Charakteristisches Polynom I.266

Definition I.266

Sei $A$ eine $n\times n$-Matrix mit Einträgen aus $K=\mathbb{R}$ oder $K=\mathbb{C}$, und $E_{n}$ die $n\times n$-Einheitsmatrix. Das Polynom

$$\chi_{A}\left(\lambda\right)=\det\left(A-\lambda E_{n}\right)$$

heißt charakteristisches Polynom von A.

• Satz von Cayley-Hamilton
  $\chi_{A}\left(A\right)=0$

Ähnliche Matrix I.269

Zwei $n\times n$-Matrizen $A,\tilde{A}$ heißen ähnlich, wenn es eine reguläre $n\times n$-Matrize $B$ gibt mit

$$\tilde{A}=B^{-1}AB\;\textrm{bzw.}\; B\tilde{A}=AB$$

• $\chi_{B^{-1}AB}\left(\lambda\right)=\chi_{A}\left(\lambda\right)$
• $\chi_{A^{T}}\left(\lambda\right)=\chi_{A}\left(\lambda\right)$