%% LyX 1.3 created this file. 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Die folgende Formelsammlung steht zum kostenlosen Download zur Verfügung. Das Urheberrecht und sonstige Rechte an dem Text verbleiben beim Verfasser, der keine Gewähr für die Richtigkeit und Vollständigkeit der Inhalte übernehmen kann. \tableofcontents{} Die hinter den Überschriften angegebenen Nummern beziehen sich auf die Bücher {}``Höhere Mathematik mit Mathematika I-II'' von W. Strampp. Die römische Ziffer gibt die Buchnummer, und die arabische die Seitenzahl an. Z.B. II.45 bedeutet Band II Seite 45. \section{Begriffe} \subsection{Logik\index{Logik}} \subsubsection{Verknüpfungen\index{Verknüpfungen}} \begin{itemize} \item Negation\index{Negation}\\ $\neg a$: nicht\index{nicht} $a$ \item Implikation\index{Implikation}\\ $a\Rightarrow b$: aus $a$ folgt\index{folgt} $b$ \item Äquivalenz\index{Äquivalenz}\\ $a\Longleftrightarrow b$: $a$ und $b$ sind äquivalent\index{äquivalent} (gleichwertig\index{gleichwertig}) \item Konjunktion\index{Konjungtion}\\ $a\wedge b$: $a$ und\index{und} $b$ \item Disjunktion\index{Disjunktion}\\ $a\vee b$: $a$ oder\index{oder} $b$ \end{itemize} \subsubsection{Rechenregeln} \begin{itemize} \item Kommutativgesetz\index{Kommutativgesetz}\\ $a\wedge b=b\wedge a$\\ $a\vee b=b\vee a$ \item Assoziativgesetz\index{Assoziativgesetz}\\ $\left(a\wedge b\right)\wedge c=a\wedge\left(b\wedge c\right)$\\ $\left(a\vee b\right)\vee c=a\vee\left(b\vee c\right)$ \item Distributivgesetz\index{Distributivgesetz}\\ $a\wedge\left(b\vee c\right)=\left(a\wedge b\right)\vee\left(a\wedge c\right)$\\ $a\vee\left(b\wedge c\right)=\left(a\vee b\right)\wedge\left(a\vee c\right)$ \item De Morgan\index{De Morgan}\\ $\neg\left(a\vee b\right)=\left(\neg a\right)\wedge\left(\neg b\right)$\\ $\neg\left(a\wedge b\right)=\left(\neg a\right)\vee\left(\neg b\right)$ \item doppelte Negation\\ $\neg\left(\neg a\right)=a$ \item neutrales Element\index{Neutrales Element}\\ $a\vee\textrm{f}=a$\\ $a\wedge\textrm{f}=\textrm{f}$\\ $a\vee\textrm{w}=\textrm{w}$\\ $a\wedge\textrm{w}=a$ \item inverses Element\index{inverses Element}\\ $a\vee\left(\neg a\right)=\textrm{w}$\\ $a\wedge\left(\neg a\right)=\textrm{f}$ \end{itemize} \subsubsection{Quantoren\index{Quantifikatoren}} \begin{itemize} \item Allquantor\index{Allquantor} $\forall x:\varphi(x)$ \\ für alle $x$ gilt $\varphi(x)$.\\ z.B. $\forall x\in\mathbb{N}:x^{2}\in\mathbb{N}=\forall_{\mathbb{N}}^{x}:x^{2}\in\mathbb{N}$ \item Existenzquantor\index{Existenzquantor} $\exists x:\varphi(x)$ \\ es gibt (mindestens) ein $x$ für das $\varphi(x)$ gilt.\\ z.B. $\exists x\in\mathbb{N}:\varphi(x)=\exists_{\mathbb{N}}^{x}:\varphi(x)$ \item $\exists!x:\varphi(x)$ oder $\exists^{1}x:\varphi(x)$\\ es gibt genau ein $x$ für das $\varphi(x)$ gilt. \item Negation\index{Negation} $\forall x:H(x)\Leftrightarrow\neg\exists x:\neg H(x)$\\ Es gilt für alle $x$, $H(x)$ $\Leftrightarrow$ Es gibt nicht ein $x$, für das $H(x)$ nicht gilt. \end{itemize} \subsubsection{Eigenschaften von Aussagen} \begin{description} \item [Widerspruch]heißt eine zusammengesetzte Aussage, wenn sie \emph{immer falsch} ist.\\ z.B. $A\wedge\neg A$ \item [Tautologie](Symbol: Blitz) heißt eine Aussage, wenn sie \emph{immer wahr} ist.\\ z.B. $A\vee\neg A$ \end{description} \subsection{Abbildungen\index{Abbildungen}} \begin{description} \item [Mengen]$f:\mathbb{V}\rightarrow\mathbb{W}$\\ $f:$ Urmenge $\rightarrow$ Bildmenge \item [Elemente~von~Mengen]$a\mapsto f\left(a\right)$\\ $f:$ Urbild $\mapsto$ Bild \end{description} \subsubsection{injektiv\index{injektiv}} wenn es zu jedem unterschiedlichen Urbild auch unterschiedliche Bilder gibt.\[ a\neq b\Rightarrow f\left(a\right)\neq f\left(b\right)\] \subsubsection{surjektiv\index{surjektiv}} heißt eine Abbildung $f:A\rightarrow B$, wenn es zu jedem Element aus dem Bildraum auch mindestens ein passendes Urbild gibt.\[ \forall_{B}^{b}:\exists_{A}^{a}:f\left(a\right)=b\] \subsubsection{bijektiv\index{bijektiv}} ist eine Abbildung $f$, wenn sie surjektiv und injektiv ist. Dies sind 1:1 - Abbildungen. \begin{itemize} \item Bei endlichen Mengen:\\ $f:A\rightarrow B$ bijektiv $\Rightarrow\left|A\right|=\left|B\right|$ \end{itemize} \section{Mengen} \subsection{Beschreibung} Die Menge A enthält alle grade Zahlen größer als 0: \\ $A=\left\{ x|x\textrm{\ ist\ grade\ Zahl\ und\ größer\ als\ Null}\right\} $\\ $A=\left\{ x|\frac{x}{2}\in\mathbb{N}\right\} $ $a$ ist ein Element der Menge $A$:\\ $a\in A$ \subsection{\label{sub:Standdardmengen}Standardmengen\index{Standdardmengen}} \begin{itemize} \item Leere~Menge\index{Menge}\\ $\textrm{Ø}=\{\}$ \item Natürlichen~Zahlen\index{Zalen}\index{Natürliche Zalen}\\ $\mathbb{N}=\left\{ 1,2,3,\ldots\right\} $ \begin{itemize} \item Natürlichen~Zahlen mit $0$\\ $\mathbb{N}_{0}=\left\{ 0,1,2,3,\ldots\right\} $ \end{itemize} \item Ganzen~Zahlen\index{Ganze Zalen} \\ $\mathbb{Z}=\left\{ \ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\right\} $ \item Rationalen~Zahlen\index{Rationale Zalen}\\ $\mathbb{Q}=\left\{ \frac{p}{q}|p\in\mathbb{Z}\wedge q\in\mathbb{N}\right\} $ \item Reellen~Zahlen\index{Reelle Zahlen}\\ $\mathbb{R}=\left\{ \textrm{jeder\ Punkt\ auf\ dem\ Zahlenstrahl}\right\} $ \begin{itemize} \item positiven reellen Zahlen\\ $\mathbb{R}_{>0}=\left\{ x\in\mathbb{R}|x>0\right\} $ \end{itemize} \item Komplexen~Zahlen\index{Komplexe Zahlen}\\ $\mathbb{Z}=\left\{ x+iy|x,y\in\mathbb{R},\; i=\sqrt{-1}\right\} $ \item $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$ \end{itemize} \subsection{Intervalle\index{Intervall}} \begin{itemize} \item offenes Intervall\index{offenes Intervall}\\ $\left(a,b\right):=\left\{ x\in\mathbb{R}|a0,x_{\varepsilon}\neq a\in M:\left|x_{\varepsilon}-a\right|<\varepsilon\] \item Satz~von~Bolzano-Weierstraß \\ Jede unendliche, beschränkte Menge $M\subseteq\mathbb{R}$ besitzt mindestens einen Häufungspunkt \end{itemize} \subsection{Ordnungsregeln\index{Ordnungsregeln}} Eine Relation\index{Relation} (Platzhalter $\sim$) zwischen den Mengen A und B ist eine Teilmenge von $A\times B$.\\ $a\sim b$ falls $(a,b)\in A\times B$. \subsubsection{Eigenschaften von Relationen} \begin{itemize} \item reflexiv\index{reflexiv}\\ $\forall a:a\sim a$ \item symmetrisch\index{symetrisch}\\ $a\sim b\Leftrightarrow b\sim a$ \item antisymmetrisch\index{antisymetrisch}\\ $a\sim b\wedge b\sim a\Rightarrow a=b$ \item transitiv\index{transitiv}\\ $a\sim b\wedge b\sim c\Rightarrow a\sim c$ \end{itemize} \subsubsection{Typen von Relationen} \begin{itemize} \item Äquivalenzrelationen\index{Äquivalenzrelationen}\\ heißen Relationen die reflexiv, symmetrisch und transitiv sind.\\ z.B. Gleichheit\index{Gleichheit}; $a\sim b$ mit $a,b\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow a-b$ ist gerade \item Ordnungsrelationen\index{Ordnungsrelationen}\\ heißen Relationen die reflexiv, antisymmetrisch und transitiv sind.\\ z.B. $\leq$; $\geq$; {}``a steht vor b im Lexikon''. ($<$; $>$ sind keine Ordnungsrelationen, da nur 4) \end{itemize} \subsection{Körper\index{Körper}} Eine Menge $\mathbb{K}$ zusammen mit den Rechenoperationen + und {*} heißt Körper wenn folgendes gilt: $\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$ sind beispielsweise Körper. \subsubsection{Addition} $\forall_{\mathbb{K}}^{a,b}$ \begin{itemize} \item Abgeschlossenheit\index{Abgeschlossenheit}\\ $a+b\in\mathbb{K}$ \item Kommutativgesetz\index{Kommutativgesetz}\\ $a+b=b+a$ \item Assoziativgesetz\index{Assoziativgesetz}\\ $(a+b)+c=a+(b+c)$ \item Neutrales~Element\index{Neutrales Element}\\ $\exists0\in\mathbb{K}:$a+0=a \item Inverses~Element\index{Inverses Element}\\ $\exists-a\in\mathbb{K}:a+(-a)=0$ \end{itemize} \subsubsection{Multiplikation\index{Multiplikation}} $\forall_{\mathbb{K}}^{a,b,c}$ \begin{itemize} \item Abgeschlossenheit\index{Abgeschlossenheit}\\ $ab\in\mathbb{K}$ \item Kommutativgesetz\index{Kommutativgesetz}\\ $ab=ba$ \item Assoziativgesetz\index{Assoziativgesetz}\\ $a(bc)=(ab)c$ \item Neutrales~Element\index{Neutrales Element}\\ $\exists1\in\mathbb{K}:1a=a$ \item Inverses~Element\index{Inverses Element}\\ $\forall a\in\mathbb{K}\backslash\left\{ 0\right\} :\exists a^{-1}\in\mathbb{K}:aa^{-1}=1$ \end{itemize} \subsubsection{Distributivgesetz\index{Distributivgesetz}} $\forall_{\mathbb{K}}^{a,b,c}$ \begin{itemize} \item $a(b+c)=ab+ac$ \end{itemize} \subsection{Angeordnete\index{Angeordnete Körper} Körper\index{Körper!Angeordnet}} Ein Körper auf dem die Relation $<$ definiert ist, wird als \emph{angeordneter Körper} bezeichnet. Die unter \vref{sub:Standdardmengen} aufgeführten Mengen sind angeordnete Körper. \section{Beweisverfahren\index{Beweisverfahren}} \subsection{direkter Beweis\index{direkterBeweis}} Diesen Beweis erhält man durch gezielte Umformung der Aussagen bzw. durch logisches Schließen\index{Schließen} (Implikation\index{implikation}). \subsection{indirekter Beweis\index{indirekter Beweis}} Auch Widerspruchsbeweis\index{Wiederspruchsbeweis} genannt. Hier versuch man die Gleichwertigkeit von\[ \left(A\Rightarrow B\right)\Leftrightarrow\left(\left(A\wedge\left(\neg B\right)\right)\Rightarrow Falsch\right)\] auszunutzen. z.B.: {}``Wenn es regnet ist die Straße nass.'' $\Leftrightarrow$ {}``Es regnet und die Straße ist nicht nass, ist ein Widerspruch.'' \subsection{Kontraposition\index{Kontraposition}} Hier wird versucht die Aussage umzudrehen (beruht auf Tautologie). \[ \left(A\Rightarrow B\right)\Leftrightarrow\left(\left(\neg B\right)\Rightarrow\left(\neg A\right)\right)\] z.B.: {}``Wenn es Regnet ist die Straße nass.'' $\Leftrightarrow$ {}``Wenn die Straße nicht nass ist, kann es nicht geregnet haben.'' \subsection{Vollständige Induktion\index{Induktion}\index{Vollständige Induktion} \textsf{\textcolor{black}{\small I.33}}} $A(n)$ Aussage für natürliche Zahlen \begin{enumerate} \item Induktionsanfang\index{Induktionsanfang}: $A(1)$ gilt \item Induktionsannahme\index{Induktionsannahme}: für jedes $n$ gilt $A(n)$ \item Induktionsschritt\index{Induktionsschritt}: Zeige: aus $A(n)$ folgt $A(n+1)$. (bzw. $A(n+1)$ lässt sich mit Hilfe der Annahme $A(n)$ beweisen) \end{enumerate} \section{Rechenregeln} \subsection{Summen\index{Summen} \textsf{\textmd{\small I.13}}} \[ \sum_{k=1}^{n}a_{k}+\sum_{k=1}^{n}b_{k}=\sum_{k=1}^{n}\left(a_{k}+b_{k}\right)\] \[ \sum_{k=1}^{n}a_{k}=\sum_{k=1}^{m}a_{k}+\sum_{k=m+1}^{n}a_{k}\quad1\leq m\leq n\] Indexverschiebung\index{Indexverschiebung}:\[ \sum_{k=a}^{b}g_{k}=\sum_{k=a+c}^{b+c}g_{k-c}\] \subsection{Ungleichungen\index{Ungleichungen}} \begin{itemize} \item $a-b$ \item $a\neq0\Leftrightarrow a^{2}>0$ \item $a1+nh,\quad n\geq2$ \end{itemize} \subsection{Fakultät\index{Fakultät} \textsf{\small I.38}} \[ n!=\prod_{k=1}^{n}k=1\cdot2\cdot\ldots\cdot(n-n)\cdot n\] \[ e!=1\quad1!=1\quad0!=1\] \[ (n+1)!=n!\cdot(n+1)\] \subsection{Binomialkoeffizient\index{Binomialkoeffizient} \textsf{\small I.39}} $k\leq n,n\geq0,k\geq0$ \begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{c} n\\ k\end{array}\right) & = & \frac{n!}{k!(n-k)!}\\ & = & \frac{n\cdot\ldots\cdot(n-k+1)}{1\cdot\ldots\cdot(k-1)\cdot k}\end{eqnarray*} \[ \left(\begin{array}{c} n\\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} n\\ n-k\end{array}\right)\] \[ \left(\begin{array}{c} n\\ k-1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} n\\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} n+1\\ k\end{array}\right)\] \[ \left(\begin{array}{c} n\\ 0\end{array}\right)=1\quad\left(\begin{array}{c} n\\ 1\end{array}\right)=n\] \begin{itemize} \item Binomischer~Satz\index{Binomischer Satz} \\ $(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} n\\ k\end{array}\right)a^{n-k}b^{k}$\[ \sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} n\\ k\end{array}\right)=2^{n}\] \end{itemize} \section{Trigonometrie\index{Trigonometrie}} Siehe Sieber; Mathematische Formelsammlung für Gymnasien; Klett. Es macht meiner Meinung nach keinen Sinn, eine so gute Übersicht noch einmal {}``abzuschreiben''. \begin{description} \item [Kreisfunktionen\index{Kreisfunktionen}]Seite 15 \item [Winkelsätze\index{Winkelsätze}]Seite 16 \item [Arkusfunktionen\index{Arkusfunktionen}]Seite 16 \item [Ableitungen]Seite 33 \item [Stammfunktionen]Seite 35 \item [Hyperbel-\index{Hyperbelfunktionen}~und~Areafunktionen\index{Areafunktionen}]Seite 37 \end{description} \section{Komplexe Zahlen\index{Komplexe Zahlen} \textsf{\small I.44}} \subsection{Definition} Die komplexen Zahlen bilden zusammen mit den Rechenregeln für $+,\cdot$ einen Körper dessen Elemente wie folgt definiert sind \[ \mathbb{C}:=\mathbb{R}^{2}=\left\{ (x,y)|x,y\in\mathbb{R}\right\} \] \[ z=\left(x,y\right)=x+iy\in\mathbb{C}\] $x=\Re(z)$ (Re) Realteil\index{Realteil}, $y=\Im(z)$ (Im) Imaginärteil\index{Imaginärteil} $i=\sqrt{-1}$ wird als Imaginäre Einheit\index{Imaginäre Einheit} bezeichnet. \subsubsection{Rechenregeln \textsf{\small I.45}} \begin{itemize} \item Addition\\ $z_{1}+z_{2}=\left(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}\right)$ \item Multiplikation\\ $z_{1}z_{2}=\left(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2},x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\right)$ \item Division\\ \begin{eqnarray*} \frac{z_{1}}{z_{2}} & = & \frac{z_{1}\bar{Z}_{2}}{z_{2}\bar{z}_{2}}\\ & = & \frac{z_{1}\bar{z}_{2}}{\left|z_{2}\right|^{2}}\\ & = & \left(\frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}},\frac{x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}\right)\end{eqnarray*} \item Neutrales Element der Addition\\ z=$\left(0,0\right)$ \item Neutrales Element der Multiplikation\\ z=$\left(1,0\right)$ \item $i=\sqrt{-1}$\index{i} \end{itemize} \subsection{Komplex Konjungierte\index{Konjungierte}\index{kompley konjungiert} Zahl \textsf{\small I.53}} Die komplex konjungierte Zahl von $z=x+iy$ heißt:\[ \bar{z}=x-iy\left(=z^{*}\right)\] (Spiegelung an der reellen Achse) \begin{itemize} \item $\bar{\bar{z}}=z$ \item $\Re\left(z\right)=\frac{1}{2}\left(z+\bar{z}\right)$ \item $\Im\left(z\right)=\frac{1}{2}\left(z-\bar{z}\right)$ \item $\overline{z+w}=\bar{z}+\bar{w}$ \item $\overline{zw}=\bar{z}\bar{w}$ \item $\frac{1}{\left(\bar{z}\right)}=\bar{\left(\frac{1}{z}\right)}$ \item $z=\bar{z}\Leftrightarrow z\in\mathbb{R}$ \item $z\bar{z}=\Re\left(z\right)^{2}+\Im\left(z\right)^{2}$ \item Bei Matrizen mit Komplexen Einträgen:\\ $\overline{\det\left(A\right)}=\det\left(\bar{A}\right)$ \end{itemize} \subsection{Betrag\index{Betrag!Komplex} einer Komplexen Zahl \textsf{\small I.58}} \[ \left|z\right|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\] \begin{itemize} \item $\left|z\right|\geq0$ \item $\left|z\right|^{2}=z\bar{z}$ (also $\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{\left|z\right|^{2}}$) \item $\left|z\right|=\left|-z\right|=\left|\bar{z}\right|=\left|-\bar{z}\right|$ \item $\left|z_{1}z_{2}\right|=\left|z_{1}\right|\left|z_{2}\right|$ \item Dreiecksungleichung\index{Dreiecksungleichung}\\ $\left|\left|z_{1}\right|-\left|z_{2}\right|\right|\leq\left|z_{1}+z_{2}\right|\leq\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|$ \end{itemize} \subsection{Polarkoordinaten\index{Polarkoordinaten}\index{Komplex!Polarkoordinaten} \textsf{\small I.60}} \[ z=x+iy=re^{i\varphi}=r\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)\] \begin{itemize} \item $\Re\left(z\right)=x=r\cos\varphi$ \item $\Im\left(z\right)=y=r\sin\varphi$ \item $\varphi=$Winkel des Komplexen Zeigers\index{Komplex!Zeiger} mit positiver Reeller Achse (Argument\index{Argument}\index{Komlex!Argument} von $z$)\[ \arg\left(z\right)=\varphi=\left\{ \begin{array}{cc} \arctan\left(\frac{y}{x}\right) & x\geq0\\ \pi+\arctan\left(\frac{y}{x}\right) & x<0\end{array}\right.\] \item $\left|z\right|=\left|e^{i\varphi}\right|=\cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi=1$ \item $\left|z\right|=\left|re^{i\varphi}\right|=\left|r\right|\left(\cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi\right)=\left|r\right|$ \item $z=e^{i\varphi}\Leftrightarrow\bar{z}=e^{-i\varphi}$ \item $r_{1}e^{i\varphi_{1}}r_{2}e^{i\varphi_{2}}=r_{1}r_{2}e^{i\left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)}$ \item $\left(e^{i\varphi}\right)^{n}=e^{i\varphi n}$ \item Formel von Moivre\index{Moivre}\\ $\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)^{n}=\cos\left(n\varphi\right)+i\sin\left(n\varphi\right)$ \item $\frac{r_{1}e^{i\varphi_{1}}}{r_{2}e^{i\varphi_{2}}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}e^{i\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)}$ \item $z_{k}=\sqrt[n]{z_{0}}=\sqrt[n]{r_{0}}e^{i\left(\frac{\varphi_{0}}{n}+\frac{k}{n}2\pi\right)}$\\ $0\leq k\leq\left(n-1\right)$ \item $a$, $b$ sind rechtwinklig\index{rechtwinklig} zueinander\\ $\left|\frac{a}{b}\right|=r\ i\Leftrightarrow a\perp b$ \end{itemize} \subsection{\label{sub:Fundamentalsatz-der-Algebra}Fundamentalsatz der Algebra\index{Fundamentalsatz der Algebra} \textsf{\small I.71}} Zu jedem Polynom\index{Polynom} vom Grad $n\geq1$\[ p\left(z\right)=\sum_{k=0}^{n}a_{k}z^{k},\quad a_{k}\in\mathbb{C},a_{n}\neq0\] gibt es $n$ (nicht zwangsläufig unterschiedliche) komplexe Zahlen $z_{1},\ldots,z_{n}$, so dass \[ p\left(z\right)=a_{n}\prod_{k=1}^{n}\left(z-z_{k}\right)\] für alle $z\in\mathbb{C}$ gilt. $z_{1},\ldots,z_{n}$ sind die Nullstellen\index{Nullstelle} des Polynoms. Diese Umformung nennt sich \emph{Faktorisieren\index{Faktorisieren}} in \emph{Linearfaktoren}\index{Linearfaktoren}. Es lässt sich auch nur ein Linearfaktor abspalten. Dann erhält man einen Linearfaktor und ein Restpolynom\index{Restpolynom} vom einem um 1 verringerten Grad.\[ p\left(z\right)=\left(z-z^{*}\right)r\left(z\right)\] \subsection{Vietascher\index{Vietaischer Wurzelsatz} Wurzelsatz\index{Wurzelsatz} \textsf{\small I.72}} \begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} & = & -a_{n-1}\\ \sum_{k_{1},k_{2}=1,k_{1}\leq k_{2}}^{n} & = & a_{n-2}\\ \sum_{k_{1},k_{2},k_{3}=1,k_{1}\leq k_{2}\leq k_{3}}^{n} & = & -a_{n-3}\\ & \vdots\\ \prod_{k=1}^{n}z_{k} & = & \left(-1\right)^{n}a_{0}\end{eqnarray*} \section{Folgen\index{Folgen} \textsf{\small II.3}} $\left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty}$ist eine Zuordnung\index{Zuordnung}, die jedem Index $n\in\mathbb{N}$ eine reelle Zahl $a_{n}$zuordnet. Index $\mapsto$ Folgenglied. $n\mapsto a_{n}$. $\left\langle a_{n}\right\rangle =a_{1},a_{2},a_{3},\ldots,a_{n}\quad(n\in\mathbb{N})$ Zuordnungsvorschrift\index{Zuordnungsvorschrift} in Form einer Gleichung $a_{n}=f(n)$ (explizit\index{explizit}) oder rekursiv\index{rekrusiv} $a_{n+1}=f(a_{n})$. \subsection{Monotonie\index{Monotonie} \textsf{\small II.6}} \begin{itemize} \item monoton\index{monoton}~fallend $a_{n+1}\leq a_{n}$ \item streng~monoton\index{streng monoton}~fallend $a_{n+1}a_{n}$ \end{itemize} \subsection{Teilfolge\index{Teilfolge} \textsf{\small II.6}} $\left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty}$eine Folge, $\left\{ n_{k}\right\} _{k=1}^{\infty}$eine streng monoton wachsende Folge mit $n_{k}\mathbb{\in N}$. Dann heißt\[ \left\{ a_{n_{k}}\right\} _{k=1}^{\infty}\] Teilfolge von $\left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty}$. Man nehme als Index der einen Folge die Folgenglieder einer anderen Folge, so dass man nur spezielle Elemente erhält, z.B. jedes Zweite. \subsection{Konvergenz\index{Konvergenz} \textsf{\small II.8}} Der Wert den eine Folge im Unendlichen annimmt, wird \emph{Grenzwert\index{Grenzwert}} genannt. Wenn sie einen Grenzwert besitzt wird sie \emph{konvergent\index{konvergent}} genannt, ansonsten \emph{divergent}\index{divergent}. \[ \forall\varepsilon>0:\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon\] \[ \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\] \subsection{Nullfolge\index{Nullfolge} \textsf{\small II.11}} \[ \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0\] \begin{itemize} \item z.B. die geometrische Reihe:\[ \forall\left|q\right|<1:\lim_{n\rightarrow\infty}q^{n}=0\] \end{itemize} \subsection{Konvergenzkriterien\index{Konvergenzkriterien}} \subsubsection{Teilfolgen} $\left\{ a_{n}\right\} $ konvergent wenn jede ihrer Teilfolgen konvergent. \textsf{\small II.13}{\small \par} \subsubsection{Sandwitchtheorem\index{Sandwitchtheorem} \textsf{\small II.15}} Wenn: $\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\quad\lim_{n\rightarrow\infty}b_{n}=a$ \\ $a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}$\\ dann folgt: $\lim_{n\rightarrow\infty}c_{n}=a$ \subsubsection{Monotonie\index{Monotonie} / beschränkt\index{Beschränkt} \textsf{\small II.16}} Jede monoton wachsende (monoton fallende) nach oben (nach unten) beschränkte Folge $\left\{ a_{n}\right\} $ ist konvergent.\\ $a=\sup\left\{ a_{n}\right\} $ (bzw. $a=\inf\left\{ a_{n}\right\} $) \subsubsection{Cauchy-Folge\index{Cauchy-Folge} \textsf{\small II.20}} Jede Cauchy-Folge ist konvergent. \\ $\forall\varepsilon>0,k\in\mathbb{N}:\left|a_{n+k}-a_{n}\right|<\varepsilon$ definiert eine Cauchy-Folge \subsubsection{Häufungspunkt} Wenn bei einer beschränkten Folge der kleinste Häufungspunkt\index{Häufungspunkt} (Limes inferior\index{Limes!inferior}: $\liminf$) gleich dem Größten (Limes superior\index{Limes!superior}: $\limsup$) ist, ist dies der Grenzwert der Folge \textsf{\small II.21} \[ \liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\] \subsection{Grenzwert Rechenregeln \textsf{\small II.14}} \[ \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}+b_{n}=a+b\] \[ \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}b_{n}=ab\] \[ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{a}{b}\quad b\neq0\] \begin{itemize} \item Im Allgemeinen lassen sich zwei Grenzwertbildungen nicht in der Reihenfolge vertauschen! \end{itemize} \subsubsection{Unbestimmte\index{Unbestimmt} Formen} Unbestimmte Formen siehe Tabelle \vref{unbestFormen}. Diese lassen sich alle bis auf $x=\left(\infty-\infty\right)$ lösen mit Hilfe der Regeln von de l'Hospital\index{l'Hospital}\index{Hospital} (siehe \vref{sub:Regeln-de-l-Hospital}). % \begin{table}[h] \caption{\label{unbestFormen}unbestimmte Formen} \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline $\lim f$& $\lim g$& unbestimmt\tabularnewline \hline \hline $+\infty$& $-\infty$& $\lim(f+g)$\tabularnewline \hline 0& $+\infty$& $\lim(f\cdot g)$\tabularnewline \hline 0& $-\infty$& $\lim(f\cdot g)$\tabularnewline \hline 0& 0& $\lim\frac{f}{g}$\tabularnewline \hline $+\infty$& $+\infty$& $\lim\frac{f}{g}$\tabularnewline \hline $-\infty$& $-\infty$& $\lim\frac{f}{g}$\tabularnewline \hline $+\infty$& $-\infty$& $\lim\frac{f}{g}$\tabularnewline \hline $-\infty$& $+\infty$& $\lim\frac{f}{g}$\tabularnewline \hline \end{tabular} \end{table} \section{Reihen\index{Reihen} \textsf{\small II.22}} Eine Reihe ($s_{n}$) ist eine Folge von Teilsummen\index{Teilsummen} einer anderen Folge ($a_{n}$).\[ s_{n}=\sum_{v=1}^{n}a_{v}\] \subsection{Konvergenz\index{Konvergenz} \textsf{\small II.22}} \[ \lim_{n\rightarrow\infty}s_{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{v=1}^{n}a_{v}=\sum_{v=1}^{\infty}a_{v}=a\] Die Reihen $\sum_{v=1}^{\infty}a_{v}$ und $\sum_{v=1}^{\infty}b_{v}$ seien konvergent, dann gilt: \textsf{\small II.23}\[ \sum_{v=1}^{\infty}ca_{v}=ca,\quad\sum_{v=1}^{\infty}\left(a_{v}+b_{v}\right)=a+b\] \subsubsection{Sätze über Konvergente Reihen} Wenn eine Reihe $\sum_{v=1}^{\infty}a_{v}$ konvergiert, dann ist $a_{v}$ eine Nullfolge\index{Nullfolge} ($a=0$) \textsf{\small II.24}{\small \par} \begin{itemize} \item Cauchy-Konvergenzkriterium\index{Cauchy-Reihe} für Reihen\\ $\sum_{v=1}^{\infty}a_{v}$ konvergent, wenn \\ $\forall\varepsilon>0:\exists n_{\varepsilon}\in\mathbb{N}:\forall n>m>n_{\varepsilon}:\left|\sum_{k=m+1}^{n}a_{k}\right|<\varepsilon$ \end{itemize} \subsection{absolut / bedingt konvergent\index{absolut konvergent}\index{bedingt konvergent} \textsf{\small II.163}} Die Reihe $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}$ heißt absolut konvergent, falls die Reihe $\sum_{k=0}^{\infty}\left|a_{k}\right|$ konvergiert, bedingt konvergent, falls zwar $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}$ konvergiert, $\sum_{k=0}^{\infty}\left|a_{k}\right|$ aber divergiert. \begin{itemize} \item Wenn eine Reihe $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}$ absolut konvergiert, dann konvergiert sie auch bedingt. \item Wenn eine Reihe $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}$ divergiert, dann divergiert auch $\sum_{k=0}^{\infty}\left|a_{k}\right|$. \item Die Summe ($\sum_{k=0}^{\infty}\left(a_{k}+b_{k}\right)$) zweier absolut konvergenter Reihen ($\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}$, $\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}$) ist die auch absolut konvergent. \end{itemize} \subsubsection{Doppelreihe\index{Doppelreihe} \textsf{\small II.167}} Durch $\sum_{v,\mu=0}^{\infty}a_{v\mu}$ wird eine Doppelreihe gegeben. \subsubsection{Umordnung\index{Umordnung} \textsf{\small II.164}} Sei $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}$ eine Reihe und $\pi:\mathbb{N}\cup\left\{ 0\right\} \rightarrow\mathbb{N}\cup\left\{ 0\right\} $ eine bijektive Abbildung. Dann heißt die Reihe \[ \sum_{k=0}^{\infty}a_{\pi\left(k\right)}\] eine Umordnung der Ausgangsreihe. \begin{itemize} \item Jede Umordnung einer absolut konvergenten Reihe ist ebenfalls (gegen den gleichen Wert) konvergent. \item Sei $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}$ bedingt konvergent. Dann gibt es zu jedem $-\infty\leq s\leq\infty$ eine Umordnung sie bedingt gegen $s$ konvergiert: $\sum_{k=0}^{\infty}a_{\pi_{s}\left(k\right)}=s$ \end{itemize} \subsubsection{Großer Umordnungssatz\index{Großer Umordnungssatz} \textsf{\small II.167}} Ordnet man die Doppelreihe in beliebiger Reihenfolge zu einer einfachen Reihe an, so entsteht eine stets mit der gleichen Summe $s$ absolut konvergente Reihe. Alle Zeilensummen\index{Zeilensummen} $\sum_{\mu=0}^{\infty}a_{v\mu}$ sowie alle Spaltensummen\index{Spaltensummen} $\sum_{v=0}^{\infty}a_{v\mu}$ sind absolut konvergent. Die Reihe der Spaltensummen bzw. Reihensummen konvergiert absolut gegen $s$:\[ \sum_{v,\mu=0}^{\infty}a_{v\mu}=\sum_{v=0}^{\infty}\left(\sum_{\mu=0}^{\infty}a_{v\mu}\right)=\sum_{\mu=0}^{\infty}\left(\sum_{v=0}^{\infty}a_{v\mu}\right)=s\] \begin{itemize} \item gilt sinngemäß auch für Mehrfachreihen\index{Mehrfachreihe} $\sum_{v_{1},\ldots,v_{m}=0}^{\infty}a_{v_{1},\ldots,v_{m}}$ \end{itemize} \subsubsection{Produkt von Reihen\index{Produckt von Reihen} \textsf{\small II.165}} Wenn zwei Reihen absolut konvergieren, dann konvergiert die Reihe der Produkte (bei beliebiger Anordnung) ebenfalls absolut, und es gilt:\begin{eqnarray*} & \sum_{k=0}^{\infty}\tilde{p}_{k}=\sum_{{{k=1\atop j=1}}}^{\infty}\left(a_{k}b_{j}\right)=\sum_{k,j=0}^{\infty}\left(a_{k}b_{j}\right)\\ & =\left(\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\right)\left(\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}\right)=ab\end{eqnarray*} \subsubsection{Cauchy-Produkt\index{Cauchy-Produkt} \textsf{\small II.166}} Das Cauchy-Produkt ist absolut konvergent: \[ \sum_{v=0}^{\infty}\left(\sum_{\mu=0}^{v}a_{\mu}b_{v-\mu}\right)=\left(\sum_{v=0}^{\infty}a_{v}\right)\left(\sum_{v=0}^{\infty}b_{v}\right)\] \subsection{Konvergenzkriterien\index{Reihen!Konvergenzkriterien}\index{Konvergenzkriterien} \textsf{\small II.168}} \subsubsection{Majoranten-\index{Majorantenkriterium} oder Vergleichskriterium\index{Vergleichskriterium} \textsf{\small II.168}} $\forall v\geq v_{0}\geq0:\;0\leq a_{v}\leq b_{v}$. Wenn die Reihe $\sum_{v=0}^{\infty}b_{v}$ konvergiert, dann konvergiert auch die Reihe $\sum_{v=0}^{\infty}a_{v}$, und es gilt: $\sum_{v=0}^{\infty}a_{v}\leq\sum_{v=0}^{\infty}b_{v}$. Wenn die Reihe $\sum_{v=0}^{\infty}b_{v}$ divergiert, dann divergiert auch die Reihe $\sum_{v=0}^{\infty}a_{v}$. \subsubsection{Quotientenkriterium\index{Quotientenkriterium} \textsf{\small II.169}} Sei $\sum_{v=0}^{\infty}a_{v}$ eine Reihe mit $a_{v}\neq$ für alle $v\in\mathbb{N}$ und \[ \limsup_{v\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{v+1}}{a_{v}}\right|=\bar{g}\;\mathrm{und}\;\liminf_{v\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{v+1}}{a_{v}}\right|=\underbar{g}\] Dann gilt: \begin{itemize} \item Ist $\bar{g}<1$, so konvergiert die Reihe $\sum_{v=0}^{\infty}a_{v}$ absolut. \item Ist $\underbar{g}>1$, so divergiert die Reihe $\sum_{v=0}^{\infty}a_{v}$. \item Für jeweils $=1$ gibt das Kriterium keinen Aufschluss. \item siehe Wurzelkriterum (ist stärker als Quotientenkriterium) \end{itemize} \subsubsection{Wurzelkriterium\index{Wurzelkriterium} \textsf{\small II.171}} Sei $\sum_{v=0}^{\infty}a_{v}$ eine Reihe mit \[ \limsup_{v\rightarrow\infty}\sqrt[v]{\left|a_{v}\right|}=\bar{g}\] \begin{itemize} \item Ist $\bar{g}<1$, so konvergiert die Reihe absolut. \item Ist $\bar{g}>1$, so divergiert die Reihe. \item Für $\bar{g}=1$ gibt das Kriterium keinen Aufschluss. \item $\limsup_{v\rightarrow\infty}\sqrt[v]{\left|a_{v}\right|}\leq\limsup_{v\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{v+1}}{a_{v}}\right|$\\ $\liminf_{v\rightarrow\infty}\sqrt[v]{\left|a_{v}\right|}\geq\liminf_{v\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{v+1}}{a_{v}}\right|$ \begin{itemize} \item Bezug zum Quotientenkriterium. \item Wenn erster Grenzwert existiert, dann existiert auch der zweite. \item Das Wurzelkriertum ist stärker als das Quotientenkriterium. \end{itemize} \end{itemize} \subsubsection{Leibnizsches Kriterium\index{Leibnizsches Kriterium} \textsf{\small II.174}} Sei $\left\{ a_{v}\right\} _{v=1}^{\infty}$ eine Nullfolge\index{Nullfolge} mit $\forall v:\ a_{v}\geq0,\ a_{v}\geq a_{v+1}$. Dann ist die Reihe \[ \sum_{v=1}^{\infty}\left(-1\right)^{v+1}a_{v}\] konvergent. Für die n-te Teilsumme gilt die Abschätzung:\[ \left|\sum_{v=1}^{\infty}\left(-1\right)^{v+1}a_{v}-\sum_{v=1}^{n}\left(-1\right)^{v+1}a_{v}\right|\leq a_{n+1}\] \subsubsection{Integralkriterium\index{Integralkriterium} \textsf{\small II.175}} Sei $\forall_{\left[1,\infty\right)}^{x}:\; f:\left[1,\infty\right)\rightarrow\mathbb{R},\; f\left(x\right)\leq0$ monoton fallend, und die Folge $a_{v}=f\left(v\right),v\in\mathbb{N}$ eine Nullfolge. Dann gilt:\[ \sum_{v=1}^{\infty}a_{v}\;\mathrm{konvergiert}\Leftrightarrow\int_{x=1}^{\infty}f\left(x\right)dx\;\mathrm{konvergiert}\] \subsection{\label{sub:Besondere-Reihen}Besondere Reihen} \begin{itemize} \item Weitere Reihen siehe \vref{sub:wichtige-Reihen-II.154} \item geometrische Reihe\index{geometrische Reihe} \textsf{\small II.25}\\ $\sum_{v=0}^{n}q^{v}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$\\ (konvergent wenn $\left|q\right|<1$) \item harmonische Reihe\index{harmonische Reihe} \textsf{\small II.27} \textsf{\small }\\ $\sum_{v=1}^{\infty}\frac{1}{v}$ (divergent) \item alternierende harmonische Reihe\index{alternierende harmonische Reihe} \textsf{\small II.28}\\ $\sum_{v=1}^{\infty}(-1)^{v+1}\frac{1}{v}$ (konvergent) \item $\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$ \item $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=1-\frac{1}{n+1}$ \item $\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ \item $\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} m+k\\ k\end{array}\right)$=$\left(\begin{array}{c} m+n+1\\ n\end{array}\right)$ \item $\sum_{k=0}^{n}k\left(\begin{array}{c} n\\ k\end{array}\right)=n2^{n-1}$ \end{itemize} \subsubsection{Eulersche Zahl\index{Eulersche Zahl} $e$ \textsf{\small II.34}} Folgende Reihen sind absolut Konvergent gegen $e$. \[ \sum_{v=0}^{\infty}\frac{1}{v!}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e\] \[ \lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}=\frac{1}{e}\] \[ \lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)^{n}=1\] \section{Funktionsfolgen\index{Funktionsfolgen} und Funktionsreihen\index{Funktionsreihen}} \subsection{Konvergenz} \subsubsection{Punktweise\index{Punktweise} Konvergenz \textsf{\small II.178}} Eine Folge von Funktionen $\left(f_{n}\right)_{n=1}^{\infty},\; f_{n}:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$ konvergiert punktweise, wenn $\forall_{\left[a,b\right]}^{x}:\left(f_{n}\left(x\right)\right)_{n=1}^{\infty}$ konvergiert. Die durch $f\left(x\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)$ in $\left[a,b\right]$ erklärte Funktion heißt Grenzfunktion\index{Grenzfunktion}. Man schreibt \[ f_{n}\left(x\right)\begin{array}{c} pktw.\\ \longrightarrow\\ n\rightarrow\infty\end{array}f\left(x\right)\] \subsubsection{Gleichmäßige\index{gleichmäßig} Konvergenz \textsf{\small II.178}} Die Funktion $f_{n}:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R},\;\left(n\geq1\right)$, und $f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$ seien beschränkt. Die Folge $\left(f_{n}\right)_{n=1}^{\infty}$ konvergiert gleichmäßig gegen die Grenzfunktion $f$, wenn die folgende Beziehung gilt:\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\;\max_{x\in\left[a,b\right]}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|=0\] Man schreibt \[ f_{n}\left(x\right)\begin{array}{c} glm.\\ \longrightarrow\\ n\rightarrow\infty\end{array}f\left(x\right)\] \begin{itemize} \item jede gleichmäßig konvergente Folge ist auch punktweise Konvergent. \item wenn alle $\left(f_{n}\right)_{n=1}^{\infty}$ stetig $\Rightarrow$ $f$ ist stetig in $\left[a,b\right]$ \item man kann in jedem Punkt zwei Grenzprozesse vertauschen:\\ \begin{eqnarray*} f\left(x_{0}\right) & = & \lim_{x\rightarrow x_{0}}\left(\lim_{x\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)\right)\\ & = & \lim_{x\rightarrow\infty}\left(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f_{n}\left(x\right)\right)\\ & = & \lim_{x\rightarrow\infty}f_{n}\left(x_{0}\right)\end{eqnarray*} \end{itemize} \subsection{Vertauschen von Grenzwerten} \subsubsection{Integration \textsf{\small II.180}} Die Folge $\left(f_{n}\right)_{n=1}^{\infty}$ von stetigen Funktionen konvergiere gleichmäßig gegen die Grenzfunktion $f$. Dann gilt\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx & = & \int_{a}^{b}\left(\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)\right)dx\\ & = & \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\int_{a}^{b}f_{n}\left(x\right)dx\right)\end{eqnarray*} \subsubsection{Differenziation \textsf{\small II.180}} Die Folge von stetig differenzierbaren Funktionen $\left(f_{n}\right)_{n=1}^{\infty}$ konvergiere in $\left[a,b\right]$ punktweise gegen $f$. Die Folge der Ableitungen $\left(f_{n}'\right)_{n=1}^{\infty}$ konvergiere gleichmäßig in $\left[a,b\right]$. Dann ist $f$ stetig diffbar, und\[ f'\left(x\right)=\frac{d}{dx}\left(\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}'\left(x\right)\] \subsubsection{Funktionsreihen Integrieren \textsf{\small II.182}} Sei $\left(f_{n}\right)_{n=1}^{\infty}$ stetig auf $\left[a,b\right]$. Die Reihe $f\left(x\right):=\sum_{k=1}^{\infty}f_{k}\left(x\right)$ konvergiere gleichmäßig auf $\left[a,b\right]$. Dann ist die Grenzwertfunktion $f$ stetig in $\left[a,b\right]$ und\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx & = & \int_{a}^{b}\left(\sum_{v=1}^{\infty}f_{v}\left(x\right)\right)dx\\ & = & \sum_{v=1}^{\infty}\left(\int_{a}^{b}f_{v}\left(x\right)dx\right)\end{eqnarray*} \subsubsection{Funktionsreihen Differenzieren \textsf{\small II.182}} Sei $\left(f_{n}\right)_{n=1}^{\infty}$ stetig differenzierbar auf $\left[a,b\right]$. Die Reihe $f\left(x\right)=\sum_{k=1}^{\infty}f_{k}\left(x\right)$ konvergiere punktweise gegen $f$, und $\sum_{k=1}^{\infty}f_{k}'\left(x\right)$ konvergiere gleichmäßig auf $\left[a,b\right]$. Dann ist $f\left(x\right)$stetig differenzierbar und\[ f'\left(x\right)=\frac{d}{dx}\left(\sum_{v=1}^{\infty}f_{v}\left(x\right)\right)=\sum_{v=1}^{\infty}f_{v}'\left(x\right)\] \subsection{Konvergenzkriterien\index{Konvergenzkriterien}} \subsubsection{Cauchy-Kriterium\index{Cauchy-Kriterium} für gleichmäßige Konvergenz \textsf{\small II.178}} Eine Folge $f_{n}:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R},\;\left(n\geq1\right)$ beschränkter Funktionen konvergiert genau dann gleichmäßig gegen die beschränkte Grenzfunktion $f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$, wenn: \begin{eqnarray*} & & \forall\epsilon>0:\exists n_{\epsilon}:\forall n,m>n_{\epsilon}:\\ & & \max_{x\in\left[a,b\right]}\left|f_{m}\left(x\right)-f_{n}\left(x\right)\right|<\epsilon\end{eqnarray*} \subsubsection{Majorantenkriterium\index{Majorantenkriterium} \textsf{\small II.182}} Sei $\left(f_{n}\right)_{n=1}^{\infty}$ auf $\left[a,b\right]$ beschränkt, und $\left(c_{n}\right)_{n=1}^{\infty}$ eine Zahlenfolge mit $\left|f_{n}\left(x\right)\right|\leq c_{n}$ für alle $x\in\left[a,b\right]$. Konvergiert $\left(c_{n}\right)_{n=1}^{\infty}$, so konvergiert auch $\sum_{k=1}^{\infty}f_{k}\left(x\right)$ gleichmäßig auf $\left[a,b\right]$. \subsection{Potenzreihen\index{Potenzreihen} \textsf{\small II.185}} Sei $\left(a_{k}\right)_{k=0}^{\infty}$ eine Folge und $x_{0}\in\mathbb{R}$. Die Reihe \[ \sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\left(x-x_{0}\right)^{k}\] heißt Potenzreihe\index{Potenzreihe} mit Koeffizienten\index{Koeffizienten} $a_{k}$ und Entwicklungspunkt\index{Entwicklungspunkt} $x_{0}$ (z.B. Taylorreihe\index{Taylorreihe}). \subsubsection{Konvergenz\index{Konvergenz}\index{Potenzreihe!konvergenz} / Konvergenzradius\index{Konvergenzradius} \textsf{\small II.185}} Sei $f=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\left(x-x_{0}\right)^{k}$ eine Potenzreihe, die an der Stelle $\tilde{x}$ konvergiert. Dann konvergiert die Reihe absolut\index{absolute Konvergenz} und gleichmäßig\index{gleichmäßige Konvergenz} in jedem Intervall $\left|x-x_{0}\right|\leq c$ für jedes $c<\left|\tilde{x}-x_{0}\right|$. Divergiert $f$ in $\tilde{x}$, so divergiert $f$ für alle $x$ mit $\left|x-x_{0}\right|>\left|\tilde{x}-x_{0}\right|$. Wenn $D:=\left\{ x|f\left(x\right)\ \mathrm{konvergiert}\right\} $ der Definitionsbereich von $f$ ist, heißt $\rho:=\sup_{x\in D}\left|x-x_{0}\right|$ der Konvergenzradius von $f$. \begin{itemize} \item In $\mathbb{C}$ bildet $\rho$ einen Kreis um $x_{0}$ \item über Punkte $x=x_{0}\pm\rho$ kann nichts ausgesagt werden \item $\rho=0$ Konvergenz nur bei $x_{0}$ \item $\rho=\infty$ Konvergenz für alle $x$ \item eine Potenzreihe ist innerhalb ihres Konvergenzradius stets eine stetige Funktion\index{stetige Funktion}. \end{itemize} \subsubsection{Konvergenzradius\index{Konvergenzradius} \textsf{\small II.186}} Sei $f=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\left(x-x_{0}\right)^{k}$ eine Potenzreihe. Dann ist\[ \rho=\frac{1}{\limsup_{k\rightarrow\infty}\sqrt[k]{\left|a_{k}\right|}}=\lim_{k\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{k}}{a_{k+1}}\right|\] der Konvergenzradius. Die erste Formel ist die Hadamasche\index{Hadamasche Formel} Formel (gilt immer). Die Zweite Formel gilt nur, wenn dieser Grenzwert auch existiert. \subsubsection{Integrieren / Differenzieren \textsf{\small II.190}} Sei $f=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\left(x-x_{0}\right)^{k}$ eine Potenzreihe mit Konvergenzradius $\rho>0$. Dann gilt\[ g\left(x\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\left(k+1\right)a_{k+1}\left(x-x_{0}\right)^{k}\] \[ h\left(x\right)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{a_{k-1}}{k}\left(x-x_{0}\right)^{k}\] haben ebenfalls den Konvergenzradius $\rho$ und $g\left(x\right)=f'\left(x\right),\ h\left(x=\int_{x_{0}}^{x}f\left(t\right)dt\right)$. \subsubsection{Eindeutigkeitssatz für Potenzreihen \textsf{\small II.191}} Wenn zwei Potenzreihen in einem beliebig kleinen Intervall $\epsilon>0$ absolut konvergieren und übereinstimmen, sind sie bereits identisch ($\forall_{\mathbb{N}}^{k}:a_{k}=b_{k}$). \subsection{\label{sub:wichtige-Reihen-II.154}wichtige Reihen \textsf{\small II.154 / II.192}} \begin{itemize} \item Weitere Reihen siehe \vref{sub:Besondere-Reihen} \item $e^{x}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}$ \item $\sin\left(x\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\left(-1\right)^{k}\frac{x^{2k+1}}{\left(2k+1\right)!}$ \item $\cos\left(x\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\left(-1\right)^{k}\frac{x^{2k}}{\left(2k\right)!}$ \item $\sinh\left(x\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k+1}}{\left(2k+1\right)!}$ \item $\cosh\left(x\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k}}{\left(2k\right)!}$ \item geometrische Reihe $\left(\left|x\right|<1\right)$\\ $\frac{1}{1\pm x}=\sum_{k=0}^{\infty}\left(\mp1\right)^{k}x^{k}$ \item abgeleitete geometrische Reihe $\left(\left|x\right|<1\right)$\\ $\frac{1}{\left(1\pm x\right)^{2}}=\sum_{k=0}^{\infty}\left(\mp1\right)^{k}\left(k+1\right)x^{k}$ \item $\ln\left(1-x\right)=\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k+1}\frac{x^{k}}{k}$ \item $\arctan\left(x\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\left(-1\right)^{k}\frac{x^{2k+1}}{2k+1}$ \end{itemize} \section{Funktionen\index{Funktionen} \textsf{\small I.116}} \subsection{Definition \textsf{\small I.116}} \begin{itemize} \item $D=$ Definitionsbereich\index{Definitionsbereich}, $W=$ Wertebereich\index{Wertebereich}. Die Zuordnungsvorschrift $f$ ordnet jedem Element $x\in D$ genau ein Element $y=f(x)\in W$ zu. Man sagt, $f$ bildet $D$ auf $W$ ab. $x=$ Urbild\index{Urbild}, $f(x)=$ Bild\index{Bild}\[ f:D_{f}\rightarrow W_{f},\quad x\mapsto f(x)\] \item Gleichheit\index{Gleichheit}\\ $D_{g}=D_{f}\quad f(x)=g(x)$ \item Restriktion\index{Restriktion}\\ $D_{g}\subseteq D_{f}$ lässt sich das wie folgt schreiben $g=f|_{D_{g}}$\\ d.h. $f$ gilt nur für Teilmenge\index{Teilmenge} $D_{g}$ \end{itemize} \subsection{Stetige Funktionen\index{stetige Funktionen} \textsf{\small II.38}} \begin{itemize} \item $f:D\rightarrow\mathbb{R}$ heißt stetig\index{stetig} im Punkt $x_{0}$, wenn\[ \forall\varepsilon>0,x\in D:\exists\delta_{\varepsilon}>0:\left|x-x_{0}\right|<\delta_{\varepsilon}\Rightarrow\] \[ \left|f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)\right|<\varepsilon\] \item Stetig in D\\ falls $f$ in in jedem Punkt $x_{0}\in D$ stetig ist. \item gleichmäßig Stetig\index{gleichmäßig Stetig}\[ \forall\varepsilon>0,x,x_{0}\in D:\exists\delta_{\varepsilon}>0:\left|x-x_{0}\right|<\delta_{\varepsilon}\Rightarrow\] \[ \left|f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)\right|<\varepsilon\] (Die Steigung ist in D endlich, z.B. $y=\sin(x)$.\\ $y=x^{2}$ ist in $\mathbb{R}$ nicht gleichmäßig stetig). \end{itemize} \subsubsection{Kriterien für Stetigkeit} \begin{itemize} \item Folgenkriterium\index{Folgenkriterium} \textsf{\small II.40}\\ $f$ ist stetig im Punkt $x_{0}\subset D$, wenn die zu irgendeiner gegen $x_{0}$ konvergenten Folge$\left\{ \tilde{x}_{n}\right\} \subset D$ gehörigen Folge von Funktionswerten $\left\{ f\left(\tilde{x}_{n}\right)\right\} $ gegen $f\left(x_{0}\right)$ konvergiert. \[ \lim_{n\rightarrow\infty}\tilde{x}_{n}=x_{0}\Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}f\left(\tilde{x}_{n}\right)=f\left(x_{0}\right)\] $\Rightarrow f$ stetig in $x_{0}$. \item Ableitung\index{Ableitung} \textsf{\small II.68}\\ Wenn eine Funktion in $x_{0}$ differenzierbar ist, ist sie dort auch stetig. \end{itemize} \subsection{Sätze über stetige Funktionen} \subsubsection{Hauptsätze \textsf{\small II.41}} Seien $f,g:D\rightarrow\mathbb{R}$ stetig in $x_{0}\in D$. Dann sind auch folgende Funktionen stetig: \begin{itemize} \item $f+g:D\rightarrow\mathbb{R}$ \item $fg:D\rightarrow\mathbb{R}$ \item $\frac{f}{g}:D\rightarrow\mathbb{R}$ falls $g\left(x_{n}\right)\neq0$ \end{itemize} \subsubsection{Verkettung\index{Verkettung} \textsf{\small II.42}} Sei $f:D\rightarrow\mathbb{R}$ stetig in $x_{0}\in D$, $g:f(D)\rightarrow\mathbb{R}$ stetig in $f\left(x_{0}\right)$. Dann gilt: Verkettung $g\circ f:D\rightarrow\mathbb{R}$ ist stetig.\\ bzw. $x\mapsto g\left(f(x)\right)$ stetig in $x_{0}$ \begin{itemize} \item $\left(f\circ f^{-1}\right)(x)=x$ \end{itemize} \subsubsection{Umkehrfunktion\index{Umkehrfunktion} \textsf{\small II.43}} Sei $f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$ eine streng monotone, in $x_{0}\in\left[a,b\right]$ stetige Funktion. Dann ist die Umkehrfunktion $f^{-1}:f\left(\left[a,b\right]\right)\rightarrow\mathbb{R}$ in $f\left(x_{0}\right)\in f\left(\left[a,b\right]\right)$ stetig. \begin{itemize} \item Entspricht einer Spiegelung der Funktion an der Geraden $y=x$ \item $\left(f\circ f^{-1}\right)(x)=x$ \item Nur !!! bei stetigen, streng monotonen Funktionen möglich. Anderenfalls Definitionsbereich passend einschränken. \end{itemize} \subsubsection{Min-/Maximum\index{Maximum}\index{Minimum} \textsf{\small II.43}} Eine Funktion hat ein (absolutes) Minimum bzw. Maximum $x_{0}$, wenn $f(x)\geq f\left(x_{0}\right)$ bzw. $f(x)\leq f\left(x_{0}\right)$.\[ \min f(x)=\underline{x}\quad\mathrm{bzw.}\quad\max f(x)=\overline{x}\] Bei einem beschränkten Wertebereich muss eine stetige Funktion ein absolutes Minimum und ein absolutes Maximum besitzen. Dies ist relativ, falls dies nur in einer Umgebung um $x_{0}$ gilt.\[ \min_{x\in\left[a,b\right]}f(x)=\underline{x}\quad\mathrm{bzw.}\quad\max_{x\in\left[a,b\right]}f(x)=\overline{x}\] \subsubsection{Zwischenwertsatz\index{Zwischenwertsatz} \textsf{\small II.44}} Bei einer stetigen, beschränkten Funktion wird jeder Wert zwischen dem Minimum und dem Maximum als Funktionswert angenommen. \subsubsection{\label{sub:gerade-/-ungerade}gerade\index{gerade Funktion} / ungerade\index{ungerade Funktion} Funktionen} \begin{itemize} \item Eine Funktion $g(x)$ ist gerade, wenn\\ $g(-x)=g(x)$ \begin{itemize} \item sind Spiegelsymmetrisch\index{Spiegelsymetrisch} zur Y-Achse \item z.B. Polynome in denen nur gerade Exponenten auftauchen ($p(x)=\sum_{k=0}^{n}a_{2k}x^{2k}$) \item z.B. $\cos(x)$ \end{itemize} \item Eine Funktion $u(x)$ ist ungerade, wenn\\ $u(-x)=-u(x)$ \begin{itemize} \item sind Punktsymmetrisch\index{Punktsymetrisch} zum Ursprung \item z.B. Polynome in denen nur ungerade Exponenten Auftauchen ($p(x)=\sum_{k=0}^{n}a_{2k+1}x^{2k+1}$) \item z.B. $\sin(x)$ \end{itemize} \item Der (un)gerade Anteil einer beliebigen Funktion $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ist definiert durch \begin{itemize} \item gerade: $g(x):=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$ \item ungerade: $u(x):=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$ \item $f(x)=g(x)+u(x)$ \item z.B. $f(x)=e^{x}$\\ $g(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}=\cosh(x)$\\ $u(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=\sinh(x)$ \end{itemize} \end{itemize} \subsection{Grenzwert\index{Grenzwert} von Funktionen} \subsubsection{Definition \textsf{\small II.46}} $D=(a,b)\backslash\left\{ x_{0}\right\} $\\ $f:D\rightarrow\mathbb{R}$ hat den Grenzwert y, falls für jede gegen $x_{0}$ konvergente Folge,\\ $\left(x_{n}\right)$; $x_{n}\in D$; $\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x_{0}$ folgendes gilt: \\ $\lim_{n\rightarrow\infty}f\left(x_{n}\right)=y$ \\ $y$ ist die stetige Fortsetzung\index{stetige Fortsetzung} von $f$ in $x_{0}$. \\ Somit wäre $\overline{f}(x)=\left\{ \begin{array}{cc} f(x) & x\in D\\ y & x=x_{0}\end{array}\right.$ stetig. \subsubsection{Linksseitiger\index{Linksseitiger Grenzwert} Grenzwert \textsf{\small II.46}} Die Funktion $f:\left(a,x_{0}\right)\rightarrow\mathbb{R}$ besitzt in $x_{0}$ den linksseitigen Grenzwert y, mit Zuhilfenahme einer gegen $x_{0}$ konvergenten Folge:\[ \lim_{x\rightarrow x^{-}}f(x)=y\] \subsubsection{Rechtsseitiger\index{Rechtsseitiger Grenzwert} Grenzwert \textsf{\small II.47}} Die Funktion $f:\left(x_{0},b\right)\rightarrow\mathbb{R}$ besitzt in $x_{0}$ den rechtsseitigen Grenzwert y, mit Zuhilfenahme einer gegen $x_{0}$ konvergenten Folge:\[ \lim_{x\rightarrow x^{+}}f(x)=y\] \subsubsection{Grenzwert im Punkt\index{Grenzwert im Punkt} \textsf{\small II.47}} Eine Funktion besitzt in einem Punkt $x_{0}$ dann einen Grenzwert $y$, wenn ihr links-/rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen.\[ \lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)=y\] \subsubsection{Grenzwert im Unendlichen\index{Grenzwert im Unendlichen} \textsf{\small II.49}} Eine Funktion kann im Unendlichen einen Grenzwert besitzen. Z.B. $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x}=0$\[ \lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=\lim_{t\rightarrow0^{-}}f\left(\frac{1}{t}\right)\] \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\lim_{t\rightarrow0^{+}}f\left(\frac{1}{t}\right)\] \subsubsection{Sprungstelle\index{Sprungstelle} \textsf{\small II.50}} Eine Funktion besitzt eine Sprungstelle im Punkt $x_{0}$, wenn: \[ \lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)\neq\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)\] \subsubsection{hebbare\index{hebbare Unstetigkeit} Unstetigkeit\index{Unstetigkeit}} Eine Funktion $f:(a,b)\backslash\left\{ x_{0}\right\} \rightarrow\mathbb{R}$ hat in $x_{0}$ eine hebbare Unstetigkeit, falls:\[ \lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)=y\] existieren und übereinstimmen. Die Funktion $\overline{f}:(a,b)\rightarrow\mathbb{R},\;\overline{f}(x)=\left\{ \begin{array}{cc} f(x) & x\neq x_{0}\\ y & x=x_{0}\end{array}\right.$ heißt stetige Fortsetzung\index{stetige Fortsetzung} von $f$. \subsubsection{\label{sub:Regeln-de-l-Hospital}Regeln von de l'Hosptial\index{de l'Hosptial}\index{Regel von de l'Hospital} \textsf{\small II.86}} Wenn $\lim_{x\rightarrow a^{\pm}}\frac{f(x)}{g(x)}$ zu $\frac{\pm0}{\pm0}$ oder $\frac{\pm\infty}{\pm\infty}$ führt, dann lässt sich der Ausdurch an der Stelle $a$ durch die Ableitung von $f$ und $g$ ersetzen. \[ \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\] Um einen Ausdruck, der zu $0\cdot\infty$ führt zu ersetzen, müssen die Funktionen einfach angepasst werden. So wird aus $f\cdot g=\frac{g}{\frac{1}{f}}$. Hier muss nur beachtet werden, dass hier $\left(\frac{1}{f}\right)'$ abgeleitet wird. \subsubsection{Grenzwertbildung mithilfe des Taylorpolynoms\index{Taylorpolynom}} Wenn $\lim_{x\rightarrow0^{\pm}}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ zu $\frac{\pm0}{\pm0}$ führt, lässt sich dies häufig durch eine Taylorentwicklung von Teilen von $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ (z.B. Teile des Nenners und des Zählers) umgehen. Dabei reicht es zumeist, die ersten 3 bis 5 Glieder des Polynoms hinzuschreiben. Anschließend muss versucht werden, $x$ so zu kürzen, das die Therme höherer Potenz durch den Grenzübergang wegfallen, und nur noch ein (einfacher) Bruch übrig bleibt. \begin{itemize} \item Achtung, nur für Grenzübergang gegen $0$. \end{itemize} \subsubsection{wichtige Grenzwerte} \begin{itemize} \item $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^{n}}{e^{x}}=0,\quad n\geq0$ \item $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln\left(x\right)}{x^{n}}=0,\quad n>0$ \item $\lim_{x\rightarrow+\infty}\sqrt[x]{x}=1$ \end{itemize} \subsection{Logarithmus\index{Logarithmusfunktion}- und Exponentialfunktion\index{Exponentialfunktion} \textsf{\small II.55}} \subsubsection{Denfinition \textsf{\small II.56}} (eigentlich über Potenzreihen\index{Potenzreihen} definiert)\[ \ln x=\lim_{n\rightarrow\infty}2^{n}\left(\sqrt[2^{n}]{x}-1\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}2^{n}\left(1-\frac{1}{\sqrt[2^{n}]{x}}\right)\] $\ln(x)$ ist eine stetige, streng monoton wachsende Funktion auf $\mathbb{R}_{>0}$ (\textsf{\small II.57}). \subsubsection{$\ln(x)$-Rechenregeln \textsf{\small II.57}} \begin{itemize} \item $\ln(1)=0$ \item $\ln\left(x_{1}x_{2}\right)=\ln\left(x_{1}\right)+\ln\left(x_{2}\right)$ \item $\ln\left(\frac{x_{1}}{x_{2}}\right)=\ln\left(x_{1}\right)-\ln\left(x_{2}\right)$ \item $\ln\left(x^{r}\right)=r\ln\left(x\right)\quad r\in\mathbb{Q}$ \item $\left(\ln(x)\right)'=\frac{1}{x}$ \item $\log_{b}\left(x\right)=\frac{\ln\left(x\right)}{\ln\left(b\right)}$ \end{itemize} \subsubsection{$e$-Funktion \textsf{\small II.59}} Umkehrfunkton\index{Umkehrfunkton} von $\ln(x)$ heißt \[ e^{x}:=\exp x=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{n}\] $f:\mathbb{R}_{>0}\rightarrow\mathbb{R}\quad f:x\rightarrow\ln(x)$\\ $f^{-1}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}_{>0}\quad f^{-1}:x\rightarrow\exp(x)$ $e^{x}$ stetig und streng monoton wachsend auf $\mathbb{R}$. \subsubsection{$e^{x}$-Rechenregeln \textsf{\small II.59}} \begin{itemize} \item $\forall_{\mathbb{R}_{>0}}^{x}:e^{\ln x}=x$ \item $\ln\left(e^{x}\right)=x$ \item $e^{x_{1}+x_{2}}=e^{x_{1}}e^{x_{2}}$ \item $\forall x<1:e^{x}\leq\frac{1}{1-x}$ \item $1+x\leq e^{x}$ \item $\left(e^{ax}\right)'=ae^{ax}$ \item Wachstumsverhalten\index{Wachstumsverhalten} der Exponentialfunktion\\ $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^{n}}{e^{x}}=0,\quad n\geq0$ \end{itemize} \subsubsection{Allgemeine Exp. Funktion\index{Allgemeine Exponentialfunktion} / Logarithmus\index{Allgemeiner Logarithmus} \textsf{\small II.62}} $\forall a>0:a^{x}=e^{\ln(a)x}$ bzw. $\forall x>0:x^{b}=e^{b\ln(x)}$ $\forall a>0,a\neq1,x>0:\log_{a}(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(a)}$ \subsection{Differenzierbare Funktionen\index{Differenzierbare Funktionen} \textsf{\small II.64}} \subsubsection{Definition \textsf{\small II.64}} Eine Funktion $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ heißt differenzierbar im inneren Punkt $x_{0}\in I$, wenn der Grenzwert \begin{eqnarray*} f'\left(x_{0}\right) & = & \lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h}\\ & = & \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}\\ & = & \frac{df}{dx}\left(x_{0}\right)=\frac{d}{dx}f\left(x_{0}\right)\end{eqnarray*} existiert. Ist $x_{0}$ ein Randpunkt des Intervalls $I$ mit $x_{0}\in I$, so heißt $f$ in $x_{0}$ links-/ bzw. rechtsseitig differenzierbar, wenn der links-/ bzw. rechtsseitige Grenzwert existiert. $f'\left(x_{0}\right)$ gibt die Steigung\index{Steigung} einer Tangenten\index{Tangenten} von $f$ in $x_{0}$wieder. Die Prozedur des Ableiten ist eine lineare Abbildung\index{lineare Abbildung} $f:P\left(x\right)\rightarrow P'\left(x\right)$. \subsubsection{Kriterium für Differenzierbarkeit \textsf{\small II.67}} Eine Funktion $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ ist genau dann differenzierbar im Punkt $x_{o}\in I$, wenn es ein $c\in\mathbb{R}$ und eine auf einer $\varepsilon$-Umgebung $U_{\varepsilon}(x_{0})\subset I$ erklärte Funktion $r(x)$ gibt, so daß \[ \lim_{x\rightarrow x_{o}}r(x)=0\] und \[ f(x)=f(x_{0})+c(x-x_{0})+r(x)\left|x-x_{0}\right|\] gilt. \subsubsection{Tangente\index{Tangente} \textsf{\small II.68}} \[ t(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})\] \subsubsection{Ableitung\index{Ableitung} \textsf{\small II.69}} \begin{itemize} \item 1-te Ableitung\\ $f'(x)=\frac{d}{dx}f(x)$ \item n-te Ableitung\\ $f^{(n)}(x)=\frac{d^{n}}{dx^{n}}f(x)$ \end{itemize} \subsubsection{Ableitungsregeln \textsf{\small II.72}} \begin{itemize} \item Summenregel\index{Summenregel} \textsf{\small II.72}\\ $(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)$ \item Produktregel\index{Producktregel} \textsf{\small II.72}\\ $(f\ g)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ \item Quotientenregel\index{Quotientenregel} \textsf{\small II.72}\\ $\left(\frac{f}{g}\right)'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}$ \item Kettenregel\index{Kettenregel} \textsf{\small II.75}\\ $(g\circ f)'(x)=g\left(f\left(x\right)\right)=g'(f(x))f'(x)$ \end{itemize} \subsubsection{Ableitung der Umkehrfunktion\index{Umkehrfunktion}\index{Ableitung Umkehrfunktion} \textsf{\small II.78}} Die stetige Funktion $f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$ sei streng monoton und in $x_{0}\in\left(a,b\right)$ differenzierbar mit $f'(x_{0})\neq0$. Dann ist die Umkehrfunktion $f^{-1}:f\left(\left[a,b\right]\right)\rightarrow\left[a,b\right]$ in $f(x_{0})$ differenzierbar, und es gilt\[ \left(f^{-1}\right)'\left(f\left(x_{0}\right)\right)=\frac{1}{f'\left(x_{0}\right)}\] bzw. \[ \left(f^{-1}\right)'\left(x_{0}\right)=\frac{1}{f'\left(f^{-1}\left(x_{0}\right)\right)}\] Ist $f$ stetig differenzierbar, dann ist auch $f^{-1}$ stetig differenzierbar. \begin{itemize} \item Möglichst $f$ in der Ableitung $f'$ wieder vorkommen lassen, da dies sich anschließend mit Hilfe der Umkehrfunktion\index{Umkehrfunktion} gegenseitig aufhebt. Z.B. $\tan\left(x\right)'=1+\tan^{2}\left(x\right)$. \end{itemize} \subsubsection{Ableitung von wichtigen Funktionen} Alle Ableitungen nach $x$ ($\frac{d}{dx}f(x)$). \begin{itemize} \item $a'=0$ \item $\left(ax^{b}\right)'=abx^{b-1}$ \item $\left(\ln(x)\right)'=\frac{1}{x}$ \item $\left(e^{bx}\right)'=be^{bx}$ \item $\forall a>0:\ \left(a^{x}\right)'=\ln(a)a^{x}$ \item $\left(v\left(x\right)^{u\left(x\right)}\right)'=v\left(x\right)^{u\left(x\right)}\left(v'\left(x\right)\ln\left(u\left(x\right)\right)+v\left(x\right)\frac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)}\right)$ \item $\sin(x)'=\cos(x)$ \item $\cos(x)'=-\sin(x)$ \item $\tan(x)'=\frac{1}{\cos^{2}(x)}$ \item $\forall-10\Rightarrow f$ ist streng monoton steigend \end{itemize} \subsection{Kurvendiskussion\index{Kurvendiskussion} \textsf{\small Papula I.378}} Bei einer Kurvendiskussion wird versucht möglichst viel über eine Funktion in Erfahrung zu bringen. Dabei kann man z.B. wie folgt folgendes Schema abarbeiten% \footnote{entnommen aus: Lothar Papula; Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure Band 1; Abschnitt 3.5 (in 10. Auflage Seite 378)% }. Hier wird die Funktion $f(x)$ diskutiert. \subsubsection{Definitionsbereich\index{Definitionbereich} / Definitionslücken\index{Definitionslücken}} Angabe des Definitionsbereiches $D$. Auf Definitionslücken (z.B. wenn der Nenner eines Bruches Null wird) achten!! \subsubsection{Symmetrie\index{Symmetrie}} Angeben ob es sich um eine gerade oder ungerade Funktion handelt (siehe \vref{sub:gerade-/-ungerade}). \subsubsection{Nullstellen\index{Nullstellen}} Alle $x_{k}$ Werte, bei der die Funktion den Wert Null annimmt $f(x_{k})=0$. Hierzu die Funktion am besten in Linearfaktoren\index{Linearfaktoren} (siehe \vref{sub:Fundamentalsatz-der-Algebra}) zerlegen, da hier die Nullstellen leichter abgelesen werden können. Eine Funktion vom Grad $n$ kann bis zu $n$ Nullstellen besitzen. \subsubsection{Y-Achsenabschnitt\index{Y-Achsenabschnitt}\index{Achsenabschnitt}} Der Wert von $f(0)$ wird Y-Achsenabschnitt genannt. \subsubsection{Pole\index{Pole}} Alle $x_{k}$ Werte, an denen die Funktion den Wert $\pm\infty$ besitzt ($f(x_{k})=\pm\infty$) werden \emph{Polstellen\index{Polstellen}} genannt. Wenn der Links-/Rechtsseitige Grenzwert übereinstimmen \[ \lim_{x\rightarrow x_{k}^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_{k}^{+}}f(x)=\pm\infty,\] handelt es sich um einen Pol ohne Vorzeichenwechsel, wenn nicht um einen mit Vorzeichenwechsel. Pole sind also Unstetigkeitsstellen\index{Unstetigkeitsstellen}, bzw. Definitionslücken\index{Definitionslücken}, und lassen sich so auch finden (z.B. wenn der Nenner eines Bruches Null wird). \subsubsection{Ableitungen} Auflistung der (in der Regel die ersten drei) Ableitungen $f'(x),\ f''(x),\ f'''(x)$ \subsubsection{Relative Extremwerte\index{Relative Extremwerte}\index{Extremwerte}\index{Extremalstellen} (Maxima\index{Maxima} und Minima\index{Minima})} Ein relatives Extremum an der Stelle $\left(x_{k},f(x_{k})\right)$ liegt vor, wenn\\ $f'(x_{k})=0$ und die erste Ableitung die nicht verschwindet (alle Ableitungen von 1 bis $n-1$ sind 0) eine geradzahlige Ableitung ist ($f^{\left(n\right)}(x_{k})\neq0$). Sonderfall\\ $f'\left(x_{k}\right)=0$ und $f''\left(x_{k}\right)\neq0$ \begin{itemize} \item relatives Minimum (Tiefpunkt\index{Tiefpunkt}) mit $f^{\left(n\right)}(x_{k})>0$. \item relatives Maximum (Hochpunkt\index{Hochpunkt}) mit $f^{\left(n\right)}(x_{k})<0$. \item Die Extremwerte sind Absolut, wenn es in der Funktion kein größeren / kleineren Wert gibt. Siehe Wertebereich. \end{itemize} \subsubsection{Wendepunkte\index{Wendepunkt}, Sattelpunkte\index{Sattelpunkt}} Ein Wendepunkt kann als Extremwert der 1. Ableitung (die Steigung ändert ihr Vorzeichen) interpretiert werden. Er liegt an der Stelle $\left(x_{k},f(x_{k})\right)$ liegt vor, wenn die 2. Ableitung 0, und die 1. Ableitung die daraufhin nicht verschwindet eine ungerade ist\\ $f''(x_{k})=0$ und $f^{\left(n+1\right)}(x_{k})\neq0$. Sonderfall:\\ $f''(x_{k})=0$ und $f'''(x_{k})\neq0$. \subsubsection{Krümmung\index{Krümmung} \textsf{\small II.160}} \begin{itemize} \item konvexe\index{konvex} (Linkskurve\index{Linkskurve}) Funktion, wenn stets: $f''\left(x_{k}\right)\geq0$ \item konkave\index{konkav} (Rechtskurve\index{Rechtskurve}) Funktion, wenn stets: $f''\left(x_{k}\right)\leq0$ \end{itemize} \subsubsection{Verhalten der Funktion für $x\rightarrow\pm\infty$, Asymptoten\index{Asymptote} im Unendlichen} Das Verhalten von Funktionen im Unendlichen, wird von der Funktion $g(x)$ beschrieben, die der vorgegebenen Funktion $f(x)$ im Unendlichen immer ähnlicher wird. \begin{itemize} \item bei ganzrationalen\index{ganzrationale Funktionen} Funktionen ist $g(x)=f(x)$ \item bei gebrochenrationalen\index{gebrochenrationale Funktionen} Funktion entspricht $g(x)$ dem ganzrationalen Anteil von $f(x)$ (Ergebnis einer Polynomdivision\index{Polynomdivision}) \item bei echtgebrochenen\index{echtgebrochene Funktion} Funktionen (Nennerpolynom von $f(x)$ hat einen höheren Grad als das Zählerpolynom) ist $g(x)=0$ \end{itemize} Asymptote im Unendlichen (bzw. an den Intervallgrenzen) sind die Werte die $f(x)$ an den Grenzen des Definitionsbereichs annimmt ($\pm\infty$, 0) \subsubsection{Wertebereich\index{Wertebereich} der Funktion} Hier wird das Intervall verlangt, in dem die Werte der Funktion liegen können. Hier kann man sich an den Werten der Asymptoten im Unendlichen und den Extremwerten orientieren. \subsubsection{Zeichnung\index{Zeichnung von Funktionen} der Funktion in einem geeigneten Maßstab} Hier wird eine Zeichnung verlangt, die alle Extremwerte, Pole, Wende- und Sattelpunkte beinhaltet. Der Verlauf zwischen diesen Punkten kann intuitiv aus dem Handgelenk ergänzt werden. Wenn es sich um eine periodische Funktion handelt, recht es 2 - 3 Perioden zu zeichnen. \section{Integralrechnung\index{Integralrechnung} \textsf{\small II.92}} Mithilfe der Integralrechnung lässt sich der Flächeninhalt unter einer Kurve bestimmen. \subsection{Ober- und Untersummen\index{Obersumme}\index{Untersumme} \textsf{\small II.92}} \subsubsection{Zerlegung\index{Zerlegung} (Partition\index{Partition}) \textsf{\small II.92}} Sei $\left[a,b\right]$ ein abgeschlossenes Intervall und\[ a=x_{0}1$ mal vorkommt, muss man ihn in mehrfach als Nenner verwenden, und zwar so, das er als ganzen in den Potenzen $1$ bis $m$ vorkommt. \item Falls sich ein Nenner vom Rang $m$ (im Reellen) nicht mehr weiter Zerlegen lässt, ist es möglich ihn als ganzes beizubehalten. Dafür muss im Zähler ein Polynom vom Grad $m-1$ angenommen Werden, d.h. $m$ Unbekannte stehen vor den jeweiligen $x$ Potenzen auf dem Bruchstrich. \end{itemize} \item Jedem Partialbruch eine Unbekannte $A_{k}\in\mathbb{K}$ zuordnen. \item Hauptnenner des Partialbruchs bilden und ausmultipizieren \item Nach gleichen Potenzen von $x$ sortieren. \item Unbekannte durch Koeffizientenvergleich bestimmen. \begin{itemize} \item mit Hilfe lin. Gleichungssystem oder \item durch Einsetzen passender Werte für x, so das immer alles bis auf eine Therm den Faktor 0 hat, und so wegfällt. So lässt sich dieser Therm dann direkt auswerten. \end{itemize} \item Kontrolle!!! \item Stammfunktion der Umgeformten Gleichung bestimmen. Fertig!! \end{enumerate} \subsubsection{Substitution\index{Integral!Substitution}\index{Substitution!Integral} \textsf{\small II.126}} \[ \int f\left(\phi\left(t\right)\right)\cdot\phi'\left(x\right)\ dt=\left(\int f\left(x\right)dx\right)_{x=\phi\left(t\right)}\] \[ \int f\left(x\right)\ dx=\left(\int f\left(\phi\left(t\right)\right)\cdot\phi'\left(t\right)\ dt\right)_{t=\phi^{-1}\left(x\right)}\] \begin{enumerate} \item Gebrauchsanweisung \begin{enumerate} \item Eine passende Ersetzung suchen \begin{enumerate} \item $t=g\left(x\right)$ \item diese Ableiten $\frac{dt}{dx}=g'\left(t\right)=\ldots$ \item umstellen $dx=\frac{dt}{g'\left(t\right)}=\ldots$ \end{enumerate} \item Im Integral Substituieren mit Hilfe von (a).i (bzw. $x=g^{-1}\left(t\right)=\ldots$) und (a).iii \item Versuchen Stammfunktion zu bilden \begin{enumerate} \item wenn es nicht klappt, evtl. andere Substitution versuchen \item evtl. passend klammern, um bekannte Integrale zu Nutzen \end{enumerate} \item Im Ergebnis (Stammfunktion) zurücksubstituieren mit (a).i \end{enumerate} \item Gebrauchsanweisung \begin{enumerate} \item Eine passende Ersetzung suchen \begin{enumerate} \item $x=\phi\left(t\right)$ \item diese Ableiten $\frac{dx}{dt}=\phi'\left(t\right)=\ldots$ \item umstellen $dx=\phi'\left(t\right)dt=\ldots$ \end{enumerate} \item Umkehrfunktion bilden $t=\phi^{-1}\left(x\right)$ \item Im Integral Subtituieren mit Hilfe von (a).i und (a).iii \item Versuchen Stammfunktion zu bilden \begin{enumerate} \item wenn es nicht klappt, evtl. andere Substitution versuchen \item evtl. passend klammern, um bekannte Integrale zu Nutzen \end{enumerate} \item Im Ergebnis (Stammfunktion) zurücksubstituieren mit (a).i \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{itemize} \item Beide Methoden äquivalent durch Regel der Ableitung der Umkehrfunktion. \item In der Tabelle \vref{cap:Substitution-unbestimmten-Int} hat man eine Übersicht von geeigneten Substitutionen. \item So Klammern und Substituieren, das es auf etwas bekanntes (z.B. Ableitungen von Trigonometrischen-, Hyperbolischen- oder Areafunktioen) zurückführen lässt. \item Auf jeden Fall Probe!!! \end{itemize} % \begin{table*}[th] \caption{\label{cap:Substitution-unbestimmten-Int}Substitution zur unbestimmten Integration ($R$ ist eine rationale Funktion in $x,y$)} \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline Funktion& Methode& $t$& $x$\tabularnewline \hline \hline $R\left(x\right)$& \multicolumn{3}{c|}{Polynomdivision + Partialbruchzerlegung}\tabularnewline \hline $R\left(x,\sqrt[k]{ax+b}\right)$& Substitution& $t=\sqrt[k]{ax+b}$& $x=\frac{t^{k}}{a}-\frac{b}{a}$\tabularnewline \hline $R\left(x,\sqrt[k]{\frac{ax+b}{cx+d}}\right)$& Substitution& $t=\sqrt[k]{\frac{ax+b}{cx+d}}$& $x=\frac{b-dt^{k}}{ct^{k}-a}$\tabularnewline \hline $R\left(\sin\left(ax\right),\cos\left(ax\right)\right)$& Substitution& $t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$& $x=2\textrm{arctan}\left(t\right)$\tabularnewline \hline $R\left(e^{ax},e^{-ax}\right)$& Substitution& $t=e^{ax}$& $x=\frac{\ln\left(t\right)}{a}$\tabularnewline \hline $R\left(x,\sqrt{ax^{2}+bx+c}\right)$& Substitution& \multicolumn{2}{c|}{$t=\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^{2}}}$ bzw. $t=\frac{2ax+b}{\sqrt{b^{2}-4ac}}$}\tabularnewline \hline \end{tabular} \end{table*} \subsection{Uneigentliche\index{Integral!Uneigentliche}\index{Uneigentliche Integrale} Integrale \textsf{\small II.131}} Unter uneigentlichen Integralen versteht man uneingeschränkte Integrale (z.B.~$\int_{-\infty}^{+\infty}$) oder Integrale über uneingeschränkte Funktionen (z.B.~$\int_{-1}^{1}\frac{1}{x}\ dx$). Sei $-\infty0$ einen $k_{0}\in\mathbb{N}$ gibt mit $\forall k,l>k_{0}:\left\Vert \vec{a}_{k}-\vec{a}_{l}\right\Vert <\epsilon$ \end{itemize} \subsubsection{Randpunkt\index{Randpunkt} / Häufungspunkt\index{Häufungspunkt} \textsf{\small II.200}} Ein $\vec{a}\in\mathbb{R}^{n}$ heißt \emph{Randpunkt} von $M\subseteq\mathbb{R}^{n}$, wenn für jede $\epsilon$-Umgebung $U_{\epsilon}\left(\vec{a}\right):=\left\{ \vec{x}\in\mathbb{R}^{n}|\left\Vert \vec{x}-\vec{a}\right\Vert <\epsilon\right\} $ sowohl $U_{\epsilon}\left(\vec{a}\right)\cap M\neq\emptyset$ als auch $U_{\epsilon}\left(\vec{a}\right)\cap\left(\mathbb{R}^{n}\backslash M\right)\neq\emptyset$ gilt. Ein $\vec{a}$ heißt \emph{Häufungspunkt} von $M$, falls es zu jeder $\epsilon$-Umgebung $U_{\epsilon}\left(\vec{a}\right)$ ein Element $\vec{x}_{\epsilon}\neq\vec{a}$ von $M$ mit $\vec{x}_{\epsilon}\in U_{\epsilon}\left(\vec{a}\right)$ gibt. Ein $\vec{a}\in M$ heißt \emph{innerer Punkt\index{innerer Punkt}} $\Leftrightarrow$ $\vec{a}$ kein \emph{Randpunkt} von $M$. \begin{itemize} \item Jede unendliche beschränkte Menge $M\in\mathbb{R}^{n}$besitzt mindestens einen Häufungspunkt (Satz von Bolzano-Weierstraß\index{Bolzano-Weierstraß}). \end{itemize} \subsubsection{Abgeschlossen\index{Abgeschlossen} / Kompakt\index{Kompakt}} $M$ heißt \emph{abgeschlossen}, wenn jeder Randpunkt von $M$ zu $M$ gehört. $M$ heißt \emph{kompakt}, falls $M$ beschränkt und abgeschlossen ist. \subsection{Stetigkeit\index{Stetigkeit} und Grenzwert\index{Grenzwert} \textsf{\small II.203}} \subsubsection{Stetigkeit\index{Stetigkeit} \textsf{\small II.203}} Eine Funktion $f:D\rightarrow\mathbb{R}$, wobei $D\subseteq\mathbb{R}^{n}$, heißt \emph{stetig in $\vec{x}_{0}\in D$}, wenn für jede Folge $\left(\vec{x}_{n}\right)$, mit $\vec{x}_{n}\rightarrow\vec{x}_{0}$ gilt: $f\left(\vec{x}_{n}\right)\rightarrow f\left(\vec{x}_{0}\right)$. Sie heißt \emph{gleichmäßig stetig}\index{gleichmäßig stetig}, falls es zu jedem $\varepsilon>0$ ein $\delta$ gibt, so daß \[ \forall_{D}^{\vec{x},\vec{x}_{0}}:\left\Vert \vec{x}-\vec{x}_{0}\right\Vert <\delta:\Rightarrow\left\Vert f\left(\vec{x}\right)-f\left(\vec{x}_{0}\right)\right\Vert <\varepsilon\] Eine Funktion $\vec{f}:D\rightarrow\mathbb{R}^{m}\;\left(D\subseteq\mathbb{R}^{n}\right)$ heißt stetig in $\vec{x}_{0}\in D$, falls jede Komponente $f_{j}:D\rightarrow\mathbb{R}\;\left(j=1,\ldots,n\right)$ stetig ist. $\vec{f}\left(\vec{x}\right)=\left(\begin{array}{c} f_{1}\left(\vec{x}\right)\\ \vdots\\ f_{1}\left(\vec{x}\right)\end{array}\right)$ \begin{itemize} \item Folgenkriterium\index{Folgenkriterium} aus $\mathbb{R}^{1}$ anwendbar. \item wenn $f$ und $g$ stetig $\rightarrow$folgende Funktionen sind stetig \begin{itemize} \item $f+g$ \item $fg$ \item $\frac{f}{g}$ falls $g\left(\vec{x}_{0}\right)\neq0$ \item $g\circ f$ bzw. $f\circ g$ falls Definitions- und Wertebereiche passen \end{itemize} \item Sei $\vec{f}:D\rightarrow\mathbb{R}^{n}\;\left(D\subseteq\mathbb{R}^{n}\right)$ injektiv, in $\vec{x}_{0}\in D$ stetig mit kompakten Definitionsbereich $D$. Dann ist die Umkehrfunktion\index{Umkehrfunktion} $\vec{f}^{-1}:\vec{f}\left(D\right)\rightarrow D$ in $\vec{f}\left(\vec{x}_{0}\right)\in\vec{f}\left(D\right)$ stetig. \item $\vec{f}:D\rightarrow\mathbb{R}$ habe kompakten Definitionsbereich $D\subseteq\mathbb{R}^{n}$ und sei stetig $\Rightarrow$ \begin{itemize} \item $\vec{f}$ gleichmäßig stetig auf $D$ \item $\vec{f}\left(D\right)$ kompakt \end{itemize} \end{itemize} \subsubsection{Grenzwert\index{Grenzwert} \textsf{\small II.205}} $f:D\rightarrow\mathbb{R}\;\left(D\subseteq\mathbb{R}^{n}\right)$, hat in $\vec{x}_{0}\in D$ den Grenzwert $g$, falls für jede Folge $\left(\vec{x}_{k}\right)$ mit $\vec{x}_{k}\rightarrow\vec{x}_{0}$ gilt:\[ \lim_{k\rightarrow\infty}f\left(\vec{x}_{k}\right)=g\] Wir schreiben auch $\lim_{\vec{x}\rightarrow\vec{x}_{0}}f\left(\vec{x}\right)=g$ \begin{itemize} \item wenn der Grenzwert existiert, so ist die Funktion \[ \tilde{f}\left(\vec{x}\right):=\left\{ \begin{array}{cc} f\left(\vec{x}\right) & \vec{x}\in D,\vec{x}\neq\vec{x}_{0}\\ g & \vec{x}=\vec{x}_{0}\end{array}\right.\] stetig an $\vec{x}_{0}$. \end{itemize} \subsubsection{(relative) Maxi-/Minima\index{Maximum}\index{Minimum}\index{relatives Maximum}\index{relatives Minimum} \textsf{\small II.207}} Eine Funktion $f:D\rightarrow\mathbb{R}\;\left(D\subseteq\mathbb{R}^{n}\right)$ hat in $\vec{x}_{0}\in D$ ein \emph{relatives Minimum} (\emph{Maximum}), wenn es eine Umgebung $U_{\varepsilon}\left(\vec{x}_{0}\right)$ gibt, so daß $f\left(\vec{x}\right)\geq f\left(\vec{x}_{0}\right)$ ($f\left(\vec{x}\right)\leq f\left(\vec{x}_{0}\right)$) für alle $\vec{x}\in U_{\varepsilon}\left(\vec{x}_{0}\right)$. $\vec{x}_{0}\in D$ heißt \emph{absolutes Minimum} (\emph{Maximum}), wenn $f\left(\vec{x}\right)\geq f\left(\vec{x}_{0}\right)$ ($f\left(\vec{x}\right)\leq f\left(\vec{x}_{0}\right)$) für alle $\vec{x}\in D$. \begin{itemize} \item Wenn $f$ stetig, und $D$ kompakt $\Rightarrow$ es existiert mindestens ein Maximum und ein Minimum auf $D$ (an den Rändern). \end{itemize} \subsection{Partielle Ableitung\index{partielle Ableitung} \textsf{\small II.208}} \subsubsection{Partielle Differenzierbarkeit \textsf{\small II.208}} Sei $f:D\rightarrow\mathbb{R}\;\left(D\subseteq\mathbb{R}^{n}\right)$ eine Funktion und $\vec{x}\in D$. Wenn der Grenzwert \[ \lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(\vec{x}+h\vec{e}_{j}\right)-f\left(\vec{x}\right)}{h}=f_{x_{j}}\left(\vec{x}\right)=\frac{\partial f}{\partial x_{j}}\left(\vec{x}\right)\] für ein $j\in\left\{ 1,\ldots,n\right\} $ existiert, so heißt $f$ in $\vec{x}$ \emph{partiell} nach $x_{j}$ \emph{differenzierbar}. \subsubsection{Gradient\index{Gradient} \textsf{\small II.210}} $f:D\rightarrow\mathbb{R}\;\left(D\subseteq\mathbb{R}^{n}\right)$ sei in $\vec{x}\in D$ nach allen $x_{j}\ \left(j=1,\ldots,n\right)$ partiell differenzierbar. Dann heißt\[ \mathrm{grad}f\left(\vec{x}_{0}\right):=\nabla f\left(\vec{x}_{0}\right)=\left(\begin{array}{c} f_{x_{1}}\left(\vec{x}_{0}\right)\\ \vdots\\ f_{x_{n}}\left(\vec{x}_{0}\right)\end{array}\right)\] der Gradient von $f$ im Punkt $\vec{x}_{0}$. \begin{itemize} \item $\nabla$ wird nabla gesprochen (ist kein echter griechischer Buchstabe) \item Der Gradient gibt die Richtung des stärksten Anstiegs von $f$ in $\vec{x}_{0}$ an \end{itemize} \subsubsection{Richtungsableitung\index{Richtungsableitung} \textsf{\small II.213}} Sei $f:D\rightarrow\mathbb{R}\;\left(D\subseteq\mathbb{R}^{n}\right)$, $\vec{x}\in D$, $\vec{e}\in\mathbb{R}^{n}$ Einheitsvektor. Falls\[ \frac{\partial f}{\partial\vec{e}}\left(\vec{x}\right):=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(\vec{x}+h\vec{e}\right)-f\left(\vec{x}\right)}{h}=\nabla f\left(\vec{x}\right)\vec{e}\] existiert, heißt $f$ in $\vec{x}$ \emph{differenzierbar in Richtung} $\vec{e}$ und $\frac{\partial f}{\partial\vec{e}}\left(\vec{x}\right)$ heißt \emph{Richtungsableitung} von $f$ \emph{in Richtung} $\vec{e}$. \begin{itemize} \item Partielle Ableitung $\hat{=}$ Richtungsableitung in Richtung der $j$-ten Koordinate \end{itemize} \subsubsection{Partielle Ableitungen höherer Ordnung \textsf{\small II.215}} Die Funktion $f:D\rightarrow\mathbb{R}\;\left(D\subseteq\mathbb{R}^{n}\right)$ sei nach der Variablen $x_{k}$ partiell differenzierbar. Im Punkt $x_{0}\in D$ existiert die partielle Ableitung der Funktion $f_{x_{k}}:D\rightarrow\mathbb{R}$ nach $x_{j}$. Dann bezeichnet man \[ \frac{\partial f_{x_{k}}}{\partial x_{j}}\left(x_{0}\right)=f_{x_{k}k_{j}}\left(x_{0}\right)=\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{k}}\left(x_{0}\right)\] als partielle Ableitung zweiter Ordnung der Funktion $f$ nach den Variablen $x_{k}$ und $x_{j}$. Entsprechend werden partielle Ableitungen höherer Ordnung erklärt. \subsubsection{Hessematrix\index{Hessematrix} $Q_{A}$ \textsf{\small II.238}} Die \emph{Hessematrix} ist wie folgt definiert.\begin{eqnarray*} H\left(\vec{x}_{0}\right) & = & \left(f_{x_{j}x_{k}}\left(x\right)\right)_{j,k=1,\ldots,n}\\ & = & \left(\begin{array}{ccc} f_{x_{1}x_{1}}\left(x\right) & \ldots & f_{x_{1}x_{n}}\left(x\right)\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ f_{x_{n}x_{1}}\left(x\right) & \ldots & f_{x_{n}x_{n}}\left(x\right)\end{array}\right)\end{eqnarray*} \begin{itemize} \item ist symmetrisch, falls $f\in C^{2}\left(D\right)$ ist \end{itemize} \subsubsection{Differenzierbarkeitsklassen\index{Differenzierbarkeitsklassen} \textsf{\small II.230}} Sei $f:D\rightarrow\mathbb{R}\;\left(D\subset\mathbb{R}^{n}\right)$. Wir schreiben\[ f\in C^{j}\left(D\right)\] ($f$ gehört zu Klasse $C^{j}$) falls sämtliche partiellen Ableitungen bis zur $j$-ten Ordnung existieren und stetig sind. \subsubsection{Satz von Schwarz\index{Schwarz} / Vertauschbarkeit\index{Vertauschbarkeit} der partiellen\index{partielle Ableitung} Ableitungen \textsf{\small II.230}} Sei $f:D\rightarrow\mathbb{R}$ eine Funktion mit $f\in C^{j}\left(D\right).$ Dann gilt: Die mehrfache Ableitung $f_{x_{k_{1}},\ldots,x_{k_{j}}}$ ist von der Reihenfolge der partiellen Ableitungen unabhängig, d.h. für jede Permutation der Indizes ergibt sich das selbe Resultat. \subsubsection{Parameterabhängige\index{Parameterabhängig} Integrale\index{Integral} \textsf{\small II.216}} Sei $f\left(x,t\right)$in $D:=\left[a,b\right]\times\left[\alpha,\beta\right]$ stetige, reellwertige Funktion mit stetiger partieller Ableitung $f_{t}\left(x,t\right)$. Dann ist für beliebige $x_{0}\in\left[a,b\right]$ die Funktion $F\left(y,t\right):=\int_{x_{0}}^{y}f\left(x,t\right)dx$ stetig und besitzt partielle Ableitungen $F_{y}\left(y,t\right)=f\left(y,t\right)$ und $F_{t}=\int_{x_{0}}^{x}f_{t}\left(x,t\right)dt$. \begin{itemize} \item eine art. Vertauschbarkeit von Grenzwerten \end{itemize} \section{Differenzierbare\index{Differenzierbare Funktionen} Funktionen im $\mathbb{R}^{n}$ \textsf{\small II.219}} \subsection{Der Differenzierbarkeitsbegriff \textsf{\small II.219}} \subsubsection{Definition für $\dim\left(Bild\right)=1$ \textsf{\small II.219}} Sei $f:D\rightarrow\mathbb{R},\left(D\subseteq\mathbb{R}^{n}\right),x_{0}\in D$ ein innerer Punkt von $D$. $f$ heißt \emph{differenzierbar in $\vec{x}_{0}$}, wenn es ein $\vec{c}\in\mathbb{R^{n}}$ und eine Funktion $r:U_{\varepsilon}\left(\vec{x}_{0}\right)\rightarrow\mathbb{R}$ gibt mit\[ \lim_{\vec{x}\rightarrow\vec{x}_{0}}r\left(\vec{x}\right)=0\] und \[ f\left(\vec{x}\right)=f\left(\vec{x}_{0}\right)+\vec{c}\left(\vec{x}-\vec{x}_{0}\right)+r\left(\vec{x}\right)\left\Vert \vec{x}-\vec{x}_{0}\right\Vert \] gilt. Dies entspricht einer \emph{linearen Approximierbarkeit\index{linear Approximierbar}} von $f$. \begin{itemize} \item Wenn eine Funktion $f$ im inneren Punkt $x_{0}\in D$ differenzierbar\index{differenzierbar} ist, dann ist sie dort auch stetig\index{stetig}. \item $f$ differenzierbar in $\vec{x}_{0}$ $\Rightarrow$ es existieren alle partiellen\index{partielle Ableitung} Ableitungen von $f$ in $\vec{x}_{0}$, und es gilt $\vec{c}=\mathrm{grad}f\left(\vec{x}_{0}\right)$ \item Existieren alle partiellen Ableitungen $f_{x_{j}}\left(\vec{x}\right)$ und sind stetig in $\vec{x}_{0}$ $\Rightarrow$$f$ ist differenzierbar in $\vec{x}_{0}$ \item Differenzierbar ist Erweiterung der Existenz des Gradienten um die Bedingung der Stetigkeit \item Gleichung der \emph{Tangentialebene}\index{Tangentialebene}:\\ $x_{n+1}=f\left(\vec{x}_{0}\right)+\nabla f\left(\vec{x}_{0}\right)\left(\vec{x}-\vec{x}_{0}\right)$ \begin{itemize} \item Ebene befindet sich in einem Raum mit der Dimension $n+1$ \item \emph{Normalenvektor\index{Normalenvektor}} der Ebene: $\vec{n}\left(\vec{x}_{0}\right)=\left(f_{x_{1}}\left(\vec{x}_{0}\right),\ldots,f_{x_{n}}\left(\vec{x}_{0}\right),-1\right)$ \end{itemize} \end{itemize} \subsubsection{Funktionalmatrix\index{Funktionalmatrix} oder Jacobimatrix\index{Jacobimatrix} \textsf{\small II.223}} Sei $\vec{f}:D\rightarrow\mathbb{R}^{m}\;\left(D\subseteq\mathbb{R}^{n}\right)$ eine Funktion, $\vec{x}_{0}\in D$ ein innerer Punkt. $\vec{f}=\left(f_{1},\ldots,f_{m}\right)$ heißt in $\vec{x}_{0}$ differenzierbar, falls alle Komponentenfunktionen\index{Komponentenfunktionen} $f_{j}$ differenzierbar sind.\begin{eqnarray*} \frac{d\vec{f}}{d\vec{x}}\left(\vec{x}_{0}\right) & = & J_{\vec{f}}\\ & = & \left(\begin{array}{c} \nabla f_{1}\left(\vec{x}_{0}\right)\\ \vdots\\ \nabla f_{m}\left(\vec{x}_{0}\right)\end{array}\right)\\ & = & \left(\frac{\partial f_{k}\left(\vec{x}_{0}\right)}{\partial x_{j}}\right)_{{{k=1,\ldots,m\atop j=1,\ldots,n}}}\end{eqnarray*} heißt \emph{Funktionalmatrix} oder \emph{Jacobimatrix} von $\vec{f}$ in $\vec{x}_{0}$. \begin{itemize} \item Zeilen der Jacobimatrix = Gradienten der Komponentenfunktionen. \end{itemize} Differenzierbarkeit mehrdimensionaler Funktion\index{mehrdimensionale Funktionen} $\vec{f}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{m}$wenn:\[ \vec{f}\left(\vec{x}\right)=\vec{f}\left(\vec{x}_{0}\right)+\frac{d\vec{f}}{d\vec{x}}\left(\vec{x}-\vec{x}_{0}\right)+\vec{r}\left(\vec{x}\right)\left\Vert \vec{x}-\vec{x}_{0}\right\Vert \] \subsubsection{Kettenregel\index{Kettenregel} \textsf{\small II.225}} Sei $\vec{f}:D\rightarrow\mathbb{R}^{m}\;\left(D\subset\mathbb{R}^{n}\right)$, $\vec{g}:\vec{f}\left(D\right)\rightarrow\mathbb{R}^{p}$, $\vec{x}_{0}\in D$ innerer Punkt, $\vec{f}\left(\vec{x}_{0}\right)\in\vec{f}\left(D\right)$ innerer Punkt. Sind $f$ in $\vec{x}_{0}$ und $\vec{g}$ in $\vec{f}\left(\vec{x}_{0}\right)$ differenzierbar, so ist die Verkettung $\vec{g}\circ\vec{f}$ in $\vec{x}_{0}$ differenzierbar mit \[ \frac{d\left(\vec{g}\circ\vec{f}\right)}{d\vec{x}}\left(\vec{x}_{0}\right)=\frac{d\vec{g}}{d\vec{y}}\left(\vec{f}\left(\vec{x}_{0}\right)\right)\frac{d\vec{f}}{d\vec{x}}\left(\vec{x}_{0}\right)\] \subsection{Lokale\index{Lokale Extrema} Extrema\index{Extremstellen}} \subsubsection{Notwendige Bedingung für lokale Extrema \textsf{\small II.238}} Sei $f:D\rightarrow\mathbb{R}\;\left(D\subset\mathbb{R}^{n}\right)$ differenzierbar und besitzt $f$ in $D$ ein \emph{relatives} Extrema in $\vec{x}_{0}$, dann gilt $\nabla f'\left(\vec{x}_{0}\right)=\vec{0}$. \subsubsection{Quadratische Form\index{Quadratische Form} / Definit\index{Definit} \textsf{\small II.239}} Eine \emph{quadratische Form} auf $\mathbb{R}^{n}$ ist eine Abbildung \[ Q_{A}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}\; Q_{A}\left(\vec{x}\right)=\vec{x}^{T}A\vec{x}\] für eine symmetrische $n\times n$-Matrix $A$. $Q_{A}$ heißt \emph{positiv definit\index{positiv definit}} (bzw. \emph{negativ definit}\index{negativ definit}), wenn \[ \forall\vec{x}\in\mathbb{R}^{n},\vec{x}\neq\vec{0}:Q_{A}\left(\vec{x}\right)>0\] (bzw. $\forall\vec{x}\in\mathbb{R}^{n},\vec{x}\neq\vec{0}:Q_{A}\left(\vec{x}\right)<0$) gilt. $Q_{A}$ heißt \emph{indefinit\index{indefinit}}, falls \[ \exists\vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^{n},\vec{x},\vec{y}\neq\vec{0}:Q_{A}\left(\vec{x}\right)<0,Q_{A}\left(\vec{y}\right)>0\] gilt. \begin{itemize} \item $\frac{dQ_{A}\left(\vec{x}\right)}{d\vec{x}}=2A\vec{x}$ \end{itemize} \subsubsection{Hinreichende Bedingungen für lokale Extremstellen \textsf{\small II.240}} Sei $D\subset\mathbb{R}^{n}$ offen, $f:D\rightarrow\mathbb{R}$ gehört zu Klasse $C^{2}\left(D\right)$. Im Punkt $\vec{x}_{0}\in D$ gelte $\nabla f\left(\vec{x}_{0}\right)=\vec{0}$. Dann besitzt $f$ in $\vec{x}_{0}$ ein relatives Maximum (bzw. Minimum), falls die Hesse-Matrix $H\left(\vec{x}_{0}\right)$ negativ definit (bzw. positiv definit) ist. Ist $H\left(\vec{x}_{0}\right)$ indefinit, so kann $f$ in $\vec{x}_{0}$ keine Extremalstelle besitzen. \begin{itemize} \item $H\left(\vec{x}_{0}\right)$ positiv (negativ) definit\index{definit} $\Leftrightarrow$ Alle Eigenwerte\index{Eigenwerte} von $H\left(\vec{x}_{0}\right)$ positiv (negativ) sind \item $H\left(\vec{x}_{0}\right)$ indefinit\index{indefinit} $\Leftrightarrow$ Es gibt sowohl positive, als auch negative Eigenwerte\index{Eigenwerte} von $H\left(\vec{x}_{0}\right)$ \end{itemize} \subsubsection{Sonderfall für $D\subseteq\mathbb{R}^{2}$} Eine Funktion $f:D\rightarrow\mathbb{R}\;\left(D\subseteq\mathbb{R}^{2}\right)$ sei in Klasse $C^{2}\left(D\right)$ und es gelte $\nabla f\left(x_{0},y_{0}\right)=\vec{0}$. Dann gilt mit \[ d=\left(f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}\right)\left(x_{0},y_{0}\right)\] \begin{itemize} \item Ist $d>0$ und $f_{xx}>0$ $\Rightarrow f$ hat relatives Minimum an $\left(x_{0},y_{0}\right)$ \item Ist $d>0$ und $f_{xx}<0$ $\Rightarrow f$ hat relatives Maximum an $\left(x_{0},y_{0}\right)$ \item Ist $d<0$ $\Rightarrow f$ hat kein Extremum an $\left(x_{0},y_{0}\right)$ \end{itemize} \subsection{Implizite\index{Implizite Funktionen} Funktionen \textsf{\small II.242}} \subsubsection{Extremwerte\index{Extremwerte} unter Nebenbedingungen\index{Nebenbedingungen} / Lagrange-Multiplikation\index{Lagrange-Multiplikation} \textsf{\small II.250}} Sei $D\subseteq\mathbb{R}^{n}$ offen, die Funktion $f:D\rightarrow\mathbb{R}$, $\vec{g}:D\rightarrow\mathbb{R}^{l}$ ($l$-Nebenbedingungsfunktionen zu Vektor zusammengefasst) mit $l0$ für alle $t\in\left[a,b\right]$, und es gelte \[ \forall_{\left[a,b\right]}^{t}:\vec{f}\left(t\right)=\vec{\tilde{f}}\left(\psi\left(t\right)\right)\] Dann heißen $\vec{f},\vec{\tilde{f}}$ \emph{zueinander äquivalente Darstellungen\index{aequivalente Darstellungen}\index{zueinander aequivalente Darstellungen}} der Kurve\[ K=\left\{ \vec{x}|\exists_{\left[a,b\right]}^{t}:\vec{x}=\vec{f}\left(t\right)\right\} =\left\{ \vec{x}|\exists_{\left[\tilde{a},\tilde{b}\right]}^{\tilde{t}}:\vec{x}=\vec{\tilde{f}}\left(\tilde{t}\right)\right\} \] \subsubsection{Tangente \textsf{\small II.287}} Sei $K$ eine Stückweise glatte Kurve, die durch $\vec{f}:\left[a.b\right]\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ dargestellt werde. Der Vektor $\vec{f}'\left(t\right)$heißt \emph{Tangentenvektor an $K$ im Punkt $\vec{f}\left(t\right)$\index{Tangentenvektor}}, \[ \vec{f_{0}}'\left(t\right)=\frac{\vec{f}'\left(t\right)}{\left\Vert \vec{f}'\left(t\right)\right\Vert }\] heißt \emph{Tangenteneinheitsvektor\index{Tangenteneinheitsvektor}} im Punkt $\vec{f}\left(t\right)$. Die Gerade \[ \vec{f}\left(t\right)+\lambda\vec{f}_{0}'\left(t\right)\] heißt \emph{Tangente an $K$ im Punkt $\vec{f}\left(t\right)$\index{Tangente}}. \begin{itemize} \item Die Tangenten sind unabhängig von der Parametrisierung ($\vec{f}=\vec{\tilde{f}}\circ\psi$)\\ $\vec{f}_{0}'\left(t\right)=\vec{\tilde{f}}_{0}'\left(\psi\left(t\right)\right)$ \end{itemize} \subsubsection{Länge einer Kurve \textsf{\small II.288}} Durch $f$ werde eine glatte, doppelpunktfreie Kurve $K$ dargestellt. Das Integral \[ L\left(K\right)=\int_{a}^{b}\left\Vert \vec{f}'\left(t\right)\right\Vert dt\] heißt \emph{Länge der Kurve $K$\index{Laenge einer Kurve}}. \begin{itemize} \item Falls Doppelpunkte vorhanden sind $\Rightarrow$ Kurve Auftrennen, bzw. Nullmengen weglassen \item Die Länge einer Kurve ist unabhängig von der Darstellung (Parametrisierung)\\ $\int_{a}^{b}\left\Vert \vec{f}'\left(t\right)\right\Vert dt=\int_{\tilde{a}}^{\tilde{b}}\left\Vert \vec{\tilde{f}}'\left(\tilde{t}\right)\right\Vert d\tilde{t}$ \end{itemize} \subsubsection{Bogenlänge \textsf{\small II.291}} Sei $K$ eine glatte doppelpunktfreie Kurve, die durch $\vec{f}:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ gegeben sei. Dann heißt die Funktion $s:\left[a,b\right]\rightarrow\left[0,L\left(K\right)\right]$, erklärt durch\[ s\left(t\right)=\int_{a}^{t}\left\Vert \vec{f}'\left(\tau\right)\right\Vert d\tau\] die \emph{Bogenlänge\index{Bogenlänge}} der Kurve $K$. \begin{itemize} \item abhängig von Parametrisierung \end{itemize} \subsubsection{Konstantes Durchlaufen einer Kurve \textsf{\small II.292}} Sei $K$ eine glatte doppelpunktfreie Kurve. Die Bogenlänge $s$ ist eine stetige, differenzierbare, streng monoton wachsende Funktion und besitzt eine Umkehrfunktion $s^{-1}$ mit denselben Eigenschaften. Die Parameterdarstellung $\vec{\tilde{f}}:\left[0,L\left(K\right)\right]\rightarrow\mathbb{R}^{n}$, $\vec{\tilde{f}}\left(\tilde{t}\right):=\vec{f}\left(s^{-1}\left(\tilde{t}\right)\right)$ ist zur gegebenen Darstellung $\vec{f}:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ äquivalent, und es gilt \[ \left\Vert \vec{\tilde{f}}'\left(t\right)\right\Vert =1\] \begin{itemize} \item Bei Parametrisierung durch Bogenlänge durchlaufen wir die Kurve mit konstanter Geschwindigkeit \end{itemize} \subsubsection{Vektorfeld / Skalarfeld \textsf{\small II.292}} Eine auf einer offenen Teilmenge $D\subseteq\mathbb{R}^{n}$ erklärte, stetig differenzierbare Funktion $\vec{V}:D\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ nennen wir ein \emph{Vektorfeld\index{Vektrofeld}}. Entsprechend heißt $P:D\rightarrow\mathbb{R}$ ein \emph{Skalarfeld\index{Skalarfeld}}. \subsubsection{Kurvenintegral \textsf{\small II.293}} Sei $D\subseteq\mathbb{R}^{n}$ offen, $\vec{V}:D\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ ein Vektorfeld. Sei $K$ eine durch $\vec{f}:\left[a,b\right]\rightarrow D$ gegebene stückweise glatte Kurve. Dann heißt \[ \int_{K}\vec{V}d\vec{s}:=\int_{a}^{b}\vec{V}\left(\vec{f}\left(t\right)\right)\vec{f}'\left(t\right)dt\] das \emph{Kurvenintegral von $\vec{V}$ längs $K$\index{Kurvenintegral}}. \begin{itemize} \item Das Kurvenintegral ist unabhängig von der Parametrisierung von $K$ \end{itemize} \subsubsection{Potentialfeld \textsf{\small II.295}} Ein Vektorfeld $\vec{V}:D\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ heißt \emph{Potentialfeld\index{Potentialfeld}}, falls es eine Funktion $P:D\rightarrow\mathbb{R}$mit $\nabla P\left(\vec{x}\right)=\vec{V}\left(\vec{x}\right)$ gibt. \subsubsection{Konvex} $D\subseteq\mathbb{R}^{n}$ heißt \emph{konvex\index{konvex}} $\Leftrightarrow$ mit je zwei Punkten $\vec{x}_{1},\vec{x}_{2}\in D$ gehört auch die Verbindungsgrade $\left\{ \vec{x}\in\mathbb{R}^{n}|\vec{x}=\vec{x}_{1}+\lambda\left(\vec{x}_{2}-\vec{x}_{1}\right),\lambda\in\left[0,1\right]\right\} $ zu $D$. \subsubsection{Wegunabhängiges\index{wegunabhaengig} Kurvenintegral \textsf{\small II.295}} Sei $D\subseteq\mathbb{R}^{n}$ offen und konvex und $\vec{V}:D\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ ein Vektorfeld. Dann gilt: Das Kurvenintegral $\int_{K}\vec{V}\ d\vec{s}$ ist wegunabhängig $\Leftrightarrow$ $\vec{V}$ ist ein Potentialfeld. \begin{itemize} \item Wenn $P$ mit $\nabla P\left(\vec{x}\right)=\vec{V}\left(\vec{x}\right)$ bekannt ist, dann gilt:\\ $\int_{K}\vec{V}\ d\vec{s}=P\left(\vec{f}\left(b\right)\right)-P\left(\vec{f}\left(a\right)\right)$ \end{itemize} \subsubsection{Zentralfeld \textsf{\small II.297}} Sei $g:\mathbb{R}_{>0}\rightarrow\mathbb{R}$ stetig. Dann wird durch $\vec{V}\left(\vec{x}\right)=g\left(\left\Vert \vec{x}\right\Vert \right)\frac{\vec{x}}{\left\Vert \vec{x}\right\Vert }$ ein Vektorfeld auf $\mathbb{R}^{n}\backslash\left\{ \vec{0}\right\} $ gegeben. Man bezeichnet solche Felder als \emph{Zentralfeld\index{Zentralfeld}}. \begin{itemize} \item Zentralfelder sind immer Potentialfelder mit:\\ $\int_{K}\vec{V}\ d\vec{s}=\int_{\left\Vert \vec{f}\left(a\right)\right\Vert }^{\left\Vert \vec{f}\left(b\right)\right\Vert }g\left(t\right)\ dt$ \end{itemize} \section{Vektorrechnung\index{Vektorrechnung} in $\mathbb{V}^{3}$ \textsf{\small I.76}} \subsection{Definition eines Vektors \textsf{\small I.76}} Vektor $\vec{a}$ ist Element der Menge der geordneten Zahlen Tripple. Er wirkt auf einen Punkt, indem er ihn auf den Koordinatenachsen um die angegebenen Werte verschiebt, deshalb werden Vektoren auch Verschiebungsvektoren genannt.\\ \begin{eqnarray*} \vec{a}\in\mathbb{V}^{3} & = & \mathbb{R}^{3}=\left\{ \left(x,y,z\right)|x,y,z\in\mathbb{R}\right\} \\ & = & \left(x_{a},y_{a},z_{a}\right)\quad\mathrm{Zeilenvektor}\\ & = & \left(\begin{array}{c} x_{a}\\ y_{a}\\ z_{a}\end{array}\right)\quad\mathrm{Spaltenvektor}\end{eqnarray*} \index{Zeilenvektor}\index{Spaltenvektor} Zeilen- und Spaltenvektoren sind nur unterschiedliche Schreibweise, haben aber mathematisch die gleiche Bedeutung. Der Verschiebungsvektor von $P$ nach $Q$ ist wie folgt definiert\[ \vec{PQ}=\vec{a}_{PQ}=\vec{OQ}-\vec{OP}\] \subsection{Vektoren als Pfeile\index{Pfeile}} \subsubsection{Rechenregeln \textsf{\small I.76}} \begin{itemize} \item Addition (Komponentenweise)\\ $\vec{a}+\vec{b}=\left(x_{a}+x_{b},y_{a}+y_{b},z_{a}+z_{b}\right)$ \item Skalarmultiplikation\index{Skalarmultiplikation}\\ $\lambda\vec{a}=\left(\lambda x_{a},\lambda y_{a},\lambda z_{a}\right)$ \item $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$ \item $\vec{a}+\left(\vec{b}+\vec{c}\right)=\left(\vec{a}+\vec{b}\right)+\vec{c}$ \item $\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}$ und $\vec{a}+\left(-\vec{a}\right)=\vec{0}$ \item $\lambda\left(\mu\vec{a}\right)=\left(\lambda\mu\right)\vec{a}$ \item $\lambda\left(\vec{a}+\vec{b}\right)=\lambda\vec{a}+\lambda\vec{b}$ \item $\left(\lambda+\mu\right)\vec{a}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{a}$ \end{itemize} \subsubsection{Länge eines Vektors\index{Länge Vektors}\index{Betrag!Vektor} \textsf{\small I.81}} Länge von $\vec{a}=\left\Vert \vec{a}\right\Vert =\sqrt{x_{a}^{2}+y_{a}^{2}+z_{a}^{2}}$ \begin{itemize} \item $\left\Vert \vec{a}\right\Vert \geq0$ \item $\left\Vert \vec{0}\right\Vert =0$ \item $\left\Vert \lambda\vec{a}\right\Vert =\left|\lambda\right|\left\Vert \vec{a}\right\Vert $ \end{itemize} \subsection{\label{sub:skalare-Produkt-R3}Das skalare Produkt\index{Produkt!Skalare}\index{skalare Produkt} \textsf{\small I.84}} Das skalare Produkt ordnet zwei Vektoren eine reelle Zahl zu.\\ (geometrisch: Betrag von $\vec{a}$ in Richtung $\vec{b}$) \[ \vec{a}\vec{b}=x_{a}x_{b}+y_{a}y_{b}+z_{a}z_{b}\] \begin{itemize} \item $\vec{a}\vec{a}=\left\Vert \vec{a}\right\Vert ^{2}$ \item $\vec{a}\vec{b}=\vec{b}\vec{a}$ \item $\left(\vec{a}+\vec{b}\right)\vec{c}=\vec{a}\vec{c}+\vec{b}\vec{c}$ \item $\left(\lambda\vec{a}\right)\vec{b}=\lambda\vec{a}\vec{b}$ \item (umgekehrte-) Dreiecksungleichung\index{Dreiecksungleichung}\\ $\left|\left\Vert \vec{a}\right\Vert -\left\Vert \vec{b}\right\Vert \right|\leq\left\Vert \vec{a}+\vec{b}\right\Vert \leq\left\Vert \vec{a}\right\Vert +\left\Vert \vec{b}\right\Vert $ \item Cauchy-Schwarze Ungleichung\index{Cauchy-Schwarze-Ungleichung}\\ $\left|\vec{a}\vec{b}\right|\leq\left\Vert \vec{a}\right\Vert \left\Vert \vec{b}\right\Vert $ \item $\vec{a}\vec{b}=0\Leftrightarrow\vec{a}\bot\vec{b}$ \end{itemize} \subsubsection{Eingeschlossener\index{Eingeschlossene Winkel} Winkel \textsf{\small I.86}} Zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ schließen den Winkel $\alpha$ ein.\[ \cos\alpha=\cos\left(\alpha\left(\vec{a},\vec{b}\right)\right)=\frac{\vec{a}\vec{b}}{\left\Vert \vec{a}\right\Vert \left\Vert \vec{b}\right\Vert }\] für $\alpha$ schreibt man auch $\alpha\left(\vec{a},\vec{b}\right)$. \subsubsection{Einheitsvektor\index{Einheitsvektor} / Renormierung\index{Renormierung} \textsf{\small I.88}} Ein Einheitsvektor ($\vec{e}$) ist ein Vektor mit beliebiger Richtung und der Länge 1. Man erhält ihn durch Renormierung.\[ \vec{e}_{a}=\frac{\vec{a}}{\left\Vert \vec{a}\right\Vert }\] \begin{itemize} \item Besondere (auf den Koordinatenachsen): $\vec{e}_{x}=(1,0,0)\quad\vec{e}_{y}=(0,1,0)\quad\vec{e}_{z}=(0,0,1)$ \end{itemize} \subsubsection{Projektion\index{Projektion} eines Vektors \textsf{\small I.89}} $\vec{a'}$ ist die Projektion des Vektors $\vec{a}$ in Richtung $\vec{e}$ ($\left\Vert \vec{e}\right\Vert =1$). \[ \vec{a'}=\left(\vec{a}\vec{e}\right)\vec{e}\] \subsubsection{Richtungskosinus\index{Richtungskosinus} \textsf{\small I.90}} Die Komponenten eines renormierten Vektors $\vec{e}$ geben den Cosinus der Winkel mit den Einheitsvektoren der Koordinatenachsen an. \subsection{Das vektorielle Produkt\index{Produkt!Vektoriell}\index{Vektorielle Produkt} \textsf{\small I.90}} Das vektorielle Produkt $\vec{a}\times\vec{b}=\vec{c}$ ordnet zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ einen dritten Vektor $\vec{c}$ zu. Man stelle sich vor, $\vec{a}$ und $\vec{b}$ spannen im Raum eine Fläche (Parallelogramm) auf. $\vec{c}$ wird auf dieser Fläche senkrecht stehen, und als Länge, den Betrag des Flächeninhalts des Parallelogramms haben. Die genaue Richtung lässt sich mit der 3-Fingerregel überlegen. Daumen = $\vec{a}$; Zeigefinger (ausgestreckt) = $\vec{b}$; Mittelfinger (90° angewinkelt) = $\vec{c}.$\[ \vec{a}\times\vec{b}=\left(\begin{array}{c} y_{a}z_{b}-z_{a}y_{b}\\ z_{a}x_{b}-x_{a}z_{b}\\ x_{a}y_{b}-y_{a}x_{b}\end{array}\right)=\left|\begin{array}{ccc} \vec{e}_{x} & a_{x} & b_{x}\\ \vec{e}_{y} & a_{y} & b_{y}\\ \vec{e}_{z} & a_{z} & b_{z}\end{array}\right|\] \begin{itemize} \item Das vektorielle Produkt ist nur in $\mathbb{V}^{3}$ definiert. \end{itemize} \subsubsection{Rechenregeln \textsf{\small I.91}} \begin{itemize} \item $\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}$ \item $\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\vec{a}=\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\vec{b}=0\Rightarrow$$\vec{a}\bot\vec{a}\times\vec{b}\bot\vec{b}$ \item $\left(\lambda\vec{a}\right)\times\vec{b}=\lambda\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)$ \item $\left(\vec{a}+\vec{b}\right)\times\vec{c}=\vec{a}\times\vec{c}+\vec{b}\times\vec{c}$ \item $\vec{a}\times\lambda\vec{a}=\vec{0}$ \item $\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}\Leftrightarrow\vec{a}\ \mathrm{und}\ \vec{b}$ sind linear unabhängig \item $\left\Vert \vec{a}\times\vec{b}\right\Vert ^{2}=\left\Vert \vec{a}\right\Vert ^{2}\left\Vert \vec{b}\right\Vert ^{2}-\left(\vec{a}\vec{b}\right)^{2}$ \item $\sin\left(\alpha\left(\vec{a},\vec{b}\right)\right)=\frac{\left\Vert \vec{a}\times\vec{b}\right\Vert }{\left\Vert \vec{a}\right\Vert \left\Vert \vec{b}\right\Vert }$ \end{itemize} \subsection{Spatprodukt\index{Spatproduckt}\index{Produckt!Spat} \textsf{\small I.95}} Das Spatprodukt ordnet drei Vektoren eine reelle Zahl zu. Diese entspricht dem Volumen des von den Vektoren aufgespannten Spats (3-dimensionales Parallelogramm). \[ \left[\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right]:=\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\vec{c}=\left|\begin{array}{ccc} a_{x} & b_{x} & c_{x}\\ a_{y} & b_{y} & c_{y}\\ a_{z} & b_{z} & c_{z}\end{array}\right|\] \begin{itemize} \item Die Wert entspricht genau dem der Determinante\index{Determinante} aus den 3 Vektoren. \item Das Spatprodukt ist nur in $\mathbb{V}^{3}$ definiert. \end{itemize} \subsubsection{Rechenregeln \textsf{\small I.96}} \begin{itemize} \item zyklisches Vertauschen\index{zyklisches Vertauschen}\\ $\left[\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right]=\left[\vec{b},\vec{c},\vec{a}\right]=\left[\vec{c},\vec{a},\vec{b}\right]$ \item antizyklisches\index{antizyklisches Vertauschen} Vertauschen\\ $\left[\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right]=-\left[\vec{a},\vec{c},b\right]$ \item $\left[\vec{a}+\vec{a'},\vec{b},\vec{c}\right]=\left[\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right]+\left[\vec{a'},\vec{b},\vec{c}\right]$ \item $\left[\lambda\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right]=\lambda\left[\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right]$ \item $\left[\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right]=0\Rightarrow\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ sind linear abhängig\index{linear abhänig} \item Entwicklungssatz\index{Entwicklungssatz}\\ $\vec{a}\times\left(\vec{b}\times\vec{c}\right)=\left(\vec{a}\vec{c}\right)\vec{b}-\left(\vec{a}\vec{b}\right)\vec{c}$ \item Lagrande-Identität\index{Lagrande-Identität}\\ $\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\left(\vec{c}\times\vec{d}\right)=\left(\vec{a}\vec{c}\right)\left(\vec{b}\vec{d}\right)-\left(\vec{a}\vec{d}\right)\left(\vec{b}c\right)$ \end{itemize} \subsection{Gerade\index{Gerade} und Ebene\index{Ebene} im Raum \textsf{\small I.99}} \subsubsection{Geradengleichung\index{Geradengleichung} \textsf{\small I.99}} \begin{itemize} \item Punkt-Richtungsform\\ $g:\vec{r}=\vec{r}_{0}+\lambda\vec{a}$ \begin{itemize} \item Ortsvektor $\vec{r}_{0}=\vec{OP_{o}}$ \item Richtungsvektor $\vec{a}$ \end{itemize} \item Zwei-Punkte-Form\\ $g:\vec{r}=\vec{r}_{0}+\lambda\vec{a}$ \begin{itemize} \item Ortsvektor $\vec{r}_{0}=\vec{OP_{o}}$ \item Richtungsvektor $\vec{a}=\vec{P_{0}P_{1}}$ \end{itemize} \item Parameterfreie Darstellung\\ $\vec{a}\times\left(\vec{r}-\vec{r}_{0}\right)=\vec{0}$ \end{itemize} \subsubsection{Ebenengleichung\index{Ebenengleichung} \textsf{\small I.107}} \begin{itemize} \item Parameterdarstellung von $E:$\\ $E:\vec{r}=\vec{r}_{0}+s\vec{a}+t\vec{b}$ \begin{itemize} \item Ortsvektor $\vec{r}_{0}$ \item Richtungsvektoren $\vec{a},\vec{b}$ (müssen linear unabhängig sein!!) \item Normalenvektor $\vec{n}=\vec{a}\times\vec{b}$ \item Aus parameterfreier\index{parameterfreie Darstellung} Darstellung per Festlegung von z.B. $y,z$ als Parameter $s,t$\\ $\vec{r}=\left(\frac{D}{A},0,0\right)+s\left(-\frac{B}{A},1,0\right)+t\left(-\frac{C}{A},0,1\right)$ \end{itemize} \item Drei-Punkte-Form\\ $E:\vec{r}=\vec{r}_{0}+s\vec{a}+t\vec{b}$ \begin{itemize} \item Ortsvektor $\vec{r}_{0}=\vec{OP_{o}}$ \item Richtungsvektoren \\ $\vec{a}=\vec{P_{0}P_{1}}\quad\vec{b}=\vec{P_{0}P_{2}}$ \end{itemize} \item Als Skalarprodukt\\ $\vec{n}\left(\vec{r}-\vec{r}_{0}\right)=0$ \item Als Spatprodukt\\ $\left[\vec{r}-\vec{r}_{0},\vec{a},\vec{b}\right]=0$ \item Parameterfreie Darstellung\\ $E:Ax+By+Cz=D$\\ $E:\vec{n}\vec{r}=D$ \begin{itemize} \item Punkt auf der Ebene $\vec{r}=\left(x,y,z\right)$ \item $A,B,C,D$ Konstanten \item Normalenvektor $\vec{n}=\left(A,B,C\right)$ \item Aus Parameterdarstellung: \begin{itemize} \item per Elimination der Parameter \item aus der Determinante des Spatprodukts ($\det\left[\left(x,y,z\right)-\vec{r}_{0},\vec{a},\vec{b}\right]=0$) \item $\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\left(\vec{r}-\vec{r}_{0}\right)=0$ \end{itemize} \end{itemize} \item Hessesche Normalform der Ebenengleichung\index{Hessesche Normalform Ebenengleichung} \textsf{\small I.114}\\ $E:\vec{e}_{n}\vec{r}-\vec{e}_{n}\vec{r}_{0}=0$ (folgt aus $E:\vec{n}\vec{r}=\vec{n}\vec{r}_{0}=D$) \begin{itemize} \item Erhält man durch Renormierung $\vec{e}_{n}=\frac{\vec{n}}{\left\Vert \vec{n}\right\Vert }$ \end{itemize} \end{itemize} \subsubsection{Lage von Geraden\index{Geraden!Lage} im Raum \textsf{\small I.99}} $g_{1}:\vec{r}=\vec{r}_{1}+t\vec{a}_{1}\quad g_{2}:\vec{r}=\vec{r}_{2}+t\vec{a}_{2}$ \begin{enumerate} \item $g_{1},g_{2}$ parallel zueinander \begin{itemize} \item $\vec{a}_{1}\times\vec{a}_{2}=0$ \item Sonderfall $g_{1}=g_{2}$ wenn zusätzlich $\vec{r}_{2}=\vec{r}_{1}+t\vec{a}_{1}$ \end{itemize} \item $g_{1},g_{2}$ schneiden sich in genau einem Punkt \begin{itemize} \item $g_{1}=g_{2}\Rightarrow$ Schnittpunkt\index{Schnittpunkt} \item $\vec{a}_{1}\times\vec{a}_{2}\neq0$ \end{itemize} \item $g_{1},g_{2}$ windschief zueinander (weder parallel noch Schnittpunkt) \begin{itemize} \item $g_{1}=g_{2}\Rightarrow$nicht lösbar \item $\vec{a}_{1}\times\vec{a}_{2}\neq0$ \item z.B. $\vec{e}_{x},\vec{e}_{y},\vec{e}_{z}$ \end{itemize} \end{enumerate} \subsubsection{Abstand\index{Gerade!Abstand} Gerade Punkt \textsf{\small I.105}} Gerade: $\vec{r}=\vec{r}_{0}+t\vec{a}$, Punkt: $\vec{r}_{1}$, Abstand $d$ \[ d=\frac{\left\Vert \vec{a}\times\left(\vec{r}_{1}-\vec{r}_{0}\right)\right\Vert }{\left\Vert \vec{a}\right\Vert }\] \subsubsection{Abstand zweier windschiefer\index{windschief} Geraden \textsf{\small I.106}} $g_{1}:\vec{r}=\vec{r}_{1}+t\vec{a}_{1}\quad g_{2}:\vec{r}=\vec{r}_{2}+t\vec{a}_{2}$ \[ d=\frac{\left|\left[\vec{a}_{1},\vec{a}_{2},\vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}\right]\right|}{\left\Vert \vec{a}_{1}\times\vec{a}_{2}\right\Vert }\] \subsubsection{Normalenvektor\index{Normalenvektor} \textsf{\small I.108}} Jeder auf der Ebene $E:\vec{r}=\vec{r}_{0}+s\vec{a}+t\vec{b}$ senkrecht stehende Vektor $\vec{n}$ wird als Normalenvektor der Ebene $E$ bezeichnet.\[ \vec{n}=\lambda\left(\vec{a}\times\vec{b}\right),\quad\lambda\neq0\] \subsubsection{Lage zweier Ebenen\index{Ebene!Lage} im Raum \textsf{\small I.111}} $E_{1}:\vec{r}=\vec{r}_{1}+s\vec{a}_{1}+t\vec{b}_{1}\quad E_{2}:\vec{r}=\vec{r}_{2}+s\vec{a}_{2}+t\vec{b}_{2}$ \begin{enumerate} \item $E_{1}=E_{2}$ (sind gleich) \begin{itemize} \item $\vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2}=\vec{0}\quad\left[\vec{a}_{1},\vec{b}_{1},\vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}\right]=0$ \end{itemize} \item $E_{1},E_{2}$ sind parallel aber nicht gleich \begin{itemize} \item $\vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2}=\vec{0}\quad\left[\vec{a}_{1},\vec{b}_{1},\vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}\right]\neq0$ \end{itemize} \item $E_{1},E_{2}$ schneiden sich in einer Geraden \begin{itemize} \item $\vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2}\neq\vec{0}=$ Richtungsvektor der Schnittgeraden\index{Schnittgeraden} \item Ortsvektor der Schnittgeraden ist ein beliebiger Punkt der auf $E_{1}$ und $E_{2}$ liegt. \end{itemize} \end{enumerate} \subsubsection{Schnittpunkt\index{Schnittpunkt} Gerade Ebene \textsf{\small I.110}} Der Schnittpunkt der Ebene $E:\vec{n}\cdot\vec{r}=D$ und der Gerade $g:\vec{r}=\vec{r}_{0}+t\vec{a}$ hat den Ortsvektor\[ \vec{r}_{Q}=\vec{r}_{0}+\frac{D-\vec{n}\vec{r}_{0}}{\vec{n}\vec{a}}\vec{a}\] \subsubsection{Lot\index{Lot} auf Ebene \textsf{\small I.111}} Die Lotgerade\index{Lotgerade} auf der Ebene $E:\vec{n}\cdot\vec{r}=D$ durch den Punkt $P_{0}$ mit dem Ortsvektor $\vec{r}_{0}$ besitzt folgende Gestalt\[ l:\vec{r}=\vec{r}_{0}+t\vec{n}\] Der Ortsvektor des Fußpunktes (Durchstoßpunkt mit der Ebene) ergibt sich dann so\[ \vec{r}_{Q}=\vec{r}_{0}+\frac{D-\vec{n}\vec{r}_{0}}{\vec{n}\vec{n}}\vec{n}\] \subsubsection{Abstand Nullpunkt-Ebende \textsf{\small I.113}} Der Abstand einer Ebene $E:\vec{n}\cdot\vec{r}=D$ vom Ursprung $d=\left|\vec{e}_{n}\vec{r}_{0}\right|$ \subsubsection{Abstand Punkt-Ebene \textsf{\small I.114}} Der Abstand einer Ebene $E:\vec{n}\cdot\vec{r}=D$ vom Punkt $\vec{r}_{1}$ $d=\left|\vec{e}_{n}\vec{r}_{1}-\vec{e}_{n}\vec{r}_{0}\right|$ \section{Vektorräume\index{Vektorraum} \textsf{\small I.159}} \subsection{Definition \textsf{\small I.159}} Sei $\mathbb{V}$ eine Menge und $\mathbb{K}$ ein Körper\index{Körper}. Zu je zwei Elementen $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aus $\mathbb{V}$ gebe es genau ein Element $\vec{a}+\vec{b}\in\mathbb{V}$. Zu jedem $\lambda$ aus $\mathbb{K}$ und jedem Element $\vec{a}$ aus $\mathbb{V}$ gebe es genau ein Element $\lambda\vec{a}\in\mathbb{V}$. $\mathbb{V}$ heißt \emph{Vektorraum} (VR) über $\mathbb{K}$, wenn die folgenden Grundgesetze gelten. \begin{itemize} \item Addition in $\mathbb{V}$ \begin{itemize} \item Kommutativgesetz\index{Kommutativgesetz}\\ $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$ \item Assoziativgesetz\index{Assoziativgesetz}\\ $\vec{a}+\left(\vec{b}+\vec{c}\right)=\left(\vec{a}+\vec{b}\right)+\vec{c}$ \item Neutrales Element\index{Neutrales Element}\\ $\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}$ und $\vec{a}+\left(-\vec{a}\right)=\vec{0}$ \item Inverses Element\index{Inverses Element}\\ $\vec{a}+\left(-\vec{a}\right)=\vec{0}$ \end{itemize} \item Multiplikation mit Körperelementen \begin{itemize} \item Neutrales Element\index{Neutrales Element}\\ $1\vec{a}=\vec{a}$ \item $\lambda\left(\mu\vec{a}\right)=\left(\lambda\mu\right)\vec{a}$ \item $\lambda\left(\vec{a}+\vec{b}\right)=\lambda\vec{a}+\lambda\vec{b}$ \item $\left(\lambda+\mu\right)\vec{a}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{a}$ \end{itemize} \end{itemize} \subsubsection{Untervektorraum\index{Untervektorraum} \textsf{\small I.160}} $\mathbb{U}\subset\mathbb{V}$ heißt Untervektorraum (UVR\index{UVR}) vom $\mathbb{V}$, wenn für $\vec{a},\vec{b}\in\mathbb{U},\lambda\in\mathbb{K}$:\[ \vec{a}+\vec{b}\in\mathbb{U},\lambda\vec{a}\in\mathbb{U}\] \begin{itemize} \item Untervektorraumkriterium\\ $\forall_{\mathbb{U}}^{\vec{a},\vec{b}}:\forall_{\mathbb{K}}^{\lambda,\mu}:\lambda\vec{a}+\mu\vec{b}\in\mathbb{U}$\\ oder \\ $\forall_{\mathbb{U}}^{\vec{a},\vec{b}}:\forall_{\mathbb{K}}^{\lambda}:\lambda\vec{a}\in\mathbb{U}\wedge\vec{a}+\vec{b}\in\mathbb{U}$ \item Durchschnitt\index{Durchschnitt}\\ $\mathbb{U}_{1}\cap\mathbb{U}_{2}\subset\mathbb{V}$ \item Vereinigung\index{Vereinigung} nicht UVR!!!\\ $\mathbb{U}_{1}\cup\mathbb{U}_{2}\nsubseteq\mathbb{V}$ \item Summe\index{Summe}\\ $\mathbb{U}_{1}+\mathbb{U}_{2}=\left\{ \vec{a}_{1}+\vec{a}_{2}|\vec{a}_{1}\in\mathbb{U}_{1},\vec{a}_{2}\in\mathbb{U}_{2}\right\} \subset\mathbb{V}$ \end{itemize} \subsubsection{Linearkombination\index{Linearkombination} \textsf{\small I.161}} \[ \vec{b}=\sum_{j=1}^{n}\lambda_{j}\vec{a}_{j}=\lambda_{1}\vec{a}_{1}+\lambda_{2}\vec{a}_{2}+\ldots+\lambda_{n}\vec{a}_{n}\] $\vec{b}$ ist eine Linearkombination aus $\vec{a}_{1},\ldots,\vec{a}_{n}$. \subsubsection{Triviale Darstellung\index{Triviale Darstellung Nullvektor} des Nullvektors \textsf{\small I.162}} \[ \sum_{j=1}^{n}\lambda_{j}\vec{a}_{j}=\vec{0},\quad\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}=0\] \subsubsection{Lineare (Un-)Abhängigkeit\index{Lineare Abhängigkeit}\index{linear!unabhängig}\index{linear!abhängig} \textsf{\small I.163}} Die Vektoren $\vec{a}_{j}\in\mathbb{V},j=1,\ldots,n$ heißen linear unabhängig wenn sich aus ihnen nur mit der trivialen Darstellung der Nullvektor darstellen lässt. Ansonsten sind sie Linear abhängig. Bei linear abhängigen Vektoren lässt sich mindestens ein Vektor $\vec{a}_{j}$ als Linearkombination\index{Linearkombination} der restlichen Darstellen:\begin{eqnarray*} \vec{a}_{j_{0}} & = & -\sum_{j=1,j\neq j_{0}}^{n}\frac{\lambda_{j}}{\lambda_{j_{0}}}\vec{a}_{j}\end{eqnarray*} \begin{itemize} \item Beweis durch Lösen von lin. Gleichungssystem\index{linear!Gleichungssystem}\index{Gleichungssystem}. Wenn eindeutig möglich $\Rightarrow$ linear unabhängig. \item Anzahl der Vektoren muss $\leq\dim\left(\mathbb{U}\right)$ sein, sonst sind sie zwangsläufig lin. abhängig. \item $\vec{b}_{1},\ldots,\vec{b}_{n}$ linear unabhängig $\Leftrightarrow$ $\det\left(\vec{b}_{1}|\ldots|\vec{b}_{n}\right)\neq0$ \end{itemize} \subsubsection{Lineare Hülle\index{linear!Hülle}\index{Hülle} \textsf{\small I.165}} Menge aller Linearkombinationen aus gegebenen Vektoren.\[ \left\langle \vec{a}_{1},\ldots,\vec{a}_{n}\right\rangle =\left\{ \sum_{j=1}^{n}\lambda_{j}\vec{a}_{j}|\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}\in\mathbb{K}\right\} \] \begin{itemize} \item Die Lineare Hülle bildet einen Untervektorraum von $\mathbb{V}$ \item Wenn $\vec{a}_{1},\ldots,\vec{a}_{n}$ linear unabhängig, und $\vec{b}\in\left\langle \vec{a}_{1},\ldots,\vec{a}_{n} \right\rangle $ dann ist $\vec{b}=\sum_{j=1}^{n}\lambda_{j}\vec{a}_{j}$ eindeutig. \item Direkte Summe\index{Direkte Summe}\index{Summe!Direkte}\\ $\mathbb{U}=\mathbb{U}_{1}\bigoplus\mathbb{U}_{2}\ldots\bigoplus\mathbb{U}_{n}$\\ Wenn die Untervektorräume linear unabhängig sind \end{itemize} \subsection{Endlich-dimensionale Vektorräume \textsf{\small I.166}} \subsubsection{Erzeugendensystem\index{Erzeugendensystem} \textsf{\small I.166}} Wenn $\mathbb{U}=\left\langle \vec{a}_{1},\ldots,\vec{a}_{n}\right\rangle $ bilden $\vec{a}_{1},\ldots,\vec{a}_{n}$ ein Erzeugendensystem von $\mathbb{U}$. \begin{itemize} \item Alle Basen sind autom. auch Erzeugendensystem. \end{itemize} \subsubsection{Basis\index{Basis} \textsf{\small I.166}} Wenn $\vec{a}_{1},\ldots,\vec{a}_{n}$ linear unabhängig sind, und ein Erzeugendensystem von $\mathbb{U}$ sind bilden sie eine \emph{Basis} von $\mathbb{U}$. \begin{itemize} \item Ein Vektor lässt sich in einer Basis eindeutig darstellen \\ $\vec{b}=\sum_{j=1}^{n}\lambda_{j}\vec{a}_{j}$ \item Es kann unterschiedliche Basen von $\mathbb{U}$ geben. \item Alle Basen haben die gleiche Anzahl von Vektoren. \item Wenn die Anzahl der Vektoren $=\dim\left(\mathbb{U}\right)$ und sie lin. unabhängig sind, sind sie autom. ein Basis. \end{itemize} \subsubsection{\label{sub:Kanonische-Basis}Kanonische Basis\index{Basis!Kanonische}\index{Kanonische Basis} / Standardbasis\index{Standardbasis}\index{Basis!Standard} \textsf{\small I.169}} \[ \vec{e_{j}^{(n)}}=(0,\ldots,\underbrace{1}_{j\textrm{-te Stelle}},\ldots,0),\quad j=1,\ldots,n\] \begin{itemize} \item Die Standardbasen sind linear unabhängig \item Sie erzeugen $\mathbb{K}^{n}$ \item ist eine Orthonormale Basis (siehe \vref{sub:Orthogonalsystem}) \end{itemize} \subsubsection{Dimension\index{Dimension} \textsf{\small I.167}} Die Anzahl von Vektoren von einer Basis wird Dimension genannt: $\dim\left(\mathbb{U}\right)$ \subsubsection{Nullraum\index{Nullraum} \textsf{\small I.169}} $\mathbb{U}=\left\{ \vec{0}\right\} \subseteq\mathbb{V}$ ist ein trivialer Untervektorraum eines jeden Vektorraumes der Dimension 0. \subsubsection{Linearer Teilraum\index{linear!Teilraum}\index{Teilraum} \textsf{\small I.169}} $\vec{a}$ sei ein fester Vektor\[ \left\{ \vec{a}+\vec{b}|\vec{b}\in\mathbb{U}\right\} \] wird als Linearer Teilraum der $\dim\left(\mathbb{U}\right)=n$ bezeichnet. \subsubsection{Darstellung von Vektorräumen \textsf{\small I.169}} Die Menge aller geordneten n-Tupel\index{Tupel}(geordnete Menge an Zahlen) von Skalaren aus $\mathbb{K}$, $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ bzw. $\mathbb{K}=\mathbb{C}$\[ \mathbb{K}^{n}=\left\{ \left(a_{1},\ldots,a_{n}\right)|a_{j}\in\mathbb{K},j=1,\ldots,n\right\} \] versehen mit der Addition\[ \left(a_{1},\ldots,a_{n}\right)+\left(b_{1},\ldots,b_{n}\right)=\left(a_{1}+b_{1},\ldots,a_{n}+b_{n}\right)\] und der Multiplikation mit Skalaren aus $\mathbb{K}$\[ \lambda\left(a_{1},\ldots,a_{n}\right)=\left(\lambda a_{1},\ldots,\lambda a_{n}\right)\] bilden einen n-dimensionalen Vektorraum über $\mathbb{K}$. Dieser wird mit $\mathbb{K}^{n}$ abgekürzt. \subsection{Koordinaten\index{Koordinaten} \textsf{\small I.171}} \subsubsection{Definition \textsf{\small I.171}} Ein Vektor $\vec{a}$ lässt sich mit Hilfe der Koordinaten $\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n}$ bezüglich der Basis $\vec{b}_{1},\ldots,\vec{b}_{n}$ wie folgt (eindeutig) darstellen.\[ \vec{a}=\sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}\vec{b}_{k}\] \begin{itemize} \item Bezüglich der Kanonischen Basis sind die Koordinaten genau die Komponenten des Vektors $\vec{a}$ \item Der Vektor der Koordinaten heißt Koordinatenvektor $\vec{\alpha}$ \item Die Rechenregeln für Summe von zwei Koordinatenvektoren der gleichen Basis und die Regeln der Multiplikation mit einem Skalar sind identisch mit den Regeln für Vektoren. \item $\vec{a}_{1},\ldots,\vec{a}_{m}$ linear unabhängig $\Leftrightarrow\vec{\alpha}_{1},\ldots,\vec{\alpha}_{m}$ linear unabhängig \end{itemize} \subsubsection{\label{sub:Basiswechsel ohne Matrix}Basiswechsel\index{Basiswechsel} \textsf{\small I.174}} Seien $\vec{b}_{1},\ldots,\vec{b}_{n}$ und $\vec{\tilde{b}}_{1},\ldots,\vec{\tilde{b}}_{n}$ zwei Basen des n-dimensionalen Vektorraumes $\mathbb{V}$. Die Basisvektoren haben nun sollen folgende Beziehungen untereinander besitzen\[ \vec{\tilde{b}}_{j}=\sum_{k=1}^{n}\tilde{\beta}_{k,j}\vec{b}_{k},\quad j=1,\ldots,n\] \[ \vec{b}_{j}=\sum_{k=1}^{n}\beta_{k,j}\vec{\tilde{b}}_{k},\quad j=1,\ldots,n\] Die Koordinatenvektoren $\vec{\beta}_{1},\ldots,\vec{\beta}_{n}$ und $\vec{\tilde{\beta}}_{1},\ldots,\vec{\beta}_{n}$ sind linear unabhängig. Einen Vektor $\vec{a}$ kann man nun in beiden Basissystemen ausdrücken\[ \vec{a}=\sum_{j=1}^{n}\tilde{\alpha}_{j}\vec{\tilde{b}}_{j}=\sum_{j=1}^{n}\alpha_{j}\vec{b}_{j}\] Zwischen den Koordinatenvektoren $\vec{\tilde{\alpha}}$ und $\vec{\alpha}$ in den jeweiligen Basissystemen besteht der Zusammenhang:\[ \tilde{\alpha}_{k}=\sum_{j=1}^{n}\beta_{k,j}\alpha_{j}\] \[ \alpha_{k}=\sum_{j=1}^{n}\tilde{\beta}_{k,j}\tilde{\alpha}_{j}\] \begin{itemize} \item Für weiteres siehe \vref{sub:BasiswechselMatix} \end{itemize} \subsubsection{Kronecker-Symbol\index{Kronecker-Symbol} \textsf{\small I.176}} Das Kronecker-Symbol ist wie folgt definiert\[ \delta_{jk}=\left\{ \begin{array}{cc} 1, & \textrm{falls}\ j=k\\ 0, & \textrm{falls}\ j\neq k\end{array}\right.\] \subsection{Der unitäre Vektorraum\index{unitäre-Vektorraum} $\mathbb{C}^{n}$ \textsf{\small I.177}} Übertragen des Skalarproduktes und des Betrages auf den Vektorraum $\mathbb{C}^{n}$. \subsubsection{Skalare Produkt\index{Skalare Produkt}\index{Produkt!Skalar} / Betrag\index{Betrag!Vektor} \textsf{\small I.178}} \[ \vec{a}\cdot\vec{b}=\sum_{j=1}^{n}a_{j}\bar{b}_{j}\] \[ \left\Vert \vec{a}\right\Vert =\sqrt{\sum_{j=1}^{n}a_{j}\bar{a}_{j}}=\sqrt{\vec{a}\vec{a}}\] Es gelten die selben Regeln wie für Vektoren aus $\mathbb{R}^{3}$ (siehe \vref{sub:skalare-Produkt-R3}) mit folgenden Ausnahmen bzw. Ergänzungen: \begin{itemize} \item $\vec{a}\vec{b}=\overline{\vec{b}\vec{a}}$ \item $\left(\lambda\vec{a}\right)\vec{b}=\lambda\left(\vec{a}\vec{b}\right)$\\ $\vec{a}\left(\lambda\vec{b}\right)=\bar{\lambda}\left(\vec{a}\vec{b}\right)$ \item Die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ heißen orthogonal\index{orthogonal} (senkrecht\index{senkrecht}) zueinander $\left(\vec{a}\perp\vec{b}\right)$, wenn $\vec{a}\vec{b}=0$ \item Vektoren der Länge 1 $\left(\left\Vert \vec{a}\right\Vert =1\right)$ heißen Einheitsvektoren\index{Einheitsvektoren}. \end{itemize} \subsubsection{\label{sub:Orthogonalsystem}Orthogonalsystem\index{Orthogonalsystem} / Orthonormalsystem\index{Orthonormalsystem} (Basis) \textsf{\small I.180}} Eine Menge von Vektoren $\left\{ \vec{a}_{1},\ldots,\vec{a}_{n}\right\} $, die den Nullvektor nicht enthält und mit $\vec{a}_{k}\vec{a}_{j}=0$ für $k\neq j$ heißt \emph{Orthogonalsystem} (alle Vektoren sind senkrecht zueinander). Sind zudem alle $\vec{a}_{j}$ normiert (Länge 1) so heißen sie \emph{Orthonormalsystem}. \begin{itemize} \item Die Vektoren eines Orthonormalsystems sind linear unabhängig \item Bilden die Vektoren eine Basis, so spricht man von einer \emph{Orthogonalbasis\index{Orthogonalbasis}} bzw. \emph{Orthonormalbasis}\index{Orthonormalbasis}. \item Die Kanonische Basis ist eine Orthonormalbasis (siehe \vref{sub:Kanonische-Basis}). \end{itemize} \subsubsection{\label{sub:Existenz-einer-Orthonormalbasis}Existenz einer Orthonormalbasis\index{Orthonormalbasis!Existenz} \textsf{\small I.181}} Sei $\vec{a}_{1},\ldots,\vec{a}_{m}\in\mathbb{C}^{n}\textrm{ bzw. }\mathbb{R}^{n}$ eine linear unabhängige Menge von Vektoren. Dann gibt es ein Orthonormalsystem $\vec{b}_{1},\ldots,\vec{b}_{m}$ mit $\left\langle \vec{b}_{1},\ldots,\vec{b}_{i}\right\rangle =\left\langle \vec{a}_{1},\ldots,\vec{a}_{i}\right\rangle $ für alle $1\leq i\leq m$. \subsubsection{Gram-Schmidtsches-Orthonormalisierungsverfahren\index{Gram-Schmidtsches-Orthonormalisierungsverfahren}\index{Orthonormalisierungsverfahren} \textsf{\small I.182}} Auch unter dem Namen Hilbert-Schmidtsches-Orthonormalisierungsverfahren\index{Hilbert-Schmidtsches-Orthonormalisierungsverfahren} bekannt. Konventionen wie bei \ref{sub:Existenz-einer-Orthonormalbasis}. \begin{enumerate} \item $\vec{b}_{1}=\frac{\vec{a}_{1}}{\left\Vert \vec{a}_{1}\right\Vert }$ \item Für alle $\vec{b}_{k}$ mit $1\leq k\leq m-1$ \begin{enumerate} \item $\vec{\tilde{a}}_{k+1}=\vec{a}_{k+1}-\sum_{l=1}^{k}\left(\vec{a}_{k+1}\vec{b}_{l}\right)\vec{b}_{l}$ \item $\vec{b}_{k+1}=\frac{\vec{\tilde{a}}_{k+1}}{\left\Vert \vec{\tilde{a}}_{k+1}\right\Vert }$ \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{itemize} \item Alle $\vec{b}_{k}$ auf Länge (=1) und orthogonalität (Skalarprodukt = 0) testen \item Brüche und Große Zahlen aus Vektoren ausklammern, so das in den Vektoren nur ganze, möglichst kleine Zahlen enthalten sind. \item Um aus $\tilde{a}_{k}$ $\tilde{b}_{k}$ zu erstellen, können die ausgeklammerten Werte vor $\tilde{a}_{k}$ weggelassen werde, da diese sich durchs Renormieren ohnehin herauskürzen würden. \end{itemize} Geometrisch wird der die Richtung des 1. Vektors übernommen, und von allen weiteren Vektoren deren Komponenten in Richtung von bereits erzeugten Basis-Vektoren abgezogen, so das nur deren neuer Richtungsanteil übrig bleibt, welcher letztendlich dann als Richtung für den zusätzlichen Basis-Vektor genommen wird. \subsection{Lineare Abbildungen\index{Abbildung}\index{linear!Abbildung} \textsf{\small I.183}} $\mathbb{V}$(Quellraum\index{Quellraum}) und $\mathbb{W}$(Zielraum\index{Zielraum}) seien Vektorräume über demselben skalaren Körper $\mathbb{K}$. Die \emph{Abbildung} $f:\mathbb{V}\rightarrow\mathbb{W}$ heißt linear, wenn für alle $\vec{a},\vec{b}\in\mathbb{V}$ und $\lambda\in\mathbb{K}$ gilt: \begin{description} \item [Additivität\index{Additivität}]$f\left(\vec{a}+\vec{b}\right)=f\left(\vec{a}\right)+f\left(\vec{b}\right)$ \item [Homogenität\index{Homogenität}]$f\left(\lambda\vec{a}\right)=\lambda f\left(\vec{a}\right)$ \end{description} Eine Lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen wird auch als \emph{Homomorphismus\index{Homomorphismus}} bezeichnet. \begin{itemize} \item $f\left(\lambda\vec{a}+\mu\vec{b}\right)=\lambda f\left(\vec{a}\right)+\mu f\left(\vec{b}\right)$ \item $f\left(\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}\vec{a}_{k}\right)=\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}f\left(\vec{a}_{k}\right)$ \item integrieren und differenzieren von Polynomen sind lineare Abbildungen \end{itemize} \subsubsection{Bild\index{Bild} und Kern\index{Kern} \textsf{\small I.184}} Sei $f:\mathbb{V}\rightarrow\mathbb{W}$ lineare Abbildung. \begin{description} \item [Bild]Bild$\left(f\right):=\left\{ f\left(\vec{a}\right)|\vec{a}\in\mathbb{V}\right\} \subseteq\mathbb{W}$ \item [Kern]Kern$\left(f\right):=\left\{ \vec{a}\in\mathbb{V}|f\left(\vec{a}\right)=\vec{0}\right\} \subseteq\mathbb{V}$ \end{description} \begin{itemize} \item Bild$\left(f\right)$ ist Untervektorraum von $\mathbb{W}$ \item Kern$\left(f\right)$ ist Untervektorraum von $\mathbb{V}$ \item $\dim\left(\mathbb{V}\right)-\dim\left(\textrm{Bild}\left(f\right)\right)=\dim\left(\textrm{Kern}\left(f\right)\right)$ \item $\textrm{Rang}\left(M\left(f\right)\right)=\dim\left(\textrm{Bild}\left(f\right)\right)$ \end{itemize} \subsubsection{Injektiv\index{injektiv} / Surjektiv\index{Surjektiv} \textsf{\small I.184}} Eine Abbildung $f:\mathbb{V}\rightarrow\mathbb{W}$ heißt \emph{injektiv}, falls \[ f\left(\vec{a}\right)=f\left(\vec{b}\right)\Rightarrow\vec{a}=\vec{b}\] Bei linearen $f$ gilt weiter: \begin{itemize} \item $f$ ist injektiv $\Leftrightarrow$ Kern$\left(f\right)=\left\{ \vec{0}\right\} $ \item $f$ ist surjektiv $\Leftrightarrow$ $\dim\left(\textrm{Bild}\left(f\right)\right)=\dim\left(\mathbb{W}\right)$ \end{itemize} \subsubsection{Lineare Abbildung durch Bilder der Basis \textsf{\small I.184}} Um eine lineare Abbildung $f$ festzulegen genügt es die Bilder $\left\{ \vec{b}_{1},\ldots,\vec{b}_{n}\right\} $ der Basis $\left\{ \vec{a}_{1},\ldots,\vec{a}_{n}\right\} $ zu kennen, für $\vec{b}_{k}=f\left(\vec{a}_{k}\right)\ 1\leq k\leq n$. Sei $\vec{a}\in\mathbb{V}$ und $\vec{a}=\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}\vec{a}_{k}$ für geeignete $\lambda_{k}\in\mathbb{K}$ gilt\[ f\left(\vec{a}\right)=\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}\vec{b}_{k}\] \subsubsection{Koordinatenschreibweise\index{Koordinatenschreibweise} linearer Abbildungen \textsf{\small I.188}} Seien $\alpha_{k}$ $\left(1\leq k\leq n\right)$ die Koordinaten von $\vec{a}$ bezüglich der Basis $\left\{ \vec{a}_{1},\ldots,\vec{a}_{n}\right\} $ von $\mathbb{V}$. Außerdem beschreibt $\beta_{kj}$ die Umrechnungskoordinaten von $\mathbb{V}$ nach $\mathbb{W}$ $f\left(\vec{a}_{j}\right)=\sum_{k=1}^{m}\beta_{kj}\vec{b}_{k}$ ($\left\{ \vec{b}_{1},\ldots,\vec{b}_{m}\right\} $ ist Basis von $\mathbb{W}$). Dann gilt:\[ f\left(\vec{a}\right)=\left(\begin{array}{c} \sum_{j=1}^{n}\alpha_{j}\beta_{1j}\\ \vdots\\ \sum_{j=1}^{n}\alpha_{j}\beta_{mj}\end{array}\right)\] \section{Matrizen\index{Matrix}\index{Matrizen} \textsf{\small I.190}} Eine $m\times n$-Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n Spalten. Man schreibt \begin{eqnarray*} A & = & \left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}\end{array}\right)\\ & = & \left(a_{jk}\right)_{\begin{array}{c} j=1,\ldots,m\\ k=1,\ldots,n\end{array}}\end{eqnarray*} dabei steht $a_{jk}$ in der j-ten Zeile, und der k-ten Spalte. \subsubsection{Zeilen\index{Zeilenvektor}- und Spaltenvektor\index{Spaltenvektor} \textsf{\small I.191}} Einem $m\times n$-Matrix hat $m$ Zeilenvektoren (aus der $j$-ten Zeile):\[ \vec{z}_{j}=\left(a_{j1},\ldots,a_{jn}\right)\] und $n$ Spaltenvektoren (aus der $k$-ten Spalte):\[ \vec{s}_{k}=\left(\begin{array}{c} a_{1k}\\ \vdots\\ a_{mk}\end{array}\right)\] \begin{itemize} \item Zeilenvektoren können als eine $1\times n$-Matrix angesehen werden \item Spaltenvektoren können als eine $m\times1$-Matrix angesehen werden \end{itemize} Die Menge aller $m\times n$-Matrizen über $\mathbb{K}$ bildet zusammen mit der Addition und der Skalarmultiplikation einen Vektorraum\index{Vektorraum} über $\mathbb{K}$ der Dimension\index{Dimension} $m\cdot n$. \subsection{Rechenoperationen mit Matrizen \textsf{\small I.190}} \subsubsection{Addition \textsf{\small I.195}} Die Addition erfolgt Elementenweise\\ (mit $j=1,\ldots,m\quad k=1,\ldots,n$):\[ \left(a_{jk}\right)+\left(b_{jk}\right)=\left(a_{jk}+b_{jk}\right)\] \subsubsection{Skalarmultiplikation\index{Skalarmultiplikation} \textsf{\small I.195}} Jedes Element wird einzeln Multipliziert\\ (mit $j=1,\ldots,m\quad k=1,\ldots,n$):\[ \lambda\left(a_{jk}\right)=\left(\lambda a_{jk}\right)\] \subsubsection{Kanonische Basis\index{Kanonische Basis}} Die Kanonische Basis zu einem Vektorraum aller $m\times n$-Matrizen besteht aus allen (verschiedenen) $m\times n$-Matrizen die jeweils nur eine $1$ und sonst nur $0$-en enthalten. Es gibt $m\cdot n$ solcher Basen. \subsubsection{Transponierte\index{Transponierte Matrix} Matrix \textsf{\small I.192}} Die $m\times n$-Matrix $A$ ist wie folgt definiert \[ A=\left(a_{jk}\right)_{{{j=1,\ldots,m\atop k=1,\ldots,n}}}\] dann heißt die $n\times m$-Matrix \[ A^{T}=\left(a_{kj}\right)_{{{j=1,\ldots,m\atop k=1,\ldots,n}}}\] die zu $A$ transponierte Matrix. \begin{itemize} \item Transponieren vertauscht die Elemente bezüglich der Hauptdiagonalen\index{Hauptdiagonale} (von Links oben, nach Rechts unten) \item $\left(A^{T}\right)^{T}=A$ \item Transponieren ist eine lineare Abbildung, es gilt die \begin{description} \item [Additivität]$\left(A+B\right)^{T}=A^{T}+B^{T}$ \item [Homogenität]$\left(\lambda A\right)^{T}=\lambda A^{T}$ \end{description} \item $\left(A^{-1}\right)^{T}=\left(A^{T}\right)^{-1}$ \end{itemize} \subsubsection{(Anti-) Symmetrische Matrix} Alle (Anti-)Symmetrische Matrizen sind quadratische\index{Quadratisch!Matrizen} Matrizen\index{Matrizen!Quadratisch}. Das bedeutet, das sie die gleiche Anzahl an Spalten und Zeilen haben ($n\times n$-Matrix). \begin{description} \item [symmetrische\index{symetrische Matrix}~Matrix]$A^{T}=A$ \begin{itemize} \item Lässt sich auf der Hauptdiagonalen spiegeln, ohne das sie sich ändert \end{itemize} \item [antisymmetrische\index{antisymetrische Matrix}~Matrix]$A^{T}=-A$ \begin{itemize} \item Hat auf der Hauptdiagonalen nur $0$en. \item Ist auf der Hauptdiagonalen mit vertauschten Vorzeichen gespiegelt. \end{itemize} \item [symmetrischer~Teil]$A_{s}=\frac{1}{2}\left(A+A^{T}\right)$ \item [antisymmetrischer~Teil]$A_{as}=\frac{1}{2}\left(A-A^{T}\right)$ \begin{itemize} \item $A=A_{s}+A_{as}$ \end{itemize} \end{description} \subsubsection{Matrixprodukt\index{Matrixproduckt}\index{Produckt!Matrix} \textsf{\small I.197}} Sei $A=\left(a_{jk}\right)_{{{j=1,\ldots,m\atop k=1,\ldots,n}}}$ eine $m\times n$-Matrix und $B=\left(b_{kl}\right)_{{{k=1,\ldots,n\atop l=1,\ldots,p}}}$ eine $n\times p$-Matrix. Die $m\times p$-Matrix \begin{eqnarray*} A\ B & = & \left(\sum_{k=1}^{n}a_{jk}b_{kl}\right)_{{{j=1\ldots m\atop l=1\ldots p}}}\\ & = & \left(\left(\begin{array}{c} a_{j1}\\ \vdots\\ a_{jn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} b_{1l}\\ \vdots\\ b_{ml}\end{array}\right)\right)_{{{j=1\ldots m\atop l=1\ldots p}}}\end{eqnarray*} heißt Produktmatrix (Produkt aus $A$ und $B$). \begin{itemize} \item An Position $\left(j,l\right)$ steht das Skalarprodukt des $j$-ten Zeilenvektors (der linken Matrix), mit dem $l$-ten Spaltenvektor (der 2ten Matrix) \item Skalarprodukt von 2 Vektoren ist Sonderfall des Matrixproduktes \item Produkt entspricht der Hintereinanderausführung von linearen Abbildungen \item Nur Definiert, wenn Spaltenanzahl der 1. Matrix = Zeilenanzahl der 2. Matrix \end{itemize} $A,B,C$ seien Matrizen, so dass die folgenden Produkte definiert sind \begin{itemize} \item Assoziativgesetz\\ $\left(AB\right)C=A\left(BC\right)$ \item Distributivgesetz\\ $A\left(B+C\right)=AB+AC$\\ $\left(A+B\right)C=AC+BC$ \item $\left(AB\right)^{T}=B^{T}A^{T}$ \item im allgemeinen:\\ $AB\neq BA$ \item $AE=A$ (mit $E$ = Einheitsmatrix) \item \emph{nilpotent}\index{nilpotent} heißt eine Matrix, wenn\\ $A^{2}=\left(0\right)$= Nullmatrix \item Die Menge aller $n\times n$-Matrizen mit den Rechengesetzen zusammen bildet einen \emph{Ring}\index{Ring}. Keinen Körper, da das inverse Element der Muliplikation im allgemeinen nicht Existiert. \end{itemize} \subsubsection{Nullmatrix\index{Nullmatrix}\index{i}} Eine Matrix die ausschließlich mit Nullen aufgefüllt ist, nennt sich Nullmatrix, und hat den Rang 0. \subsubsection{Einheitsmatrix\index{Einheitsmatrix} \textsf{\small I.200}} Eine $n\times n$-Matrix die $1$en auf der Hauptdiagonale, und sonst nur Nullen hat, heißt Einheitsmatix. Sie ist das neutrales\index{neutrales Element} Element der Multiplikation.\[ E=\left(\delta_{ik}\right)_{{{i=1,\ldots,n\atop k=1,\ldots,n}}}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & \ddots & 0\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\] \subsection{Rang\index{Rang!Matrix} einer Matrix \textsf{\small I.200}} Die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren einer Matrix heißt Zeilenrang, die maximale Anzahl linear unabhängiger Spaltenvektoren heißt Spaltenrang. \begin{itemize} \item Dimension der linearen Hülle der Zeilenvektoren\\ Zeilenrang = dim$\left(\left\langle \vec{z}_{1},\ldots,\vec{z}_{m}\right\rangle \right)$ \item Dimension der linearen Hülle der Spaltenvektoren\\ Spaltenrang = dim$\left(\left\langle \vec{s}_{1},\ldots,\vec{s}_{n}\right\rangle \right)$ \item Der Spalten- und Zeilenrang sind immer gleich \item Der Rang einer Matrix ist gleich dem Spalten- bzw. Zeilenrang \end{itemize} \subsubsection{Zeilen-/Spaltenoperationen\index{Zeilenoperationen}\index{Spaltenoperationen} \textsf{\small I.201}} Durch folgende Operationen in einer Matrix wird deren Rang nicht beeinflusst. \begin{enumerate} \item Multiplikation einer Zeile bzw. Spalte mit einem Skalar$\neq0$ \item Vertauschen von Zwei Zeile bzw. Spalten \item Zu einer Zeile bzw. Spalte ein Vielfaches einer anderen Zeile bzw. Spalte hinzuaddieren \end{enumerate} \subsection{Lineare\index{Lineare Abbildungen} Abbildungen\index{Abbildungen} und Matrizen\index{Matrizen} \textsf{\small I.213}} \subsubsection{Menge aller linearen Abbildungen \textsf{\small I.214}} Sei $L\left(\mathbb{V},\mathbb{W}\right)$ die Menge aller lin. Abbildungen von $\mathbb{V}$ nach $\mathbb{W}$. \begin{itemize} \item $\dim\mathbb{V}=n\wedge\dim\mathbb{W}=m\Rightarrow\dim L\left(\mathbb{V},\mathbb{W}\right)=nm$ \end{itemize} \subsubsection{Zuordnung Matrix $\Leftrightarrow$ Lin. Abbildung \textsf{\small I.214}} Sei $\vec{a}_{1},\ldots,\vec{a}_{n}$ eine Basis von $\mathbb{V}$ und $\vec{b}_{1},\ldots,\vec{b_{m}}$ eine Basis von $\mathbb{W}$. Für jede lin. Abbildung $f\in L\left(\mathbb{V},\mathbb{W}\right)$ lässt sich nun eine $m\times n$ Matrix zuordnen. Sei \[ f\left(\vec{a}_{j}\right)=\sum_{k=1}^{m}\beta_{kj}\vec{b}_{k}\quad\left(j=1,\ldots,n\right)\] dann hat die Matrix folgende Gestalt\begin{eqnarray*} M\left(f\right) & = & \left(\begin{array}{ccc} \beta_{11} & \ldots & \beta_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \beta_{m1} & \ldots & \beta_{mn}\end{array}\right)\\ & = & \left(\begin{array}{ccc} f\left(\vec{a}_{1}\right) & \ldots & f\left(\vec{a}_{n}\right)\end{array}\right)\\ & = & \left(\beta_{kj}\right)_{{{k=1,\ldots,m\atop j=1,\ldots,n}}}\end{eqnarray*} Sei $\vec{x}\in\mathbb{V}$ ein Koordinatenvektor bezüglich der oben gewählten Basis.\[ M\left(f\right)\vec{x}=f\left(\vec{x}\right)\] \begin{itemize} \item Achtung, Reihenfolge der Muliplikation entscheidend! \item $\textrm{Rang}\left(M\left(f\right)\right)=\dim\left(\textrm{Bild}\left(f\right)\right)$ \end{itemize} \subsubsection{Verkettung von lin. Abbildungen \textsf{\small I.216}} Die Matrix der Hintereinanderausführung zweier lin. Abbildungen $f\in L\left(\mathbb{V},\mathbb{W}\right)$ und $g\in L\left(\mathbb{W},\mathbb{U}\right)$ ist $M\left(g\circ f\right)=M\left(g\right)M\left(f\right)=M\left(g\left(f\right)\right)$ \subsubsection{Inverse Matrix\index{inverse Matrix} \textsf{\small I.216}} Sei $f:\mathbb{V}\rightarrow\mathbb{V}$ linear, $\dim\mathbb{V}=n$ mit $\dim\textrm{Bild}\left(f\right)=n=\dim\mathbb{V}$ ($f$ ist injektiv). Dann muss eine Umkehrabbildung\index{Umkehrabbildung} $f^{-1}:\mathbb{V}\rightarrow\mathbb{V}$ mit $f^{-1}\circ f=\textrm{id}_{\mathbb{V}}=f\circ f^{-1}$ existieren. Sei $A=M\left(f\right),A^{-1}=M\left(f^{-1}\right)$ dann folgt $AA^{-1}=M\left(id_{\mathbb{V}}\right)=E=A^{-1}A$. $A^{-1}$ heißt die zu $A$ inverse Matrix. \begin{itemize} \item $E$ ist das neutrale Element der Multiplikation \item Nur reguläre Matrizen besitzen eine inverse Matrix \item $\left(A^{-1}\right)^{T}=\left(A^{T}\right)^{-1}$ \end{itemize} \subsubsection{Reguläre Matrix\index{Reguläre Matrix} \textsf{\small I.217}} Eine Quadratische Matrix mit maximalen Rang (Rang=Spalten-/Zeilenanzahl) heißt heißt reguläre Matrix. \begin{itemize} \item Nur reguläre Matrizen besitzen eine inverse Matrix \end{itemize} \section{Lineare Gleichungssysteme\index{Gleichungssysteme}\index{Lineare Gleichungssysteme} \textsf{\small I.220}} Sei $A=\left(a_{jk}\right)_{{{k=1,\ldots,m\atop j=1,\ldots,n}}}$ eine $m\times n$-Matrix mit Elementen aus $\mathbb{K}=\mathbb{R}\vee\mathbb{K}=\mathbb{C}$ und $b_{k}\in\mathbb{K},k=1,\ldots,m$. Das System\[ \begin{array}{ccccccc} a_{11}x_{1} & + & \ldots & + & a_{1n}x_{n} & = & b_{1}\\ a_{21}x_{1} & + & \ldots & + & a_{2n}x_{n} & = & b_{2}\\ \vdots & & & & \vdots & & \vdots\\ a_{m1}x_{1} & + & \ldots & + & a_{mn}x_{n} & = & b_{m}\end{array}\] heißt lineares Gleichungssystem (LGS)\index{LGS} mit $m$ Gleichungen und $n$ Unbekannten. Jedes $n$-Tupel (Vektor) $\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right),x_{j}\in\mathbb{K}$, das alle Gleichungen löst, heißt Lösung des Systems. Die Gesamtheit aller Lösungen heißt Lösungsraum\index{Lösungsraum}. \subsection{Der Lösungsraum\index{Lösungsraum} \textsf{\small I.220}} \subsubsection{Dimension \textsf{\small I.221}} Der Lösungsraum des homogenen\index{homognes LGS} Systems $A\vec{x}=\vec{0}$ mit einer $m\times n$-Matrix $A$, stellt einen Untervektorraum\index{Untervektorraum} der Dimension $n-\mathrm{Rang}\left(A\right)$ von $\mathbb{K}^{n}$ dar. \begin{itemize} \item Jedes homogene Gleichungssystem ist lösbar \item Ist $A$ quadratisch und regulär, so hat der Lösungsraum die Dimension $0$, besteht also nur aus dem Nullvektor $\vec{0}$. \end{itemize} \subsubsection{Erweiterte Matrix\index{erweiterte Matrix} \textsf{\small I.224}} Die $m\times\left(n+1\right)$-Matrix $\left(A|\vec{b}\right)$ heißt erweiterte Matrix des LGS. \subsubsection{Rangkriterium\index{Rangkriterium} \textsf{\small I.224}} Das inhomogene\index{inhomogenes LGS} LGS $A\vec{x}=\vec{b}$ ist genau dann lösbar, falls $\mathrm{Rang}\left(A\right)=\mathrm{Rang}\left(A|\vec{b}\right)$ \begin{itemize} \item Wenn $A$ quadratisch und regulär ist auch inhomogenes System lösbar, mit einer eindeutigen Lösung. \item Allgemeiner Fall: Sei $\vec{x}_{0}$ eine feste Lösung von $A\vec{x}=\vec{b}$ und $\vec{y}$ eine Lösung des Systems $A\vec{y}=\vec{0}$. Dann ist $\vec{x}=\vec{x}_{0}+\vec{y}$ eine beliebige Lösung von $A\vec{x}=\vec{b}$. \end{itemize} \subsubsection{\label{sub:BasiswechselMatix}Basiswechsel\index{Basiswechsel}} Die lineare Abbildung $f:\mathbb{V}\rightarrow\mathbb{W}$ mit der Abbildungsmatrize $M_{alt}\left(f\right)$ ist mit $\left(\vec{a}_{1},\ldots,\vec{a}_{n}\right)=A$ als Basis von $\mathbb{V}$ und $\left(\vec{b}_{1},\ldots,\vec{b}_{n}\right)=B$ als Basis von $\mathbb{W}$ gegeben. Um sie nun in die neuen Basen $\left(\vec{c}_{1},\ldots,\vec{c}_{n}\right)=C$ von $\mathbb{V}$ und $\left(\vec{d}_{1},\ldots,\vec{d}_{n}\right)=D$ und von $\mathbb{W}$ zu überführen, wende folgende Gleichung an.\[ M_{neu}\left(f\right)=D^{-1}BM_{alt}\left(f\right)\ A^{-1}C\] \begin{itemize} \item Für den Sonderfall das $A,B=E_{n}$ und $C=D$ gilt:\\ $M_{neu}\left(f\right)=C^{-1}M_{alt}\left(f\right)C$ \item Für weiteres siehe \vref{sub:Basiswechsel ohne Matrix} \end{itemize} \subsection{Lösen mittels Inversen} Das LGS $A\vec{x}=\vec{b}$ hat als Lösung $\vec{x}=A^{-1}\vec{b}$. \subsection{Der Gaußsche Algorithmus\index{Gaußscher Algorithmus} \textsf{\small I.227}} Da Zeilenoperationen (Tauschen / Multiplizieren / Addieren) in der erweiterten Matrix $\left(A|\vec{b}\right)$ eines linearen Gleichungssystems $\left(A\vec{x}=\vec{b}\right)$ den Lösungsraum nicht verändern, lassen diese sich zum Lösen des Gleichungssystems verwenden. Man kann dabei nach dem folgenden (Gaußschen) Algorithmus vorgehen: \begin{enumerate} \item Vertausche Zeilen so, das oben Links etwas von $0$ verschiedenes steht ($a_{11}\neq0$). Falls erste Spalte $=\vec{0}$ $\Rightarrow\vec{x}_{1}$ beliebig, streichen der 1. Spalte \item Räume Spalte unterhalb von $a_{11}$aus, durch Addition von $-\frac{a_{j1}}{a_{11}}$($1$. Zeile) auf $j$-te Zeile $\left(1\leq j\leq m\right)$ \item Wenn die akt. Untermatrix mehr als 1. Zeile hat, betrachte Untermatrix, in der die 1.Spalte und die 1.Zeile fehlen, und mache bei 1. weiter. \item Testen der Rangbedingung für Lösbarkeit. Wenn $\mathrm{Rang}\left(A|\vec{b}\right)=\mathrm{Rang}\left(A\right)$ ist es wie folgt lösbar \item Löse LGS von unten nach Oben auf $\left(x_{n},x_{n-1},\ldots,x_{1}\right)$ \item Unbekannte zugehörig zu den Nullspalten können frei gewählt werden. \item Unbekannte zu den Nullzeiten werden als Parameter gewählt \end{enumerate} \subsubsection{Bestimmen der Inversen Matrize mittels Gauß-Algorithmus} Man führe den Gauß-Algorithmus für die Matrix $\left(A|\vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\ldots,\vec{e}_{n}\right)$ aus. Dabei muss das System mittels Zeilenoperationen in die Gestalt $\left(\vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\ldots,\vec{e}_{n}|A^{-1}\right)$ gebracht werden. Auf der Rechten Seite lässt sich nun die Inverse Matrix ablesen. Es ist auch möglich, \emph{ausschließlich} mit Spalten Operationen anstatt Zeilenoperationen zu arbeiten. \section{Determinanten \textsf{\small I.241}} \subsection{Definitionen} \subsubsection{Permutation\index{Permutation} / Transposition\index{Transposition} \textsf{\small I.241}} Eine bijektive\index{bijektiv} Abbildung $\pi:\left\{ 1,\ldots,n\right\} \rightarrow\left\{ 1,\ldots,n\right\} $ heißt Permutation der Menge $\left\{ 1,\ldots,n\right\} $. Die Menge aller Permutationen von $\left\{ 1,\ldots,n\right\} $ wird mit $S_{n}$ bezeichnet. Mit $t_{ik}$ bezeichnen wir die Permutation \[ t_{ik}\left(i\right)=k,t_{ik}\left(k\right)=i,\forall j\neq i,k:t_{ik}\left(j\right)=j\] eine Transposition (vertauschen zweier Elemente). Notation für Permutation: \begin{tabular}{c|c|c|c|c|c} Urbild& $1$& $2$& $\ldots$& $n-1$& $n$\tabularnewline \hline Bild& $\pi\left(1\right)$& $\pi\left(2\right)$& $\ldots$& $\pi\left(n-1\right)$& $\pi\left(n\right)$\tabularnewline \end{tabular} \begin{itemize} \item $\left|S_{n}\right|=n!$ \item jede Permutation kann als Hintereinanderausführung von Transpositionen geschrieben werden \end{itemize} \subsubsection{Fehlstand\index{Fehlstand} / Signum\index{Signum} \textsf{\small I.242}} Sei $\pi\in S_{n}$. Gilt $\pi\left(i\right)>\pi\left(j\right)$ für zwei Zahlen $1\leq i1$ \item nach oben/unten geöffnet mit $-\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ \item \emph{Asymptoten\index{Asymptoten} $y=\pm\frac{b}{a}x$} \item Entsteht z.B. durch Kegelschnitt mit Schnittebene die durch oberen und unteren Kegel geht \end{itemize} \subsubsection{Drehung\index{Drehung} in $\mathbb{R}^{2}$ } Ein Punkt $\vec{b}\in\mathbb{R}^{2}$ lässt sich mit Hilfe der Matrize $D\left(\alpha\right)$ um den Winkel $a$ drehen. $\vec{b}_{neu}=D\left(\alpha\right)\vec{b}$ \[ D\left(\alpha\right)=\left(\begin{array}{cc} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \cos\alpha\end{array}\right)\] \begin{itemize} \item $D\left(-\alpha\right)=D^{-1}\left(\alpha\right)$ \item Eigenwerte von $D\left(\alpha\right)$:\\ $\lambda_{1/2}=\cos\alpha\pm i\sin\alpha=e^{\pm i\alpha}\in\mathbb{C}$ \item ist eine orthogonale Abbildung \end{itemize} \subsubsection{Spiegelung\index{Spiegelung} in $\mathbb{R}^{2}$ } Ein Punkt $\vec{b}\in\mathbb{R}^{2}$ lässt sich mit Hilfe der Matrize $S\left(\alpha\right)$ um eine Gerade die den Winkel $a$ zur $x$ Achse einnimmt spiegeln. $\vec{b}_{neu}=S\left(\alpha\right)\vec{b}$ \[ S\left(\alpha\right)=\left(\begin{array}{cc} \cos\alpha & \sin\alpha\\ \sin\alpha & -\cos\alpha\end{array}\right)\] \begin{itemize} \item ist eine orthogonale Abbildung \end{itemize} \subsection{Überführen von allgemeine Quadriken\index{Quadriken} in Normalform} \subsubsection{Allgemeine Quadrik} Eine Gleichung der Form \[ Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\] ist eine Quadrik in allgemeiner Form. \subsubsection{Drehen} Gegeben ist eine Quadrik in allgemeiner Form. Diese lässt dich nun so drehen, das der gemischte Term ($Bxy$) verschwindet, die Gleichung also die Form \[ \bar{A}\bar{x}^{2}+\bar{B}\bar{x}\bar{y}+\bar{C}\bar{y}^{2}+\bar{D}\bar{x}+\bar{E}\bar{y}+\bar{F}=0\] mit $\bar{B}=0$ hat. Hierzu wird mit dem Winkel \begin{eqnarray*} \alpha & = & \frac{\arctan\left(\frac{B}{C-A}\right)}{2}\\ \bar{A} & = & A\cos^{2}\alpha-B\sin\alpha\cos\alpha+C\sin^{2}\alpha\\ \bar{B} & = & 0\\ \bar{C} & = & C\cos^{2}\alpha+B\sin\alpha\cos\alpha+A\sin^{2}\alpha\\ \bar{D} & = & D\cos\alpha-E\sin\alpha\\ \bar{E} & = & E\cos\alpha+D\sin\alpha\\ \bar{F} & = & F\end{eqnarray*} gedreht. \begin{itemize} \item $B^{2}-4AC=\bar{B}^{2}-4\bar{A}\bar{C}=d$ bleibt unberührt von der Drehung. \end{itemize} \subsubsection{Identifizieren des Typs} mit $d=B^{2}-4AC=-4\bar{A}\bar{C}$ \begin{description} \item [Ellipse]$d<0$ \item [Parabel]$d=0$ \item [Hyperbel]$d>0$ \end{description} \subsubsection{Verschieben in Ursprung} Gegeben ist eine Quadrik in der Form:\[ \bar{A}x^{2}+\bar{C}y^{2}+\bar{D}x+\bar{E}y+\bar{F}=0\] Bei dieser wurde also bereits der gemischte Term {}``weggedreht''. \begin{description} \item [Hyperbel,~Ellipse]falls $\bar{A},\bar{C}\neq0$:\[ \frac{\bar{A}}{G}\tilde{x}^{2}+\frac{\bar{C}}{G}\tilde{y}^{2}=1\] \begin{itemize} \item $G=\frac{\bar{D}^{2}}{4\bar{A}}+\frac{\bar{E}^{2}}{4\bar{C}}-\bar{F}$ \item $\tilde{x}\mapsto x+\frac{\bar{D}}{2\bar{A}}$ \item $\tilde{y}\mapsto y+\frac{\bar{E}}{2\bar{C}}$ \end{itemize} \item [Parabel]falls $\bar{A}\neq0,\bar{C}=0$:\[ \tilde{y}=-\frac{\bar{A}}{\bar{E}}\tilde{x}^{2}\] \begin{itemize} \item $\tilde{x}\mapsto x+\frac{\bar{D}}{2\bar{A}}$ \item $\tilde{y}\mapsto y+\frac{\bar{F}}{\bar{E}}-\frac{\bar{D}^{2}}{4\bar{A}\bar{E}}$ \end{itemize} \item [Parabel]falls $\bar{A}=0,\bar{C}\neq0$:\[ \tilde{x}=-\frac{\bar{C}}{\bar{D}}\tilde{y}^{2}\] \begin{itemize} \item $\tilde{y}\mapsto y+\frac{\bar{E}}{2\bar{C}}$ \item $\tilde{x}\mapsto x+\frac{\bar{F}}{\bar{D}}-\frac{\bar{E}^{2}}{4\bar{C}\bar{D}}$ \end{itemize} \item [Gerade]falls $\bar{A},\bar{C}=0$:\[ y=-\frac{\bar{D}}{\bar{E}}x-\frac{\bar{F}}{\bar{E}}\] \end{description} \printindex{} \end{document}