb{K}^{n}$ abgekürzt.


\subsection{Koordinaten\index{Koordinaten} \textsf{\small I.171}}


\subsubsection{Definition \textsf{\small I.171}}

Ein Vektor $\vec{a}$ lässt sich mit Hilfe der Koordinaten $\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n}$
bezüglich der Basis $\vec{b}_{1},\ldots,\vec{b}_{n}$ wie folgt (eindeutig)
darstellen.\[
\vec{a}=\sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}\vec{b}_{k}\]


\begin{itemize}
\item Bezüglich der Kanonischen Basis sind die Koordinaten genau die Komponenten
des Vektors $\vec{a}$
\item Der Vektor der Koordinaten heißt Koordinatenvektor $\vec{\alpha}$
\item Die Rechenregeln für Summe von zwei Koordinatenvektoren der gleichen
Basis und die Regeln der Multiplikation mit einem Skalar sind identisch
mit den Regeln für Vektoren.
\item $\vec{a}_{1},\ldots,\vec{a}_{m}$ linear unabhängig $\Leftrightarrow\vec{\alpha}_{1},\ldots,\vec{\alpha}_{m}$
linear unabhängig
\end{itemize}

\subsubsection{\label{sub:Basiswechsel ohne Matrix}Basiswechsel\index{Basiswechsel}
\textsf{\small I.174}}

Seien $\vec{b}_{1},\ldots,\vec{b}_{n}$ und $\vec{\tilde{b}}_{1},\ldots,\vec{\tilde{b}}_{n}$
zwei Basen des n-dimensionalen Vektorraumes $\mathbb{V}$. Die Basisvektoren
haben nun sollen folgende Beziehungen untereinander besitzen\[
\vec{\tilde{b}}_{j}=\sum_{k=1}^{n}\tilde{\beta}_{k,j}\vec{b}_{k},\quad j=1,\ldots,n\]
\[
\vec{b}_{j}=\sum_{k=1}^{n}\beta_{k,j}\vec{\tilde{b}}_{k},\quad j=1,\ldots,n\]
Die Koordinatenvektoren $\vec{\beta}_{1},\ldots,\vec{\beta}_{n}$
und $\vec{\tilde{\beta}}_{1},\ldots,\vec{\beta}_{n}$ sind linear
unabhängig.

Einen Vektor $\vec{a}$ kann man nun in beiden Basissystemen ausdrücken\[
\vec{a}=\sum_{j=1}^{n}\tilde{\alpha}_{j}\vec{\tilde{b}}_{j}=\sum_{j=1}^{n}\alpha_{j}\vec{b}_{j}\]


Zwischen den Koordinatenvektoren $\vec{\tilde{\alpha}}$ und $\vec{\alpha}$
in den jeweiligen Basissystemen besteht der Zusammenhang:\[
\tilde{\alpha}_{k}=\sum_{j=1}^{n}\beta_{k,j}\alpha_{j}\]
\[
\alpha_{k}=\sum_{j=1}^{n}\tilde{\beta}_{k,j}\tilde{\alpha}_{j}\]


\begin{itemize}
\item Für weiteres siehe \vref{sub:BasiswechselMatix}
\end{itemize}

\subsubsection{Kronecker-Symbol\index{Kronecker-Symbol} \textsf{\small I.176}}

Das Kronecker-Symbol ist wie folgt definiert\[
\delta_{jk}=\left\{ \begin{array}{cc}
1, & \textrm{falls}\  j=k\\
0, & \textrm{falls}\  j\neq k\end{array}\right.\]



\subsection{Der unitäre Vektorraum\index{unitäre-Vektorraum} $\mathbb{C}^{n}$
\textsf{\small I.177}}

Übertragen des Skalarproduktes und des Betrages auf den Vektorraum
$\mathbb{C}^{n}$.


\subsubsection{Skalare Produkt\index{Skalare Produkt}\index{Produkt!Skalar} /
Betrag\index{Betrag!Vektor} \textsf{\small I.178}}

\[
\vec{a}\cdot\vec{b}=\sum_{j=1}^{n}a_{j}\bar{b}_{j}\]
\[
\left\Vert \vec{a}\right\Vert =\sqrt{\sum_{j=1}^{n}a_{j}\bar{a}_{j}}=\sqrt{\vec{a}\vec{a}}\]


Es gelten die selben Regeln wie für Vektoren aus $\mathbb{R}^{3}$
(siehe \vref{sub:skalare-Produkt-R3}) mit folgenden Ausnahmen bzw.
Ergänzungen:

\begin{itemize}
\item $\vec{a}\vec{b}=\overline{\vec{b}\vec{a}}$
\item $\left(\lambda\vec{a}\right)\vec{b}=\lambda\left(\vec{a}\vec{b}\right)$\\
$\vec{a}\left(\lambda\vec{b}\right)=\bar{\lambda}\left(\vec{a}\vec{b}\right)$
\item Die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ heißen orthogonal\index{orthogonal}
(senkrecht\index{senkrecht}) zueinander $\left(\vec{a}\perp\vec{b}\right)$,
wenn $\vec{a}\vec{b}=0$
\item Vektoren der Länge 1 $\left(\left\Vert \vec{a}\right\Vert =1\right)$
heißen Einheitsvektoren\index{Einheitsvektoren}.
\end{itemize}

\subsubsection{\label{sub:Orthogonalsystem}Orthogonalsystem\index{Orthogonalsystem}
/ Orthonormalsystem\index{Orthonormalsystem} (Basis) \textsf{\small I.180}}

Eine Menge von Vektoren $\left\{ \vec{a}_{1},\ldots,\vec{a}_{n}\right\} $,
die den Nullvektor nicht enthält und mit $\vec{a}_{k}\vec{a}_{j}=0$
für $k\neq j$ heißt \emph{Orthogonalsystem} (alle Vektoren sind senkrecht
zueinander).

Sind zudem alle $\vec{a}_{j}$ normiert (Länge 1) so heißen sie \emph{Orthonormalsystem}.

\begin{itemize}
\item Die Vektoren eines Orthonormalsystems sind linear unabhängig
\item Bilden die Vektoren eine Basis, so spricht man von einer \emph{Orthogonalbasis\index{Orthogonalbasis}}
bzw. \emph{Orthonormalbasis}\index{Orthonormalbasis}.
\item Die Kanonische Basis ist eine Orthonormalbasis (siehe \vref{sub:Kanonische-Basis}).
\end{itemize}

\subsubsection{\label{sub:Existenz-einer-Orthonormalbasis}Existenz einer Orthonormalbasis\index{Orthonormalbasis!Existenz}
\textsf{\small I.181}}

Sei $\vec{a}_{1},\ldots,\vec{a}_{m}\in\mathbb{C}^{n}\textrm{ bzw. }\mathbb{R}^{n}$
eine linear unabhängige Menge von Vektoren. Dann gibt es ein Orthonormalsystem
$\vec{b}_{1},\ldots,\vec{b}_{m}$ mit $\left\langle \vec{b}_{1},\ldots,\vec{b}_{i}\right\rangle =\left\langle \vec{a}_{1},\ldots,\vec{a}_{i}\right\rangle $
für alle $1\leq i\leq m$.


\subsubsection{Gram-Schmidtsches-Orthonormalisierungsverfahren\index{Gram-Schmidtsches-Orthonormalisierungsverfahren}\index{Orthonormalisierungsverfahren}
\textsf{\small I.182}}

Auch unter dem Namen Hilbert-Schmidtsches-Orthonormalisierungsverfahren\index{Hilbert-Schmidtsches-Orthonormalisierungsverfahren}
bekannt. Konventionen wie bei \ref{sub:Existenz-einer-Orthonormalbasis}.

\begin{enumerate}
\item $\vec{b}_{1}=\frac{\vec{a}_{1}}{\left\Vert \vec{a}_{1}\right\Vert }$
\item Für alle $\vec{b}_{k}$ mit $1\leq k\leq m-1$ 

\begin{enumerate}
\item $\vec{\tilde{a}}_{k+1}=\vec{a}_{k+1}-\sum_{l=1}^{k}\left(\vec{a}_{k+1}\vec{b}_{l}\right)\vec{b}_{l}$
\item $\vec{b}_{k+1}=\frac{\vec{\tilde{a}}_{k+1}}{\left\Vert \vec{\tilde{a}}_{k+1}\right\Vert }$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{itemize}
\item Alle $\vec{b}_{k}$ auf Länge (=1) und orthogonalität (Skalarprodukt
= 0) testen
\item Brüche und Große Zahlen aus Vektoren ausklammern, so das in den Vektoren
nur ganze, möglichst kleine Zahlen enthalten sind.
\item Um aus $\tilde{a}_{k}$ $\tilde{b}_{k}$ zu erstellen, können die
ausgeklammerten Werte vor $\tilde{a}_{k}$ weggelassen werde, da diese
sich durchs Renormieren ohnehin herauskürzen würden.
\end{itemize}
Geometrisch wird der die Richtung des 1. Vektors übernommen, und von
allen weiteren Vektoren deren Komponenten in Richtung von bereits
erzeugten Basis-Vektoren abgezogen, so das nur deren neuer Richtungsanteil
übrig bleibt, welcher letztendlich dann als Richtung für den zusätzlichen
Basis-Vektor genommen wird.


\subsection{Lineare Abbildungen\index{Abbildung}\index{linear!Abbildung} \textsf{\small I.183}}

$\mathbb{V}$(Quellraum\index{Quellraum}) und $\mathbb{W}$(Zielraum\index{Zielraum})
seien Vektorräume über demselben skalaren Körper $\mathbb{K}$. Die
\emph{Abbildung} $f:\mathbb{V}\rightarrow\mathbb{W}$ heißt linear,
wenn für alle $\vec{a},\vec{b}\in\mathbb{V}$ und $\lambda\in\mathbb{K}$
gilt:

\begin{description}
\item [Additivität\index{Additivität}]$f\left(\vec{a}+\vec{b}\right)=f\left(\vec{a}\right)+f\left(\vec{b}\right)$
\item [Homogenität\index{Homogenität}]$f\left(\lambda\vec{a}\right)=\lambda f\left(\vec{a}\right)$
\end{description}
Eine Lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen wird auch als \emph{Homomorphismus\index{Homomorphismus}}
bezeichnet.

\begin{itemize}
\item $f\left(\lambda\vec{a}+\mu\vec{b}\right)=\lambda f\left(\vec{a}\right)+\mu f\left(\vec{b}\right)$
\item $f\left(\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}\vec{a}_{k}\right)=\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}f\left(\vec{a}_{k}\right)$
\item integrieren und differenzieren von Polynomen sind lineare Abbildungen
\end{itemize}

\subsubsection{Bild\index{Bild} und Kern\index{Kern} \textsf{\small I.184}}

Sei $f:\mathbb{V}\rightarrow\mathbb{W}$ lineare Abbildung.

\begin{description}
\item [Bild]Bild$\left(f\right):=\left\{ f\left(\vec{a}\right)|\vec{a}\in\mathbb{V}\right\} \subseteq\mathbb{W}$
\item [Kern]Kern$\left(f\right):=\left\{ \vec{a}\in\mathbb{V}|f\left(\vec{a}\right)=\vec{0}\right\} \subseteq\mathbb{V}$
\end{description}
\begin{itemize}
\item Bild$\left(f\right)$ ist Untervektorraum von $\mathbb{W}$
\item Kern$\left(f\right)$ ist Untervektorraum von $\mathbb{V}$
\item $\dim\left(\mathbb{V}\right)-\dim\left(\textrm{Bild}\left(f\right)\right)=\dim\left(\textrm{Kern}\left(f\right)\right)$
\item $\textrm{Rang}\left(M\left(f\right)\right)=\dim\left(\textrm{Bild}\left(f\right)\right)$
\end{itemize}

\subsubsection{Injektiv\index{injektiv} / Surjektiv\index{Surjektiv} \textsf{\small I.184}}

Eine Abbildung $f:\mathbb{V}\rightarrow\mathbb{W}$ heißt \emph{injektiv},
falls

\[
f\left(\vec{a}\right)=f\left(\vec{b}\right)\Rightarrow\vec{a}=\vec{b}\]


Bei linearen $f$ gilt weiter:

\begin{itemize}
\item $f$ ist injektiv $\Leftrightarrow$ Kern$\left(f\right)=\left\{ \vec{0}\right\} $
\item $f$ ist surjektiv $\Leftrightarrow$ $\dim\left(\textrm{Bild}\left(f\right)\right)=\dim\left(\mathbb{W}\right)$
\end{itemize}

\subsubsection{Lineare Abbildung durch Bilder der Basis \textsf{\small I.184}}

Um eine lineare Abbildung $f$ festzulegen genügt es die Bilder $\left\{ \vec{b}_{1},\ldots,\vec{b}_{n}\right\} $
der Basis $\left\{ \vec{a}_{1},\ldots,\vec{a}_{n}\right\} $ zu kennen,
für $\vec{b}_{k}=f\left(\vec{a}_{k}\right)\ 1\leq k\leq n$.

Sei $\vec{a}\in\mathbb{V}$ und $\vec{a}=\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}\vec{a}_{k}$
für geeignete $\lambda_{k}\in\mathbb{K}$ gilt\[
f\left(\vec{a}\right)=\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}\vec{b}_{k}\]



\subsubsection{Koordinatenschreibweise\index{Koordinatenschreibweise} linearer
Abbildungen \textsf{\small I.188}}

Seien $\alpha_{k}$ $\left(1\leq k\leq n\right)$ die Koordinaten
von $\vec{a}$ bezüglich der Basis $\left\{ \vec{a}_{1},\ldots,\vec{a}_{n}\right\} $
von $\mathbb{V}$. Außerdem beschreibt $\beta_{kj}$ die Umrechnungskoordinaten
von $\mathbb{V}$ nach $\mathbb{W}$ $f\left(\vec{a}_{j}\right)=\sum_{k=1}^{m}\beta_{kj}\vec{b}_{k}$
($\left\{ \vec{b}_{1},\ldots,\vec{b}_{m}\right\} $ ist Basis von
$\mathbb{W}$). Dann gilt:\[
f\left(\vec{a}\right)=\left(\begin{array}{c}
\sum_{j=1}^{n}\alpha_{j}\beta_{1j}\\
\vdots\\
\sum_{j=1}^{n}\alpha_{j}\beta_{mj}\end{array}\right)\]



\section{Matrizen\index{Matrix}\index{Matrizen} \textsf{\small I.190}}

Eine $m\times n$-Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen
und n Spalten. Man schreibt \begin{eqnarray*}
A & = & \left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}\end{array}\right)\\
 & = & \left(a_{jk}\right)_{\begin{array}{c}
j=1,\ldots,m\\
k=1,\ldots,n\end{array}}\end{eqnarray*}
 dabei steht $a_{jk}$ in der j-ten Zeile, und der k-ten Spalte.


\subsubsection{Zeilen\index{Zeilenvektor}- und Spaltenvektor\index{Spaltenvektor}
\textsf{\small I.191}}

Einem $m\times n$-Matrix hat $m$ Zeilenvektoren (aus der $j$-ten
Zeile):\[
\vec{z}_{j}=\left(a_{j1},\ldots,a_{jn}\right)\]
 und $n$ Spaltenvektoren (aus der $k$-ten Spalte):\[
\vec{s}_{k}=\left(\begin{array}{c}
a_{1k}\\
\vdots\\
a_{mk}\end{array}\right)\]


\begin{itemize}
\item Zeilenvektoren können als eine $1\times n$-Matrix angesehen werden
\item Spaltenvektoren können als eine $m\times1$-Matrix angesehen werden
\end{itemize}
Die Menge aller $m\times n$-Matrizen über $\mathbb{K}$ bildet zusammen
mit der Addition und der Skalarmultiplikation einen Vektorraum\index{Vektorraum}
über $\mathbb{K}$ der Dimension\index{Dimension} $m\cdot n$.


\subsection{Rechenoperationen mit Matrizen \textsf{\small I.190}}


\subsubsection{Addition \textsf{\small I.195}}

Die Addition erfolgt Elementenweise\\
(mit $j=1,\ldots,m\quad k=1,\ldots,n$):\[
\left(a_{jk}\right)+\left(b_{jk}\right)=\left(a_{jk}+b_{jk}\right)\]



\subsubsection{Skalarmultiplikation\index{Skalarmultiplikation} \textsf{\small I.195}}

Jedes Element wird einzeln Multipliziert\\
(mit $j=1,\ldots,m\quad k=1,\ldots,n$):\[
\lambda\left(a_{jk}\right)=\left(\lambda a_{jk}\right)\]



\subsubsection{Kanonische Basis\index{Kanonische Basis}}

Die Kanonische Basis zu einem Vektorraum aller $m\times n$-Matrizen
besteht aus allen (verschiedenen) $m\times n$-Matrizen die jeweils
nur eine $1$ und sonst nur $0$-en enthalten. Es gibt $m\cdot n$
solcher Basen.


\subsubsection{Transponierte\index{Transponierte Matrix} Matrix \textsf{\small I.192}}

Die $m\times n$-Matrix $A$ ist wie folgt definiert \[
A=\left(a_{jk}\right)_{{{j=1,\ldots,m\atop k=1,\ldots,n}}}\]
dann heißt die $n\times m$-Matrix \[
A^{T}=\left(a_{kj}\right)_{{{j=1,\ldots,m\atop k=1,\ldots,n}}}\]


die zu $A$ transponierte Matrix.

\begin{itemize}
\item Transponieren vertauscht die Elemente bezüglich der Hauptdiagonalen\index{Hauptdiagonale}
(von Links oben, nach Rechts unten)
\item $\left(A^{T}\right)^{T}=A$
\item Transponieren ist eine lineare Abbildung, es gilt die 

\begin{description}
\item [Additivität]$\left(A+B\right)^{T}=A^{T}+B^{T}$
\item [Homogenität]$\left(\lambda A\right)^{T}=\lambda A^{T}$
\end{description}
\item $\left(A^{-1}\right)^{T}=\left(A^{T}\right)^{-1}$
\end{itemize}

\subsubsection{(Anti-) Symmetrische Matrix}

Alle (Anti-)Symmetrische Matrizen sind quadratische\index{Quadratisch!Matrizen}
Matrizen\index{Matrizen!Quadratisch}. Das bedeutet, das sie die gleiche
Anzahl an Spalten und Zeilen haben ($n\times n$-Matrix).

\begin{description}
\item [symmetrische\index{symetrische Matrix}~Matrix]$A^{T}=A$

\begin{itemize}
\item Lässt sich auf der Hauptdiagonalen spiegeln, ohne das sie sich ändert
\end{itemize}
\item [antisymmetrische\index{antisymetrische Matrix}~Matrix]$A^{T}=-A$

\begin{itemize}
\item Hat auf der Hauptdiagonalen nur $0$en.
\item Ist auf der Hauptdiagonalen mit vertauschten Vorzeichen gespiegelt.
\end{itemize}
\item [symmetrischer~Teil]$A_{s}=\frac{1}{2}\left(A+A^{T}\right)$
\item [antisymmetrischer~Teil]$A_{as}=\frac{1}{2}\left(A-A^{T}\right)$

\begin{itemize}
\item $A=A_{s}+A_{as}$
\end{itemize}
\end{description}

\subsubsection{Matrixprodukt\index{Matrixproduckt}\index{Produckt!Matrix} \textsf{\small I.197}}

Sei $A=\left(a_{jk}\right)_{{{j=1,\ldots,m\atop k=1,\ldots,n}}}$
eine $m\times n$-Matrix und $B=\left(b_{kl}\right)_{{{k=1,\ldots,n\atop l=1,\ldots,p}}}$
eine $n\times p$-Matrix. Die $m\times p$-Matrix \begin{eqnarray*}
A\  B & = & \left(\sum_{k=1}^{n}a_{jk}b_{kl}\right)_{{{j=1\ldots m\atop l=1\ldots p}}}\\
 & = & \left(\left(\begin{array}{c}
a_{j1}\\
\vdots\\
a_{jn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
b_{1l}\\
\vdots\\
b_{ml}\end{array}\right)\right)_{{{j=1\ldots m\atop l=1\ldots p}}}\end{eqnarray*}
 heißt Produktmatrix (Produkt aus $A$ und $B$).

\begin{itemize}
\item An Position $\left(j,l\right)$ steht das Skalarprodukt des $j$-ten
Zeilenvektors (der linken Matrix), mit dem $l$-ten Spaltenvektor
(der 2ten Matrix)
\item Skalarprodukt von 2 Vektoren ist Sonderfall des Matrixproduktes
\item Produkt entspricht der Hintereinanderausführung von linearen Abbildungen
\item Nur Definiert, wenn Spaltenanzahl der 1. Matrix = Zeilenanzahl der
2. Matrix
\end{itemize}
$A,B,C$ seien Matrizen, so dass die folgenden Produkte definiert
sind

\begin{itemize}
\item Assoziativgesetz\\
$\left(AB\right)C=A\left(BC\right)$
\item Distributivgesetz\\
$A\left(B+C\right)=AB+AC$\\
$\left(A+B\right)C=AC+BC$
\item $\left(AB\right)^{T}=B^{T}A^{T}$
\item im allgemeinen:\\
$AB\neq BA$
\item $AE=A$ (mit $E$ = Einheitsmatrix)
\item \emph{nilpotent}\index{nilpotent} heißt eine Matrix, wenn\\
$A^{2}=\left(0\right)$= Nullmatrix
\item Die Menge aller $n\times n$-Matrizen mit den Rechengesetzen zusammen
bildet einen \emph{Ring}\index{Ring}. Keinen Körper, da das inverse
Element der Muliplikation im allgemeinen nicht Existiert.
\end{itemize}

\subsubsection{Nullmatrix\index{Nullmatrix}\index{i}}

Eine Matrix die ausschließlich mit Nullen aufgefüllt ist, nennt sich
Nullmatrix, und hat den Rang 0.


\subsubsection{Einheitsmatrix\index{Einheitsmatrix} \textsf{\small I.200}}

Eine $n\times n$-Matrix die $1$en auf der Hauptdiagonale, und sonst
nur Nullen hat, heißt Einheitsmatix. Sie ist das neutrales\index{neutrales Element}
Element der Multiplikation.\[
E=\left(\delta_{ik}\right)_{{{i=1,\ldots,n\atop k=1,\ldots,n}}}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & \ddots & 0\\
0 & 0 & 1\end{array}\right)\]



\subsection{Rang\index{Rang!Matrix} einer Matrix \textsf{\small I.200}}

Die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren einer Matrix
heißt Zeilenrang, die maximale Anzahl linear unabhängiger Spaltenvektoren
heißt Spaltenrang.

\begin{itemize}
\item Dimension der linearen Hülle der Zeilenvektoren\\
Zeilenrang = dim$\left(\left\langle \vec{z}_{1},\ldots,\vec{z}_{m}\right\rangle \right)$
\item Dimension der linearen Hülle der Spaltenvektoren\\
Spaltenrang = dim$\left(\left\langle \vec{s}_{1},\ldots,\vec{s}_{n}\right\rangle \right)$
\item Der Spalten- und Zeilenrang sind immer gleich
\item Der Rang einer Matrix ist gleich dem Spalten- bzw. Zeilenrang
\end{itemize}

\subsubsection{Zeilen-/Spaltenoperationen\index{Zeilenoperationen}\index{Spaltenoperationen}
\textsf{\small I.201}}

Durch folgende Operationen in einer Matrix wird deren Rang nicht beeinflusst.

\begin{enumerate}
\item Multiplikation einer Zeile bzw. Spalte mit einem Skalar$\neq0$
\item Vertauschen von Zwei Zeile bzw. Spalten
\item Zu einer Zeile bzw. Spalte ein Vielfaches einer anderen Zeile bzw.
Spalte hinzuaddieren
\end{enumerate}

\subsection{Lineare\index{Lineare Abbildungen} Abbildungen\index{Abbildungen}
und Matrizen\index{Matrizen} \textsf{\small I.213}}


\subsubsection{Menge aller linearen Abbildungen \textsf{\small I.214}}

Sei $L\left(\mathbb{V},\mathbb{W}\right)$ die Menge aller lin. Abbildungen
von $\mathbb{V}$ nach $\mathbb{W}$.

\begin{itemize}
\item $\dim\mathbb{V}=n\wedge\dim\mathbb{W}=m\Rightarrow\dim L\left(\mathbb{V},\mathbb{W}\right)=nm$
\end{itemize}

\subsubsection{Zuordnung Matrix $\Leftrightarrow$ Lin. Abbildung \textsf{\small I.214}}

Sei $\vec{a}_{1},\ldots,\vec{a}_{n}$ eine Basis von $\mathbb{V}$
und $\vec{b}_{1},\ldots,\vec{b_{m}}$ eine Basis von $\mathbb{W}$.
Für jede lin. Abbildung $f\in L\left(\mathbb{V},\mathbb{W}\right)$
lässt sich nun eine $m\times n$ Matrix zuordnen. Sei \[
f\left(\vec{a}_{j}\right)=\sum_{k=1}^{m}\beta_{kj}\vec{b}_{k}\quad\left(j=1,\ldots,n\right)\]


dann hat die Matrix folgende Gestalt\begin{eqnarray*}
M\left(f\right) & = & \left(\begin{array}{ccc}
\beta_{11} & \ldots & \beta_{1n}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
\beta_{m1} & \ldots & \beta_{mn}\end{array}\right)\\
 & = & \left(\begin{array}{ccc}
f\left(\vec{a}_{1}\right) & \ldots & f\left(\vec{a}_{n}\right)\end{array}\right)\\
 & = & \left(\beta_{kj}\right)_{{{k=1,\ldots,m\atop j=1,\ldots,n}}}\end{eqnarray*}


Sei $\vec{x}\in\mathbb{V}$ ein Koordinatenvektor bezüglich der oben
gewählten Basis.\[
M\left(f\right)\vec{x}=f\left(\vec{x}\right)\]


\begin{itemize}
\item Achtung, Reihenfolge der Muliplikation entscheidend!
\item $\textrm{Rang}\left(M\left(f\right)\right)=\dim\left(\textrm{Bild}\left(f\right)\right)$
\end{itemize}

\subsubsection{Verkettung von lin. Abbildungen \textsf{\small I.216}}

Die Matrix der Hintereinanderausführung zweier lin. Abbildungen $f\in L\left(\mathbb{V},\mathbb{W}\right)$
und $g\in L\left(\mathbb{W},\mathbb{U}\right)$ ist $M\left(g\circ f\right)=M\left(g\right)M\left(f\right)=M\left(g\left(f\right)\right)$


\subsubsection{Inverse Matrix\index{inverse Matrix} \textsf{\small I.216}}

Sei $f:\mathbb{V}\rightarrow\mathbb{V}$ linear, $\dim\mathbb{V}=n$
mit $\dim\textrm{Bild}\left(f\right)=n=\dim\mathbb{V}$ ($f$ ist
injektiv). Dann muss eine Umkehrabbildung\index{Umkehrabbildung}
$f^{-1}:\mathbb{V}\rightarrow\mathbb{V}$ mit $f^{-1}\circ f=\textrm{id}_{\mathbb{V}}=f\circ f^{-1}$
existieren.

Sei $A=M\left(f\right),A^{-1}=M\left(f^{-1}\right)$ dann folgt $AA^{-1}=M\left(id_{\mathbb{V}}\right)=E=A^{-1}A$.
$A^{-1}$ heißt die zu $A$ inverse Matrix.

\begin{itemize}
\item $E$ ist das neutrale Element der Multiplikation
\item Nur reguläre Matrizen besitzen eine inverse Matrix
\item $\left(A^{-1}\right)^{T}=\left(A^{T}\right)^{-1}$
\end{itemize}

\subsubsection{Reguläre Matrix\index{Reguläre Matrix} \textsf{\small I.217}}

Eine Quadratische Matrix mit maximalen Rang (Rang=Spalten-/Zeilenanzahl)
heißt heißt reguläre Matrix.

\begin{itemize}
\item Nur reguläre Matrizen besitzen eine inverse Matrix
\end{itemize}

\section{Lineare Gleichungssysteme\index{Gleichungssysteme}\index{Lineare Gleichungssysteme}
\textsf{\small I.220}}

Sei $A=\left(a_{jk}\right)_{{{k=1,\ldots,m\atop j=1,\ldots,n}}}$
eine $m\times n$-Matrix mit Elementen aus $\mathbb{K}=\mathbb{R}\vee\mathbb{K}=\mathbb{C}$
und $b_{k}\in\mathbb{K},k=1,\ldots,m$.

Das System\[
\begin{array}{ccccccc}
a_{11}x_{1} & + & \ldots & + & a_{1n}x_{n} & = & b_{1}\\
a_{21}x_{1} & + & \ldots & + & a_{2n}x_{n} & = & b_{2}\\
\vdots &  &  &  & \vdots &  & \vdots\\
a_{m1}x_{1} & + & \ldots & + & a_{mn}x_{n} & = & b_{m}\end{array}\]
 heißt lineares Gleichungssystem (LGS)\index{LGS} mit $m$ Gleichungen
und $n$ Unbekannten.

Jedes $n$-Tupel (Vektor) $\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right),x_{j}\in\mathbb{K}$,
das alle Gleichungen löst, heißt Lösung des Systems. Die Gesamtheit
aller Lösungen heißt Lösungsraum\index{Lösungsraum}.


\subsection{Der Lösungsraum\index{Lösungsraum} \textsf{\small I.220}}


\subsubsection{Dimension \textsf{\small I.221}}

Der Lösungsraum des homogenen\index{homognes LGS} Systems $A\vec{x}=\vec{0}$
mit einer $m\times n$-Matrix $A$, stellt einen Untervektorraum\index{Untervektorraum}
der Dimension $n-\mathrm{Rang}\left(A\right)$ von $\mathbb{K}^{n}$
dar.

\begin{itemize}
\item Jedes homogene Gleichungssystem ist lösbar
\item Ist $A$ quadratisch und regulär, so hat der Lösungsraum die Dimension
$0$, besteht also nur aus dem Nullvektor $\vec{0}$.
\end{itemize}

\subsubsection{Erweiterte Matrix\index{erweiterte Matrix} \textsf{\small I.224}}

Die $m\times\left(n+1\right)$-Matrix $\left(A|\vec{b}\right)$ heißt
erweiterte Matrix des LGS.


\subsubsection{Rangkriterium\index{Rangkriterium} \textsf{\small I.224}}

Das inhomogene\index{inhomogenes LGS} LGS $A\vec{x}=\vec{b}$ ist
genau dann lösbar, falls $\mathrm{Rang}\left(A\right)=\mathrm{Rang}\left(A|\vec{b}\right)$

\begin{itemize}
\item Wenn $A$ quadratisch und regulär ist auch inhomogenes System lösbar,
mit einer eindeutigen Lösung.
\item Allgemeiner Fall: Sei $\vec{x}_{0}$ eine feste Lösung von $A\vec{x}=\vec{b}$
und $\vec{y}$ eine Lösung des Systems $A\vec{y}=\vec{0}$. Dann ist
$\vec{x}=\vec{x}_{0}+\vec{y}$ eine beliebige Lösung von $A\vec{x}=\vec{b}$.
\end{itemize}

\subsubsection{\label{sub:BasiswechselMatix}Basiswechsel\index{Basiswechsel}}

Die lineare Abbildung $f:\mathbb{V}\rightarrow\mathbb{W}$ mit der
Abbildungsmatrize $M_{alt}\left(f\right)$ ist mit $\left(\vec{a}_{1},\ldots,\vec{a}_{n}\right)=A$
als Basis von $\mathbb{V}$ und $\left(\vec{b}_{1},\ldots,\vec{b}_{n}\right)=B$
als Basis von $\mathbb{W}$ gegeben. Um sie nun in die neuen Basen
$\left(\vec{c}_{1},\ldots,\vec{c}_{n}\right)=C$ von $\mathbb{V}$
und $\left(\vec{d}_{1},\ldots,\vec{d}_{n}\right)=D$ und von $\mathbb{W}$
zu überführen, wende folgende Gleichung an.\[
M_{neu}\left(f\right)=D^{-1}BM_{alt}\left(f\right)\  A^{-1}C\]


\begin{itemize}
\item Für den Sonderfall das $A,B=E_{n}$ und $C=D$ gilt:\\
$M_{neu}\left(f\right)=C^{-1}M_{alt}\left(f\right)C$
\item Für weiteres siehe \vref{sub:Basiswechsel ohne Matrix}
\end{itemize}

\subsection{Lösen mittels Inversen}

Das LGS $A\vec{x}=\vec{b}$ hat als Lösung $\vec{x}=A^{-1}\vec{b}$.


\subsection{Der Gaußsche Algorithmus\index{Gaußscher Algorithmus} \textsf{\small I.227}}

Da Zeilenoperationen (Tauschen / Multiplizieren / Addieren) in der
erweiterten Matrix $\left(A|\vec{b}\right)$ eines linearen Gleichungssystems
$\left(A\vec{x}=\vec{b}\right)$ den Lösungsraum nicht verändern,
lassen diese sich zum Lösen des Gleichungssystems verwenden. Man kann
dabei nach dem folgenden (Gaußschen) Algorithmus vorgehen:

\begin{enumerate}
\item Vertausche Zeilen so, das oben Links etwas von $0$ verschiedenes
steht ($a_{11}\neq0$). Falls erste Spalte $=\vec{0}$ $\Rightarrow\vec{x}_{1}$
beliebig, streichen der 1. Spalte
\item Räume Spalte unterhalb von $a_{11}$aus, durch Addition von $-\frac{a_{j1}}{a_{11}}$($1$.
Zeile) auf $j$-te Zeile $\left(1\leq j\leq m\right)$
\item Wenn die akt. Untermatrix mehr als 1. Zeile hat, betrachte Untermatrix,
in der die 1.Spalte und die 1.Zeile fehlen, und mache bei 1. weiter.
\item Testen der Rangbedingung für Lösbarkeit. Wenn $\mathrm{Rang}\left(A|\vec{b}\right)=\mathrm{Rang}\left(A\right)$
ist es wie folgt lösbar
\item Löse LGS von unten nach Oben auf $\left(x_{n},x_{n-1},\ldots,x_{1}\right)$
\item Unbekannte zugehörig zu den Nullspalten können frei gewählt werden.
\item Unbekannte zu den Nullzeiten werden als Parameter gewählt
\end{enumerate}

\subsubsection{Bestimmen der Inversen Matrize mittels Gauß-Algorithmus}

Man führe den Gauß-Algorithmus für die Matrix $\left(A|\vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\ldots,\vec{e}_{n}\right)$
aus. Dabei muss das System mittels Zeilenoperationen in die Gestalt
$\left(\vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\ldots,\vec{e}_{n}|A^{-1}\right)$
gebracht werden. Auf der Rechten Seite lässt sich nun die Inverse
Matrix ablesen.

Es ist auch möglich, \emph{ausschließlich} mit Spalten Operationen
anstatt Zeilenoperationen zu arbeiten.


\section{Determinanten \textsf{\small I.241}}


\subsection{Definitionen}


\subsubsection{Permutation\index{Permutation} / Transposition\index{Transposition}
\textsf{\small I.241}}

Eine bijektive\index{bijektiv} Abbildung $\pi:\left\{ 1,\ldots,n\right\} \rightarrow\left\{ 1,\ldots,n\right\} $
heißt Permutation der Menge $\left\{ 1,\ldots,n\right\} $. Die Menge
aller Permutationen von $\left\{ 1,\ldots,n\right\} $ wird mit $S_{n}$
bezeichnet.

Mit $t_{ik}$ bezeichnen wir die Permutation \[
t_{ik}\left(i\right)=k,t_{ik}\left(k\right)=i,\forall j\neq i,k:t_{ik}\left(j\right)=j\]
eine Transposition (vertauschen zweier Elemente).

Notation für Permutation:

\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c}
Urbild&
$1$&
$2$&
$\ldots$&
$n-1$&
$n$\tabularnewline
\hline
Bild&
$\pi\left(1\right)$&
$\pi\left(2\right)$&
$\ldots$&
$\pi\left(n-1\right)$&
$\pi\left(n\right)$\tabularnewline
\end{tabular}

\begin{itemize}
\item $\left|S_{n}\right|=n!$
\item jede Permutation kann als Hintereinanderausführung von Transpositionen
geschrieben werden
\end{itemize}

\subsubsection{Fehlstand\index{Fehlstand} / Signum\index{Signum} \textsf{\small I.242}}

Sei $\pi\in S_{n}$. Gilt $\pi\left(i\right)>\pi\left(j\right)$ für
zwei Zahlen $1\leq i<j\leq n$, so heißt das Paar $\left(i,j\right)$
\emph{Fehlstand} von $\pi$.

$\pi$ heißt \emph{gerade} \emph{(ungerade}), falls $\pi$ eine gerade
(ungerade) Anzahl von Fehlstellen hat.

Das \emph{Signum} von $\pi$ist\[
\mathrm{sign}\left(\pi\right):=\left\{ \begin{array}{cc}
1 & \pi\ \mathrm{gerade}\\
-1 & \pi\ \mathrm{ungerade}\end{array}\right.\]


\begin{itemize}
\item eine gerade (ungerade) Permutation kann nur durch eine gerade (ungerade)
Anzahl von hintereinander ausgeführten Transpositionen dargestellt
werden.
\item $\mathrm{sign}\left(\pi_{1}\circ\pi_{2}\right)=\mathrm{sign}\left(\pi_{1}\right)\mathrm{sign}\left(\pi_{2}\right)$
\item $\mathrm{sign}\left(\pi^{-1}\right)=\mathrm{sign}\left(\pi\right)$
\end{itemize}

\subsubsection{Determinante\index{Determinante} \textsf{\small I.244}}

Sei $A=\left(a_{j,k}\right)$ eine $n\times n$-Matrix mit Elementen
aus $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ oder $\mathbb{K}=\mathbb{C}$. Dann heißt\[
\det\left(A\right)=\sum_{\pi\in S_{n}}\left(\mathrm{sign}\left(\pi\right)\prod_{k=1}^{n}\left(a_{n,\pi\left(n\right)}\right)\right)\]
\emph{Determinante} von $A$ (Definition nach Leibnitz\index{Leibnitz Formel}
Formel) mit folgender Schreibweise:\[
\det\left(A\right)=\left|\begin{array}{ccc}
a_{11} & \ldots & a_{1n}\\
\vdots &  & \vdots\\
a_{n1} & \ldots & a_{nn}\end{array}\right|\]


\begin{itemize}
\item $n=2$\[
\left|\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}\end{array}\right|=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\]

\item $n=3$ (Regel von Sarrus\index{Sarrus}\index{Regel von Sarrus})
\\
Man schreibe die Linke und Mittlere Spalte Rechts noch einmal daneben.
Die 3 Diagonalen von Linksoben nach Rechtsunten werden nun multipliziert
und mit positiven Vorzeichen addiert. Die 3 Diagonalen von Rechtsoben
nach Linksunten mit werden nun multipliziert und mit negativen Vorzeichen
dazuaddiert. \[
\left|\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|=\]
\[
a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}\]
\[
-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}\]

\item Da Berechnungsformel in $\mathbb{R}^{3}$ dem Spatprodukt entspricht,
bezeichnet man die Determinante auch mit \emph{Volumenform\index{Volumenform}}.
\item bei größeren $n$ macht es keinen Sinn geschlossene Ausdrücke Anzugeben,
da die Anzahl der Terme mit $n!$ wächst.
\item Bei Matrizen in Dreiecksgestalt (Ober- oder Unterhalb der Hauptdiagonale
nur $0$en) ist\[
\det\left(A\right)=\prod_{k=1}^{n}a_{kk}\]

\item $\det\left(A\right)=\det\left(A^{T}\right)$
\item $\det\left(AB\right)=\det\left(A\right)\det B$
\item $\det\left(A^{-1}\right)=\frac{1}{\det\left(A\right)}$
\item $\det\left(E\right)=1$
\item bei komplexkonjungierten\index{komplexkonjungiert} Zahlen:\\
$\overline{\det\left(A\right)}=\det\left(\bar{A}\right)$
\end{itemize}

\subsubsection{Verhalten von Determinante bei Zeilen\index{Zeilenoperationen}-
und Spaltenoperationen\index{Spaltenoperationen} \textsf{\small I.246}}

Schreiben $A=\left(\vec{s}_{1},\ldots,\vec{s}_{n}\right)$ ($\vec{s}_{i}$
Spaltenvektor). Die Determinante stellt eine \emph{alternierende\index{alternierend}
Multilinearform\index{alternierende Multilinearform}\index{Multilinearform}}
dar.

\begin{itemize}
\item $\det$ ist in jedem Argument linear:\\
$\det\left(\vec{s}_{1},\ldots,\lambda\vec{s}_{i}+\mu\vec{s}'_{i},\ldots,\vec{s}_{n}\right)=$\\
$\lambda\det\left(\vec{s}_{1},\ldots,\vec{s}_{i},\ldots,\vec{s}_{n}\right)+$\\
$\mu\det\left(\vec{s}_{1},\ldots,\vec{s}'_{i},\ldots,\vec{s}_{n}\right)$\\
für jeden Index $1\leq i\leq n$
\item $\det$ ist alternierend:\\
$\det\left(\vec{s}_{1},\ldots,\vec{s}_{i},\ldots,\vec{s}_{k},\ldots,\vec{s}_{n}\right)=$\\
$-\det\left(\vec{s}_{1},\ldots,\vec{s}_{k},\ldots,\vec{s}_{i},\ldots,\vec{s}_{n}\right)$\\
für $1\leq\left(i\neq k\right)\leq n$
\end{itemize}
Analog gelten diese Aussagen auch für Zeilenoperationen.


\subsubsection{Gaußalgorithmus für Determinanten}

Der Algorithmus erfolgt hier wie bei der Bestimmung von Rängen. Ziel
ist es die Determinante in eine Dreiecksgestalt zu bringen. Dann entspricht
die Determinante dem Produkt der Hauptdiagonale. Allerdings ist Folgendes
zu berücksichtigen:

\begin{itemize}
\item Zeilen- und Spaltenoperationen erlaubt, ändern aber zum Teil (berechenbar)
den Wert der Determinante.
\item Hat $A$ zwei gleiche Spalten (Zeilen), so ist $\det A=0$
\item Addition mit einem Vielfachen einer anderen Spalte (Zeile) $\Rightarrow$
unverändert:\\
$\det\left(\vec{s}_{1},\ldots,\vec{s}_{i}+\mu\vec{s}_{k},\ldots,\vec{s}_{n}\right)=$\\
$\det\left(\vec{s}_{1},\ldots,\vec{s}_{i},\ldots,\vec{s}_{n}\right)$
wenn $i\neq k$
\item Multiplikation einer Spalte (Zeile) mit $\lambda\neq0\Rightarrow\det A$
mit $\lambda$ multiplizieren:\\
$\det\left(\vec{s}_{1},\ldots,\lambda\vec{s}_{i},\ldots,\vec{s}_{n}\right)=$\\
$\lambda\det\left(\vec{s}_{1},\ldots,\vec{s}_{i},\ldots,\vec{s}_{n}\right)$
\item Vertauschen zweier Spalten (Zeilen) ändert Vorzeichen von $\det A$:\\
$\det\left(\vec{s}_{1},\ldots,\vec{s}_{i},\ldots,\vec{s}_{k},\ldots,\vec{s}_{n}\right)=$\\
$-\det\left(\vec{s}_{1},\ldots,\vec{s}_{k},\ldots,\vec{s}_{i},\ldots,\vec{s}_{n}\right)$
\end{itemize}

\subsubsection{Determinante und Rang\index{Rang} \textsf{\small I.248}}

Der Rang einer $n\times n$-Matrix $A$ ist genau dann gleich $n$
($A$ ist regulär\index{regulär}), wenn $\det A\neq0$ ist.\[
\mathrm{Rang}\left(A\right)=n\Leftrightarrow\det A\neq0\]



\subsection{Entwicklung nach einer Zeile/Spalte \textsf{\small I.250}}


\subsubsection{Adjunkte\index{Adjunkte} \textsf{\small I.256}}

Sei $A=\left(a_{jk}\right)$ eine $n\times n$-Matrix. Durch Streichen
der $j$-ten Zeile und $k$-ten Spalte entsteht die $\left(n-1\right)\times\left(n-1\right)$-Matrix.
\[
B_{jk}=\]
${\scriptscriptstyle \left(\begin{array}{cccccc}
a_{1,1} & .. & a_{1,k-1} & a_{a,k+1} & .. & a_{1,n}\\
\vdots &  & \vdots & \vdots &  & \vdots\\
a_{j-1,1} & .. & a_{j-1,k-1} & a_{j-1,k+1} & .. & a_{j-1,n}\\
a_{j+1,1} & .. & a_{j+1,k-1} & a_{j+1,k+1} & .. & a_{j+1,n}\\
\vdots &  & \vdots & \vdots &  & \vdots\\
a_{n,1} & .. & a_{n,k-1} & a_{n,k+1} & .. & a_{n,n}\end{array}\right)}$

$A_{jk}:=\left(-1\right)^{j+k}\det B_{jk}$ heißt \emph{Adjunkte}
des Eintrages $a_{jk}$.


\subsubsection{Entwickeln\index{Entwickeln} nach einer Zeile oder Spalte \textsf{\small I.256}}

Sei $A=\left(a_{jk}\right)$ eine $n\times n$-Matrix. Dann gilt\[
\det A=\sum_{k=1}^{n}a_{jk}A_{jk}\;\mathrm{Entw.}\ \mathrm{nach}\  j\mathrm{-ter}\ \mathrm{Zeile}\]
\[
\det A=\sum_{j=1}^{n}a_{jk}A_{jk}\;\mathrm{Entw.}\ \mathrm{nach}\  k\mathrm{-ter}\ \mathrm{Spalte}\]


\begin{itemize}
\item Am besten nach Spalte (Zeile) mit sehr vielen $0$-en entwickeln
\item Evtl. auch mischen mit Gauß Algorithmus
\end{itemize}

\subsubsection{Vandermonde-Matrix\index{Vandermonde-Matrix} \textsf{\small I.258}}

Seien $x_{1},\ldots,x_{n}\in\mathbb{R}$ (oder $\mathbb{C}$).\[
V\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right):=\left(\begin{array}{ccccc}
1 & x_{1} & x_{1}^{2} & \ldots & x_{1}^{n-1}\\
1 & x_{2} & x_{2}^{2} & \ldots & x_{2}^{n-1}\\
\vdots\\
1 & x_{n} & x_{n}^{2} & \ldots & x_{n}^{n-1}\end{array}\right)\]
heißt \emph{Vandermonde-Matrix} in $x_{1},\ldots,x_{n}$. Es gilt\[
\det\left(V\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right)\right)=\prod_{1\leq k<j\leq n}\left(x_{j}-x_{k}\right)\]



\subsection{Die Cramersche Regel \textsf{\small I.259}}


\subsubsection{Inverse Matrix \textsf{\small I.259}}

Sei $A=\left(a_{jk}\right)$ eine $n\times n$-Matrix mit $\det A\neq0$.
Dann hat die inverse Matrix die Gestalt:\[
A^{-1}=\left(a_{jk}^{\left(-1\right)}\right)=\left(\frac{A_{kj}}{\det A}\right)\]


\begin{itemize}
\item $A_{kj}$ist Adjunkte Matrix (Achtung: Indizes vertauscht (Transponiert))
\end{itemize}

\subsubsection{Carmersche Regel\index{Carmersche Regel} \textsf{\small I.261}}

Sei $A=\left(a_{jk}\right)$ eine reguläre $n\times n$-Matrix. Dann
hat das lineare Gleichungssystem $A\vec{x}=\vec{b}$ die Lösung $\vec{x}=\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right)$
gegeben durch\[
x_{k}=\]
\[
{\scriptscriptstyle \frac{1}{\det A}\left|\begin{array}{ccccccc}
a_{11} & \ldots & a_{1,k-1} & b_{1} & a_{1,k+1} & \ldots & a_{1n}\\
\vdots\\
a_{n1} & \ldots & a_{n,k-1} & b_{n} & a_{n,k+1} & \ldots & a_{nn}\end{array}\right|}\]


\begin{itemize}
\item Teile die Determinante von $A$ mit $\vec{b}$ in der $k$-ten Spalte
durch die Determinante von $A$ und du erhältst die Lösung für $x_{k}$
\end{itemize}

\section{Eigenwerte\index{Eigenwerte} \textsf{\small I.266}}


\subsection{Charakteristisches Polynom \textsf{\small I.266}}


\subsubsection{Definition \textsf{\small I.266}}

Sei $A$ eine $n\times n$-Matrix mit Einträgen aus $K=\mathbb{R}$
oder $K=\mathbb{C}$, und $E_{n}$ die $n\times n$-Einheitsmatrix.
Das Polynom\[
\chi_{A}\left(\lambda\right)=\det\left(A-\lambda E_{n}\right)\]
 heißt \emph{charakteristisches Polynom\index{charakteristisches Polynom}}
von A.

\begin{itemize}
\item Satz von Cayley-Hamilton\index{Cayley-Hamilton}\\
$\chi_{A}\left(A\right)=0$
\end{itemize}

\subsubsection{Ähnliche Matrix \textsf{\small I.269}}

Zwei $n\times n$-Matrizen $A,\tilde{A}$ heißen \emph{ähnlich\index{aehnliche Matrizen}},
wenn es eine reguläre $n\times n$-Matrize $B$ gibt mit\[
\tilde{A}=B^{-1}AB\;\textrm{bzw.}\; B\tilde{A}=AB\]


\begin{itemize}
\item $\chi_{B^{-1}AB}\left(\lambda\right)=\chi_{A}\left(\lambda\right)$
\item $\chi_{A^{T}}\left(\lambda\right)=\chi_{A}\left(\lambda\right)$
\end{itemize}

\subsection{Eigenvektoren \textsf{\small I.272}}


\subsubsection{Definition \textsf{\small I.272}}

Ist $\lambda_{0}$ eine Nullstelle von $\chi_{A}\left(\lambda_{0}\right)=0=\det\left(A-\lambda_{0}E_{n}\right)$.
Dann hat das LGS $\left(A-\lambda_{0}E_{n}\right)\vec{u}=\vec{0}$
mindestens eine nicht triviale Lösung.\[
\left(A-\lambda_{0}E_{n}\right)\vec{u}=\vec{0}\;\textrm{bzw.}\; A\vec{u}=\lambda_{0}\vec{u}\]


heißt \emph{Eigengleichung\index{Eigengleichung}} von $A$.

Jede Nullstelle $\lambda_{0}$ heißt \emph{Eigenwert\index{Eigenwert}}
der Matrix $A$.

Jeder Vektor $\vec{u}\in K^{n},$$\vec{u}\neq\vec{0}$ heißt \emph{Eigenvektor\index{Eigenvektor}}
von $A$ zum Eigenwert $\lambda_{0}$.

Der gesamte Lösungsraum von $\left(A-\lambda_{0}E_{n}\right)\vec{u}=\vec{0}$
heißt \emph{Eigenraum\index{Eigenraum}} zum Eigenwert $\lambda_{0}$
($=$ Kern der Matrix $A-\lambda_{0}E_{n}$).

\begin{itemize}
\item $A$ positiv (negativ) definit\index{definit} $\Leftrightarrow$
Alle Eigenwerte\index{Eigenwerte} von $A$ positiv (negativ) sind
\item $A$ indefinit\index{indefinit} $\Leftrightarrow$ Es gibt sowohl
positive, als auch negative Eigenwerte\index{Eigenwerte} von $A$
\item Eigenvektoren sind nicht eindeutig. Sie können durch lin. abhängige
ersetzt werden
\end{itemize}

\subsubsection{Vielfachheit\index{Vielfachheit} \textsf{\small I.275}}

Sei $A$ eine $n\times n$-Matrix mit charakteristischem Polynom $\chi_{A}\left(\lambda\right)$.
Sei $\lambda_{0}$ eine Nullstelle von $\chi_{A}\left(\lambda\right)$
der Vielfachheit $k_{0}$. Dann heißt $k_{0}$ die \emph{algebraische
Vielfachheit\index{algebraische Vielfachheit}} des Eigenwertes $\lambda_{0}$\emph{.}

Der Eigenraum des Eigenwertes $\lambda_{0}$ habe die Dimension $m_{0}$.
Dann heißt $m_{0}$ die \emph{geometrische Vielfachheit\index{geometrische Vielfachheit}}
des Eigenwertes $\lambda_{0}$\emph{.}

\begin{itemize}
\item $1\leq m_{0}\leq k_{0}\leq n$
\item Wenn $\forall$ EW $\lambda_{i}:k_{i}=m_{i}\Leftrightarrow$ \\
$A$ ist \emph{diagonalähnlich\index{diagonalaehnlich}} / $A$ ist
ähnlich zu \emph{}($B^{-1}AB=\tilde{A}$ mit $B=\left(\vec{v}_{1},\ldots,\vec{v}_{n}\right)$,
$\vec{v}_{i}$ Eigenvektor von $A$) zu $\tilde{A}=\left(\begin{array}{ccc}
\lambda_{1} &  & 0\\
 & \ddots\\
0 &  & \lambda_{n}\end{array}\right)$
\end{itemize}

\subsubsection{Lineare Unabhängigkeit von Eigenvektoren \textsf{\small I.276}}

Sei $A$ eine $n\times n$-Matrix und $\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}$
paarweise verschiedene EW von $A$. Zu jedem EW $\lambda_{j}$ gehöre
genau ein Eigenvektor $\vec{u}_{j}$. Dann sind die Eigenvektoren
$\vec{u}_{1},\ldots,\vec{u}_{m}$ linear unabhängig.


\subsection{Hermitesche und unitäre Matrizen \textsf{\small I.284}}


\subsubsection{Orthogonale Abbildung \textsf{\small I.285}}

Eine lineare Abbildung $f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$
heißt \emph{orthogonal\index{orthogonal}}, wenn sie das Skalarprodukt
unverändert lässt, also \[
\forall_{\mathbb{R}^{n}}^{\vec{v},\vec{w}}:f\left(\vec{v}\right)^{T}f\left(\vec{w}\right)=\vec{v}^{T}\vec{w}\]


\begin{itemize}
\item $f$ orthogonal $\Leftrightarrow$ $f$ längen- und winkeltreu (bleiben
unverändert nach Abbildung)
\item Sei $A$ die zu $f$ gehörende Matrix:

\begin{itemize}
\item Alle \emph{reellen} Eigenwerte von $A$ sind $1$ oder $-1$. (zuzüglich
den Komplexen)
\item ist $\lambda$ Eigenwert von $A$, so ist auch $\bar{\lambda}$ Eigenwert
von $A$
\item $f$ ist orthogonal $\Leftrightarrow$ $A^{T}A=E$ bzw. $A^{-1}=A^{T}$
\item siehe für weitere Eigenschaften unter \vref{sub:Unit=E4re-Matizen-I.284}.
\end{itemize}
\item Alle orthogonalen Abbildungen in $\mathbb{R}^{2}$ sind entweder Drehungen
oder Spiegelungen.
\end{itemize}

\subsubsection{\label{sub:Unit=E4re-Matizen-I.284}Unitäre Matrizen \textsf{\small I.284}}

Eine $n\times n$-Matrix mit Einträgen aus $\mathbb{C}$ heißt \emph{unitär\index{unitaer}},
wenn $A^{-1}=\bar{A}^{T}$.

\begin{itemize}
\item Liegen alle Einträge in $\mathbb{R}$, so gilt $A$ orthogonal ($A^{-1}=A^{T}$)
\item Zeilenvektoren und Spaltenvektoren von $A$ bilden jeweils ein Orthonormalsystem.
\item $\left|\det A\right|=1$
\item Für alle Eigenwerte $\lambda$ von $A$ gilt $\left|\lambda\right|=1$.
\item Die Eigenvektoren zu zwei unterschiedlichen Eigenwerten sind orthogonal
zueinander, also $\vec{u}_{1}^{T}\vec{\bar{u}}_{2}=0$.
\end{itemize}

\subsubsection{Hermitesche Matrizen \textsf{\small I.284}}

Eine $n\times n$-Matrix mit Einträgen aus $\mathbb{C}$ heißt \emph{hermitesch}\index{hermitesch},
wenn $A=\bar{A}^{T}$.

\begin{itemize}
\item Liegen alle Einträge in $\mathbb{R}$, so ist $A$ symmetrisch ($A=A^{T}$)
\item Alle Eigenwerte von $A$ sind reell
\item Die Eigenvektoren zu zwei unterschiedlichen Eigenwerten sind orthogonal
zueinander, also $\vec{u}_{1}^{T}\vec{\bar{u}}_{2}=0$.
\item Für jeden Eigenwert stimmen geometrische und die algebraische Vielfachheit
überein.
\item $A$ ist diagonalähnlich\index{diagonalähnlich}
\item Zu jeder hermiteschen (symmetrischen) Matrix $A$ gibt es eine unitäre
(orthogonale) Matrix $B$, mit der $A$ in eine reelle Diagonalmatrix
$D$ überführt werden kann.\\
$\bar{B}^{T}AB=B^{-1}AB=D$
\end{itemize}

\section{Drehung\index{Drehung} im $\mathbb{R}^{2}$ und Quadriken\index{Quadriken}}


\subsection{Gebilde}


\subsubsection{Ellipse\index{Ellipse}}

Ortslinie aller Punkte, die von zwei vorgegebenen Punkten (\emph{Brennpunkten}\index{Brennpunkten})
feste Abstandssumme haben. Die Normalform der Ellipsengleichng lautet 

\[
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\]


\begin{itemize}
\item $a,b$ nennen sich \emph{Halbachsen}\index{Halbachsen} (Schnittpunkt
der Ellipse mit den Koordinatenachsen)
\item $c^{2}=a^{2}-b^{2}$
\item Brennpunkte in $\left(\begin{array}{c}
-c\\
0\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{c}
c\\
0\end{array}\right)$
\item \emph{Exzentrizität\index{Exzentrizität}} von einer Ellipse $\varepsilon:=\frac{c}{a}\in\left[0,1\right)$
\item Spezialfall $a=b\Rightarrow c=0\Rightarrow\varepsilon=0\Rightarrow$Kreis
mit Radius $a$
\item keine Asymptoten
\item Entsteht z.B. durch Kegelschnitt mit Schnittebene die nur einen der
beiden Kegel schneidet.
\end{itemize}

\subsubsection{Parabel\index{Parabel}}

Ortslinie aller Punkte, die von einem vorgegebenen Punkt $C$ (Brennpunkt\index{Brennpunkt})
selben Abstand wie von einer vorgegebenen Geraden $g$ haben.\[
y=\frac{x^{2}}{4c}\]


\begin{itemize}
\item Scheitel der Parabel (Extremstelle) bei $\left(\begin{array}{c}
0\\
0\end{array}\right)$
\item Brennpunkt bei $\left(\begin{array}{c}
0\\
c\end{array}\right)$
\item \emph{Exzentrizität\index{Exzentrizität}} von einer Parabel $\varepsilon:=1$
\item keine Asymptoten
\item Entsteht z.B. durch Kegelschnitt mit Schnittebene parallel zu Kegelkanten
\end{itemize}

\subsubsection{Hyperbel\index{Hyperbel}}

Ortslinie aller Punkte die zu zwei vorgegebenen Punkten (Brennpunkte\index{Brennpunkte})
festen Betrag der Abstandsdifferenz haben.\[
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\]


\begin{itemize}
\item diese Formel für Hyperbel die nach links/rechts geöffnet ist
\item $a$ Schnitt der Hyperbelzweige mit der $x$-Achse
\item $c^{2}=a^{2}+b^{2}$
\item Brennpunkte bei $\left(\begin{array}{c}
c\\
0\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{c}
-c\\
0\end{array}\right)$
\item \emph{Exzentrizität\index{Exzentrizität}} von einer Hyperbel $\varepsilon:=\frac{c}{a}>1$
\item nach oben/unten geöffnet mit $-\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
\item \emph{Asymptoten\index{Asymptoten} $y=\pm\frac{b}{a}x$}
\item Entsteht z.B. durch Kegelschnitt mit Schnittebene die durch oberen
und unteren Kegel geht
\end{itemize}

\subsubsection{Drehung\index{Drehung} in $\mathbb{R}^{2}$ }

Ein Punkt $\vec{b}\in\mathbb{R}^{2}$ lässt sich mit Hilfe der Matrize
$D\left(\alpha\right)$ um den Winkel $a$ drehen. $\vec{b}_{neu}=D\left(\alpha\right)\vec{b}$

\[
D\left(\alpha\right)=\left(\begin{array}{cc}
\cos\alpha & -\sin\alpha\\
\sin\alpha & \cos\alpha\end{array}\right)\]


\begin{itemize}
\item $D\left(-\alpha\right)=D^{-1}\left(\alpha\right)$
\item Eigenwerte von $D\left(\alpha\right)$:\\
$\lambda_{1/2}=\cos\alpha\pm i\sin\alpha=e^{\pm i\alpha}\in\mathbb{C}$
\item ist eine orthogonale Abbildung
\end{itemize}

\subsubsection{Spiegelung\index{Spiegelung} in $\mathbb{R}^{2}$ }

Ein Punkt $\vec{b}\in\mathbb{R}^{2}$ lässt sich mit Hilfe der Matrize
$S\left(\alpha\right)$ um eine Gerade die den Winkel $a$ zur $x$
Achse einnimmt spiegeln. $\vec{b}_{neu}=S\left(\alpha\right)\vec{b}$

\[
S\left(\alpha\right)=\left(\begin{array}{cc}
\cos\alpha & \sin\alpha\\
\sin\alpha & -\cos\alpha\end{array}\right)\]


\begin{itemize}
\item ist eine orthogonale Abbildung
\end{itemize}

\subsection{Überführen von allgemeine Quadriken\index{Quadriken} in Normalform}


\subsubsection{Allgemeine Quadrik}

Eine Gleichung der Form \[
Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\]
 ist eine Quadrik in allgemeiner Form.


\subsubsection{Drehen}

Gegeben ist eine Quadrik in allgemeiner Form. Diese lässt dich nun
so drehen, das der gemischte Term ($Bxy$) verschwindet, die Gleichung
also die Form \[
\bar{A}\bar{x}^{2}+\bar{B}\bar{x}\bar{y}+\bar{C}\bar{y}^{2}+\bar{D}\bar{x}+\bar{E}\bar{y}+\bar{F}=0\]
 mit $\bar{B}=0$ hat. Hierzu wird mit dem Winkel \begin{eqnarray*}
\alpha & = & \frac{\arctan\left(\frac{B}{C-A}\right)}{2}\\
\bar{A} & = & A\cos^{2}\alpha-B\sin\alpha\cos\alpha+C\sin^{2}\alpha\\
\bar{B} & = & 0\\
\bar{C} & = & C\cos^{2}\alpha+B\sin\alpha\cos\alpha+A\sin^{2}\alpha\\
\bar{D} & = & D\cos\alpha-E\sin\alpha\\
\bar{E} & = & E\cos\alpha+D\sin\alpha\\
\bar{F} & = & F\end{eqnarray*}
 gedreht.

\begin{itemize}
\item $B^{2}-4AC=\bar{B}^{2}-4\bar{A}\bar{C}=d$ bleibt unberührt von der
Drehung.
\end{itemize}

\subsubsection{Identifizieren des Typs}

mit $d=B^{2}-4AC=-4\bar{A}\bar{C}$

\begin{description}
\item [Ellipse]$d<0$
\item [Parabel]$d=0$
\item [Hyperbel]$d>0$
\end{description}

\subsubsection{Verschieben in Ursprung}

Gegeben ist eine Quadrik in der Form:\[
\bar{A}x^{2}+\bar{C}y^{2}+\bar{D}x+\bar{E}y+\bar{F}=0\]
Bei dieser wurde also bereits der gemischte Term {}``weggedreht''.

\begin{description}
\item [Hyperbel,~Ellipse]falls $\bar{A},\bar{C}\neq0$:\[
\frac{\bar{A}}{G}\tilde{x}^{2}+\frac{\bar{C}}{G}\tilde{y}^{2}=1\]


\begin{itemize}
\item $G=\frac{\bar{D}^{2}}{4\bar{A}}+\frac{\bar{E}^{2}}{4\bar{C}}-\bar{F}$
\item $\tilde{x}\mapsto x+\frac{\bar{D}}{2\bar{A}}$
\item $\tilde{y}\mapsto y+\frac{\bar{E}}{2\bar{C}}$
\end{itemize}
\item [Parabel]falls $\bar{A}\neq0,\bar{C}=0$:\[
\tilde{y}=-\frac{\bar{A}}{\bar{E}}\tilde{x}^{2}\]


\begin{itemize}
\item $\tilde{x}\mapsto x+\frac{\bar{D}}{2\bar{A}}$
\item $\tilde{y}\mapsto y+\frac{\bar{F}}{\bar{E}}-\frac{\bar{D}^{2}}{4\bar{A}\bar{E}}$
\end{itemize}
\item [Parabel]falls $\bar{A}=0,\bar{C}\neq0$:\[
\tilde{x}=-\frac{\bar{C}}{\bar{D}}\tilde{y}^{2}\]


\begin{itemize}
\item $\tilde{y}\mapsto y+\frac{\bar{E}}{2\bar{C}}$
\item $\tilde{x}\mapsto x+\frac{\bar{F}}{\bar{D}}-\frac{\bar{E}^{2}}{4\bar{C}\bar{D}}$
\end{itemize}
\item [Gerade]falls $\bar{A},\bar{C}=0$:\[
y=-\frac{\bar{D}}{\bar{E}}x-\frac{\bar{F}}{\bar{E}}\]

\end{description}
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\end{document}
