Der Lösungsraum I.220

Dimension I.221

Der Lösungsraum des homogenen Systems $A\vec{x}=\vec{0}$ mit einer $m\times n$-Matrix $A$, stellt einen Untervektorraum der Dimension $n-\mathrm{Rang}\left(A\right)$ von $\mathbb{K}^{n}$ dar.

• Jedes homogene Gleichungssystem ist lösbar
• Ist $A$ quadratisch und regulär, so hat der Lösungsraum die Dimension 0, besteht also nur aus dem Nullvektor $\vec{0}$.

Erweiterte Matrix I.224

Die $m\times\left(n+1\right)$-Matrix $\left(A\vert\vec{b}\right)$ heißt erweiterte Matrix des LGS.

Rangkriterium I.224

Das inhomogene LGS $A\vec{x}=\vec{b}$ ist genau dann lösbar, falls $\mathrm{Rang}\left(A\right)=\mathrm{Rang}\left(A\vert\vec{b}\right)$

• Wenn $A$ quadratisch und regulär ist auch inhomogenes System lösbar, mit einer eindeutigen Lösung.
• Allgemeiner Fall: Sei $\vec{x}_{0}$ eine feste Lösung von $A\vec{x}=\vec{b}$ und $\vec{y}$ eine Lösung des Systems $A\vec{y}=\vec{0}$. Dann ist $\vec{x}=\vec{x}_{0}+\vec{y}$ eine beliebige Lösung von $A\vec{x}=\vec{b}$.

Basiswechsel

Die lineare Abbildung $f:\mathbb{V}\rightarrow\mathbb{W}$ mit der Abbildungsmatrize $M_{alt}\left(f\right)$ ist mit $\left(\vec{a}_{1},\ldots,\vec{a}_{n}\right)=A$ als Basis von $\mathbb{V}$ und $\left(\vec{b}_{1},\ldots,\vec{b}_{n}\right)=B$ als Basis von $\mathbb{W}$ gegeben. Um sie nun in die neuen Basen $\left(\vec{c}_{1},\ldots,\vec{c}_{n}\right)=C$ von $\mathbb{V}$ und $\left(\vec{d}_{1},\ldots,\vec{d}_{n}\right)=D$ und von $\mathbb{W}$ zu überführen, wende folgende Gleichung an.

$$M_{neu}\left(f\right)=D^{-1}BM_{alt}\left(f\right)\ A^{-1}C$$

• Für den Sonderfall das $A,B=E_{n}$ und $C=D$ gilt:
  $M_{neu}\left(f\right)=C^{-1}M_{alt}\left(f\right)C$
• Für weiteres siehe sub:Basiswechsel ohne Matrix