Der Gaußsche Algorithmus I.227

Da Zeilenoperationen (Tauschen / Multiplizieren / Addieren) in der erweiterten Matrix $\left(A\vert\vec{b}\right)$ eines linearen Gleichungssystems $\left(A\vec{x}=\vec{b}\right)$ den Lösungsraum nicht verändern, lassen diese sich zum Lösen des Gleichungssystems verwenden. Man kann dabei nach dem folgenden (Gaußschen) Algorithmus vorgehen:

1. Vertausche Zeilen so, das oben Links etwas von 0 verschiedenes steht ( $a_{11}\neq0$). Falls erste Spalte $=\vec{0}$ $\Rightarrow\vec{x}_{1}$ beliebig, streichen der 1. Spalte
2. Räume Spalte unterhalb von $a_{11}$aus, durch Addition von $-\frac{a_{j1}}{a_{11}}$($1$. Zeile) auf $j$-te Zeile $\left(1\leq j\leq m\right)$
3. Wenn die akt. Untermatrix mehr als 1. Zeile hat, betrachte Untermatrix, in der die 1.Spalte und die 1.Zeile fehlen, und mache bei 1. weiter.
4. Testen der Rangbedingung für Lösbarkeit. Wenn $\mathrm{Rang}\left(A\vert\vec{b}\right)=\mathrm{Rang}\left(A\right)$ ist es wie folgt lösbar
5. Löse LGS von unten nach Oben auf $\left(x_{n},x_{n-1},\ldots,x_{1}\right)$
6. Unbekannte zugehörig zu den Nullspalten können frei gewählt werden.
7. Unbekannte zu den Nullzeiten werden als Parameter gewählt

Bestimmen der Inversen Matrize mittels Gauß-Algorithmus

Man führe den Gauß-Algorithmus für die Matrix $\left(A\vert\vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\ldots,\vec{e}_{n}\right)$ aus. Dabei muss das System mittels Zeilenoperationen in die Gestalt $\left(\vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\ldots,\vec{e}_{n}\vert A^{-1}\right)$ gebracht werden. Auf der Rechten Seite lässt sich nun die Inverse Matrix ablesen.

Es ist auch möglich, ausschließlich mit Spalten Operationen anstatt Zeilenoperationen zu arbeiten.